110 高普考高考三級 工業工程 工程經濟學 考古題詳解

核心觀念

本題考查等額年金現值。投資成本 $500$ 是現在支出，專案每年收益相同，且公司要求年報酬率為 $5\%$，因此應計算能使 4 年收益的現值恰好等於 $500$ 的年收益額。

等額年金現值公式為：

其中，$P$ 為現值、$A$ 為每年收益、$i$ 為每期利率、$n$ 為期數。

解題方法

將題目數值代入公式，令投資成本現值等於 4 年收益的現值：

因此：

核心觀念

本題考查現值法與永久年金、等間隔永久支出的現值計算。道路可永久使用，因此甲、乙兩案的年限不同，不宜只比較各自在興建期內的支出；應將每案所有未來成本折算至共同基準時點「現在」，再比較總現值。現值較低者為較佳方案。

設利率 $i=3\%=0.03$，折現因子為 $v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1.03}$。第 $t$ 年年底的支出折算至現在，乘以 $v^t$；第 $t$ 年年初的支出則發生於 $t-1$ 年年底，乘以 $v^{t-1}$。

永久年金每期支付 $A$、第一筆在第 $n$ 年年底時，其現值為：

因為這是一串從第 $n$ 年年底開始的永久年金，其現值可先折算到第 $n-1$ 年年底，再折回現在。

解題方法

所有金額均視為成本，以現值加總。甲案的整建費與維修費分開計算；乙案的維修費則為每兩年支付一次的永久等比級數。

甲案現值

興建期為兩年，每年年初投資 $30{,}000$，分別發生於 $t=0$ 與 $t=1$：

距今 20 年後支付整建費 $10{,}000$，折現 20 年：

維修成本自第 21 年年底起，每年年底支付 $1{,}000$，即第一筆在 $t=21$，之後每年支付一次。先求第 20 年年底的永久年金現值，再折回現在：

因此甲案總現值為：

乙案現值

核心觀念

最經濟服務壽命（economic service life）是使設備在各候選使用年限下的等值年值（annual worth, AW）最大的年限。這題以公司立場評估設備的年度淨經濟效益，須同時納入：

• 購置成本：期初支出 $500$ 萬元。
• 每年稅後淨收入：各年年末取得。
• 年底市場價值：設備在候選年限末出售可回收的金額。
• 利率：$i=10\%$。

若使用 $n$ 年，先將各年收入與第 $n$ 年市場價值折算為現值，再扣除購置成本，最後換算為等值年值：

其中 $R_t$ 為第 $t$ 年稅後淨收入，$S_n$ 為第 $n$ 年底市場價值。選擇 $AW_n$ 最大的使用年限。

解題方法

題目提供第 $1$ 至第 $5$ 年的收入與市場價值，因此比較使用 $1$ 至 $5$ 年的候選方案。先用 $10\%$ 折現，再將各方案的淨現值換算成年值。常用因子為：

例如使用 $3$ 年時，將前三年收入及第 $3$ 年底市場價值折現：

再換算為年值：

核心觀念

本題比較工程投資方案的兩種經濟評估方法：淨現值法與報酬率法。兩者都將不同時點的現金流量納入考量，並以貨幣時間價值為基礎；差異在於淨現值法以事先指定的最低可接受報酬率折算現值，報酬率法則求出使方案淨現值恰為零的利率。

設初始投資發生於第 $0$ 期，之後各期淨現金流量為 $C_t$，分析期間為 $n$，最低可接受報酬率為 $i$：

其中初始投資通常為負值。方案的報酬率 $r$ 則滿足：

若現金流量包括收入、支出或殘值，應先以一致的立場整理為各期淨現金流量，再進行分析。

解題方法

一、淨現值（Net Present Worth, NPW）的經濟意義

淨現值是將投資方案整個分析期間的淨現金流量，依指定的利率折算至基準時點後加總。它表示在考慮貨幣時間價值及最低可接受報酬率後，方案能增加或減少多少現值財富。

• $NPW>0$：方案除回收投資並達到指定報酬率外，尚有正的現值增益，經濟上可接受。
• $NPW=0$：方案恰好達到指定報酬率，對應的現值增益為零。
• $NPW<0$：方案未達指定報酬率，經濟上不可接受。

因此，NPW 是以貨幣金額表示的價值增減；比較互斥方案時，若分析期間與評估基準一致，通常選擇 NPW 較大的方案。

二、報酬率（Rate of Return, ROR）的經濟意義

報酬率是使方案所有現金流量折算後的淨現值等於零的折現率。它表示該方案現金流量所隱含的報酬水準，通常以百分比表示。

將方案的報酬率 $r$ 與最低可接受報酬率 $MARR$ 比較：

• $r>MARR$：方案達到的報酬率高於最低要求，通常可接受。
• $r=MARR$：方案恰好符合最低要求。
• $r<MARR$：方案未達最低要求，通常不可接受。