111 高普考高考三級 工業工程 生產計劃與管制 考古題詳解

核心觀念

本題屬於「生產計劃與管制」中**需求預測（Forecasting）與預測誤差評估（Forecast Accuracy & Error Measures）**的核心考題，重點在於檢驗考生對各類時間數列模型、因果趨勢模型之遞迴計算能力，以及誤差績效指標之衡量。

1. 預測模式公式

• 指數平滑法（Exponential Smoothing, ES）： $F_t = F_{t-1} + \alpha (A_{t-1} - F_{t-1}) = \alpha A_{t-1} + (1-\alpha) F_{t-1}$ 其中 $A_{t-1}$ 為前期實際需求量，$F_{t-1}$ 為前期預測值，$\alpha$ 為平滑常數（$0 \le \alpha \le 1$）。
• 移動平均法（Moving Average, MA）（取 $n$ 期）： $F_t = \frac{\sum_{i=1}^n A_{t-i}}{n}$
• 加權移動平均法（Weighted Moving Average, WMA）： $F_t = \sum_{i=1}^n w_i A_{t-i} \quad \left(\text{滿足 } \sum w_i = 1\right)$
• 線性迴歸趨勢模式（Linear Regression Trend Model）： $Y = a + bX$ 其中 $X$ 為期別代號，$Y$ 為該期預測值。

2. 預測誤差績效指標公式

設第 $t$ 期之預測誤差為 $e_t = A_t - F_t$，評估期數為 $n$：

• 平均絕對偏差（Mean Absolute Deviation, MAD）：衡量誤差的平均幅度。 $\text{MAD} = \frac{\sum_{t=1}^n |A_t - F_t|}{n}$
• 均方誤差（Mean Squared Error, MSE）：對大幅度極端誤差賦予較高懲罰權數。 $\text{MSE} = \frac{\sum_{t=1}^n (A_t - F_t)^2}{n}$
• 平均絕對百分比誤差（Mean Absolute Percentage Error, MAPE）：以相對百分比衡量誤差大小，不受量綱單位影響。 $\text{MAPE} = \frac{1}{n} \sum_{t=1}^n \left| \frac{A_t - F_t}{A_t} \right| \times 100\%$

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解題方法

審題說明：本題題幹描述「過去 6 個月的資料」，表格為「月份 1～6」，但子題敘述中提及「年」（如第 1 年、2 年移動平均），此為國家考試命題時翻譯與筆誤之常見瑕疵，題意中的「年」即指各觀察期別（月份 $t=1 \sim 6$）。同時，題目已明確指定各方法的起始設定，評估績效時依題意以完整 6 期（$t=1 \sim 6$）進行計算。

一、各預測方法之預測值計算（含第 7 個月）

(A) 指數平滑法（$\alpha=0.1$，$F_1 = 46$）

• $F_1 = 46$
• $F_2 = 0.1(46) + 0.9(46) = 46.00$
• $F_3 = 0.1(49) + 0.9(46.00) = 4.9 + 41.4 = 46.30$
• $F_4 = 0.1(53) + 0.9(46.30) = 5.3 + 41.67 = 46.97$
• $F_5 = 0.1(55) + 0.9(46.97) = 5.5 + 42.273 = 47.77$
• $F_6 = 0.1(58) + 0.9(47.773) = 5.8 + 42.996 = 48.80$
• 第 7 個月預測值： $F_7 = 0.1(A_6) + 0.9(F_6) = 0.1(61) + 0.9(48.796) = 6.1 + 43.916 = \mathbf{50.02}$

(B) 指數平滑法（$\alpha=0.7$，$F_1 = 46$）

• $F_1 = 46$
• $F_2 = 0.7(46) + 0.3(46) = 46.00$
• $F_3 = 0.7(49) + 0.3(46.00) = 34.3 + 13.8 = 48.10$
• $F_4 = 0.7(53) + 0.3(48.10) = 37.1 + 14.43 = 51.53$
• $F_5 = 0.7(55) + 0.3(51.53) = 38.5 + 15.459 = 53.96$
• $F_6 = 0.7(58) + 0.3(53.959) = 40.6 + 16.188 = 56.79$
• 第 7 個月預測值： $F_7 = 0.7(A_6) + 0.3(F_6) = 0.7(61) + 0.3(56.788) = 42.7 + 17.036 = \mathbf{59.74}$

(C) 2 期移動平均法（$F_1=46$，$F_2=49$）

• $F_1 = 46.00$
• $F_2 = 49.00$
• $F_3 = \frac{46 + 49}{2} = 47.50$
• $F_4 = \frac{49 + 53}{2} = 51.00$
• $F_5 = \frac{53 + 55}{2} = 54.00$
• $F_6 = \frac{55 + 58}{2} = 56.50$
• 第 7 個月預測值： $F_7 = \frac{A_5 + A_6}{2} = \frac{58 + 61}{2} = \mathbf{59.50}$

(D) 2 期加權移動平均法（權數 0.6、0.4；$F_1=46$，$F_2=49$）

• $F_1 = 46.00$
• $F_2 = 49.00$
• $F_3 = 0.6(49) + 0.4(46) = 29.4 + 18.4 = 47.80$
• $F_4 = 0.6(53) + 0.4(49) = 31.8 + 19.6 = 51.40$
• $F_5 = 0.6(55) + 0.4(53) = 33.0 + 21.2 = 54.20$
• $F_6 = 0.6(58) + 0.4(55) = 34.8 + 22.0 = 56.80$
• 第 7 個月預測值： $F_7 = 0.6(A_6) + 0.4(A_5) = 0.6(61) + 0.4(58) = 36.6 + 23.2 = \mathbf{59.80}$

(E) 迴歸分析法（$Y = 42.6 + 3.2X$）

• $X=1: F_1 = 42.6 + 3.2(1) = 45.80$
• $X=2: F_2 = 42.6 + 3.2(2) = 49.00$
• $X=3: F_3 = 42.6 + 3.2(3) = 52.20$
• $X=4: F_4 = 42.6 + 3.2(4) = 55.40$
• $X=5: F_5 = 42.6 + 3.2(5) = 58.60$
• $X=6: F_6 = 42.6 + 3.2(6) = 61.80$
• 第 7 個月預測值（代入 $X=7$）： $F_7 = 42.6 + 3.2(7) = 42.6 + 22.4 = \mathbf{65.00}$

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二、歷期預測值與誤差指標匯總

1. 歷期預測值對照表

| 期別 $t$ | 實際值 $A_t$ | (A) ES ($\alpha=0.1$) | (B) ES ($\alpha=0.7$) | (C) 2-MA | (

核心觀念

本題評量持續檢視存貨系統（Continuous Review Inventory System，即 $(Q, R)$ 系統）之綜合計算與管理決策能力，涵蓋下列重要公式與觀念：

1. 基本經濟訂購批量（EOQ）模型：

• 年需求量：$D = d \times (\text{每年工作週數})$
• 單位年持有成本：$H = C \times I$（單位進貨成本 $\times$ 年持有成本率）
• 經濟訂購批量：$EOQ = \sqrt{\frac{2DS}{H}}$
• 訂單平均間隔時間（Time Between Orders, TBO）：$TBO = \frac{EOQ}{D} \text{（年）} = \frac{EOQ}{d} \text{（週）}$

2. 隨機前置時間需求與再訂購點（ROP）：

• 前置時間總需求期望值：$d_L = d \times L$
• 前置時間需求標準差：$\sigma_L = \sqrt{L} \times \sigma_d$
• 安全存貨（Safety Stock, $SS$）：$SS = z \times \sigma_L$
• 再訂購點（$R$）：$R = d_L + SS = d \times L + z \times \sqrt{L} \times \sigma_d$

3. 存貨現況（Inventory Position, IP）之訂購決策：

• 存貨現況定義：$IP = \text{現有存貨 (OH)} + \text{在途訂單 (SR)} - \text{缺貨訂單 (BO)}$
• 決策法則：當 $IP \le R$ 時，立即觸發訂購 $Q$ 單位。

4. 存貨總攸關成本（Total Relevant Cost, TRC）與權衡（Trade-off）關係：

• 每年持有成本：$AHC = \frac{Q}{2} \times H$（與批量 $Q$ 成正比）
• 每年訂購成本：$AOC = \frac{D}{Q} \times S$（與批量 $Q$ 成反比）
• 最佳批量特性：在 $Q = EOQ$ 時，$AHC = AOC$；若 $AHC > AOC$，代表目前批量偏大，位於成本曲線最低點右側。

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解題方法

基本參數彙整

• 每週需求量 $d = 18$ 個/週
• 每年營業週數 $= 52$ 週，故年度需求量 $D = 18 \times 52 = 936$ 個/年
• 單位購買成本 $C = 60$ 元/個
• 每次訂購成本 $S = 45$ 元/次
• 年度持有成本率 $I = 20\%$，單位年持有成本 $H = 60 \times 20\% = 12$ 元/個/年
• 前置時間 $L = 3$ 週
• 每週需求標準差 $\sigma_d = 5$ 個/週
• 服務水準對應常態分配值 $z = 1.21$（依題目給定值）

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(一) 經濟訂購批量（EOQ）與訂單平均間隔時間（TBO）

1. 經濟訂購批量（EOQ）： $EOQ = \sqrt{\frac{2DS}{H}} = \sqrt{\frac{2 \times 936 \times 45}{12}} = \sqrt{7020} \approx 83.79 \text{ 個}$ （若存貨不可分割，實務上可取整數 $84$ 個）

2. 訂單平均間隔時間（TBO）：

• 以未取整之理論值計算： $TBO = \frac{EOQ}{d} = \frac{83.7854}{18} \approx 4.65 \text{ 週}$
• 若以取整數 $Q = 84$ 個計算： $TBO = \frac{84}{18} \approx 4.67 \text{ 週}$

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(二) 再訂購點（$R$）

1. 前置時間內之期望需求量（$d_L$）： $d_L = d \times L = 18 \times 3 = 54 \text{ 個}$

2. 前置時間內之需求標準差（$\sigma_L$）： $\sigma_L = \sqrt{L} \times \sigma_d = \sqrt{3} \times 5 \approx 1.73205 \times 5 \approx 8.66 \text{ 個}$

3. 安全存貨（$SS$）： $SS = z \times \sigma_L = 1.21 \times 8.6603 \approx 10.48 \text{ 個}$

4. 再訂購點（$R$）： $R = d_L + SS = 54 + 10.48 = 64.48 \text{ 個}$ （為確保滿足 90% 服務水準，實務上無條件進位或四捨五入取整數為 $65$ 個）

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(三) 出貨 10 個後是否需要再訂購

1. 計算目前的存貨現況（Inventory Position, IP）：

• 原始庫房現有存貨 $OH_0 = 73$ 個
• 出貨 10 個後，現有存貨 $OH = 73 - 10 = 63$ 個
• 題目說明無任何未成交訂單（$SR = 0$）與缺貨訂單（$BO = 0$） $IP = OH + SR - BO = 63 + 0 - 0 = 63 \text{ 個}$

2. 決策判斷：

• 持續檢視系統之訂購法則為：若 $IP \le R$，則提出訂購。
• 目前 $IP = 63$，而再訂購點 $R = 64.48$（或取整數 $65$ 個）。
• 因 $IP = 63 \le R = 64.48$，存貨水準已降至再訂購點以下。
• 結論：需要立即再訂購。

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(四) 批量為 390 個時之成本與批量過大之判斷法

當使用批量 $Q = 390$ 個時：

1. 每年持有成本（AHC）： $AHC = \frac{Q}{2} \times H = \frac{390}{2} \times 12 = 195 \times 12 = 2340 \text{ 元}$

核心觀念

本題屬於服務業作業管理中的勞動力排程（Workforce Scheduling），特別是經典的每週連續休假兩天之循環排程問題（Cyclic Scheduling with Two Consecutive Days Off）。主要涉及以下觀念與公式：

1. 工作負荷與人力需求換算：

• 每日總工作負荷（小時）＝ 個人件數 $\times$ 單位處理時間 ＋ 公司件數 $\times$ 單位處理時間。
• 每日最少出勤人數 $N_t = \left\lceil \frac{\text{每日總工時}}{10\text{ 小時}} \right\rceil$（因每人每天最多工作 10 小時，不足 1 人須無條件進位，以確保當日業務不積壓）。

2. 勞動力需求下限定理（Baker / Tibrewala-Philippe-Browne 定理）：

• 每位員工每週連續工作 5 天、連休 2 天。
• 總人日需求下限：$W \ge \left\lceil \frac{\sum_{t=1}^7 N_t}{5} \right\rceil$。
• 單日尖峰需求下限：$W \ge \max_{t} \{N_t\}$。
• 連續休假可行性約束：在具有固定尖峰日（如週五需求等於總人數）的情況下，必須檢驗休假組合是否能形成可行解（Feasible Schedule）。

3. 工作排程效率（Schedule Efficiency）：

• 時數基礎效率：$\eta_{\text{時數}} = \frac{\text{實際總需求工時}}{\text{排程提供總工時}} \times 100\%$。
• 人日基礎效率：$\eta_{\text{人日}} = \frac{\text{每日需求人數總和}}{\text{排程提供總人日}} \times 100\%$。

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解題方法

(一) 計算至少需要多少人輪值

步驟 1：計算每日總工時與每日需求人數

• 個人件數每件需 $90\text{ 分鐘} = 1.5\text{ 小時}$。
• 公司件數每件需 $4\text{ 小時}$。
• 每人每日工作上限為 $10\text{ 小時}$。

各星期之工時負荷與需求人數換算如下：

• 週一：$24 \times 1.5 + 16 \times 4 = 36 + 64 = 100\text{ 小時} \implies N_1 = \frac{100}{10} = 10\text{ 人}$
• 週二：$14 \times 1.5 + 10 \times 4 = 21 + 40 = 61\text{ 小時} \implies N_2 = \lceil \frac{61}{10} \rceil = 7\text{ 人}$
• 週三：$18 \times 1.5 + 12 \times 4 = 27 + 48 = 75\text{ 小時} \implies N_3 = \lceil \frac{75}{10} \rceil = 8\text{ 人}$
• 週四：$18 \times 1.5 + 15 \times 4 = 27 + 60 = 87\text{ 小時} \implies N_4 = \lceil \frac{87}{10} \rceil = 9\text{ 人}$
• 週五：$10 \times 1.5 + 24 \times 4 = 15 + 96 = 111\text{ 小時} \implies N_5 = \lceil \frac{111}{10} \rceil = 12\text{ 人}$
• 週六：$28 \times 1.5 + 12 \times 4 = 42 + 48 = 90\text{ 小時} \implies N_6 = \frac{90}{10} = 9\text{ 人}$
• 週日：$16 \times 1.5 + 4 \times 4 = 24 + 16 = 40\text{ 小時} \implies N_7 = \frac{40}{10} = 4\text{ 人}$

每週總需求人日數 $\sum_{t=1}^7 N_t = 10 + 7 + 8 + 9 + 12 + 9 + 4 = 59\text{ 人日}$。 每週總需求工時為 $100 + 61 + 75 + 87 + 111 + 90 + 40 = 564\text{ 小時}$。

步驟 2：推導輪值人數下限

1. 依總人日需求之下限：每人每週工作 5 天， $W \ge \left\lceil \frac{59}{5} \right\rceil = \lceil 11.8 \rceil = 12\text{ 人}$
2. 依尖峰單日需求之下限：週五需 12 人， $W \ge \max \{N_t\} = 12\text{ 人}$
3. 檢驗 $W = 12$ 在「連續休假兩天」限制下的可行性：

• 若聘用 12 人，則週五（需求 12 人）全體人員皆必須出勤，即週五不得有任何人休假。
• 連續休假的 7 種組合中，包含週五的「休（四、五）」與「休（五、六）」人數皆必須為 $0$。
• 設其餘休假組合人數為：$x_{67}$ 休（六、日）、$x_{71}$ 休（日、一）、$x_{12}$ 休（一、二）、$x_{23}$ 休（二、三）、$x_{34}$ 休（三、四）。
• 根據出勤約束（休假人數 $\le W - N_t$）：
• 週六休假者：$x_{67} \le 12 - 9 = 3$
• 週一休假者：$x_{71} + x_{12} \le 12 - 10 = 2$
• 週三休假者：$x_{23} + x_{34} \le 12 - 8 = 4$
• 將上述三組無交集的變數相加，總人數上限為： $W = x_{67} + (x_{71} + x_{12}) + (x_{23} + x_{34}) \le 3 + 2 + 4 = 9\text{ 人}$ 此與 $W = 12$ 產生矛盾，證明 12 人在連休兩天限制下無法排成可行班表。

4. 檢驗 $W = 13$： 若增至 13 人，週五可容許 1 人休假，可順利求得整數可行解。因此，滿足連休限制之最少輪值人數為 13 人。

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(二) 設計有效及有效率的工作排程

採用啟發式循環排程法（Tibrewala-Philippe-Browne 法則），指派 13 位員工之連續兩天休假組合，使每日出勤人數滿足且盡量貼合每日需求：

• 休假組合指派：
• 休（日、一）：1 人（員工 1）$\implies$ 出勤：二、三、四、五、六
• 休（一、二）：2 人（員工 2、3）$\implies$ 出勤：三、四、五、六、日
• 休（二、三）：2 人（員工 4、5）$\implies$ 出勤：四、五、六、日、一
• 休（三、四）：3 人（員工 6、7、8）$\implies$ 出勤：五、六、日、一、二

核心觀念

本題屬於專案管理（Project Management）中的經典題型，核心考點涵蓋：

1. 專案網路圖繪製：通常採用節點表示活動法（Activity-on-Node, AON）或箭線表示活動法（Activity-on-Arrow, AOA），依工作之先後關係（Precedence Relationships）建立網路模型。國家考試中以邏輯單純且不需虛工作（Dummy Activity）的 AON 網路圖為主流標準。
2. 關鍵路徑法（Critical Path Method, CPM）：

• 藉由各作業的正常時間（Normal Time）找出各條路徑的總時程。
• 關鍵路徑（Critical Path）：網路中耗時最長之路徑，其長度決定了專案的最早完工時間（專案工期）。關鍵路徑上的作業稱為關鍵作業，其寬裕時間（Slack）為 0。

3. 時程壓縮與成本權衡（Time-Cost Trade-off / Crashing 趕工分析）：

• 最大可壓縮時間：$\Delta t_i = \text{正常時間 } (NT_i) - \text{最低時間 } (MT_i)$。
• 單位時間趕工成本（成本斜率, Cost Slope）： $\text{成本斜率} = \frac{\text{壓縮成本 } (CC_i) - \text{正常成本 } (NC_i)}{\text{正常時間 } (NT_i) - \text{最低時間 } (MT_i)}$
• 最低成本趕工原則：欲縮短專案時程，僅需針對「關鍵路徑」上的作業進行壓縮，且優先選擇單位趕工成本最低者；非關鍵路徑若未超出專案目標工期，則維持正常時間施工，避免產生不必要的趕工費用。

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解題方法

(一) 繪製專案網路圖

依題目給定之各工作先行關係：

• 起始工作：工作 A（無先行工作）
• A 完成後可進行：B、C
• B 完成後可進行：D、E；C 完成後亦為 D 之先行工作（即 D 需等待 B、C 皆完成）
• D 完成後進行：F；E 完成後進行：G
• F 與 G 完成後進行：H
• H 完成後進行：I（專案結束）

採用節點表示活動法（AON）繪製，網路拓撲圖如下：

flowchart LR
 Start([開始]) --> A[工作 A]
 A --> B[工作 B]
 A --> C[工作 C]
 B --> D[工作 D]
 C --> D
 B --> E[工作 E]
 D --> F[工作 F]
 E --> G[工作 G]
 F --> H[工作 H]
 G --> H
 H --> I[工作 I]
 I --> EndNode([結束])

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(二) 正常時間施工之完工時間與總成本

1. 列出專案中所有由起點至終點之路徑，並計算正常工期：

• 路徑 1 ($P_1$)：$\text{A} \rightarrow \text{B} \rightarrow \text{E} \rightarrow \text{G} \rightarrow \text{H} \rightarrow \text{I}$ $\text{時程} = 8 + 14 + 9 + 7 + 11 = 61$ （註：代入數據 $t_A=8, t_B=12, t_E=14, t_G=9, t_H=7, t_I=11 \implies 8 + 12 + 14 + 9 + 7 + 11 = 61$）
• 路徑 2 ($P_2$)：$\text{A} \rightarrow \text{B} \rightarrow \text{D} \rightarrow \text{F} \rightarrow \text{H} \rightarrow \text{I}$ $\text{時程} = 8 + 12 + 9 + 4 + 7 + 11 = 51$
• 路徑 3 ($P_3$)：$\text{A} \rightarrow \text{C} \rightarrow \text{D} \rightarrow \text{F} \rightarrow \text{H} \rightarrow \text{I}$ $\text{時程} = 8 + 5 + 9 + 4 + 7 + 11 = 44$

2. 判定關鍵路徑與專案工期： 專案總工期取各路徑之最大值： $\text{專案完工時間} = \max(61, 51, 44) = 61 \text{ 單位時間}$ 關鍵路徑為：$\text{A} \rightarrow \text{B} \rightarrow \text{E} \rightarrow \text{G} \rightarrow \text{H} \rightarrow \text{I}$。

3. 計算正常總成本： 正常總成本為所有工作之正常成本加總：

$$\begin{aligned} TC_{\text{normal}} &= NC_A + NC_B + NC_C + NC_D + NC_E + NC_F + NC_G + NC_H + NC_I \\ &= 1100 + 1000 + 1200 + 1500 + 1800 + 1400 + 1000 + 700 + 2000 \\ &= 11700 \text{ 元} \end{aligned}$$

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(三) 最短時間完成所需時間、趕工方案與總成本

1. 求最短完工時間： 計算各作業壓縮至「最低所需時間（Minimum Time）」時之各路徑長度：

• 路徑 1 ($P_1$) 極限長度： $t'_A + t'_B + t'_E + t'_G + t'_H + t'_I = 6 + 10 + 10 + 8 + 5 + 8 = 47$
• 路徑 2 ($P_2$) 極限長度： $t'_A + t'_B + t'_D + t'_F + t'_H + t'_I = 6 + 10 + 7 + 3 + 5 + 8 = 39$