112 高普考高考三級 工業工程 工程經濟學 考古題詳解

核心觀念

本題考的是工程經濟學中「實質利率（real interest rate, $i'$）與市場（名目）利率（market interest rate, $i$）的區分，以及不同幣值基礎（constant-worth dollars vs. then-current dollars）現金流該用哪一種利率折現」。

必背關係式（費雪方程式，Fisher's equation）：

$i = i' + f + i' \cdot f$

其中：

• $i$：市場利率（名目利率，已內含通膨效應）
• $i'$：實質利率（剔除通膨效應後的真實報酬率）
• $f$：一般物價膨脹率

判斷準則（本題關鍵）：

1. 若現金流是以「未來實際支付金額」表示（then-current dollars／actual dollars），要折現求現值時，須用市場利率 $i$。
2. 若現金流是以「今日幣值／不考慮通膨的實質金額」表示（constant-worth dollars），要折現求現值時，直接用**實質利率 $i'$**即可，不需要再把通膨率併進去。

本題明白寫出「在不考慮通貨膨脹下，每年所需的燃料成本為 $1,500,000$」，這句話就是在告訴考生：這 $1{,}500{,}000$ 是「實質（constant-worth）金額」——也就是說，扣除通膨影響後，該廠每年實際耗用的燃料在「購買力」上恆等於今日的 $1,500,000$ 元。因此本題屬於「實質金額 + 實質利率」的組合，應直接用 $i'=6\%$ 折現，通膨率 $f=5\%$ 在此純屬多餘資訊（用來測試考生是否會誤用費雪公式）。

解題方法

步驟 1：確認現金流性質

每年燃料成本 $A = 1,500,000$（已宣告為不考慮通膨之實質金額），且逐年金額相同，構成一個 $n=5$ 年的等額年金（uniform series）。

步驟 2：選擇折現利率

因現金流為實質金額，依前述準則，直接使用實質利率 $i' = 6\%$，套用年金現值公式：

$P = A \times (P/A,\,i',\,n) = A \times \frac{(1+i')^n - 1}{i'(1+i')^n}$

步驟 3：代入數值計算

先求 $(1+0.06)^5$：

$(1.06)^5 = 1.3382256$

代入年金現值因子：

$(P/A,\,6\%,\,5) = \frac{1.3382256 - 1}{0.06 \times 1.3382256} = \frac{0.3382256}{0.0802935} \approx 4.2124$

因此：

$P = 1,500,000 \times 4.2124 = 6,318,600 \ \text{（元）}$

步驟 4：交叉驗證（用名目法反推，確認方法正確）

若堅持要用「市場利率」，須先把每年的實質金額轉成當年實際支付的名目金額（因為實質購買力不變，價格隨通膨上漲，故第 $n$ 年名目金額

核心觀念

本題屬於**「純成本型方案」之經濟比較**（Cost Alternative Comparison），考的是：

1. 等額年金法（Annual Worth Method, AW）／等值年成本法（Equivalent Uniform Annual Cost, EUAC）：把不同時點、不同型態（一次性支出＋分期付款）的現金流，統一換算成「每年等值」的金額，再比較大小。
2. 資本回收因子（Capital Recovery Factor）： $\left(\dfrac{A}{P},i,n\right)=\dfrac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}$
3. 折現率的選用原則：題目出現兩個利率——7% 是分期付款的「貸款利率」，只用來決定「每年要繳多少分期款」；10% 是公司的 MARR，是評估方案經濟價值時真正該用的折現率。這是本題最大的陷阱：絕對不能用 7% 來比較兩方案優劣。

由於兩方案都只有「支出」、沒有「收益」，決策準則為：

$\text{選擇 } EUAC \text{（年成本）較小的方案}$

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解題方法

Step 1：確定方案 A（分期付款）的現金流

• 機器總價 $50{,}000$，頭期款 $5{,}000$（$t=0$ 支出）
• 尚欠金額：$50{,}000-5{,}000=45{,}000$，以 $7\%$、分 5 年等額攤還

先求每年分期付款金額 $A_1$：

$A_1=45{,}000\times\left(\dfrac{A}{P},7\%,5\right)$

計算 $(1.07)^5=1.40255$，故

$\left(\dfrac{A}{P},7\%,5\right)=\dfrac{0.07\times1.40255}{1.40255-1}=0.24389$

$A_1=45{,}000\times0.24389\approx\$10{,}975.05\ \text{（第1~5年，每年）}$

所以方案 A 的現金流為：

• $t=0$：支出 $5{,}000$
• $t=1\sim5$：每年支出 $10{,}975.05$

Step 2：將方案 A 換算成以 MARR $=10\%$ 計算的年成本（EUAC）

關鍵：頭期款發生在 $t=0$，必須用 MARR（10%）換算成 5 年期的年值，不能沿用 7%。

$\left(\dfrac{A}{P},10\%,5\right)=\dfrac{0.10\times(1.10)^5}{(1.10)^5-1}=\dfrac{0.10\times1.61051}{0.61051}=0.26380$

頭期款年化：

$5{,}000\times0.26380=\$1{,}318.98$

方案 A 之總年成本：

$EUAC_A=1{,}318.98+10{,}975.05=\boxed{\$12{,}294.03}$

Step 3：計算方案 B（現金購買）的年成本

現金購買 $46{,}000$，一次於 $t=0$ 支出，同樣用 MARR 換算成 5 年期年值：

核心觀念

本題是典型的「独立方案比較 (Mutually Exclusive Alternatives)——等值年金法 (Annual Worth, AW)」題型，涉及以下工程經濟核心工具：

1. 資本回收因子 (Capital Recovery Factor, A/P)：把一次性的最初投資 $P$ 換算成 $n$ 年內等值的年金支出，公式為

$$(A/P,i,n)=\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}$$

2. 等值年成本 (Equivalent Uniform Annual Cost, EUAC)：

$$EUAC = P\times(A/P,i,n) + \text{每年O\&M成本}$$

3. 淨年值 (Net Annual Worth, NAW)：

$$NAW = \text{年收入} - EUAC$$

4. 比較法則：當兩方案的年限相同（本題皆為 15 年）、且兩方案的收入相同時，選擇方案的準則等價於「選 EUAC 較低者」或「選 NAW 較高者」，兩種判準結果必然一致（因為收入項會互相抵消）。

本題的關鍵是：市府是「必須執行」的公共建設（垃圾處理系統一定要蓋一個），因此重點不在於「NAW 是否大於零」，而在於「兩方案中選 NAW 較大（虧損較小）的一個」。

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解題方法

步驟一：求資本回收因子 $(A/P,8\%,15)$

先求 $(1.08)^{15}$：

$$(1.08)^{15} = 3.1722$$

代入資本回收因子公式：

$$(A/P,8\%,15)=\frac{0.08\times3.1722}{3.1722-1}=\frac{0.253776}{2.1722}=0.11683$$

（若查工程經濟利率表，$(A/P,8\%,15)=0.1168$，與手算一致。）

步驟二：分別計算兩系統的等值年成本 (EUAC)

設計 A：

• 資本回收（將 $400{,}000$ 攤成 15 年年金）：

$$400{,}000\times0.11683=46{,}732$$

• 加上每年 O&M 成本 $50{,}000$：

$$EUAC_A = 46{,}732+50{,}000=96{,}732$$

設計 B：

• 資本回收（將 $300{,}000$ 攤成 15 年年金）：

$$300{,}000\times0.11683=35{,}049$$

• 加上每年 O&M 成本 $80{,}000$：

$$EUAC_B = 35{,}049+80{,}000=115{,}049$$

步驟三：加入每年收入，求淨年值 (NAW)

兩系統每年皆向居民收取 $85{,}000$，此收入項對兩方案相同，理論上可以直接省略比較（只比 EUAC 即可判斷優劣），但為呈現完整分析仍列出：

$$NAW_A = 85{,}000-96{,}732=-11{,}732$$ $$NAW_B = 85{,}000-115{,}049=-30{,}049$$

步驟四：決策判斷

比較兩者：

$$NAW_A(-11{,}732) > NAW_B(-30{,}049)$$

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核心觀念

本題考的是資產替換分析（Replacement Analysis）搭配研究期間法（Study Period Comparison）與現值法（Present Worth Method, PW），核心觀念有三個：

1. 沉沒成本原則（Sunk Cost）：現行資產（defender）2 年前的購買價 $16,000 屬於過去已發生的成本，與未來決策無關，**不可**用作現值分析的期初投入。應改用**目前市價$12,000** 作為「繼續使用現行資產」所付出的機會成本（因為若不繼續使用，此刻即可變現 $12,000）。

2. 研究期間法（Common Study Period）：defender 剩餘服務年限 6 年，恰好等於題目指定的研究期間；challenger 經濟年限只有 3 年，題目已明示「未來每 3 年仍以相同的新資產更換」，即**可重複性假設（Repeatability Assumption）**成立，challenger 在 6 年研究期間內須連續更換 2 次（第 0～3 年、第 3～6 年），現金流型態完全相同。

3. 現值法比較準則：兩方案現金流全部換算到期初（t=0）的現值後比較，PW 值（皆為負，代表成本）較大（較不負）者為優。

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解題方法

Step 1：列出兩方案現金流

方案 A（保留 defender，6 年）

• 期初機會成本：$-12,000$（用市價，非原始成本）
• 每年作業成本：$-4,000$（第 1～6 年）
• 第 6 年底殘值：$+2,000$

方案 B（更換 challenger，6 年＝2 個 3 年週期）

• 每個週期：期初成本 $-10,000$、年作業成本 $-2,000$（3 年）、第 3 年底殘值 $+4,000$
• 第二週期在時間軸上整組平移到 t = 3，需以 $(P/F, 11\%, 3)$ 折回 t = 0

Step 2：查（或算）複利因子（$i=11%