115 年高普考高考三級工業工程考古題與詳解

Question 1

某逐次抽樣計畫已知生產者冒險率 $\alpha=0.05$，在此生產者冒險率下不良率 $P{\alpha}=0.02$；消費者冒險率 $\beta=0.1$，在此消費者冒險率下不良率 $P{\beta}=0.07$。試求： (一) 允收線與拒收線方程式。（15 分） (二) 當樣本數 $n=81$，拒收該批產品所需之最小累積不良品數。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考逐次抽樣計畫的允收線與拒收線。令 $n$ 為累積抽樣數，$d$ 為累積不良品數。以生產者可接受的不良率 $P\alpha=0.02$ 作為良好品質基準，以消費者可接受的不良率 $P\beta=0.07$ 作為不良品質基準，利用 Wald 逐次機率比檢定建立兩條界線。 當累積不良品數達到拒收界線時拒收該批；當累積不良品數低於或等於允收界線時允收該批；介於兩線之間則繼續抽樣。 解題方法 令 $H0:p=P\alpha$、$H1:p=P\beta$。觀察到 $n$ 件中有 $d$ 件不良時，$H1$ 相對於 $H0$ 的概似比為 $$ \Lambda =\frac{P\beta^d(1-P\beta)^{n-d}} {P\alpha^d(1-P\alpha)^{n-d}}. $$ 依 Wald 的決策界限： $$ \Lambda\leq \frac{\beta}{1-\alpha} \quad\Longrightarrow\quad 允收, \qquad \Lambda\geq \frac{1-\beta}{\alpha} \quad\Longrightarrow\quad 拒收. $$ 取自然對數並整理，可將不良品數 $d$ 寫成 $n$ 的線性函數。兩線共用斜率 $$ s= \frac{\ln\left(\frac{1-P\alpha}{1-P\beta}ight)} {\ln\left(\frac{P\beta(1-P\alpha)} {P\alpha(1-P\beta)}ight)}. $$ 代入 $P\alpha=0.02$、$P\beta=0.07$： $$ s= \frac{\ln(0.98/0.93)} {\ln\left(\frac{0.07	imes0.98}{0.02	imes0.93}ight)} \approx 0.040125. $$ 允收線截距為

Question 2

某磁磚製程設計實驗採用直交表進行試驗，實驗結果如下表所示。試求：

(一) 影響 S/N 比最主要的前四項控制因子。（10 分）

(二) 前四項最主要因子的最佳水準組合及其預測 S/N 比。（15 分）

Exp.	A	B	C	D	E	F	G	H	S/N
1	1	1	1	1	1	1	1	1	44.93
2	1	1	2	2	2	2	2	2	50.14
3	1	1	3	3	3	3	3	3	49.16
4	1	2	1	1	2	2	3	3	46.84
5	1	2	2	2	3	3	1	1	41.76
6	1	2	3	3	1	1	2	2	57.94
7	1	3	1	2	1	3	2	3	50.73
8	1	3	2	3	2	1	3	1	46.15
9	1	3	3	1	3	2	1	2	52.05
10	2	1	1	3	3	2	2	1	40.86
11	2	1	2	1	1	3	3	2	46.88
12	2	1	3	2	2	1	1	3	41.82
13	2	2	1	2	3	1	3	2	42.99
14	2	2	2	3	1	2	1	3	52.98
15	2	2	3	1	2	3	2	1	46.77
16	2	3	1	3	2	3	1	2	45.28
17	2	3	2	1	3	1	2	3	40.72
18	2	3	3	2	1	2	3	1	46.43

平均 S/N 比為 $46.9$ 。

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Accepted Answer

核心觀念 本題考查田口方法（Taguchi Method）中的： 1. S/N 比因子效果分析 2. 各控制因子水準平均值 3. 因子效果差 $\Delta$ 4. 最佳水準組合 5. 最佳組合下預測 S/N 比 因為本題的 S/N 比是「越大越好」，所以各因子應選擇平均 S/N 比最高的水準。 對於因子 $X$，各水準平均 S/N 比為： $$ \bar{\eta}{X,i} = \frac{	ext{因子 }X	ext{ 在第 }i	ext{ 水準之 S/N 比總和}} {	ext{該水準試驗次數}} $$ 因子影響程度以極差表示： $$ \DeltaX = \max(\bar{\eta}{X,i}) - \min(\bar{\eta}{X,i}) $$ $\Delta$ 越大，表示該因子對 S/N 比的影響越重要。 --- 解題方法 將表中各因子在不同水準下的 S/N 比分組，計算各水準平均值，再依 $\Delta$ 大小排序。 各因子水準平均 S/N 比 | 因子 | 水準 1平均 | 水準 2平均 | 水準 3平均 | $\Delta$ | |---|---:|---:|---:|---:| | A | $48.856$ | $44.970$ | — | $3.886$ | | B | $45.632$ | $48.213$ | $46.893$ | $2.582$ | | C | $45.272$ | $46.438$ | $49.028$ | $3.757$ | | D | $46.365$ | $45.645$ | $48.728$ | $3.083$ | | E | $49.982$ | $46.167$ | $44.590$ | $5.392$ | | F | $45.758$ | $48.217$ | $46.763$ | $2.458$ | | G | $46.470$ | $47.860$ | $46.408$ | $1.452$ | | H | $44.483$ | $49.213$ | $47.042$ | $4.730$ | 例如因子 E： $$ \bar{\eta}{E,1} = \frac{44.93+57.94+50.73+46.88+52.98+46.43}{6} = 49.982 $$ $$ \bar{\eta}{E,2} = \frac{50.14+46.84+46.15+41.82+46.77+45.28}{6} = 46.167 $$ $$ \bar{\eta}{E,3} = \frac{49.16+41.76+52.05+40.86+42.99+40.72}{6} = 44.590 $$ 因此： $$ \DeltaE=49.982-44.590=5.392 $$ --- （一）影響 S/N 比最主要的…

Question 3

某精密軸承製造廠生產之軸承外徑規格為 $25\pm0.05\ \mathrm{mm}$ ，若製程平均值為 $25\ \mathrm{mm}$ ，標準差為 $0.025\ \mathrm{mm}$ ，且產品尺寸服從常態分配，假設外徑高於規格上限者須重新加工，低於規格下限者則須報廢，試求：

(一) 產品中有多少百分比應報廢？（5 分）

(二) 產品中有多少百分比可重新加工使用？（5 分）

(三) 若調整製程平均值，使報廢率趨近於 0（採 $3\sigma$ 原則），則重新加工率為多少？（15 分）

已知 $P(Z>1)=0.1587$ 、 $P(Z>2)=0.0228$ 、 $P(Z>3)=0.00135$ 。

Accepted Answer

核心觀念 本題考常態分配下的規格限界機率。規格為 $25\pm0.05\ \mathrm{mm}$，因此下限與上限分別是 $24.95\ \mathrm{mm}$、$25.05\ \mathrm{mm}$。尺寸服從常態分配 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 時，標準化公式為 $$ Z=\frac{X-\mu}{\sigma}. $$ 低於下限的產品須報廢；高於上限的產品須重新加工；落在規格內的產品合格。 解題方法 （一）產品中應報廢的百分比 原製程平均值 $\mu=25$、標準差 $\sigma=0.025$。下限 $24.95$ 標準化為 $$ zL=\frac{24.95-25}{0.025}=-2. $$ 因此報廢率為 $$ P(X<24.95)=P(Z<-2)=P(Z2)=0.0228. $$ 故應報廢的產品占 $2.28\%$。 （二）產品中可重新加工使用的百分比 上限 $25.05$ 標準化為 $$ zU=\frac{25.05-25}{0.025}=2. $$ 高於上限的產品須重新加工，所以 $$ P(X25.05)=P(Z2)=0.0228. $$ 故可重新加工使用的產品占 $2.28\%。 （三）調整平均值，使報廢率趨近於 0（採 $3\sigma

Question 4

下表為一隨機集區設計實驗資料，其中 A、B、C 為集區，甲、乙、丙為處理： | 集區 | 甲 | 乙 | 丙 | |---|---:|---:|---:| | A | 3 | 5 | 2 | | B | 8 | 7 | 6 | | C | 7 | 6 | 5 | 已知集區平方和 $SSB=21.56$，總平方和 $SST=30.23$。試求： (一) 試完成下列 ANOVA 表。（10 分） | 變異來源 | SS | 自由度 | MS | F | |---|---:|---:|---:|---:| | 集區 | 21.56 | 2 | | | | 處理 | | | | | | 隨機 | | | | | | 總和 | 30.23 | 8 | | | (二) 寫出檢定各處理平均數是否相同之虛無假設。（5 分） (三) 寫出處理效果之檢定統計量，並計算其數值。（5 分） (四) 已知 $F{2,4,0.10}=4.32$、$F{2,4,0.05}=6.94$、$F{2,4,0.025}=10.65$，在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，判斷各處理平均數是否具有顯著差異。（5 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查隨機集區設計（Randomized Block Design, RCBD）的二因子變異數分析。共有： - 集區數：$b=3$ - 處理數：$t=3$ - 總觀測值：$N=bt=9$ 變異分解為： $$ SST=SSB+SSTr+SSE $$ 其中： - $SSB$：集區平方和 - $SSTr$：處理平方和 - $SSE$：隨機誤差平方和 自由度為： $$ dfB=b-1=2 $$ $$ df{Tr}=t-1=2 $$ $$ dfE=(b-1)(t-1)=4 $$ $$ dfT=bt-1=8 $$ --- 解題方法 （一）完成 ANOVA 表 各處理總和為： $$ T{	ext{甲}}=3+8+7=18 $$ $$ T{	ext{乙}}=5+7+6=18 $$ $$ T{	ext{丙}}=2+6+5=13 $$ 總和為： $$ G=18+18+13=49 $$ 修正項： $$ CF=\frac{G^2}{N}=\frac{49^2}{9}=\frac{2401}{9}=266.7778 $$ 各觀測值平方和： $$ \sum y{ij}^2 =3^2+5^2+2^2+8^2+7^2+6^2+7^2+6^2+5^2 =297 $$ 因此： $$ SST=297-266.7778=30.2222\approx30.23 $$ 處理平方和： $$ SSTr=\frac{18^2+18^2+13^2}{b}-CF $$ $$ =\frac{324+324+169}{3}-266.7778 =5.5556\approx5.56 $$ 隨機誤差平方和： $$ SSE=SST-SSB-SSTr $$ $$ =30.2222-21.5556-5.5556 =3.1111\approx3.11 $$ 均方： $$ MSB=\frac{21.5556}{2}=10.7778 $$ $$ MSTr=\frac{5.5556}{2}=2.7778 $$ $$ MSE=\frac{3.1111}{4}=0.7778 $$ ANOVA 表如下： | 變異來源 | SS | 自由度 | MS | F | |---|---:|---:|---:|---:|

115 高普考高考三級工業工程工程統計學與品質管制考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

核心觀念

解題方法

各因子水準平均 S/N 比

（一）影響 S/N 比最主要的前四項控制因子

第三題25 分

第四題25 分

（一）完成 ANOVA 表

其他考古題

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115 高普考高考三級 工業工程 工程統計學與品質管制 考古題詳解

第 一 題25 分

第 二 題25 分