110 高普考高考三級 工業工程 工程統計學與品質管制 考古題詳解

110 年・高普考・高考三級・工業工程
試題代碼 工程統計學與品質管制

第 一 題20 分

在某次考試中，學生 A 的統計科目成績為 63 分，微積分科目成績為 85 分。而統計科目全班 50 人的平均分數為 51 分，標準差 9 分；微積分科目全班 50 人的平均分數為 72 分，標準差為 11 分。兩科目考試的考生為同一群人，請問同學 A 在那一科表現較好？其原因為何？

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核心觀念

這題考比較不同科目中的相對表現。兩科的平均數與標準差不同，不能只比較原始分數；應將各科成績轉換成標準分數（zz 分數），衡量成績高於各科平均數幾個標準差。

標準分數公式為：

z=x−μσz=\frac{x-\mu}{\sigma}

其中 xx 為個人成績、μ\mu 為該科平均數、σ\sigma 為該科標準差。zz 值愈大，表示相對於該科全班的表現愈好。

解題方法

統計科目中，A 的成績比平均數高：

63−51=1263-51=12

因此其標準分數為：

z統計=63−519=129≈1.33z_{\text{統計}}=\frac{63-51}{9} =\frac{12}{9} \approx 1.33

微積分科目中，A 的成績比平均數高：

85−72=1385-72=13

因此其標準分數為：

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第 二 題20 分

某工廠宣稱其生產線上之某機台不良率小於 5%。某天從該機台隨機抽樣 100 個產品，檢測後其中有 4 個不良品。根據此抽樣結果，可否支持工廠的宣稱為真？（α=0.01\alpha=0.01）

其中，Z0.005=2.576Z_{0.005}=2.576、Z0.01=2.326Z_{0.01}=2.326、Z0.025=1.96Z_{0.025}=1.96、Z0.05=1.645Z_{0.05}=1.645、Z0.1=1.282Z_{0.1}=1.282。

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核心觀念

本題考驗單一母體不良率的假設檢定。令 pp 為該機台的實際不良率，工廠宣稱 p<0.05p<0.05，因此將宣稱列為對立假設：

H0:p≥0.05,H1:p<0.05.H_0:p\geq 0.05,\qquad H_1:p<0.05.

這是顯著水準 α=0.01\alpha=0.01 的左尾檢定。樣本數為 n=100n=100，觀察到不良品 x=4x=4 個，樣本不良率為 p^=4/100=0.04\hat p=4/100=0.04。

解題方法

以虛無假設邊界值 p0=0.05p_0=0.05 計算比例檢定統計量：

Z=p^−p0p0(1−p0)/n=0.04−0.050.05(0.95)/100≈−0.459.Z=\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} =\frac{0.04-0.05}{\sqrt{0.05(0.95)/100}} \approx -0.459.
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第 三 題20 分

若從某一生產線上選取 10 個產品進行產品壽命測試，其數據如下（單位：小時）：

60, 55, 58, 72, 81, 56, 62, 68, 53, 6160,\ 55,\ 58,\ 72,\ 81,\ 56,\ 62,\ 68,\ 53,\ 61

假設產品壽命呈現常態分配，試求其產品壽命平均數之 95% 信賴區間。

其中，t0.025(9)=2.262t_{0.025}(9)=2.262、t0.025(10)=2.228t_{0.025}(10)=2.228、t0.05(9)=1.833t_{0.05}(9)=1.833、t0.05(10)=1.812t_{0.05}(10)=1.812、Z0.025=1.96Z_{0.025}=1.96、Z0.01=2.326Z_{0.01}=2.326、Z0.05=1.645Z_{0.05}=1.645、Z0.1=1.282Z_{0.1}=1.282。

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核心觀念

母體壽命假設為常態分配，但母體標準差未知，且樣本數只有 n=10n=10，因此以樣本標準差 ss 估計母體標準差，使用自由度 n−1=9n-1=9 的 tt 分配建立母體平均數 μ\mu 的雙尾 95% 信賴區間：

xˉ±tα/2(n−1)sn,α=0.05\bar{x}\pm t_{\alpha/2}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}},\qquad \alpha=0.05

解題方法

樣本資料為 60,55,58,72,81,56,62,68,53,6160,55,58,72,81,56,62,68,53,61 小時。先計算樣本平均數：

xˉ=60+55+58+72+81+56+62+68+53+6110=62610=62.6\bar{x}=\frac{60+55+58+72+81+56+62+68+53+61}{10} =\frac{626}{10}=62.6

再計算離均差平方和：

∑i=110(xi−xˉ)2=718.4\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2=718.4

樣本變異數與樣本標準差為：

s2=718.410−1=79.8222,s=79.8222≈8.9343s^2=\frac{718.4}{10-1}=79.8222,\qquad s=\sqrt{79.8222}\approx 8.9343
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第 四 題20 分

若一單次抽樣計畫為 n=80n=80、c=2c=2、r=3r=3，允收水準（Acceptable Quality Levels, AQL）設定為 0.015，拒收水準（Lot Tolerance Percent Defective, LTPD）設為 0.05 時，試回答下列問題：

(一) 當不良率為 AQL 時，其允收機率 PaP_a 為何？（以 Poisson 求之）（10 分）

(二) 當不良率為 LTPD 時，其允收機率 PaP_a 為何？（以 Poisson 求之）（10 分）

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核心觀念

單次抽樣計畫以樣本不良品數 XX 是否超過允收數來決定批次處置。本題允收數為 c=2c=2，因此樣本中不良品數不超過 22 時允收；拒收數 r=3r=3 表示出現 33 件不良品即拒收。

以 Poisson 分配近似二項分配時，若樣本數為 nn、不良率為 pp，令

X∼Poisson⁡(λ),λ=np.X\sim\operatorname{Poisson}(\lambda),\qquad \lambda=np.

允收機率為

Pa=P(X≤c)=∑x=0ce−λλxx!.P_a=P(X\le c)=\sum_{x=0}^{c}e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}.

解題方法

本題 n=80n=80、c=2c=2，故在兩個品質水準下，皆計算 P(X≤2)P(X\le 2)；只需分別以 AQL、LTPD 計算 Poisson 平均數 λ=np\lambda=np。

（一）不良率為 AQL =0.015=0.015

λ=np=80(0.015)=1.2.\lambda=n p=80(0.015)=1.2.

因此

Pa=P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=e−1.2(1+1.211!+1.222!)=e−1.2(1+1.2+0.72)≈0.8795.\begin{aligned} P_a &=P(X\le 2)\\ &=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\ &=e^{-1.2}\left(1+\frac{1.2^1}{1!}+\frac{1.2^2}{2!}\right)\\ &=e^{-1.2}(1+1.2+0.72)\\ &\approx 0.8795. \end{aligned}
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第 五 題20 分

為了解全國所有工廠的情況，抽其中 150 家工廠進行調查，發現平均一座工廠的每日廢水排放量為 1300 公噸。根據上述回答以下題目：

(一) 本調查的樣本為何（sample）？（5 分）

(二) 本調查的樣本數為何（the number of samples）？（5 分）

(三) 本調查的觀察變數為何（variable of interest）？（5 分）

(四) 本調查的母體為何（population）？（5 分）

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核心觀念

本題考查統計調查中的四個基本名詞：樣本、樣本數、觀察變數與母體。

  • 母體（population）：研究對象所涵蓋的全體個體。
  • 樣本（sample）：從母體中實際抽取並接受調查的一組個體。
  • 樣本數（sample size）：樣本中個體的數量，通常以 nn 表示。
  • 觀察變數（variable of interest）：對每一個樣本個體所觀察或測量的特徵。

解題方法

題目要了解「全國所有工廠」的情況，實際抽出 150 家工廠調查，並記錄每日廢水排放量。依照上述定義，先辨認研究的全體對象，再找出實際受調查的個體、個體數量，以及每家工廠所測量的特徵。

各小題解析

（一）樣本（sample）

樣本是實際被抽出並接受調查的個體集合。因此，本調查的樣本是被抽中的 150 家工廠。

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