115 高普考高考三級 工業工程 工程經濟學 考古題詳解

核心觀念

本題考查變動利率下的現值計算與等值年金換算。每筆費用都發生在特定年度，須依該年度起至第 0 年的各期利率逐期折現，不能將不同年度的利率簡單視為單一利率。

第 $t$ 年費用折算至第 0 年的現值為：

$$P_t=\frac{C_t}{\prod_{k=1}^{t}(1+i_k)}$$

其中 $C_t$ 是第 $t$ 年費用，$i_k$ 是第 $k$ 年適用利率。第 0 年費用不需折現。

解題方法

（一）計算第 0 年總現值

先依各年利率，列出從第 0 年累積至該年度的折現因子：

• 第 1、2 年：每年 $4\%$
• 第 3、4 年：每年 $5\%$
• 第 5、6 年：每年 $8\%$

因此，各年費用折算至第 0 年如下：

年度	費用（萬元）	折現計算	第 0 年現值（萬元）
0	500	$500$	500.0000
1	600	$\dfrac{600}{1.04}$	576.9231
2	800	$\dfrac{800}{(1.04)^2}$	739.6456
3	1,100	$\dfrac{1,100}{(1.04)^2(1.05)}$	1,005.1986
4	1,200	$\dfrac{1,200}{(1.04)^2(1.05)^2}$	1,044.3621
5	800	$\dfrac{800}{(1.04)^2(1.05)^2(1.08)}$	644.6680
6	1,000	$\dfrac{1,000}{(1.04)^2(1.05)^2(1.08)^2}$	746.1435

總現值為：

$$\begin{aligned} P_0 &=500+\frac{600}{1.04} +\frac{800}{(1.04)^2} +\frac{1,100}{(1.04)^2(1.05)}\\ &\quad+\frac{1,200}{(1.04)^2(1.05)^2} +\frac{800}{(1.04)^2(1.05)^2(1.08)}\\ &\quad+\frac{1,000}{(1.04)^2(1.05)^2(1.08)^2}\\ &=5,256.9409\text{ 萬元} \end{aligned}$$

核心觀念

本題考查年金終值及等比遞增年金終值。假設存款均在每年年初存入，且退休金計算至第 20 年末；因此「自現在起」的第一筆存款立即存入，會比一般期末存款多累積一年利息。

令年利率 $i=10\%=0.10$，期數 $n=20$。年初等額存款的終值為：

$$F=A\left(\frac{(1+i)^n-1}{i}\right)(1+i)$$

其中括號內為普通年金終值因子，最後乘上 $(1+i)$，是因為每筆款項在年初存入。

解題方法

（一）方案一：每年存入 20 萬元

每年年初存入 $A=200{,}000$ 元，共存 20 次，第一筆在現在存入，最後一筆在第 19 年年初存入。

$$\begin{aligned} F_1 &=200{,}000\left(\frac{(1.10)^{20}-1}{0.10}\right)(1.10)\\ &=200{,}000(57.275004)(1.10)\\ &\approx 12{,}600{,}501\text{ 元} \end{aligned}$$

因此，方案一退休時約有 1,260.05 萬元。

（二）方案二：前 10 年每年存入 10 萬元，後 10 年逐年增加 20%

前 10 年年初各存 $100{,}000$ 元，這 10 筆款項先累積至第 10 年末，再累積至第 20 年末：

$$\begin{aligned} F_{\text{前10年}} &=100{,}000\left(\frac{(1.10)^{10}-1}{0.10}\right)(1.10)(1.10)^{10}\\ &\approx 2{,}853{,}117\text{ 元} \end{aligned}$$

後 10 年的存款依題意逐年增加 20%。第 11 年年初存入 $120{,}000$ 元，第 12 年年初存入 $144{,}000$ 元，依此類推，第 20 年年初存入

核心觀念

本題比較三個互斥公共設施方案的長期成本，利率為 $i=5\%$。成本以正值表示，計算出的成本愈低，方案愈佳。

資本化成本（capitalized cost, CC）是將永久服務期間內所有成本折算至現在的現值。年金值（annual worth, AW）則是將方案成本換算為每年等值成本；在相同服務需求下，年等值成本最低者最佳。

常用因子如下：

$$(P/A,i,n)=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i},\qquad (A/P,i,n)=\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}$$

永久等額年成本 $A$ 的現值為 $A/i$；每隔 $k$ 年發生一次、每次金額為 $R$ 的永久修理費，其現值為 $R/[(1+i)^k-1]$。

解題方法

方案 $X$、$Y$ 為有限壽命設備，須假設設備在壽命結束時以相同條件更新，才能提供永久服務。因此，先求一個生命週期的淨現值，再除以一個週期的現值因子 $1-(1+i)^{-n}$，求其資本化成本。方案 $Z$ 可永久使用，初始成本、永久年成本及週期修理費直接折算至現值。

年金值方面，將各方案的永久成本換算成每年等值成本。$X$、$Y$ 使用壽命週期的年金值公式；$Z$ 則將永久成本現值乘以利率 $i$。

（一）資本化成本

方案 $X$

每年操作維護及零件更換成本合計為：

$$200{,}000+400{,}000=600{,}000$$

20 年期末殘值為 $10{,}000{,}000\times 10\%=1{,}000{,}000$。單一生命週期的淨現值為：

$$P_X=10{,}000{,}000+600{,}000(P/A,5\%,20) -1{,}000{,}000(P/F,5\%,20)$$

資本化成本需納入每 20 年更新一次的後續週期：

$$CC_X=\frac{P_X}{1-(1.05)^{-20}}$$

代入 $(P/A,5\%,20)=12.4622$、$(P/F,5\%,20)=0.37689$：

$$CC_X =\frac{10{,}000{,}000+600{,}000(12.4622)-1{,}000{,}000(0.37689)} {1-(1.05)^{-20}} \approx \$18{,}064{,}126$$

方案 $Y$

每年操作維護成本為 $320{,}000$，40 年期末殘值為 $20{,}000{,}000\times5\%=1{,}000{,}000$。單一生命週期淨現值為：

$$P_Y=20{,}000{,}000+320{,}000(P/A,5\%,40) -1{,}000{,}000(P/F,5\%,40)$$

納入每 40 年更新的後續週期：

$$CC_Y=\frac{P_Y}{1-(1.05)^{-40}}$$

代入 $(P/A,5\%,40)=17.1591$、$(P/F,5\%,40)=0.14205$：

$$CC_Y =\frac{20{,}000{,}000+320{,}000(17.1591)-1{,}000{,}000(0.14205)} {1-(1.05)^{-40}} \approx \$25{,}389{,}401$$

方案 $Z$

防護設施可永久使用，初始成本直接列入資本化成本。永久年操作維護費現值為 $50{,}000/0.05$。每 10 年修理一次，第一次修理在第 10 年，其後每 10 年一次，形成永久等間隔成本序列：

核心觀念

直線法每年提列相同金額的折舊：

$$D=\frac{C-S}{n}$$

其中 $D$ 為每年折舊額、$C$ 為原始成本、$S$ 為預設殘值、$n$ 為使用年限。

第 $t$ 年底的帳面價值為：

$$BV_t=C-tD$$

第 $t$ 年折舊率以該年折舊額除以該年期初帳面價值計算：

$$d_t=\frac{D}{BV_{t-1}}$$

雙倍餘額遞減法則以直線法折舊率的兩倍，乘上各年期初帳面價值計算折舊；計算時不得使帳面價值低於殘值。

（一）原始成本、預設殘值及第 5 年折舊率

已知 $D=16{,}000$、$BV_5=88{,}000$、$n=10$。

第 5 年底帳面價值等於原始成本扣除前 5 年累計折舊：

$$88{,}000=C-5(16{,}000)$$

因此：

$$C=88{,}000+80{,}000=\boxed{168{,}000}$$

10 年的累計折舊為：

$$10(16{,}000)=160{,}000$$

故預設殘值為：

$$S=C-10D=168{,}000-160{,}000=\boxed{8{,}000}$$

第 5 年期初帳面價值是第 4 年底帳面價值：

$$BV_4=C-4D=168{,}000-64{,}000=104{,}000$$

所以第 5 年折舊率為：

$$d_5=\frac{16{,}000}{104{,}000} =0.153846\ldots \approx\boxed{15.38\%}$$

（二）改採雙倍餘額遞減法

雙倍餘額遞減法的年折舊率為：

$$r=2\left(\frac{1}{n}\right) =2\left(\frac{1}{10}\right) =20\%$$

逐年以期初帳面價值乘以 $20\%$ 計算折舊：

年度	期初帳面價值	折舊額	期末帳面價值
第 1 年	$168{,}000$	$33{,}600$	$134{,}400$