113 高普考高考三級 工業工程 工程統計學與品質管制 考古題詳解

核心觀念

本題考查母體平均數的信賴區間與樣本數規劃。母體人數有限，若採不放回簡單隨機抽樣，估計母體平均數時可使用有限母體修正係數：

其中 $N=650$ 為母體數、$n$ 為樣本數。題目提供樣本標準差 $s=8$ 小時，並指定常態分配臨界值，因此以 $s$ 估計母體標準差，採 $z$ 信賴區間。

解題方法

（一）$95\%$ 信賴區間

已知樣本平均數 $\bar{x}=34$、樣本標準差 $s=8$、樣本數 $n=70$，且 $z_{0.025}=1.96$。母體平均數的 $95\%$ 信賴區間為：

代入數值：

因此區間下限約為 $32.18$ 小時，上限約為 $35.82$ 小時。

（二）信賴區間寬度不超過 $2$ 小時

核心觀念

本題考單因子變異數分析（One-way ANOVA）中各變異來源的自由度、平方和、均方及 $F$ 統計量。

公式如下：

其中甲、乙兩母體共兩組，因此 $k=2$；總樣本數為

解題方法

（一）計算缺漏值

（1）組間自由度

因此：

（2）總平方和

變異平方和具有可加性：

代入題目資料：

因此：

（3）組間均方

因此：

（4）誤差均方

因此：

（5）$F$ 統計量

因此：

完整表格如下：

核心觀念

本題建構的是不良品數管制圖（$np$ chart），每一批樣本數固定為 $n=100$，因此可使用二項分配近似公式：

• 平均不良率： $\bar{p}=\frac{\text{所有不良品總數}}{\text{總檢驗數}}$
• 中心線： $CL=n\bar{p}$
• 管制上限： $UCL=n\bar{p}+3\sqrt{n\bar{p}(1-\bar{p})}$
• 管制下限： $LCL=n\bar{p}-3\sqrt{n\bar{p}(1-\bar{p})}$

因為每批樣本數均為 $100$，所以適用固定樣本數的 $np$ 管制圖。

解題方法

（一）平均不良率 $\bar{p}$

各批不良品數總和為：

$12+10+6+8+10+7+7+12+11+9=92$

總檢驗數為：

$10\times100=1000$

因此：

$\bar{p}=\frac{92}{1000}=0.092$

平均不良率為 $9.2\%$。

每批平均不良品數為：

$n\bar{p}=100(0.092)=9.2$

（二）管制上限 $UCL$

先計算不良品數的標準差：

$\sigma_{np}=\sqrt{n\bar{p}(1-\bar{p})}$

$=\sqrt{100(0.092)(1-0.092)}$

核心觀念

OC Curve（作業特性曲線）表示送驗批在不同不良率 $p$ 下被允收的機率。其判讀通常依據下列四個特定點：

1. 生產者風險 $\alpha$（producer’s risk）
2. 消費者風險 $\beta$（consumer’s risk）
3. 允收水準（AQL，Acceptable Quality Level）
4. 拒收水準（LTPD，Lot Tolerance Percent Defective）

其中：

• 在允收水準 AQL 下，允收機率通常為 $1-\alpha$，因此 $\alpha$ 為生產者承擔的誤拒收風險。
• 在拒收水準 LTPD 下，允收機率為 $\beta$，因此 $\beta$ 為消費者承擔的誤允收風險。

解題方法

依圖形判讀：

• 圖中左側允收水準處，允收機率由 $1$ 降至 $1-\alpha$，表示 $\alpha$ 是生產者風險。
• 圖中右側拒收水準處，曲線的允收機率標示為 $\beta$，表示 $\beta$ 是消費者風險。