115 高普考高考三級 工業工程 生產計劃與管制 考古題詳解

核心觀念

本題考驗損益兩平分析與方案選擇。各方案的利潤為：

$$\text{利潤}=\text{售價}\times\text{需求量}-\text{固定成本}-\text{單位變動成本}\times\text{需求量}$$

令需求量為 $Q$，售價 $p=16$ 美元，則方案 $i$ 的利潤函數為：

$$\pi_i(Q)=(p-v_i)Q-F_i$$

其中 $F_i$ 為固定成本，$v_i$ 為單位變動成本。方案 D 不投資，利潤為 $0$。

解題方法與計算

（一）各方案損益兩平生產量

損益兩平時，總收入等於總成本：

$$pQ=F+vQ$$

整理得損益兩平生產量：

$$Q_{\text{BE}}=\frac{F}{p-v}$$

• 方案 A：

$$Q_{\text{BE},A}=\frac{1{,}000}{16-6}=100$$

• 方案 B：

$$Q_{\text{BE},B}=\frac{1{,}500}{16-4}=125$$

• 方案 C：

$$Q_{\text{BE},C}=\frac{2{,}100}{16-2}=150$$

因此，A、B、C 的損益兩平生產量分別為 100、125、150 單位。

（二）以利潤最大為原則的需求量範圍

先列出各方案利潤函數：

$$\begin{aligned} \pi_A(Q)&=(16-6)Q-1{,}000=10Q-1{,}000\\ \pi_B(Q)&=(16-4)Q-1{,}500=12Q-1{,}500\\ \pi_C(Q)&=(16-2)Q-2{,}100=14Q-2{,}100\\ \pi_D(Q)&=0 \end{aligned}$$

以利潤相等的交點判斷方案切換處：

• D 與 A：

$$10Q-1{,}000=0 \quad\Rightarrow\quad Q=100$$

• A 與 B：

$$10Q-1{,}000=12Q-1{,}500 \quad\Rightarrow\quad Q=250$$

• B 與 C：

$$12Q-1{,}500=14Q-2{,}100 \quad\Rightarrow\quad Q=300$$

核心觀念

本題考查三種需求預測方法及預測誤差的衡量：

• $n$ 期移動平均法：以最近 $n$ 期的實際需求平均值，作為下一期預測值。
• 指數平滑法：以平滑係數 $\alpha$ 加權最新一期實際需求與前一期預測值。
• 平均絕對百分比誤差（MAPE）：先計算各期絕對百分比誤差（APE），再取平均。

各期 APE 與 MAPE 的公式如下：

$$APE_t=\left|\frac{A_t-F_t}{A_t}\right|\times 100\%$$ $$MAPE=\frac{\sum APE_t}{n}$$

其中，$A_t$ 為第 $t$ 期實際需求，$F_t$ 為第 $t$ 期預測需求，$n$ 為納入計算的期數。

（一）3 期移動平均法

解題方法

第 $t$ 期預測值取前 3 期實際需求的平均。第 7 期預測因此使用第 4 至第 6 期的需求：

$$F_7=\frac{A_4+A_5+A_6}{3} =\frac{100+105+100}{3} =101.67\text{ 件}$$

計算第 4 至第 6 期的 MAPE 時，各期預測值分別使用該期之前的 3 期實際需求：

期別	預測值 $F_t$	APE 計算	APE
4	$(84+92+90)/3=88.67$	$	100-88.67
5	$(92+90+100)/3=94$	$	105-94
6	$(90+100+105)/3=98.33$	$	100-98.33

依題意，先將各期 APE 四捨五入至小數點後第 2 位，再計算平均：

$$MAPE=\frac{11.33\%+10.48\%+1.67\%}{3} =7.83\%$$

（二）$\alpha=0.5$ 的指數平滑法

解題方法

指數平滑法的遞迴公式為：

$$F_{t+1}=\alpha A_t+(1-\alpha)F_t$$

以第一期實際需求作為第二期預測的初始值，即 $F_2=A_1=84$；再依公式逐期計算：

$$\begin{aligned} F_2&=84\\ F_3&=0.5(92)+0.5(84)=88\\ F_4&=0.5(90)+0.5(88)=89\\ F_5&=0.5(100)+0.5(89)=94.5\\ F_6&=0.5(105)+0.5(94.5)=99.75\\ F_7&=0.5(100)+0.5(99.75)=99.875 \end{aligned}$$

因此，第 7 期預測需求為：

$$F_7=99.875\approx99.88\text{ 件}$$

第 2 至第 6 期的 APE 如下：

期別	預測值 $F_t$	APE 計算	APE

核心觀念

本題考查裝配線平衡中的週期時間與理論最小工作站數。總作業時間為 $T=10$ 分鐘，作業數 $n=13$，每日可用時間 $A=480$ 分鐘。

• 最小週期時間：所有作業都各自配置一站時，週期時間至少等於最長作業時間。
• 最大週期時間：所有作業配置在同一站時，週期時間等於總作業時間。
• 每日產出量：每日可用時間除以週期時間。
• 理論最小工作站數：總作業時間除以週期時間後，無法配置部分工作站，因此須向上取整。

解題方法

最長作業時間為作業 7 或作業 11 的 $1.2$ 分鐘，因此：

$$C_{\min}=\max(t_i)=1.2\text{ 分鐘}$$

所有作業合計 $10$ 分鐘，因此：

$$C_{\max}=\sum_{i=1}^{13}t_i=10\text{ 分鐘}$$

（一）最小及最大週期時間下的每日產出

每日產出量公式為：

$$Q=\frac{A}{C}$$

最小週期時間下：

$$Q_{\max}=\frac{480}{1.2}=400\text{ 單位／日}$$

最大週期時間下：

$$Q_{\min}=\frac{480}{10}=48\text{ 單位／日}$$

（二）每日最大產出率下的理論最小工作站數

每日最大產出率對應最小週期時間 $C_{\min}=1.2$ 分鐘。理論最小工作站數為：

核心觀念

本題考查獨立需求存貨管理中的再訂購點（ROP）、經濟訂購量（EOQ）、庫存位置，以及數量折扣下的訂購量選擇。

• 再訂購點：前置時間內的需求量，加上安全存量。本題未提供安全存量或需求波動資料，依零安全存量計算。
• 經濟訂購量：平衡訂購成本與持有成本的訂購量。
• 庫存位置：現有庫存加上在途量，再扣除延遲訂單；是否下單應以庫存位置和 ROP 比較。
• 數量折扣：比較折扣帶來的採購成本節省，與訂購、持有成本的變化。

（一）再訂購點 ROP

每日需求量為 10 個，前置時間為 4 天，因此前置時間需求量為：

$$ROP = dL = 10 \times 4 = 40 \text{ 個}$$

題目未提供安全存量資料，故以安全存量為 0 計算。

（二）經濟訂購量 EOQ

先將需求量與持有成本換算為相同期間。每月 30 天，每月需求量為：

$$D_m = 10 \times 30 = 300 \text{ 個／月}$$

每月持有成本為每個 1 元，訂購成本為每次 384 元。套用 EOQ 公式：

$$EOQ = \sqrt{\frac{2D_mS}{H_m}} = \sqrt{\frac{2 \times 300 \times 384}{1}} = \sqrt{230{,}400} = 480 \text{ 個}$$

因此，EOQ 為 480 個。進貨單價不直接代入本題的 EOQ 計算，因題目已給定每個每月 1 元的持有成本。

（三）目前是否應立即下訂單

判斷是否下單，要比較庫存位置與 ROP，而非只看現有庫存。

$$\text{庫存位置} = \text{現有庫存}+\text{在途訂單}-\text{延遲訂單}$$

題目所述 20 個在途訂單將於今日營業前入庫，故入庫後現有庫存為：

$$10+20=30 \text{ 個}$$

此時在途訂單已入庫，沒有其他在途訂單，且無延遲訂單，因此庫存位置為 30 個。由於：

$$30 < ROP\ 40$$

故目前應立即下訂單。題目未另要求本小題以 EOQ 作為下單數量，因此若採 EOQ 補貨，每次下單 480 個。

（四）訂購量須為 200 的倍數，且可享 4% 折扣

折後單價為 480 元。題目沒有明列取得折扣的最低訂購量；以下依「訂購 200 個以上即可享折扣」作為計算假設。若供應商規定的門檻高於此數，仍須依實際門檻重新比較。