113 高普考高考三級 工業工程 生產計劃與管制 考古題詳解

核心觀念

本題考查時間序列分析中的四項要素：

1. 水準（Level）：資料的一般平均大小。
2. 趨勢（Trend）：資料長期上升或下降的方向。
3. 季節性（Seasonality）：固定週期內重複出現的變動。
4. 隨機變動（Irregular variation）：無法由趨勢與季節性解釋的短期波動。

本題每年資料有 12 個月份，因此季節週期為 $p=12$。

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（一）資料特徵分析

1. 季節性

兩年度的變化型態相當接近：

• 1 月至 3 月逐漸上升，3 月達到高峰。
• 4 月至 10 月大致下降，10 月為低點。
• 11 月、12 月又明顯回升。

例如：

• 第一年最高為 3 月的 $349$，最低為 10 月的 $178$。
• 第二年最高為 3 月的 $383$，最低為 10 月的 $209$。

因此可判斷產品 A 具有明顯的 12 個月季節性。

2. 上升趨勢

第二年各月份銷售量均高於第一年，年度總銷售量由：

$$3122 \longrightarrow 3417$$

增加：

$$3417-3122=295$$

成長率為：

$$\frac{295}{3122}\times 100\% \approx 9.45\%$$

因此資料呈現整體水準上升的現象。不過資料並非每月持續上升，而是受到季節性循環影響，故屬於「上升趨勢與季節性並存」。

3. 隨機變動

相同月份的年度增加量並不完全相同，例如：

• 1 月增加 $34$。
• 3 月增加 $34$。
• 8 月增加 $39$。
• 10 月增加 $31$。
• 11 月增加 $9$。

這些差異顯示資料仍含有隨機變動或其他短期因素。

4. 本題結論

此銷售時間序列具有：

• 上升趨勢
• 12 個月季節性
• 隨機變動

其中季節性最明顯，且第二年整體水準高於第一年。

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（二）四種預測方法

以下令 $Y_t$ 表示第 $t$ 期實際銷售量。第 24 期為第二年 12 月，欲預測第 25 至第 27 期，即未來三個月。

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1. 天真法（Naïve method）

使用方式

天真法以最近一期的實際值作為下一期預測值：

$$F_{t+1}=Y_t$$

第 24 期實際值為第二年 12 月：

$$Y_{24}=286$$

因此：

$$F_{25}=286$$

進行多期預測時，因為第 26、27 期尚無實際值，通常沿用最後一期預測值：

$$F_{26}=286,\qquad F_{27}=286$$

優點

• 方法簡單，計算快速。
• 不需要估計參數。
• 適合資料沒有明顯趨勢與季節性時使用。
• 可作為其他複雜預測方法的比較基準。

缺點

• 完全忽略趨勢。
• 完全忽略季節性。
• 預測值容易落後於實際變化。
• 本題第 25 期相當於下一年度 1 月，若 1 月具有固定季節性，直接預測 $286$ 並未反映季節循環。

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2. 三個月移動平均法（Moving average with $k=3$）

使用方式

三期移動平均的基本公式為：

$$F_{t+1}=\frac{Y_t+Y_{t-1}+Y_{t-2}}{3}$$

第 24 期前的三個觀察值為：

• 第 22 期：第二年 10 月，$209$
• 第 23 期：第二年 11 月，$259$
• 第 24 期：第二年 12 月，$286$

因此第 25 期預測值為：

$$F_{25}=\frac{209+259+286}{3} =\frac{754}{3} \approx 251.33$$

第 26 期採用第 23、24 期及第 25 期預測值：

$$F_{26}=\frac{259+286+251.33}{3} \approx 265.44$$

第 27 期為：

$$F_{27}=\frac{286+251.33+265.44}{3} \approx 267.59$$

所以未來三期預測約為：

期別	預測值
第25期	251.33
第26期	265.44
第27期	267.59

優點

• 可平滑隨機波動。
• 計算簡單，容易解釋。
• $k=3$ 對近期資料反應較快，適合短期預測。
• 不需建立複雜的統計模型。

缺點

• 未直接處理趨勢與季節性。
• 預測值會產生落後現象。
• $k$ 太小，平滑效果不足；$k$ 太大，則反應過慢。
• 多期預測必須將預測值代入，誤差容易逐期累積。
• 本題的第 25 期為下一年 1 月，三個月平均沒有特別使用歷年 1 月資料，因此無法充分捕捉季節性。

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3. 雙指數平滑法（Double exponential smoothing）

雙指數平滑法又稱 Holt 線性趨勢法，適合處理具有水準與趨勢、但沒有明顯季節性的資料。

基本公式

令：

• $L_t$：第 $t$ 期平滑水準
• $T_t$：第 $t$ 期趨勢
• $\alpha$：水準平滑係數
• $\beta$：趨勢平滑係數

水準方程式：

$$L_t=\alpha Y_t+(1-\alpha)(L_{t-1}+T_{t-1})$$

趨勢方程式：

$$T_t=\beta(L_t-L_{t-1})+(1-\beta)T_{t-1}$$

其中：

$$0<\alpha<1,\qquad 0<\beta<1$$

核心觀念

本題考查生產系統布置（facility layout）：依產品特性、加工流程及資源使用方式，安排機台、人員、工作站與服務設施的位置，以兼顧物料或顧客移動、作業效率、產能與管理便利性。

常見基本布置分為四種：產品布置、製程布置、固定位置布置、群組（單元）布置。實務上也常將不同布置方式組合使用，稱為混合布置。

（一）布置方式、例子與圖示

1. 產品布置（Product Layout；流水線布置）

依產品的加工順序排列工作站或設備，各產品大致沿相同路徑逐站加工，適合產品種類少、產量大、流程穩定的情況。

**例子：**汽車裝配線、飲料裝瓶線。

原料 → 工作站 A → 工作站 B → 工作站 C → 成品
 ↓ ↓ ↓
 裝配 1 裝配 2 檢查

**特點：**流程清楚、搬運距離短、產出率高、作業容易標準化；但產品或需求變動時調整彈性較低，任一關鍵工作站故障也可能影響整條生產線。

2. 製程布置（Process Layout；機能別布置）

將相同功能或相同類型的設備集中，例如將所有車床放在同一區、所有鑽床放在另一區。不同產品依各自的加工需求，選擇不同路徑，因此適合產品種類多、產量較低、加工流程不一的情況。

**例子：**工具機加工廠、醫院依科別設置門診與檢查部門。

┌──────────┐ ┌──────────┐
│ 車床區 │ │ 鑽床區 │
└──────────┘ └──────────┘
 ↘ ↗
 不同產品依需求
 選擇各自加工路徑
 ↗ ↘
┌──────────┐ ┌──────────┐
│ 磨床區 │ │ 檢驗區 │
└──────────┘ └──────────┘

**特點：**設備通用性高、可適應多樣產品及流程變動；但加工路線較複雜，搬運距離與在製品可能增加，排程及現場管理較不容易。

3. 固定位置布置（Fixed-Position Layout）

產品或服務對象固定在一處，設備、材料及人員移動到作業地點完成工作。適合產品體積龐大、重量大、不易搬動，或服務必須在特定地點進行的情況。

**例子：**造船、建築工程、飛機維修。

 設備移入 ↓
材料移入 → [固定產品／作業地點] ← 人員移入
 零件移入 ↑

**特點：**產品不需頻繁搬運，適合大型單件或專案型工作；但人員、材料與設備的協調複雜，現場空間及進度管理要求高。

4. 群組布置（Group Layout；單元布置）

依產品或零件的相似加工需求，將不同功能的設備組成製造單元，使單元內可完成一類產品的多項作業。它結合製程布置的設備功能分組與產品布置的單元內順序流程。

核心觀念

本題考 經濟生產批量（Economic Production Quantity, EPQ）。與經濟訂購量（EOQ）不同，EPQ 的存貨是在生產期間逐步累積：生產速率 $P$ 大於需求率 $d$，因此生產期間的淨存貨增加速率為 $P-d$。停產後，存貨再以需求率 $d$ 逐步耗用。

令：

• 年需求量 $D=9{,}000$ 桶
• 每次換線成本 $S=200$ 仟元
• 每桶年持有成本 $H=0.21$ 仟元／年・桶
• 每日需求率 $d=20$ 桶／日
• 每日生產率 $P=150$ 桶／日
• 每年運作天數 $N=360$ 日

生產率與需求率比值為 $d/P=20/150=2/15$。

解題方法

每批生產 $Q$ 桶時，生產期間長度為 $Q/P$ 日。由於生產期間仍持續有需求，該期間增加的最大存貨不是 $Q$，而是：

$$I_{\max}=Q\left(1-\frac{d}{P}\right)$$

存貨由 $0$ 線性增加至 $I_{\max}$，再線性降回 $0$，所以平均存貨為：

$$I_{\text{avg}}=\frac{I_{\max}}{2} =\frac{Q}{2}\left(1-\frac{d}{P}\right)$$

因此，年度換線成本與年度持有成本合計為：

$$TC(Q)=\frac{D}{Q}S+ \frac{Q}{2}\left(1-\frac{d}{P}\right)H$$

令兩項成本的變動部分平衡，可得經濟生產批量：

$$Q^*= \sqrt{\frac{2DS}{H\left(1-\frac{d}{P}\right)}}$$

（一）經濟生產批量

代入題目數值：

$$Q^*= \sqrt{ \frac{2(9{,}000)(200)} {0.21\left(1-\frac{20}{150}\right)} } = \sqrt{\frac{3{,}600{,}000}{0.182}} \approx 4{,}448.94\text{ 桶}$$

故經濟生產批量約為 4,449 桶。

（二）年度總成本

在經濟生產批量下，年度換線成本為：

$$\frac{D}{Q^*}S = \frac{9{,}000}{4{,}448.94}(200) \approx 404.59\text{ 仟元／年}$$

年度持有成本為：

核心觀念

專案時程壓縮（crashing）是指在維持專案範圍與成果要求的前提下，投入額外資源或採取其他措施，縮短完成專案所需時間。常見作法包括增加人力或設備、支付加班費、採用較快速但成本較高的運輸或採購方式，以及將原本依序執行的工作改為部分平行進行。

時程壓縮通常會增加直接成本，也可能提高協調、品質與風險成本。實務上，應優先壓縮位於要徑上的活動，因為非要徑活動即使縮短，也不一定能縮短整體專案工期。

解題方法

（一）專案時程被壓縮的可能原因

時程壓縮可能由外部期限、商業考量或專案執行狀況所造成，答題時可分別說明：

1. 外部期限或法規要求：須配合政府法令、契約交期、補助期限或特定活動日期完成。
2. 市場競爭與商機：提早推出產品或服務，以搶占市場、先取得營收或建立競爭優勢。
3. 顧客需求或契約責任：客戶提前要求交付，或契約規定逾期須支付違約金。
4. 專案延誤：前期活動延遲、資源短缺、估時不準或執行效率不佳，為追回進度而壓縮後續時程。
5. 成本或效益考量：提早完成可降低專案期間的管理費、租賃費或其他間接成本，或使效益提早實現。
6. 資源與營運安排：需配合停機窗口、設備可用期間、人員調度或其他專案的時程。
7. 環境與策略變化：技術、政策或市場條件改變，需提早完成或交付專案成果。

作答時須指出，壓縮時程不代表所有活動都能等量縮短；應先分析要徑及活動可壓縮幅度，再衡量增加成本是否值得。

（二）計算最佳壓縮天數

已知壓縮 $t$ 天所增加的總成本為

$$C(t)=50t^2+100t$$