110 專技高考高等考試 公共衛生師 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考查二項分配的卜瓦松近似。抽驗數為 $n=24$，實際不合格率為 $p=0.04$。令 $X$ 表示抽驗中不合格藥品的顆數，則 $X\sim\mathrm{Binomial}(24,0.04)$。

題目提供 $e^{-0.96}$，提示使用卜瓦松分配近似二項分配，其參數為：

解題方法

不合格數為 $0$ 或 $1$ 顆時，該批藥品即判定合格，因此所求機率為 $P(X\leq 1)$。

以 $X\sim\mathrm{Poisson}(0.96)$ 近似，卜瓦松機率公式為：

所以：

核心觀念

本題考查邏輯斯迴歸係數與勝算比的關係、干擾因子的判斷，以及勝算比的 Wald 95% 信賴區間。

邏輯斯迴歸中，迴歸係數是勝算的自然對數；因此，二元自變項的勝算比為 $e^\beta$。若係數標準誤為 $SE$，其 95% 信賴區間先在對數勝算比尺度計算，再取指數：

解題方法與推導

（一）粗勝算比

粗勝算比取自只納入經常飲用含糖飲料的模式（2），其迴歸係數為 $0.5211$：

因此，在未控制年齡與吸菸時，經常飲用含糖飲料者罹患第二型糖尿病的勝算約為未經常飲用者的 $1.68$ 倍。

（二）年齡是否為干擾因子

比較未納入年齡的模式（2）與納入年齡的模式（3），飲用含糖飲料的迴歸係數由 $0.5211$ 增至 $1.3364$，變動幅度很大。這表示控制年齡後，飲料與糖尿病的關聯估計明顯改變，符合命題常用的「調整前後估計值改變」判斷方式。

此外，模式（3）的年齡係數為 $0.1418$，代表控制飲料後，年齡愈大，糖尿病勝算愈高；模式（4）控制飲料與吸菸後，年齡係數仍為正值 $0.1521$。這些結果支持年齡與疾病結果有關。

核心觀念

這題使用卡方適合度檢定，檢驗一年內的溺水死亡事件是否平均分布於 12 個月份。

• 虛無假設：各月份發生機率相同，$H_0:p_1=p_2=\cdots=p_{12}=\frac{1}{12}$。
• 對立假設：至少有一個月份的發生機率不同，$H_1:$ 各月份發生機率並非全相同。

解題方法與計算

在虛無假設下，各月份事件數的期望值相同：

卡方檢定統計量為：

其中 $O_i$ 為第 $i$ 個月的觀察事件數。逐月計算如下：

核心觀念

本題考的是陽性預測值（positive predictive value, PPV）：已知篩檢結果為陽性，求受檢者實際患病的機率。它不同於敏感度；敏感度是「有病者篩檢呈陽性的機率」。

題目提供敏感度 $P(+\mid D)=0.85$、特異度 $P(-\mid \bar D)=0.95$，但沒有提供疾病盛行率 $P(D)$。因此，無法由題目資訊唯一決定陽性者實際患病的機率。若選項要得到數值，必須採用題目未明示的盛行率假設。

解題方法

由貝氏定理，陽性預測值為：

其中假陽性率為：

令疾病盛行率為 $p$，則：

可見結果取決於 $p$；只知道敏感度與特異度，尚不足以算出確切的陽性預測值。

若採用盛行率 $p=0.1\%$（此假設可導出選項 B），則：

核心觀念

本題考查條件機率（Conditional Probability）、**全機率定理（Law of Total Probability）與貝氏定理（Bayes' Theorem）**的應用。

1. 條件機率定義： 若事件 $B$ 發生的機率 $P(B) > 0$，則在事件 $B$ 已發生的條件下，事件 $A$ 發生的機率為： $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

2. 全機率定理： 若樣本空間分割為互斥且聯集為全集的兩事件 $A_1$ 與 $A_2$，則任意事件 $B$ 的邊際機率可表示為： $P(B) = P(A_1)P(B \mid A_1) + P(A_2)P(B \mid A_2)$

3. 貝氏定理： 利用已知的事前機率（Prior Probability）與條件似然（Likelihood），推導出給定觀察結果後的事後機率（Posterior Probability）： $P(A_1 \mid B) = \frac{P(A_1 \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A_1)P(B \mid A_1)}{P(A_1)P(B \mid A_1) + P(A_2)P(B \mid A_2)}$

解題方法

步驟一：定義事件與符號

• 令 $F$ 代表「外勤人員」，$I$ 代表「內勤人員」（$I = F^c$）。
• 令 $V$ 代表「已打疫苗」，$V^c$ 代表「沒打疫苗」。

步驟二：整理題目已知條件

• 人員分布（事前機率）：
• 外勤人員比例：$P(F) = 30\% = 0.3$
• 內勤人員比例：$P(I) = 70\% = 0.7$
• 施打疫苗之條件機率：
• 外勤人員已打疫苗：$P(V \mid F) = 60\% = 0.6$
• 內勤人員已打疫苗：$P(V \mid I) = 40\% = 0.4$
• 推導「沒打疫苗」之條件機率：
• 外勤人員沒打疫苗：$P(V^c \mid F) = 1 - P(V \mid F) = 1 - 0.6 = 0.4$
• 內勤人員沒打疫苗：$P(V^c \mid I) = 1 - P(V \mid I) = 1 - 0.4 = 0.6$

步驟三：計算全體人員中「沒打疫苗」的總機率 $P(V^c)$

依據全機率定理，抽到沒打疫苗者的機率由「外勤且沒打」與「內勤且沒打」兩部分組成： $P(V^c) = P(F)P(V^c \mid F) + P(I)P(V^c \mid I)$ $P(V^c) = (0.3 \times 0.4) + (0.7 \times 0.6) = 0.12 + 0.42 = 0.54$

核心觀念

本題測驗描述性統計（Descriptive Statistics）的核心基礎，涵蓋以下三個重要主題：

1. 分配的偏態（Skewness）與集中趨勢度量之關係：

• 右偏／正偏（Right-skewed / Positively skewed）：資料右側有長尾巴（極端大值），平均數被拉向右側，通常滿足： $\text{Mean} > \text{Median} > \text{Mode}$ （典型實例：所得收入、醫療費用、傳染病潛伏期等）。
• 左偏／負偏（Left-skewed / Negatively skewed）：資料左側有長尾巴（極端小值），平均數被拉向左側，通常滿足： $\text{Mean} < \text{Median} < \text{Mode}$ （典型實例：高齡人口死亡年齡、難度較低的及格考試成績等）。

2. 統計量的抗性／穩健性（Resistance / Robustness）：

• 平均數（Mean, $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$）：所有數值均參與運算，對極端值（outliers）極為敏感，不具抗性。
• 中位數（Median）：依據排序後的「位置」決定，極端值的數值大小不影響中央觀測值，屬於具抗性（resistant）的度量。

3. 探索性資料分析（EDA）圖表功能：

• 莖葉圖（Stem-and-leaf plot）：將數值拆分為「莖（前導位數）」與「葉（最後位數）」，在保留原始數值資訊的同時，能直觀呈現數據的分布形狀、集中趨勢、離散程度與潛在極端值。

解題方法

本題為純觀念判斷題，解題切入點如下：

1. 先利用現實資料特性（薪資所得）檢驗偏態方向是否正確（判定 A）。
2. 利用「偏態長尾方向會牽引平均數」的幾何與代數性質，判定平均數與中位數的大小關係（判定 B）。
3. 依據統計量抗性原理，比較平均數與中位數對離群值的敏感度（判定 C）。
4. 檢驗統計圖表（莖葉圖）的定義與功能，確認其是否能描繪資料分布（判定 D）。

核心觀念

本題考查卡方分布（$\chi^2$ distribution）的基本性質與動差（Moments）。 若 $Z_1, Z_2, \dots, Z_k$ 為 $k$ 個獨立且均服從標準常態分布 $N(0, 1)$ 的隨機變數，則其平方和定義為自由度為 $k$ 的卡方分布，記為 $X \sim \chi^2(k)$： $X = \sum_{i=1}^{k} Z_i^2$

卡方分布的重要數值特徵如下：

1. 期望值（平均值）：$E(X) = k$（即自由度）
2. 變異數：$\operatorname{Var}(X) = 2k$（自由度的 2 倍）
3. 眾數（Mode）：當 $k \ge 2$ 時，眾數為 $k - 2$；當 $k = 1$ 時，機率密度函數在 $x \to 0^+$ 處趨近無窮大
4. 偏態性：卡方分布為右偏（正偏態）分布，偏態係數為 $\sqrt{8/k} > 0$

解題方法

由卡方分布的定義出發，利用期望值的線性性質進行推導：

對於每一個標準常態變數 $Z_i \sim N(0, 1)$，其平均值 $E(Z_i) = 0$、變異數 $\operatorname{Var}(Z_i) = 1$。根據變異數的定義公式： $\operatorname{Var}(Z_i) = E(Z_i^2) - [E(Z_i)]^2$ $1 = E(Z_i^2) - 0^2 \implies E(Z_i^2) = 1$

核心觀念

1. 標準差（Standard Deviation, SD）與標準誤（Standard Error, SE）的本質差異：

• 標準差（$SD$ 或 $\sigma$）：量化「原始資料個體值（$X$）」在樣本或母體中的分散程度（離散趨勢），屬於敘述性統計指標。
• 標準誤（$SE$）：量化「樣本統計量（如樣本平均值 $\bar{X}$）」在重複抽樣下的變異程度，即樣本平均值抽樣分配（sampling distribution）的標準差，用以評估估計量的精準度，屬於推論統計範疇。

2. 樣本平均值的標準誤公式： $SE(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 其中 $\sigma$ 為母體標準差，$n$ 為樣本數。
3. 中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）：

• 無論母體原始分配為何，只要樣本數足夠大（實務上通常以 $n \ge 30$ 為大樣本判斷準則），樣本平均值 $\bar{X}$ 的抽樣分配皆會近似常態分配： $\bar{X} \dot{\sim} N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$
• 若母體分布未知且樣本數較小（$n < 30$），則不能直接套用中央極限定理，樣本平均值的分布形式無法確定（未知）。

解題方法

題目給定條件：

• 隨機抽樣樣本數 $n = 40$
• 樣本平均值 $\bar{X} = 10$
• 母體標準差 $\sigma = 4$，樣本標準差 $s = 4$

透過以下步驟進行檢驗：

1. 數值計算：帶入標準誤公式，計算 $SE(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
2. 定義檢驗：辨析「量化 $X$ 分散程度」究竟應使用標準差（$SD$）還是標準誤（$SE$）。
3. 分配性質檢驗：利用中央極限定理（CLT）判斷 $n = 40$ 與假設 $n = 20$ 時樣本平均值的分配特性。

選項分析

核心觀念

1. 信賴區間與假說檢定的對偶性（Duality）： 在顯著水準 $\alpha$ 的雙尾檢定下，檢定結果與 $(1 - \alpha)$ 的信賴區間具備嚴格的對應關係：

• 虛無假設 $H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0$ vs. 對立假設 $H_a: \mu_1 - \mu_2 \neq 0$
• 若兩組母體平均值差的 $95\%$ 信賴區間不包含 $0$，等價於在 $\alpha = 0.05$ 下拒絕虛無假設（$P < 0.05$，結果達統計顯著）。
• 若 $95\%$ 信賴區間包含 $0$，等價於無法拒絕虛無假設（$P \ge 0.05$，未達統計顯著）。

2. 獨立樣本 vs. 成對樣本的實驗設計辨析：

• 成對樣本 $t$ 檢定（Paired $t$-test）：用於「同一組受試者」的前後測比較，或一對一配對設計（自身配對）。
• 獨立雙樣本 $t$ 檢定（Two-sample independent $t$-test）：用於「兩組互不相屬的獨立受試者」。本題評估的是「減重組」與「對照組」這兩組獨立群體之間體重改變量的差異。

解題方法

1. 設定統計假說： 設減重組體重平均減少量為 $\mu_1$，對照組體重平均減少量為 $\mu_2$。 $H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0 \quad \text{vs.} \quad H_a: \mu_1 - \mu_2 \neq 0$

2. 利用信賴區間進行推論： 題目給定兩組體重改變平均值差異的 $95\%$ 信賴區間為 $[1, 7]$ 公斤。

• 該區間之數值範圍均落在正值區間，完全不包含虛無假設設定的無差異點 $0$（$0 \notin [1, 7]$）。
• 這代表在 $95\%$ 的信心水準下，兩組體重改變量的母體平均差大於 $0$。
• 在 $\alpha = 0.05$ 之顯著水準下，對應的雙尾檢定 $P$ 值必定小於 $0.05$（$P < 0.05$），達到統計顯著差異，決策為拒絕虛無假設（Reject $H_0$）。

選項分析

核心觀念

本題測驗「假設檢定（Hypothesis Testing）」中兩類型錯誤、統計檢定力與樣本數之間的消長關係：

1. 型一錯誤（Type I error, $\alpha$）： 虛無假說（$H_0$）為真時，卻錯誤拒絕 $H_0$ 的機率（偽陽性，False Positive）。此機率由研究者於研究設計時**主觀設定的顯著水準（Significance level）**所控制（通常設為 $\alpha = 0.05$）。
2. 型二錯誤（Type II error, $\beta$）： 對立假說（$H_1$）為真時，卻未能拒絕 $H_0$ 的機率（偽陰性，False Negative）。
3. 統計檢定力（Statistical Power, $1 - \beta$）： 當 $H_1$ 為真且正確拒絕 $H_0$ 的機率，代表檢定方法「偵測出真實存在之差異」的能力。
4. 檢定力與樣本數之關係公式（以單樣本平均數雙尾 $Z$ 檢定為例）： $n = \frac{(Z_{1-\alpha/2} + Z_{1-\beta})^2 \cdot \sigma^2}{\Delta^2}$ 其中 $\Delta = |\mu_1 - \mu_0|$ 為真實差異（效應值大小），$\sigma^2$ 為變異數，$Z_{1-\beta}$ 與檢定力正相關。

解題方法

由檢定架構與參數互動關係切入：

• 型一錯誤率 $\alpha$ 始終被鎖定在研究者設定的閾值內（例如 $5\%$），只要統計方法無誤，$\alpha$ 不會隨樣本數大小而改變。
• 樣本數 $n$ 過小 會擴大抽樣標準誤（$\text{SE} = \sigma / \sqrt{n}$），導致分布重疊過大、檢定力（$1-\beta$）大幅下降，此時最容易發生的問題是「明明有真實效應卻驗不出來」，即容易犯下型二錯誤（$\beta$ 升高），而非型一錯誤。
• 據此可迅速判定選項 (C) 敘述顛倒。

選項分析

核心觀念

1. 中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）與樣本平均數的抽樣分配 設母群體之平均數為 $\mu$、變異數為 $\sigma^2$。不論母群體本身的分配型態為何，當隨機樣本數 $n$ 夠大（通常經驗法則為 $n \ge 30$）時，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分配（sampling distribution）會近似於常態分配： $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$ 樣本平均數的標準誤（Standard Error, $SE$）為： $SE(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

2. 抽樣誤差（Sampling Error）與估計表現的決定因素 樣本平均數 $\bar{X}$ 做為母群體平均數 $\mu$ 的點估計量，其估計的變異程度（散佈幅度）取決於：

• 母群體標準差（或變異數 $\sigma^2$）：母群體變異愈大，抽樣誤差愈大。
• 樣本數（$n$）：樣本數愈大，抽樣誤差愈小。 與「母群體平均數 $\mu$ 之數值大小」無關；在母體極大時（$N \gg n$），亦與「母群體總人數 $N$」無關。

3. 選樣偏差（Selection Bias）與代表性 抽樣推論的前提為「隨機抽樣」（Random Sampling）。便利抽樣或特定族群樣本（如健身俱樂部會員）常具有選樣偏差，無法外推至一般母群體。

解題方法

本題題幹提及樣本數 $n = 50 \ge 30$，符合中央極限定理大樣本條件。解題切入點在於：檢視各選項陳述與「中央極限定理之數學性質」及「抽樣推論原理」的吻合度。

依中央極限定理，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣變異數為： $Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$

由此可知：

1. 樣本平均數估計的離散度與精準表現，直接由母群體變異數 $\sigma^2$ 與樣本數 $n$ 決定。
2. 衡量估計品質的量度（如標準誤 $SE$ 或均方誤差 $MSE$）均包含 $\sigma^2$。

選項分析

• (A) 錯誤 選取「健身俱樂部男性會員」屬於非隨機抽樣中的便利抽樣（convenience sampling）。參加健身俱樂部的族群通常具備較佳的健康意識與體能狀態，存在「健康志願者效應」（healthy volunteer effect），產生嚴重的選樣偏差（selection bias）。因此，樣本平均數無法不偏地代表全臺灣 30 至 60 歲一般男性的收縮壓平均數。

核心觀念

本題考查母體平均數之信賴區間（Confidence Interval, CI）的定義、性質與頻率學派（Frequentist）統計解釋。

1. 信賴區間的基本公式： 母體變異數已知或大樣本時，母體平均數 $\mu$ 之 $(1-\alpha)$ 信賴區間為： $\bar{X} \pm Z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 若母體變異數未知且樣本數較小，則為： $\bar{X} \pm t_{1-\alpha/2, n-1} \frac{S}{\sqrt{n}}$ 其區間寬度（Width）為： $\text{Width} = 2 \times Z_{1-\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

2. 頻率學派的信賴水準意義：

• 母體參數 $\mu$ 是一個固定但未知的常數，並非隨機變數。
• 隨機的是「由樣本計算出的信賴區間端點（$\bar{X} \pm \text{邊際誤差}$）」。
• 「95% 信賴水準」的定義來自**重複抽樣（Repeated Sampling）**的長期頻率：在相同條件下獨立重複抽樣非常多次，每次皆建構一組 95% 信賴區間，長期而言會有約 95% 的區間包含真正的母體參數 $\mu$。

解題方法

解題切入點在於區分「已計算出的區間機率解釋」與「重複抽樣之頻率論精神」，並掌握影響信賴區間寬度的兩大要素：

1. 信賴水準（$1-\alpha$）：信賴水準越高，臨界值越大，區間越寬。
2. 樣本數（$n$）：樣本數越大，標準誤（$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$）越小，估計精確度越高，區間越窄。

選項分析

核心觀念

本題評量母體比例（Population Proportion）之信賴區間估計與樣本數決定（Sample Size Determination）。

1. 估計誤差界限（Margin of Error, $E$）： 在常態近似下，母體比例 $p$ 之 $(1-\alpha)$ 信賴區間半寬度（即容許最大估計誤差）公式為： $E = Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$
2. 所需最小樣本數公式： 將上述誤差界限公式兩邊平方後整理求解 $n$： $n = \frac{Z_{\alpha/2}^2 \cdot p(1-p)}{E^2}$
3. 臨界值（Critical Value）： 在 95% 信賴水準下，雙尾臨界值 $Z_{\alpha/2} = Z_{0.025} = 1.96$。
4. 無條件進位原則： 為確保實際估計誤差「不超過」設定上限，計算所得的樣本數若有小數，必須**無條件進位（Round up / 取天花板函數 $\lceil n \rceil$）**至下一個整數。

解題方法

步驟一：整理題目已知條件

• 事前估計之母體復發機率：$p = 15\% = 0.15$，則未復發機率 $1 - p = 1 - 0.15 = 0.85$。
• 信賴水準：$1 - \alpha = 95\% \implies \alpha = 0.05$，雙尾臨界值 $Z_{0.025} = 1.96$。
• 容許估計誤差：$E \le 1\% = 0.01$。

步驟二：代入樣本數公式計算 $n = \frac{Z_{\alpha/2}^2 \cdot p(1-p)}{E^2}$ $n = \frac{(1.96)^2 \times 0.15 \times 0.85}{(0.01)^2}$ $n = \frac{3.8416 \times 0.1275}{0.0001}$ $n = \frac{0.489804}{0.0001} = 4898.04$

步驟三：整數取值 因為樣本個數必須為整數，且樣本數若只取 4898，其估計誤差將會微幅大於 1%；為確保誤差界限嚴格小於或等於 1%，必須無條件進位： $n \ge 4898.04 \implies n = 4899$

因此，最少應該收集 4899 個樣本。

選項分析

核心觀念

本題考單因子變異數分析（one-way ANOVA）的自由度、平方和與 $F$ 統計量。檢定統計量為組間平均平方和除以組內（誤差）平均平方和：

其中平均平方和 $MS=SS/df$。

解題方法

總自由度為 $23$，治療方式的自由度為 $2$，因此誤差自由度為：

誤差平方和等於總平方和減去治療方式平方和：

治療方式平均平方和為：

誤差平均平方和為：

代入 $F$ 值公式：

核心觀念

本題測驗「樣本平均值的抽樣分配（Sampling Distribution of the Sample Mean）」與「標準誤（Standard Error, SE）」之定義與數學關係。

1. 標準誤定義：樣本平均值 $\bar{X}$ 之標準誤，即為其抽樣分配的標準差，用以衡量樣本平均數估計母體平均數 $\mu$ 時的抽樣變異（抽樣誤差大小）。
2. 計算公式： 若母體標準差為 $\sigma$、抽樣樣本數為 $n$，則樣本平均值的標準誤為： $SE(\bar{X}) = \sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ （若母體標準差未知，則以樣本標準差 $s$ 估計，即 $SE(\bar{X}) = \frac{s}{\sqrt{n}}$）

解題方法

根據樣本平均值標準誤的數學公式： $SE(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

1. 變數關係判斷：母體標準差 $\sigma$ 為母體既有的固定常數。樣本數 $n$ 位於分母的平方根位置。
2. 極限與趨勢推導：當抽樣的樣本數 $n$ 增加時，分母 $\sqrt{n}$ 隨之增大，而分子 $\sigma$ 保持不變，整體比值 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 必定單調遞減。
3. 統計學直觀意涵：樣本數愈大，自母體中取得的資訊量愈充分，樣本平均值 $\bar{X}$ 的隨機波動幅度愈小，估計母體平均數 $\mu$ 的精準度愈高，因此標準誤必定變小。

核心觀念

1. 母體比例的大樣本常態近似信賴區間（Wald Confidence Interval）： 當樣本數夠大，滿足 $n\hat{p} \ge 5$ 且 $n(1-\hat{p}) \ge 5$ 時，由中央極限定理（CLT），樣本比例 $\hat{p}$ 近似服從常態分布： $\hat{p} \sim N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$ 母體比例 $p$ 的雙尾 $(1-\alpha) \times 100\%$ 信賴區間公式為： $\hat{p} \pm Z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \times SE(\hat{p})$ 其中標準誤 $SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$。

2. 雙尾臨界值與常態分布百分位數之對應： 雙尾 95% 信賴區間代表兩側各留 $\alpha/2 = 2.5\%$ 的拒絕域面積，因此右尾切點累積機率為 $1 - \frac{\alpha}{2} = 0.975$。此時所使用的臨界值為標準常態分布（$Z$ 分布）的第 97.5 百分位數（the 97.5th percentile，即 $Z_{0.975} \approx 1.96$），而非第 95 百分位數（$Z_{0.95} \approx 1.645$）。

3. 信賴區間寬度的決定因素： 區間寬度（Width）$= 2 \times Z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$。

• 區間寬度與臨界值 $Z_{1 - \frac{\alpha}{2}}$（即信賴水準 $1-\alpha$）成正比。
• 區間寬度與樣本數的平方根 $\sqrt{n}$ 成反比。

解題方法

題目給定條件：

• 總受訪人數 $n = 100$
• 贊同人數 $X = 55$，點估計值 $\hat{p} = \frac{55}{100} = 0.55$（55%）
• 不贊同人數 $n - X = 45$，即 $1 - \hat{p} = 0.45$

檢驗大樣本條件： $n\hat{p} = 55 \ge 5$ 且 $n(1-\hat{p}) = 45 \ge 5$，符合使用常態近似法的條件。

各關鍵量推導如下：

1. 標準誤（$SE$）計算： $SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.55 \times 0.45}{100}} = \sqrt{\frac{0.2475}{100}} = \sqrt{0.002475} \approx 0.04975 \approx 0.05$

2. 臨界值選取： 雙尾 95% 信賴區間（$\alpha = 0.05$），兩側尾端面積各為 $\alpha/2 = 0.025$。 所需之臨界值為滿足 $P(Z \le z) = 0.975$ 的點，即 $Z$ 分布的第 97.5% 百分位數（$Z_{0.975} = 1.96$）。

核心觀念

本題評量**雙尾假說檢定（Two-tailed Hypothesis Testing）與信賴區間（Confidence Interval, CI）**的對偶性（Duality）關係，以及 $p\text{-value}$ 與顯著水準 $\alpha$ 的判定法則：

1. 假說設定：

• 虛無假說 $H_0: p = p_0$
• 對立假說 $H_1: p \neq p_0$

2. 雙尾檢定與信賴區間的等價性：

• 在顯著水準 $\alpha$ 下進行雙尾檢定，其拒絕域與 $(1-\alpha)$ 雙尾信賴區間互為對偶。
• 若虛無假說設定之母體參數值 $p_0$ 未落在 $(1-\alpha)$ 信賴區間內，則在顯著水準 $\alpha$ 下拒絕虛無假說 $H_0$。
• 若 $p_0$ 落在 $(1-\alpha)$ 信賴區間內，則在顯著水準 $\alpha$ 下不拒絕虛無假說 $H_0$。

3. 決策法則與 $p\text{-value}$：

• 拒絕 $H_0 \iff p\text{-value} < \alpha$。
• 不拒絕 $H_0 \iff p\text{-value} \ge \alpha$。

解題方法

步驟一：建立統計假說 欲檢定甲地區高中生嘗試吸菸率 $p$ 是否與全國高中生吸菸率（$25\%$）有顯著差異，設定雙尾檢定假說：

• 虛無假說 $H_0: p = 0.25$（甲地區與全國無顯著差異）
• 對立假說 $H_1: p \neq 0.25$（甲地區與全國有顯著差異）
• 檢定之顯著水準設定為 $\alpha = 0.05$。

步驟二：利用 95% 信賴區間進行決策判定 題目給定甲地區吸菸率之 $95\%$ 信賴區間為： $(27\%, 33\%) = (0.27, 0.33)$ 檢視虛無假說的母體參數值 $p_0 = 0.25$ 是否落在該區間內： $0.25 \notin (0.27, 0.33)$ 因 $p_0 = 0.25$ 小於信賴區間下界 $0.27$，即 $p_0$ 落在 $95\%$ 信賴區間之外。依據信賴區間與假說檢定的對偶性，在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下，應拒絕虛無假說 $H_0$，表示甲地區高中生嘗試吸菸率與全國有顯著差異。

步驟三：推導 $p\text{-value}$ 之範圍 在假說檢定中，拒絕虛無假說 $H_0$ 的充要條件為計算所得之 $p\text{-value}$ 小於顯著水準 $\alpha$：

某抽樣調查甲地區高中生嘗試吸菸狀況，調查樣本之嘗試吸菸率為 $30\%$，其 $95\%$ 信賴區間為 $(27\%, 33\%)$。已知全國高中生嘗試吸菸率為 $25\%$。本題接續檢定甲地區高中生嘗試吸菸率與全國高中生是否具有顯著差異（顯著水準 $\alpha = 0.05$）。

核心觀念

1. 假設檢定與信賴區間之對偶性（Duality of Hypothesis Testing and Confidence Intervals）： 在雙尾檢定中，顯著水準為 $\alpha$ 的假設檢定與 $(1 - \alpha)$ 的雙尾信賴區間具備等價的對偶關係：

• 虛無假設 $H_0: p = p_0$ vs. 對立假設 $H_a: p \neq p_0$。
• 若虛無假設所設定之母體參數基準值 $p_0$ 不落在 $(1 - \alpha)$ 信賴區間內，則在顯著水準 $\alpha$ 下應拒絕虛無假設（Reject $H_0$），此時 $p\text{-value} < \alpha$。

2. 統計顯著性（Statistical Significance）之推論與用語規範：

• 拒絕 $H_0$：樣本資料提供充分統計證據支持對立假設 $H_a$，結論為「兩者有差異」，且此差異「具統計上顯著意義」（Statistically significant）。
• 不拒絕 $H_0$：樣本資料未提供充分證據反對 $H_0$，結論為「兩者未達顯著差異」，即「不具統計上顯著意義」。

解題方法

1. 建立假設： 設母體比例 $p$ 為甲地區高中生嘗試吸菸率，全國高中生標準值 $p_0 = 25\% = 0.25$。

• 虛無假設 $H_0: p = 0.25$（甲地區與全國高中生嘗試吸菸率無差異）
• 對立假設 $H_a: p \neq 0.25$（甲地區與全國高中生嘗試吸菸率有差異）

2. 利用信賴區間作決策判斷：

• 題目設定顯著水準 $\alpha = 0.05$，對應 $95\%$ 信賴區間。
• 題幹給定甲地區之 $95\%$ 信賴區間為 $(27\%, 33\%)$，即 $[0.27, 0.33]$。
• 檢驗全國數值 $p_0 = 0.25$ 是否落在此區間內： $0.25 \notin [0.27, 0.33]$

核心觀念

本題評量無母數統計方法（Nonparametric Tests）的適用情境與選用準則，核心概念涵蓋：

1. 資料尺度判斷：李克特五點量表（Likert scale，非常不滿意 $1$ 到非常滿意 $5$）本質上為順序尺度（Ordinal scale），其數值僅代表相對順序大小，各數值間的差距並不具備等距意義，故通常不適合採用假設母體為常態分佈的母數檢定（如獨立雙樣本 $t$ 檢定），而應採用以「等級（Rank）」為基礎的無母數檢定。
2. 研究設計與樣本結構：調查對象為甲、乙兩部門各 100 位互不重複的受訪者，屬於兩組獨立樣本（Two independent samples）。
3. 檢定目的：欲檢定兩組獨立樣本之**分佈位置或中位數（Median）**是否存在統計顯著差異。

解題方法

選用適當的統計檢定方法，關鍵在於依序確認以下三個切入點：

1. 依變項（反應變項）的測量尺度： 滿意度以 $1$ 至 $5$ 分表示，具有大小排序性質，但非等距或等比之連續變數，屬於順序尺度（Ordinal data），檢定目標為「中位數」而非「平均數」。
2. 抽樣設計與樣本關係： 甲部門 100 人與乙部門 100 人為各自獨立受訪的兩群體（獨立樣本），非同一受訪者前後測，亦非配對設計（Paired design）。
3. 統計方法對應：

• 兩組獨立樣本在連續常態資料下，使用「獨立雙樣本 $t$ 檢定（Two-sample $t$-test）」。
• 當資料為順序尺度或非常態分佈時，對應之無母數檢定即為 Wilcoxon rank sum test（威爾卡森等級和檢定），該方法在實務上與 Mann-Whitney U test（曼-惠特尼 U 檢定） 數學原理等價，專門用於比較兩組獨立樣本之等級總和以推論其中位數或分佈位置是否不同。

選項分析

• (A) 錯誤。Spearman correlation coefficient（斯皮爾曼等級相關係數）：

• 用途：用於衡量「兩個順序尺度變項」或「非常態連續變項」之間的單調相關關係（Monotonic relationship）。
• 錯誤原因：本題的目的為組間差異比較（比較甲、乙兩部門的分佈），並非探討同一樣本中兩個變數之間的關聯性大小。

核心觀念

本題的核心觀念為類別資料分析中的**卡方適合度檢定（Chi-square Goodness-of-Fit Test）**及其在流行病學調查中檢驗「樣本代表性（Representativeness）」的應用。

1. 基本定義： 卡方適合度檢定用於檢定單一樣本在某個（或交叉組合的）類別變項上各組別的觀察次數（Observed frequency, $O$），是否符合某一預先設定或已知的母體理論機率分布／期望次數（Expected frequency, $E$）。
2. 統計量公式： $\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$ 其中：

• $k$ 為分類組數（例如：年齡組與性別交叉後的總格數）。
• $O_i$ 為第 $i$ 組的樣本實際觀察次數。
• $E_i = n \times p_i$ 為第 $i$ 組的理論期望次數（$n$ 為樣本總數，$p_i$ 為全國母體在該組的已知比例）。
• 自由度 $df = k - 1$。

3. 流行病學實務意義： 大規模公衛調查完成抽樣後，研究者常將樣本的「年齡 $\times$ 性別」分布與內政部戶政司之全國人口母體分布進行比對，以此檢驗抽樣是否具有母體代表性，或評估是否存在無反應偏差（Non-response bias）。

解題方法

1. 確認變項性質與資料型態：

• 欲比較的變項為「年齡（分組）」與「性別」，本質上均屬於類別變項（Categorical variables）。
• 兩者交叉分層後可形成 $k$ 個互斥的類別（例如：男/女各年齡層共 20 格）。

2. 鎖定檢定目的與對照基準：

• 本題目的在於比較「抽出的樣本分布」與「已知的全國母體分布」是否一致。
• 此情境屬於「單一樣本之多項分布（Multinomial distribution）」與「已知特定標準分布」的比對，並非比較兩個獨立樣本之間的差異，亦非尋找變項間的因果迴歸關係。

3. 選擇適切方法：

• 滿足「單一樣本、類別資料、對照已知母體分布」條件的統計檢定，最適當者即為卡方適合度檢定。

選項分析

• (A) Chi-square goodness-of-fit test（卡方適合度檢定）：【正確】

核心觀念

本題要辨別統計方法適用的資料型態與目的。每一對雙胞胎各有一筆 BMI，兩人的數值依配對號一一對應；BMI 是連續量化資料，題目要衡量兩者是否呈現同向變化。

斯皮爾曼等級相關係數（Spearman’s rank correlation coefficient）先將兩組數值各自轉成名次，再衡量名次之間的相關。它適合評估單調關係，且不要求資料呈常態分布。

解題方法

依配對號分別將 A、B 的 BMI 排名；相同數值使用平均名次。例如，A 的 30 有兩筆，並列第 8、9 名，因此各取平均名次 8.5；B 的 21 有三筆，並列第 1 至 3 名，因此各取平均名次 2。

兩組名次依配對號排列如下：

• A 名次：$2, 4, 8.5, 3, 1, 6, 7, 8.5, 5, 10$
• B 名次：$2, 2, 6.5, 4, 5, 8, 2, 9, 6.5, 10$

遇到並列名次時，以平均名次計算兩組名次的皮爾森相關係數，即為斯皮爾曼等級相關係數。本題依資料計算約為 $\rho_s=0.65$，呈正向等級相關。

選項分析

核心觀念

本題考查「地區」與「是否發生疾病 D」的關聯分析。兩者都是類別變項，資料整理成 $2\times2$ 列聯表；各地區的疾病比例可用來描述關聯，列聯表檢定或 Logistic regression 可用來檢定關聯。

解題方法

先比較兩地疾病比例：

A 地區疾病比例為 $0.4\%$，B 地區為 $1.6\%$。若以 A 地區相對於 B 地區估計勝算比：

欲檢定地區與疾病是否有關，可用 Pearson 卡方檢定、Fisher exact test，或以疾病是否發生為二元依變項進行 Logistic regression。題目問「最不適當」的方法，則是把兩組類別資料當成連續數值比較平均數的 Two-sample $t$ test。

選項分析

核心觀念

本題考「同一批受試者在兩個時間點接受二分類測量」的比較方法。每位民眾活動前、後都回答同一題，答案只有答對（1）或答錯（0），因此資料是成對的二分類資料。

McNemar 卡方檢定適用於這類成對二分類資料，用來檢定前後答對比例是否有差異。檢定重點是前後答案不一致的人數，而不是前後答案一致的人數。

解題方法

將每位民眾的前後答案整理成 $2 \times 2$ 配對表：

令 $b$ 為「前對後錯」的人數，$c$ 為「前錯後對」的人數。McNemar 檢定比較 $b$ 與 $c$ 是否有顯著差異；常用檢定統計量為：

未提供 100 位民眾的完整資料，因此無法計算實際檢定統計量或 $p$ 值；但依資料型態，最適當的方法是 McNemar 卡方檢定。

選項分析

核心觀念

本題考二乘二列聯表的卡方獨立性檢定，重點是自由度、獨立假設下的預期人數，以及卡方分布的性質。

若列聯表有 $r$ 列、$c$ 欄，卡方檢定的自由度為：

若兩變數互相獨立，某格的預期人數為：

解題方法

本題是 $2\times2$ 列聯表，因此自由度為：

在兩變數獨立的假設下：

• 「沒有頭部外傷、沒有戴安全帽」的預期人數：

• 「有頭部外傷、有戴安全帽」的預期人數：

核心觀念

本題評量**單因子變異數分析（One-way ANOVA）**的基本原理，包含：

1. 假設檢定的邏輯結構：檢定 $k$ 組母體平均數是否相等時，虛無假設（Null hypothesis, $H_0$）與對立假設（Alternative hypothesis, $H_1$ 或 $H_a$）的正確數學與邏輯定義。
2. 變異數分析的三大基本假設：常態性（Normality）、獨立性（Independence）與等變異數性（Homoscedasticity / Homogeneity of variance）。
3. 統計量間的數理關聯：組數 $k=2$ 時，單因子 ANOVA（$F$ 檢定）與兩獨立樣本 $t$ 檢定之間的等價性（$F = t^2$）。

解題方法

解答本題的切入點為逐一檢視 ANOVA 的假設陳述、前提條件與特殊情形（$k=2$）：

1. 辨析假說的邏輯否定： 虛無假設陳述的是「所有母體平均數皆相等」的全稱命題： $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k$ 其在邏輯上的否定（對立假設 $H_1$），僅需「並非所有母體平均數皆相等」（Not all $\mu_i$ are equal），亦即「至少存在一組與其他組不同」（至少有一對 $i \neq j$ 滿足 $\mu_i \neq \mu_j$），而非「任兩組之間都必須不相等」。
2. 驗證前提假設與極限情況：

• 檢視 ANOVA 的誤差項假設是否包含等變異數。
• 檢視當組數 $k=2$ 時，$F$ 分布與 $t$ 分布之數理對應關係。

選項分析

• (A) 正確： 當欲比較三組母體平均數時，虛無假設即設定為三組母體平均數沒有差異，表示為： $H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3$ 此為標準的虛無假設設定。

• (B) 錯誤（本題應選）： 對立假設是虛無假設的互補事件。$H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3$ 的邏輯否定是「$\mu_1$、$\mu_2$、$\mu_3$ 不全相等」，數學上表示為： $H_1: \text{至少有一對 } i \neq j \text{ 使得 } \mu_i \neq \mu_j$

核心觀念

兩獨立樣本 $t$ 檢定（Two-sample Independent $t$ Test）之基本假定與適用情境

兩獨立樣本 $t$ 檢定（又稱 Student's $t$ test）用於比較兩個獨立母體的平均數是否存在顯著差異（$H_0: \mu_1 = \mu_2$ 對立於 $H_1: \mu_1 \neq \mu_2$）。在標準母數統計推論架構下，該檢定需滿足三大核心假定：

1. 獨立性（Independence）：兩組樣本資料彼此相互獨立，且組內各觀察值亦為獨立隨機抽樣。
2. 常態性（Normality）：兩母體皆服從常態分佈；若樣本數夠大，則可依中央極限定理（CLT）近似常態。
3. 變異數同質性（Homogeneity of Variance / 等分散性）：兩母體之變異數必須相等（即 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2$）。此時會計算兩組的合併變異數（pooled variance）： $S_p^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$ 檢定統計量為： $t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{S_p^2 \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}} \sim t(df = n_1 + n_2 - 2)$

解題方法

檢驗各選項是否符合兩獨立樣本 $t$ 檢定的「基本假定」或「適用條件」：

• 檢查樣本數限制（是否要求 $n_1 = n_2$）。
• 判斷資料結構是否符合「獨立性」（配對樣本 vs. 獨立樣本）。
• 檢驗母體與樣本特徵的先驗要求（變異數同質性是假定；平均數差異則是檢定標的）。

選項分析

• (A) 錯誤：兩組樣本大小不必然要相等（即允許 $n_1 \neq n_2$）。從合併變異數與自由度公式 $df = n_1 + n_2 - 2$ 可知，兩組樣本數相異時公式依然成立。雖然當 $n_1 = n_2$（平衡設計，balanced design）時檢定力（power）最大，且對變異數些微不等的耐受性（robustness）較高，但絕非檢定的必要條件。