112 高普考高考三級 工業工程 工程統計學與品質管制 考古題詳解

核心觀念

本題考察「二維連續型隨機變數」的三大核心工具：

1. 正規化常數（normalizing constant）的求法：任何合法的聯合機率密度函數（joint pdf）必須滿足 $\int\!\!\int_{\text{定義域}} f(x,y)\,dx\,dy = 1$ 利用此性質可反解出待定常數 $c$。

2. 邊際密度函數（marginal density）與條件密度函數（conditional density）的定義： $f_X(x)=\int f(x,y)\,dy,\qquad f_Y(y)=\int f(x,y)\,dx$ $f(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)},\qquad f(y\mid x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$

3. 獨立性判定準則：連續型隨機變數 $X,Y$ 獨立 $\iff$ 對定義域內所有 $(x,y)$，恆有 $f(x,y)=f_X(x)\,f_Y(y)$ 等價地，也可用 $f(x\mid y)=f_X(x)$（即條件密度不隨 $y$ 改變）來驗證。

這是工程統計學中「聯合分布 → 邊際分布 → 條件分布 → 獨立性」的標準考法，幾乎每年都會以不同的 $f(x,y)$ 形式出現，故務必熟練整套計算流程。

解題方法

第一步：求正規化常數 $c$

由 $f(x,y)=cxy$ 在 $0\le x\le1,\ 0\le y\le1$ 上是機率密度函數，須滿足

$\int_0^1\int_0^1 cxy\,dx\,dy=1$

由於被積函數可分離變數，直接拆成兩個獨立積分：

解得

$c=4$

故聯合密度函數為

$f(x,y)=4xy,\quad 0\le x\le1,\ 0\le y\le1$

第二步：求邊際密度函數 $f_X(x)$ 與 $f_Y(y)$

對 $y$ 積分求 $f_X(x)$：

$f_X(x)=\int_0^1 4xy\,dy=4x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^1=4x\cdot\frac{1}{2}=2x,\quad 0\le x\le1$

對 $x$ 積分求 $f_Y(y)$：

$f_Y(y)=\int_0^1 4xy\,dx=4y\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1=4y\cdot\frac{1}{2}=2y,\quad 0\le y\le1$

驗算（確保邊際密度合法）： $\int_0^1 2x\,dx=1,\qquad \int_0^1 2y\,dy=1\qquad\checkmark$

第三步：求條件機率密度函數

依定義代入：

$f(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\frac{4xy}{2y}=2x,\quad 0\le x\le1\ (0<y\le1)$

核心觀念

本題考的是**貝氏定理（Bayes' Theorem）**在「檢測／診斷」情境下的應用，架構與醫學檢驗（疾病盛行率、敏感度、特異度）完全一致，是考古題中極常見的題型。

先定義事件：

• $D$：電腦「有瑕疵」
• $D^c$：電腦「性能良好」
• $E$：專家「宣稱有瑕疵」
• $E^c$：專家「宣稱良好」

由題目直接可讀出以下機率（先驗機率與條件機率）：

$P(D)=0.3,\qquad P(D^c)=0.7$

「有瑕疵的電腦，80% 無法逃過其驗出」→ 這是敏感度（真陽性率）： $P(E\mid D)=0.8,\qquad P(E^c\mid D)=1-0.8=0.2$

「性能良好的電腦，僅 10% 判斷錯誤」→ 專家把良品誤判為瑕疵品的機率是偽陽性率： $P(E\mid D^c)=0.1,\qquad P(E^c\mid D^c)=1-0.1=0.9$

三小題分別對應：

1. 未經檢測前的先驗機率 $P(D)$
2. 已知檢測結果為「陽性」時的後驗機率 $P(D\mid E)$
3. 已知檢測結果為「陰性」時的後驗機率 $P(D\mid E^c)$

解題方法

(一) 聘請專家以前

尚未經過任何檢測，購買到有瑕疵電腦的機率就是母體的瑕疵比例（先驗機率），直接由題目給定：

$P(D)=0.3$

(二) 專家宣稱該電腦有瑕疵

要求的是 $P(D\mid E)$，需用貝氏定理。先求分母（全機率公式）：

代入數值：

再套貝氏定理：

意義：即使專家宣稱有瑕疵，實際買到瑕疵品的機率也只有約 77.42%（並非 100%），因為專家仍有 10% 的誤判率會把良品說成瑕疵品，稀釋了判斷的可信度。

(三) 專家宣稱該電腦性能沒有瑕疵

核心觀念

本題考查兩項能力：

1. 製程能力指標 $C_p$：衡量製程變異與規格寬度的相對大小。
2. 管制圖判讀：判斷製程是否受統計管制，再與 $C_p$ 合併評估製程能力。

製程能力指標公式為

其中：

• $USL$：規格上界
• $LSL$：規格下界
• $\sigma$：製程母體標準差
• $6\sigma$：製程自然變異寬度

$C_p$ 僅衡量製程散布程度，未考慮製程平均數是否偏離規格中心；若要同時考慮偏移，應使用 $C_{pk}$。

解題方法與計算

已知

規格寬度為

製程自然變異寬度為

因此

故製程能力指標為

一般判定標準為：

• $C_p<1$：製程能力不足
• $1\leq C_p<1.33$：製程能力普通，仍有改善空間
• $C_p\geq1.33$：製程能力良好
• $C_p\geq1.67$：製程能力佳，通常可視為具高度能力

本題 $C_p\approx1.77$，顯示規格寬度大於製程自然變異，製程散布程度良好。

管制圖判讀

依題目所附管制圖：

• 所有樣本點均落在 $UCL$ 與 $LCL$ 之間。
• 沒有樣本點超出管制界限。
• 圖中未呈現明顯的連續上升、連續下降或長串偏在中心線同一側的異常型態。

因此，依管制圖可判定此手機組裝精度製程目前處於統計管制狀態，未發現明顯特殊原因變異。

綜合判斷與建議

核心觀念

本題考的是製程能力分析（Process Capability Analysis），重點在於：

1. 規格界限（Specification Limits）：由客戶或工程需求訂定，上規格界限 $USL$、下規格界限 $LSL$。本題 $USL=4.05$、$LSL=3.95$。
2. 製程能力指標 $C_p$：衡量製程變異相對於規格公差的比值，公式為 $C_p=\dfrac{USL-LSL}{6\sigma}$ 其中 $6\sigma$ 代表製程自然變異寬度（假設常態分配，涵蓋約 $99.73\%$ 的產品）。$C_p$ 只考慮變異大小，不考慮製程是否置中。
3. 製程能力指標 $C_{pk}$：同時考慮製程置中程度，公式為 $C_{pk}=\min\left(\dfrac{USL-\mu}{3\sigma},\ \dfrac{\mu-LSL}{3\sigma}\right)=\min(C_{pu},\ C_{pl})$
4. 實務上母體 $\mu,\sigma$ 未知，需以樣本統計量 $\bar{x}$（估計 $\mu$）與 $s$（估計 $\sigma$，分母用 $n-1$）代入估計。
5. 判斷準則（業界通用）：

• $C_p$（或 $C_{pk}$）$\ge 1.33$：製程能力充分，可滿足客戶要求。
• $1.00\le C_p<1.33$：製程能力尚可，但需加強監控。
• $C_p<1.00$：製程能力不足，無法充分滿足規格要求，須改善（通常是降低變異）。

解題方法

步驟一：計算樣本平均數 $\bar{x}$

原始資料（$n=10$）： $3.98,\ 4.01,\ 3.99,\ 3.97,\ 4.02,\ 4.00,\ 3.98,\ 3.96,\ 4.03,\ 4.01$

$\sum x_i = 39.95 \quad\Rightarrow\quad \bar{x}=\dfrac{39.95}{10}=3.995$

步驟二：計算樣本標準差 $s$

利用捷算公式 $SS=\sum x_i^2-\dfrac{(\sum x_i)^2}{n}$：

各值平方和： $\sum x_i^2 = 159.6049$

$SS = 159.6049-\dfrac{39.95^2}{10}=159.6049-159.60025=0.00465$

$s^2=\dfrac{SS}{n-1}=\dfrac{0.00465}{9}=0.00051667$

$s=\sqrt{0.00051667}\approx 0.02273\ \text{毫米}$

步驟三：計算 $C_p$

規格公差 $USL-LSL=4.05-3.95=0.10$

$C_p=\dfrac{USL-LSL}{6s}=\dfrac{0.10}{6\times0.02273}=\dfrac{0.10}{0.13639}\approx 0.733$

步驟四：計算 $C_{pu}$、$C_{pl}$、$C_{pk}$

$C_{pu}=\dfrac{USL-\bar{x}}{3s}=\dfrac{4.05-3.995}{3\times0.02273}=\dfrac{0.055}{0.06819}\approx 0.807$