115 年專技高考高等考試公共衛生師考古題與詳解

Question 1

某研究探討「吸菸」與「高血壓」對發生心血管疾病的影響，建立以下羅吉斯迴歸模式：

$\log\left(\frac{p}{1-p}\right)=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\beta_3X_1X_2$

其中， $p$ 為發生心血管疾病的機率； $X_1=1$ 代表有吸菸， $X_1=0$ 代表未吸菸； $X_2=1$ 代表有高血壓， $X_2=0$ 代表無高血壓。估計結果如下：

$\exp(\beta_1)=\exp(0.69)\approx 2.00$

$\exp(\beta_2)=\exp(0.92)\approx 2.51$

$\exp(\beta_3)=\exp(0.41)\approx 1.51$

$\exp(\beta_1+\beta_2)=\exp(0.69+0.92)=\exp(1.61)\approx 5.00$

$\exp(\beta_1+\beta_3)=\exp(0.69+0.41)=\exp(1.10)\approx 3.00$

$\exp(\beta_2+\beta_3)=\exp(0.92+0.41)=\exp(1.33)\approx 3.78$

計算並回答：

(一) 在無高血壓的樣本中，吸菸者罹患心血管疾病的 odds ratio。

(二) 在有高血壓的樣本中，吸菸者與心血管疾病的 odds ratio。

(三) 根據模式分析結果，是否支持吸菸與高血壓之間存在相乘尺度（multiplicative）上的交互作用？

Accepted Answer

核心觀念

本題考查含交互作用項的羅吉斯迴歸模型，以及不同條件下 odds ratio（勝算比，OR）的解讀。

模型為：

\log\left(\frac{p}{1-p}\right) =\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\beta_3X_1X_2

其中：

$\beta_1$ ：在 $X_2=0$ （無高血壓）時，吸菸對疾病 odds 的影響。
$\beta_2$ ：在 $X_1=0$ （未吸菸）時，高血壓對疾病 odds 的影響。
$\beta_3$ ：吸菸與高血壓在「相乘尺度」上的交互作用。
羅吉斯迴歸中，迴歸係數轉換為勝算比時，使用 $\exp(\beta)$ 。

若比較兩組的疾病 odds，則：

OR=\exp(\text{兩組線性預測值之差})

解題方法

先分別列出四種暴露組合的 log odds：

吸菸 $X_1$	高血壓 $X_2$	log odds
0	0	$\beta_0$
1	0	$\beta_0+\beta_1$
0	1	$\beta_0+\beta_2$
1	1	$\beta_0+\beta_1+\beta_2+\beta_3$

計算某項暴露的 OR 時，必須固定另一個暴露變項，再比較前後的 odds。

（一）無高血壓樣本中，吸菸者罹患心血管疾病的 odds ratio

無高血壓表示 $X_2=0$ 。

未吸菸者

當 $X_1=0$ 、 $X_2=0$ 時：

\log\left(\frac{p}{1-p}\right)=\beta_0

吸菸者

當 $X_1=1$ 、 $X_2=0$ 時：

\log\left(\frac{p}{1-p}\right) =\beta_0+\beta_1

兩者的 log odds 差為：

(\beta_0+\beta_1)-\beta_0=\beta_1

因此：

OR=\exp(\beta_1)=\exp(0.69)\approx 2.00

判讀

在無高血壓者中，吸菸者罹患心血管疾病的 odds 約為未吸菸者的 $2$ 倍。

（二）有高血壓樣本中，吸菸者與心血管疾病的 odds ratio

有高血壓表示 $X_2=1$ 。

未吸菸者

當 $X_1=0$ 、 $X_2=1$ 時：

\log\left(\frac{p}{1-p}\right)=\beta_0+\beta_2

吸菸者

當 $X_1=1$ 、 $X_2=1$ 時：

\log\left(\frac{p}{1-p}\right) =\beta_0+\beta_1+\beta_2+\beta_3

兩者的 log odds 差為：

(\beta_0+\beta_1+\beta_2+\beta_3) -(\beta_0+\beta_2) =\beta_1+\beta_3

因此：

OR=\exp(\beta_1+\beta_3)

代入數值：

OR=\exp(0.69+0.41) =\exp(1.10) \approx 3.00

也可利用指數的乘法性質驗算：

\exp(\beta_1+\beta_3) =\exp(\beta_1)\exp(\beta_3) \approx 2.00\times 1.51 \approx 3.02

因四捨五入後題目給定為 $3.00$ ，故答案為約 $3.00$ 。

判讀

在有高血壓者中，吸菸者罹患心血管疾病的 odds 約為未吸菸者的 $3$ 倍。

Question 2

某研究欲比較三種飲食介入方式對受試者三個月後體重（單位：公斤）下降是否有不同效果。研究者將體重過重成人隨機分派至三組，每組若干人，其中：

A 組：低脂飲食
B 組：地中海飲食
C 組：低醣飲食

研究結果顯示：A、B、C 組平均體重（單位：公斤）分別下降 $3.2$ 、 $5.6$ 、 $6.1$ 。其 One-way Analysis of Variance（ANOVA）分析結果如下：

Source	Sum of Squares	df	Mean Square	$F$	$p$ -value
Between Groups	$168$	$2$	$84$	$6.00$	$0.005$
Within Groups	$588$	$42$	$14$
Total	$756$	$44$

(一) 請寫出 One-way ANOVA 的虛無假設（Null hypothesis）與對立假設（Alternative hypothesis）。

(二) 進行此 One-way ANOVA 檢定時，資料需要符合哪些假設？

(三) 若研究者希望知道哪兩組平均值彼此不同，應再進行何種統計分析？請至少列舉一種適當的方法。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查單因子變異數分析（One-way ANOVA），用來比較三個獨立群組的母體平均數是否完全相同。

令：

$\mu_A$ ：低脂飲食組的母體平均體重下降量
$\mu_B$ ：地中海飲食組的母體平均體重下降量
$\mu_C$ ：低醣飲食組的母體平均體重下降量

ANOVA 的檢定統計量為：

F=\frac{\text{組間均方}}{\text{組內均方}}

本題中：

F=\frac{84}{14}=6.00

（一）虛無假設與對立假設

虛無假設 $H_0$

三組的母體平均體重下降量相同：

H_0:\mu_A=\mu_B=\mu_C

亦即，三種飲食介入方式對平均體重下降量沒有差異。

對立假設 $H_1$

三組平均數不全相同：

H_1:\text{至少有一組的母體平均體重下降量不同}

須注意， $H_1$ 並非表示三組兩兩皆不同，只表示至少存在一組平均數與其他組不同。

本題 $p$ -value $=0.005$ ，若以 $\alpha=0.05$ 判斷，因為：

0.005<0.05

故拒絕 $H_0$ ，表示三種飲食方式的平均體重下降量具有統計上顯著差異。

（二）One-way ANOVA 的資料假設

進行單因子 ANOVA 時，資料通常須符合以下條件：

1. 觀察值彼此獨立

每位受試者的體重下降量應彼此獨立，不能同一受試者重複計入，也不能因配對或群聚造成觀察值相互依賴。

本題採隨機分派至三組，有助於滿足獨立性要求。

2. 依變項為連續型數值資料

依變項是三個月後的體重下降量，單位為公斤，屬於連續型數值資料。

3. 各組母體分布近似常態

A、B、C 三組的體重下降量，在各組內應分別近似常態分布。

實務上可利用：

常態機率圖
直方圖
Shapiro–Wilk 常態性檢定
檢查 ANOVA 殘差是否近似常態

進行判斷。

4. 各組變異數相等

三組母體變異數應近似相同，即：

\sigma_A^2=\sigma_B^2=\sigma_C^2

Question 3

某研究欲評估一項健康促進方案是否能改變規律運動習慣。共有 $80$ 位受試者參加健康促進課程，並於介入前及介入後調查是否每週運動至少 $150$ 分鐘，研究結果如下：

	介入後有規律運動	介入後無規律運動	合計
介入前有規律運動	$18$	$26$	$44$
介入前無規律運動	$28$	$8$	$36$
合計	$46$	$34$	$80$

在 $\alpha=0.05$ 水準下，請檢定健康促進方案是否能改變規律運動習慣。

註： $\chi^2_{0.05,1}=3.84$ ； $\chi^2_{0.01,1}=6.63$ 。

請詳述：檢定假設、檢定統計量計算過程、 $p$ -value 數值範圍、統計決策以及結論。

Accepted Answer

核心觀念 本題為同一批受試者在介入前、後接受二分類測量，資料具有配對性，不能使用獨立樣本卡方檢定。適用方法為 McNemar 檢定，用來檢定介入前後「有規律運動」比例是否改變。 依考卷掃描圖，列聯表為： | | 介入後有規律運動 | 介入後無規律運動 | 合計 | |---|---:|---:|---:| | 介入前有規律運動 | 28 | 8 | 36 | | 介入前無規律運動 | 18 | 26 | 44 | | 合計 | 46 | 34 | 80 | 其中： - $b=8$：介入前有、介入後無 - $c=18$：介入前無、介入後有 McNemar 檢定只使用不一致配對資料 $b,c$。 檢定假設 令介入前後運動習慣改變的兩方向比例分別為 $p{有	o無}$ 與 $p{無	o有}$。 $$ H0:p{有	o無}=p{無	o有} $$ 表示健康促進方案不會改變規律運動習慣。 $$ H1:p{有	o無}
e p{無	o有} $$ 表示健康促進方案會改變規律運動習慣。本題為雙尾檢定。 檢定統計量計算 在虛無假設下，不一致配對應平均分配於兩個方向，因此： $$ E(b)=E(c)=\frac{b+c}{2} =\frac{8+18}{2}=13 $$ 未採連續性修正的 McNemar 檢定統計量為： $$ \chi^2 =\frac{(b-c)^2}{b+c} =\frac{(8-18)^2}{8+18} =\frac{100}{26} =3.846 $$ 自由度為： $$ df=1 $$ $p$-value 數值範圍 題目提供：

Question 4

想了解抽菸和動脈硬化症間的相關性，利用世代研究得到下面列聯表： | | 無抽菸（$X=0$） | 有抽菸（$X=1$） | |---|---:|---:| | 有動脈硬化症（$Y=1$） | $15$ | $20$ | | 無動脈硬化症（$Y=0$） | $20$ | $10$ | 請問有抽菸者有動脈硬化症的機率相對於無抽菸者有動脈硬化症的機率約為多少？（選出最接近的選項） (A) $2.67$ (B) $0.38$ (C) $1.56$ (D) $0.65$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查世代研究中的「相對危險度」（relative risk, RR）。由於研究對象依是否抽菸分組，再比較兩組發生動脈硬化症的風險，因此應計算： $$ RR=\frac{	ext{有抽菸者的疾病發生機率}}{	ext{無抽菸者的疾病發生機率}} $$ 其中： - 有抽菸者為暴露組； - 無抽菸者為未暴露組。 解題方法 有抽菸者中，發生動脈硬化症的機率為： $$ P(Y=1\mid X=1)=\frac{20}{20+10}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3} $$ 無抽菸者中，發生動脈硬化症的機率為： $$ P(Y=1\mid X=0)=\frac{15}{15+20}=\frac{15}{35}=\frac{3}{7} $$ 因此相對危險度為： $$ RR=\frac{2/3}{3/7} =\frac{2}{3}	imes\frac{7}{3} =\frac{14}{9} \approx 1.56 $$ 表示有抽菸者發生動脈硬化症的機率，約為無抽菸者的 $1.56$ 倍。 選項分析 - (A) $2.67$：錯誤。 此數值是優勢比（odds ratio, OR）：

Answer

答案：C

Question 5

利用 X 光來篩檢結核病，敏感度為 $84.8\%$、特異度為 $95.6\%$。若結核病的盛行率為 $0.0001$，隨機抽取一個人進行檢查，其胸部 X 光的檢查為陽性，其真正有病的機率約為多少？ (A) $0.152$ (B) $0.0019$ (C) $0.044$ (D) $<0.0001$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「陽性預測值」（positive predictive value, PPV），也就是： 檢查結果為陽性者，實際有病的機率。 定義為： $$ P(D\mid +) $$ 其中： - $D$：真正罹患結核病 - $+$：胸部 X 光檢查陽性 本題資料為： - 敏感度：$P(+\mid D)=0.848$ - 特異度：$P(-\mid \overline D)=0.956$ - 偽陽性率： $$ P(+\mid \overline D)=1-0.956=0.044 $$ - 盛行率： $$ P(D)=0.0001 $$ - 未罹病率： $$ P(\overline D)=1-0.0001=0.9999 $$ 解題方法：貝氏定理 要求的是在「已知檢查陽性」的條件下，真正有病的機率，因此使用貝氏定理： $$ P(D\mid +) = \frac{P(+\mid D)P(D)} {P(+\mid D)P(D)+P(+\mid \overline D)P(\overline D)} $$ 代入數值： $$ P(D\mid +) = \frac{0.848	imes 0.0001} {(0.848	imes 0.0001)+(0.044	imes 0.9999)} $$ 先計算分子： $$ 0.848	imes 0.0001=0.0000848 $$ 再計算未罹病者的偽陽性機率： $$ 0.044	imes 0.9999=0.0439956 $$ 因此： $$ P(D\mid +) = \frac{0.0000848}{0.0000848+0.0439956} = \frac{0.0000848}{0.0440804} \approx 0.00192 $$ 故真正有病的機率約為： $$ 0.0019 $$ 也就是約 $0.19\%$。 以人數快速理解 假設篩檢 $100,000$ 人： - 真正有病者： $$ 100,000	imes 0.0001=10	ext{ 人} $$ - 有病且檢查陽性者： $$ 10	imes 0.848=8.48	ext{ 人} $$ - 未罹病者： $$ 99,990	ext{ 人} $$ - 未罹病但檢查陽性者：

Answer

答案：B

Question 6

下表為沙克疫苗的大型試驗結果，注射沙克疫苗或是安慰劑之後得到小兒麻痺的人數。由試驗結果得到注射沙克疫苗相對安慰劑得到小兒麻痺的勝算比（odds ratio）為何？

	得小兒麻痺	沒有得小兒麻痺
注射沙克疫苗（Salk Vaccine）	$33$	$200{,}712$
注射安慰劑（Placebo）	$115$	$201{,}114$

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像；題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查二乘二列聯表中的「勝算比」（odds ratio, OR）。 對於下列表格： | | 得病 | 未得病 | |---|---:|---:| | 暴露組（疫苗） | $a$ | $b$ | | 未暴露組（安慰劑） | $c$ | $d$ | 勝算比公式為： $$ OR=\frac{a/b}{c/d}=\frac{ad}{bc} $$ 本題中： - $a=33$ - $b=200{,}712$ - $c=115$ - $d=201{,}114$ 解題方法 先分別計算兩組「得到小兒麻痺」的勝算。 疫苗組的勝算為： $$ \frac{33}{200{,}712} $$ 安慰劑組的勝算為： $$ \frac{115}{201{,}114} $$ 因此，注射沙克疫苗相對於安慰劑得到小兒麻痺的勝算比為： $$ OR= \frac{33/200{,}712}{115/201{,}114} $$ 整理為交叉相乘： $$ OR= \frac{33	imes 201{,}114}{200{,}712	imes 115} $$ $$ OR\approx 0.2875 $$ 因此，疫苗組發生小兒麻痺的勝算約為安慰劑組的 $0.2875$ 倍，表示疫苗組的發病勝算明顯低於安慰劑組。 選項分析 - (A) $0.000164$：錯誤。 此數值約為疫苗組的勝算：

Answer

答案：C

Question 7

臺灣母親懷孕滿 $38$ 週之新生兒體重分布為常態分布，平均值為 $\mu$（單位：g），標準差為 $\sigma$（單位：g）。若 $\mu=2800$、$\sigma=400$，從母體隨機抽取樣本數 $n=25$ 的一組樣本，則其樣本平均數會大於 $3300$ g 的機率約為多少？ （$z{0.005}=2.58$、$z{0.025}=1.96$、$z{0.05}=1.645$、$z{0.10}=1.28$、$z{0.16}=1$） (A) $0.300$ (B) $0.100$ (C) $0.050$ (D) $<0.005$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「常態母體下樣本平均數的抽樣分布」。 若母體為常態分布： $$ X\sim N(\mu,\sigma^2) $$ 則樣本平均數 $\bar X$ 的分布為： $$ \bar X\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) $$ 其平均數為 $\mu$，標準差稱為「平均數的標準誤」： $$ \sigma{\bar X}=\frac{\sigma}{\sqrt n} $$ 本題給定： $$ \mu=2800,\qquad \sigma=400,\qquad n=25 $$ --- 解題方法 先計算樣本平均數的標準誤： $$ \sigma{\bar X} =\frac{\sigma}{\sqrt n} =\frac{400}{\sqrt{25}} =\frac{400}{5} =80 $$ 題目要求： $$ P(\bar X3300) $$ 將 $3300$ 標準化為 $Z$： $$ Z=\frac{\bar X-\mu}{\sigma{\bar X}} $$ 因此： $$ P(\bar X3300) = P\left( Z\frac{3300-2800}{80} \right) $$ $$ = P(Z6.25) $$ 標準常態分布中，$Z=6.25$ 已遠在右尾。題目提供： $$ P(Z2.58)=0.005 $$ 由於 $6.252.58$，所以： $$ P(Z6.25)<P(Z2.58)=0.005 $$ 因此： $$ P(\bar X3300)<0.005 $$ ---

Answer

答案：D

Question 8

若母體標準差已知，樣本數夠大的情形下，估計單一母體平均數的 $95\%$ 信賴區間。對於此區間的描述，下列敘述何者錯誤？ (A) 重複抽取 $100$ 組樣本後，可建構 $100$ 個信賴區間，大約有 $95\%$ 的區間會包含母體平均數。 (B) 母體平均數的 $95\%$ 信賴區間寬度約為 $4$ 個標準誤（standard error）。 (C) $95\%$ 信賴區間表示此信賴區間包含 $95\%$ 的樣本觀測值。 (D) 母體平均數的信賴區間估計必定包含樣本平均數。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「單一母體平均數之 $95\%$ 信賴區間」的意義與解讀。 當母體標準差 $\sigma$ 已知，且樣本數夠大時，母體平均數 $\mu$ 的信賴區間為 $$ \bar X \pm z{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} $$ 其中： - $\bar X$：樣本平均數 - $\sigma/\sqrt n$：樣本平均數的標準誤（standard error） - $95\%$ 信賴區間中，$\alpha=0.05$ - $z{0.025}=1.96$ 因此，信賴區間可寫成 $$ \bar X \pm 1.96\frac{\sigma}{\sqrt n} $$ 其區間寬度為 $$ 2	imes 1.96\frac{\sigma}{\sqrt n} =3.92\frac{\sigma}{\sqrt n} \approx 4	ext{ 個標準誤} $$ 解題方法 判斷各選項時，應區分三個概念： 1. 信賴區間是估計母體參數 $\mu$ 的區間。 2. $95\%$ 是指重複抽樣時，使用此方法建構的區間約有 $95\%$ 會涵蓋真正的 $\mu$。 3. 信賴區間並不是在描述樣本觀測值有多少比例落在區間內。 依此逐一判斷即可。 選項分析 (A) 正確 若重複抽取 $100$ 組樣本，每一組樣本都依照相同公式建構一個 $95\%$ 信賴區間，則會得到 $100$ 個信賴區間。 在長期重複抽樣的意義下，約有 $95\%$ 的信賴區間會包含真正的母體平均數 $\mu$，約有 $5\%$ 不會包含 $\mu$。 因此，A 正確。 需注意的是，這裡的 $95\%$ 是針對「信賴區間建構方法」的長期涵蓋率，不是指某一個已經算出的區間有 $95\%$ 的機率包含 $\mu$。 (B) 正確 $95\%$ 信賴區間的形式為 $$ \bar X \pm 1.96\left(\frac{\sigma}{\sqrt n}ight) $$

Answer

答案：C

Question 9

全國健康調查 $50$ 歲到 $74$ 歲去年為健康且無失智的族群，今年將使用簡易心智量表（MMSE，滿分為 $30$ 分）進行失智檢測，已知平均值 $\mu=27$ 分，標準差為 $\sigma=4$ 分。在進行樣本數估算時，要多少樣本數，其母體平均數的 $95\%$ 信賴區間寬度為 $2$ ？（選出最接近的）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「母體平均數信賴區間的樣本數估算」。 已知： - 母體標準差 $\sigma=4$ - 信賴水準為 $95\%$ - 信賴區間寬度為 $2$ - 母體平均數估計採雙尾信賴區間 $95\%$ 信賴區間的標準常態臨界值為： $$ Z{0.975}=1.96 $$ 信賴區間寬度是上下限之間的總長度，並非單側誤差範圍。因此，寬度 $2$ 所對應的最大容許誤差為： $$ E=\frac{2}{2}=1 $$ 解題方法 在已知母體標準差時，母體平均數的 $95\%$ 信賴區間為： $$ \bar X \pm Z{0.975}\frac{\sigma}{\sqrt n} $$ 其中誤差範圍為： $$ E=Z{0.975}\frac{\sigma}{\sqrt n} $$ 移項並平方，可得樣本數公式： $$ n=\left(\frac{Z{0.975}\sigma}{E}ight)^2 $$ 代入題目數值： $$ n=\left(\frac{1.96	imes 4}{1}ight)^2 $$ $$ n=(7.84)^2=61.4656 $$ 樣本數必須取整數，且須向上取整，以確保信賴區間寬度不超過 $2$： $$ n=62 $$ 因此最接近的選項為 (A) 約 $62$ 人。 選項分析 - (A) 約 $62$ 人：正確。 依公式計算得 $n=61.4656$，向上取整為 $62$ 人。

Answer

答案：A

Question 10

北區衛生局進行地區性的收縮壓調查，共收集 $100$ 個人的收縮壓數值。根據這個樣本計算出收縮壓母體平均數的 $95\%$ 信賴區間為 $(109,130)$ mmHg。若在調查前已由往年資料得知，收縮壓母體分配為常態分配且母體標準差已知，則下列推測何者錯誤？ (A) 此調查得到的樣本收縮壓平均數為 $119.5$ mmHg。 (B) 樣本收縮壓平均數抽樣分配的標準誤約為 $5.36$ mmHg。 (C) 收縮壓母體標準差約為 $43$ mmHg。 (D) 依中央極限定理，收縮壓平均數的抽樣分配會服從常態分配。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「母體標準差已知時，母體平均數的 $95\%$ 信賴區間」及樣本平均數的抽樣分配。 已知： - 樣本數 $n=100$ - 母體為常態分配 - 母體標準差 $\sigma$ 已知 - 母體平均數的 $95\%$ 信賴區間為 $(109,130)$ 母體標準差已知時，平均數信賴區間公式為： $$ \bar{x}\pm z{0.975}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$ 其中 $z{0.975}=1.96$，而 $$ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$ 就是樣本平均數抽樣分配的標準誤（standard error, SE）。 --- 解題方法 先由信賴區間的上下限求出樣本平均數： $$ \bar{x}=\frac{109+130}{2}=119.5 $$ 因此，樣本平均數為 $119.5$ mmHg。 再由信賴區間的半寬求標準誤： $$ 	ext{半寬}=\frac{130-109}{2}=10.5 $$ 因為 $$ 10.5=1.96	imes SE $$ 所以： $$ SE=\frac{10.5}{1.96}\approx 5.36	ext{ mmHg} $$ 又因為： $$ SE=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$ 故： $$ \sigma=SE\sqrt{n} =5.36	imes\sqrt{100} =5.36	imes10 \approx53.6	ext{ mmHg} $$ 因此母體標準差約為 $53.6$ mmHg，而不是 $43$ mmHg。 --- 選項分析 (A) 此調查得到的樣本收縮壓平均數為 $119.5$ mmHg。 正確。 信賴區間的中心點就是樣本平均數： $$ \bar{x}=\frac{109+130}{2}=119.5 $$ 因此此選項正確。 --- (B) 樣本收縮壓平均數抽樣分配的標準誤約為 $5.36$ mmHg。 正確。 信賴區間半寬為： $$ \frac{130-109}{2}=10.5 $$

Answer

答案：C

Question 11

一位研究生進行一項關於大學生吸菸習慣的研究。他先從所有大學中隨機抽取 $10$ 所大學，然後再從這 $10$ 所大學中隨機選取了 $500$ 位大學生進行研究，這個研究的母群體為何？ (A) 本研究來自 $10$ 所大學的 $500$ 位學生 (B) 所有大學的大學生 (C) 本研究所選取 $10$ 所大學的所有大學生 (D) 所有吸菸者

Accepted Answer

核心觀念 本題考「母群體（population）」與「樣本（sample）」的區別。 - 母群體：研究者希望將研究結果推論適用的全部對象。 - 樣本：實際被抽出並接受研究的對象。 - 本題研究主題是「大學生吸菸習慣」，研究者的抽樣對象是大學生，因此研究母群體是所有大學的大學生。 本題採取兩階段抽樣： 1. 從所有大學中隨機抽取 $10$ 所大學。 2. 再從這 $10$ 所大學中抽取 $500$ 位大學生作為研究對象。 抽樣範圍雖經過特定大學，研究結果的推論對象仍是題目設定的全部大學生。 解題方法 先判斷研究者欲研究的「全部對象」： 題目研究的是「大學生吸菸習慣」，不是只研究某 $10$ 所大學，也不是只研究已吸菸者。因此，研究母群體應為所有大學的大學生。 其中： - $10$ 所大學是第一階段抽樣單位。 - $500$ 位學生是實際研究樣本。 - 所有大學的大學生是研究欲推論的母群體。 因此，依官方答案，正確選項為 (B)。 選項分析 (A) 本研究來自 $10$ 所大學的 $500$ 位學生：錯誤 這 $500$ 位學生是研究者實際抽取並調查的對象，屬於「樣本」，不是母群體。 以符號表示： $$ 	ext{樣本} = 500	ext{ 位實際接受研究的大學生} $$ 樣本的功能是提供資料，讓研究者推論母群體的特徵。 (B) 所有大學的大學生：正確 這是研究者希望將「大學生吸菸習慣」研究結果推論適用的全部對象，符合母群體的定義。

Answer

答案：B

Question 12

在生產流感快篩試劑的品管部門，若要檢定不良率 $p$ 是否不足 $0.01$，其虛無假設及對立假設為何？ (A) $H0:p=0.01$ vs. $HA:p
e0.01$ (B) $H0:p
e0.01$ vs. $HA:p=0.01$ (C) $H0:p\le0.01$ vs. $HA:p0.01$ (D) $H0:p\ge0.01$ vs. $HA:p<0.01$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查統計假設檢定中「研究目的所對應的對立假設」及「虛無假設的設定」。 令生產流感快篩試劑的不良率為 $p$，題目要檢定「不良率是否不足 $0.01$」，即判斷： $$ p<0.01 $$ 因此，「不足 $0.01$」是研究者希望獲得支持的方向，應放在對立假設 $HA$ 中： $$ HA:p<0.01 $$ 虛無假設則包含未達成研究主張的情況，並包括臨界值 $p=0.01$： $$ H0:p\ge 0.01 $$ 所以正確假設為： $$ H0:p\ge0.01 \quad	ext{vs.}\quad HA:p<0.01 $$ --- 解題方法 判斷假設檢定方向時，先抓題目中的關鍵字： - 「不足」、「低於」、「小於」：左尾檢定，對立假設為 $p< p0$。 - 「超過」、「高於」、「大於」：右尾檢定，對立假設為 $pp0$。 - 「不同」、「有差異」：雙尾檢定，對立假設為 $p
e p0$。 本題的關鍵字是「不良率是否不足 $0.01$」，故為左尾檢定： $$ HA:p<0.01 $$ 依假設檢定的一般原則，虛無假設必須包含等號，並涵蓋對立假設以外的情況，因此為： $$ H0:p\ge0.01 $$ 這正是選項（D）。 --- 選項分析 （A）$H0:p=0.01$ vs. $HA:p
e0.01$：錯誤 此組假設所對應的是「不良率是否與 $0.01$ 不同」，屬於雙尾檢定： $$ p
e0.01 $$ 題目要求的是判斷不良率是否「不足」$0.01$，只關心 $p<0.01$ 的方向，並不關心 $p0.01$ 的情況，因此不應使用雙尾對立假設。 --- （B）$H0:p
e0.01$ vs. $HA:p=0.01$：錯誤

Answer

答案：D

Question 13

臺北兩家教學醫院共收集 $300$ 位不足月出生的嬰兒樣本資料。假設男、女嬰的血氧濃度為常態分配，欲檢定這些不足月出生的嬰兒男孩的平均血氧濃度是否低於女孩的平均血氧濃度，其虛無假設及對立假設為何？ 其中，$\mu{	ext{女}}$ 為女嬰之血氧濃度平均數，$\mu{	ext{男}}$ 為男嬰之血氧濃度平均數。 (A) $H0:\mu{	ext{男}}-\mu{	ext{女}}<0$ vs. $HA:\mu{	ext{男}}-\mu{	ext{女}}\ge0$ (B) $H0:\mu{	ext{男}}-\mu{	ext{女}}\le0$ vs. $HA:\mu{	ext{男}}-\mu{	ext{女}}0$ (C) $H0:\mu{	ext{男}}-\mu{	ext{女}}=0$ vs. $HA:\mu{	ext{男}}-\mu{	ext{女}}
e0$ (D) $H0:\mu{	ext{男}}-\mu{	ext{女}}\ge0$ vs. $HA:\mu{	ext{男}}-\mu{	ext{女}}<0$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「單尾假設檢定」中，研究假設、虛無假設與對立假設的設定。 題目欲檢定： 不足月出生男嬰的平均血氧濃度是否低於女嬰。 以平均數差表示為： $$ \mu{	ext{男}}-\mu{	ext{女}} $$ 「男嬰平均血氧濃度低於女嬰」代表： $$ \mu{	ext{男}}-\mu{	ext{女}}<0 $$ 這是一個左尾檢定。 在統計假設檢定中，研究者欲支持的方向性主張通常放在對立假設 $HA$；虛無假設 $H0$ 則包含等號，並涵蓋與研究主張相反的情況。 --- 解題方法 本題的研究問題是判斷男嬰平均血氧濃度是否低於女嬰，因此將研究主張寫成對立假設： $$ HA:\mu{	ext{男}}-\mu{	ext{女}}<0 $$ 其互補情況為男嬰平均血氧濃度不低於女嬰，也就是： $$ \mu{	ext{男}}-\mu{	ext{女}}\ge 0 $$ 因此虛無假設為： $$ H0:\mu{	ext{男}}-\mu{	ext{女}}\ge 0 $$ 完整假設為： $$ H0:\mu{	ext{男}}-\mu{	ext{女}}\ge 0 \quad	ext{vs.}\quad HA:\mu{	ext{男}}-\mu{	ext{女}}<0 $$ 故正確答案為 (D)。 其中： - $\mu{	ext{男}}-\mu{	ext{女}}<0$：男嬰平均血氧濃度低於女嬰。 - $\mu{	ext{男}}-\mu{	ext{女}}=0$：兩者平均血氧濃度相同。 - $\mu{	ext{男}}-\mu{	ext{女}}0$：男嬰平均血氧濃度高於女嬰。 由於「不低於」包含相等與高於兩種情形，因此必須寫成 $\ge 0$。 --- 選項分析 (A) $H0:\mu{	ext{男}}-\mu{	ext{女}}<0$ vs. $HA:\mu{	ext{男}}-\mu{	ext{女}}\ge0$ 錯誤。 $\mu{	ext{男}}-\mu{	ext{女}}<0$ 正是題目欲檢定的研究方向，應放在對立假設 $HA$，不應放在虛無假設 $H0$。 此外，題目是檢定男嬰是否低於女嬰，而本選項的 $HA$ 表示男嬰平均血氧濃度不低於女嬰，方向與題意相反。 ---

Answer

答案：D

Question 14

已知臺灣地區北、中、南三地區 $65$ 歲以上健康者的空腹血糖值分布皆呈常態分布，且三地的空腹血糖值變異數皆相等。有一研究在北、中、南三地區進行隨機抽樣，測量 $65$ 歲以上健康者的空腹血糖值，得到變異數分析表如下：

變異原因	平方和 SS	自由度 DF	均方 MS	$F$ 值
組間（Between）	$18.716$	$(2)$	$(3)$	$(5)$
組內（Within）	$2406.12$	$64$	$(4)$
合計（Total）

估計臺灣這三個地區 $65$ 歲以上健康者空腹血糖值的母體變異數約為多少？（依上述表格數值進行計算）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像；題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查單因子變異數分析（one-way ANOVA）中，母體共同變異數的估計。 在三組母體皆呈常態分布，且各組母體變異數相等的前提下，母體共同變異數 $\sigma^2$ 的不偏估計量為組內均方： $$ MSW=\frac{SSW}{DFW} $$ 組內均方又稱為合併組內變異數（pooled within-group variance），可用來估計三個地區健康者空腹血糖值的母體變異數。 解題方法 題目給出的組內平方和與自由度為： $$ SSW=2406.12,\qquad DFW=64 $$ 因此組內均方為： $$ MSW=\frac{2406.12}{64}=37.595625 $$ 四捨五入至小數點後三位： $$ MSW\approx 37.596 $$ 所以三個地區空腹血糖值的母體共同變異數估計值為： $$ \hat{\sigma}^2=MSW=37.596 $$ 選項分析 - (A) $6.239$：錯誤 $6.239$ 並非本題估計母體變異數所使用的組內均方。母體共同變異數應以組內平方和除以組內自由度計算，而非此數值。 - (B) $9.358$：錯誤 組間自由度為：

Answer

答案：D

Question 15

承上題，假設 $\alpha=0.05$，同時假設 $\mu{	ext{北}}$、$\mu{	ext{中}}$、$\mu{	ext{南}}$ 分別代表三地 $65$ 歲以上健康者的空腹血糖值母群體平均數，試比較三地空腹血糖值平均值是否有差異。在設立虛無假設及對立假設，下列何者正確？ (A) $H0:\mu{	ext{北}}=\mu{	ext{中}}=\mu{	ext{南}}$ vs. $HA:$ 至少有一個等號不成立 (B) $H0:\mu{	ext{北}}=\mu{	ext{中}}=\mu{	ext{南}}$ vs. $HA:\mu{	ext{北}}
e\mu{	ext{中}}
e\mu{	ext{南}}$ (C) $H0:\mu{	ext{北}}=\mu{	ext{中}}=\mu{	ext{南}}=0$ vs. $HA:\mu{	ext{北}}
e\mu{	ext{中}}
e\mu{	ext{南}}
e0$ (D) $H0:\mu{	ext{北}}
e\mu{	ext{中}}
e\mu{	ext{南}}$ vs. $HA:\mu{	ext{北}}=\mu{	ext{中}}=\mu{	ext{南}}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「三個以上母群體平均數比較」時，虛無假設與對立假設的設定，對應的統計方法通常為單因子變異數分析（one-way ANOVA）。 三地平均數分別為： - 北部：$\mu{	ext{北}}$ - 中部：$\mu{	ext{中}}$ - 南部：$\mu{	ext{南}}$ 若要檢定三地平均數是否完全相同，假設應設定為： $$ H0:\mu{	ext{北}}=\mu{	ext{中}}=\mu{	ext{南}} $$ 其對立假設必須是虛無假設的完整否定，即： $$ HA:	ext{至少有一個平均數不同} $$ 也可寫成： $$ HA:	ext{至少有一個等號不成立} $$ 此處的「至少有一個不同」包括下列情況： 1. 北部與中部不同； 2. 北部與南部不同； 3. 中部與南部不同； 4. 三地平均數均不相同。 顯著水準 $\alpha=0.05$ 是日後進行統計檢定時的判定標準，並不會改變虛無假設與對立假設的內容。 解題方法 設定假設時，應遵守以下原則： 1. 虛無假設通常代表「無差異」或「完全相等」。 2. 對立假設是虛無假設的補集，必須涵蓋所有不符合虛無假設的情況。 3. 不能把對立假設設定得過度嚴格，否則會漏掉部分「有差異」的情況。 本題的研究問題是「三地空腹血糖值平均值是否有差異」，因此： $$ H0:\mu{	ext{北}}=\mu{	ext{中}}=\mu{	ext{南}} $$ 而只要三地中至少有一地的平均數不同，就表示三地平均數並非全部相等，因此： $$ HA:	ext{至少有一個等號不成立} $$ 故選項（A）正確。 選項分析 （A）正確 $$ H0:\mu{	ext{北}}=\mu{	ext{中}}=\mu{	ext{南}} $$ 表示三地母群體平均空腹血糖值相同，符合「無差異」的虛無假設。 $$ HA:	ext{至少有一個等號不成立} $$ 表示三地平均數不全相等，只要至少一個地區的平均數與其他地區不同即可，完整涵蓋本題所要檢定的「有差異」情形。

Answer

答案：A

Question 16

想比較男生及女生的血清膽固醇在過去半年內的變化，某研究進行兩組之血清膽固醇的改變量是否有差異的比較，抽出樣本數各約 $300$ 人，應使用下列哪個統計方法進行比較？ (A) One-way ANOVA (B) 威爾考克森符號等級檢定（Wilcoxon signed rank test） (C) 獨立雙樣本平均數檢定 (D) 成對樣本平均數檢定

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「研究設計」與「兩組資料比較方法」的選擇。 研究目的不是比較同一個人在半年內前後的膽固醇，而是比較： - 男生血清膽固醇的半年改變量 - 女生血清膽固醇的半年改變量 令每位受試者的改變量為： $$ Di=	ext{半年後膽固醇}-	ext{半年前年膽固醇} $$ 研究所要檢定的是男生與女生的平均改變量是否不同： $$ H0:\muD^{(男)}=\muD^{(女)} $$ $$ H1:\muD^{(男)}
e\muD^{(女)} $$ 男生與女生屬於兩個不同且互相獨立的群體，因此應比較兩個獨立樣本的平均改變量，使用獨立雙樣本平均數檢定，即 independent two-sample $t$ test。 --- 解題方法 首先，將每位受試者的半年改變量計算出來： $$ D=	ext{期末值}-	ext{期初值} $$ 接著分成男生組與女生組，分別計算： - 男生改變量平均數：$\bar D1$ - 女生改變量平均數：$\bar D2$ 檢定兩組平均改變量之差： $$ \bar D1-\bar D2 $$ 在兩組變異數相同的假設下，檢定統計量為： $$ t= \frac{\bar D1-\bar D2} {sp\sqrt{\frac{1}{n1}+\frac{1}{n2}}} $$ 其中合併變異數為： $$ sp^2= \frac{(n1-1)s1^2+(n2-1)s2^2} {n1+n2-2} $$ 若不假設兩組變異數相同，則使用 Welch’s two-sample $t$ test。兩組樣本數均約為 $300$ 人，樣本數大，平均數的抽樣分布通常可依中央極限定理近似常態，因此以兩組平均改變量進行比較是適當的。 本題的關鍵在於： 「改變量」是在每位受試者內部先計算出來；「男生與女生之間的改變量比較」則是兩個獨立群體之間的比較。 因此正確答案為獨立雙樣本平均數檢定。 --- 選項分析 (A) One-way ANOVA One-way ANOVA 用於比較三組以上獨立群體的平均數是否相同，基本假設為： $$ H0:\mu1=\mu2=\cdots=\muk $$

Answer

答案：C

Question 17

某研究收集 $8$ 位女生與 $10$ 位男生樣本，每月的運動天數如下。若要比較男、女的運動天數是否相同，要使用何種統計方法最合適？ 男生：$19,9,4,10,18,20,12,15,24,20$ 女生：$7,12,5,4,8,5,10,16$ (A) 獨立雙樣本平均數檢定 (B) 威爾考克森等級和檢定（Wilcoxon rank sum test） (C) 威爾考克森符號等級檢定（Wilcoxon signed rank test） (D) 成對樣本平均數檢定

Accepted Answer

核心觀念

本題比較的是「男生與女生兩組樣本的每月運動天數是否相同」，資料來自不同受試者，故屬於兩個獨立樣本。

每組樣本數不大：

男生： $n_1=10$
女生： $n_2=8$

題目未說明資料符合常態分布，也未要求比較平均數；運動天數屬於可排序的計數資料，因此採用不依賴常態分布假設的無母數方法較合適。

比較兩個獨立樣本的無母數方法為：

\text{Wilcoxon rank sum test}

亦稱為 Mann–Whitney U test，中文為「威爾考克森等級和檢定」。

解題方法

1. 判斷樣本是否獨立

男生與女生是兩批不同受試者：

每位男生只提供一筆資料；
每位女生只提供一筆資料；
沒有同一個人前後測量；
沒有男生與女生一一配對。

因此，兩組資料屬於獨立樣本。

2. 判斷應使用參數法或無母數法

兩獨立樣本若符合常態分布、變異數等條件，可使用獨立雙樣本平均數檢定；但本題：

男生僅有 $10$ 人；
女生僅有 $8$ 人；
題目未提供常態性或變異數相等的資訊；
資料為運動天數，具有離散計數資料特性。

因此，以資料的大小排序後比較兩組的秩次，使用 Wilcoxon rank sum test 較適當。

3. Wilcoxon 等級和檢定的基本做法

將兩組資料合併後，由小到大排序並給予秩次；若數值相同，採用平均秩次。

合併排序如下：

運動天數	組別	秩次
4	男、女	$1.5$
5	女、女	$3.5$
7	女	$5$
8	女	$6$
9	男	$7$
10	男、女	$8.5$
12	男、女	$10.5$
15	男	$12$
16	女	$13$
18	男	$14$
19	男	$15$
20	男、男	$16.5$
24	男	$18$

男生秩次和為：

R_{\text{男}} =15+7+1.5+8.5+14+16.5+10.5+12+18+16.5 =119.5

女生秩次和為：

R_{\text{女}}=171-119.5=51.5

其中總秩次為：

1+2+\cdots+18=\frac{18(19)}{2}=171

若進一步計算 Mann–Whitney 的 $U$ 值：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

Answer

答案：B

Question 18

有一研究欲觀察第二型糖尿病患者的風險因子，想了解這個群組中，肥胖對腎臟病變的效應，將 BMI 分為三組：BMI 過低、BMI 正常、BMI 過高，並比較這三組母群體的平均腎絲球過濾率（eGFR）的差異，使用 ANOVA 進行分析，利用 Bonferroni 多重比較來進行事後檢定，並進行檢定顯著水準的調整。調整後的顯著水準約為多少？（整體顯著水準為 $0.05$ ）

Accepted Answer

核心觀念 本題考的是單因子變異數分析（one-way ANOVA）後的 Bonferroni 多重比較法。 BMI 分為三組： 1. BMI 過低 2. BMI 正常 3. BMI 過高 ANOVA 可先檢定三組平均 eGFR 是否存在整體差異。若整體檢定達顯著，再進行兩兩事後比較，以判斷究竟是哪幾組之間有差異。 Bonferroni 法的概念是：將整體顯著水準 $\alpha$ 平均分配給所有預定進行的比較，以控制整體型一錯誤率（family-wise error rate）。 --- 解題方法 三組之間的兩兩比較數為組合數： $$ \binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3 $$ 三個比較分別是： - BMI 過低 vs. BMI 正常 - BMI 過低 vs. BMI 過高 - BMI 正常 vs. BMI 過高 整體顯著水準為 $\alpha=0.05$，因此 Bonferroni 調整後，每一次兩兩比較所使用的顯著水準為： $$ \alpha{	ext{adjusted}} = \frac{\alpha}{	ext{比較次數}} = \frac{0.05}{3} = 0.016666\ldots \approx 0.0167 $$ 因此，事後兩兩比較時，$p$ 值必須小於約 $0.0167$，才判定該組間差異達統計顯著。 --- 選項分析 (A) $0.05$：錯誤

Answer

答案：B

Question 19

想了解大學中的性別如何分布，抽樣調查某大學的學生 $250$ 名，其中 $112$ 名為男生，$138$ 名為女生。利用此調查資料檢定男女比例是否為 $1:1$，下列哪種檢定最為適合？ (A) 單一樣本比例檢定 (B) 獨立雙樣本平均數檢定 (C) 獨立雙樣本比例檢定 (D) 威爾考克森等級和檢定（Wilcoxon rank sum test）

Accepted Answer

核心觀念 本題在考「單一樣本比例檢定」的適用情境。 抽取某大學學生 $250$ 名，觀察每位學生的性別，結果分為男生與女生兩類。題目要檢定的是： 整體學生中，男生所占比例是否為 $1:1$ 中的 $\frac{1}{2}$。 令 $p$ 表示母體中男生比例，則男女比例為 $1:1$ 等價於： $$ p=\frac{1}{2} $$ 因此，這是以一組樣本估計一個母體比例，並將樣本比例與假設比例 $\frac{1}{2}$ 比較，適用單一樣本比例檢定。 --- 解題方法 1. 設定假設 男生人數為 $112$ 人，樣本總數為 $250$ 人，因此樣本男生比例為： $$ \hat p=\frac{112}{250}=0.448 $$ 欲檢定男女比例是否為 $1:1$： $$ H0:p=0.5 $$ $$ H1:p
e 0.5 $$ 這是雙尾檢定，因為題目問的是「是否為 $1:1$」，並未指定男生比例較高或較低。 2. 單一樣本比例檢定統計量 在大樣本條件下，檢定統計量為： $$ Z=\frac{\hat p-p0} {\sqrt{\frac{p0(1-p0)}{n}}} $$ 其中： - $\hat p=0.448$ - $p0=0.5$ - $n=250$ 代入得： $$ Z= \frac{0.448-0.5} {\sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{250}}} = \frac{-0.052}{\sqrt{0.001}} \approx -1.64 $$ 此題的重點在於選擇正確的檢定方法，而非要求完成顯著性判定。資料型態是二分類變項，且只有一組抽樣學生，因此選擇「單一樣本比例檢定」。 若以常用的顯著水準 $\alpha=0.05$ 判斷，雙尾臨界值為 $\pm1.96$，而 $|Z|\approx1.64<1.96$，因此不拒絕 $H0$。這表示樣本資料不足以認定男女比例與 $1:1$ 有顯著差異。 --- 選項分析 (A) 單一樣本比例檢定——正確

Answer

答案：A

Question 20

生技公司為確保檢驗結果的正確性，將 $6$ 名受試者血液檢體同時送交甲檢驗室與乙檢驗室，以了解甲檢驗室與乙檢驗室的紅血球數量檢驗結果是否有差異。應使用何種方法檢定？ (A) 威爾考克森符號等級檢定（Wilcoxon signed rank test） (B) 威爾考克森等級和檢定（Wilcoxon rank sum test） (C) 獨立雙樣本平均數檢定 (D) One-way ANOVA

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「配對資料」與「無母數檢定方法」的判斷。 6 名受試者的同一份血液檢體，同時送交甲、乙兩間檢驗室檢測。因此，每一名受試者都會產生一組相互對應的檢驗結果： $$ (Xi,Yi),\quad i=1,2,\ldots,6 $$ 其中 $Xi$ 為甲檢驗室結果，$Yi$ 為乙檢驗室結果。研究重點不是比較兩群不同受試者，而是比較同一受試者檢體在兩間檢驗室的結果差異。 令每一對檢驗結果的差值為： $$ Di=Xi-Yi $$ 本題要檢定的是甲、乙檢驗室的差異，亦即檢定差值的中央位置是否為 $0$。 由於題目受試者人數僅有 $6$ 人，且未說明差值符合常態分布，適合採用配對資料的無母數方法：威爾考克森符號等級檢定（Wilcoxon signed rank test）。 --- 解題方法 判斷統計方法時，依下列順序切入： 1. 觀察資料是否配對 同一名受試者的血液檢體分別接受甲、乙檢驗室檢測，兩個結果具有一一對應關係，因此屬於配對資料。 2. 判斷是否採無母數方法 題目樣本數只有 $6$ 人，未提供母體常態性等假設，宜採用不要求常態分布的無母數檢定。 3. 配對資料的無母數檢定 配對資料若要比較兩種處理或兩種測量結果的差異，可先計算每一對差值： $$Di=Xi-Yi$$ 再將非零差值依絕對值大小排序，給予等級，並保留原差值的正負號。接著分別計算正差值等級總和 $T+$ 與負差值等級總和 $T-$，以較小者作為檢定統計量： $$T=\min(T+,T-)$$ 再依樣本數 $n$ 查詢 Wilcoxon signed rank test 的臨界值，或計算 $p$ 值，判斷甲、乙檢驗室的結果是否具有統計上顯著差異。 因此，本題正確方法為： $$ \boxed{	ext{Wilcoxon signed rank test}} $$ --- 選項分析 (A) 威爾考克森符號等級檢定（Wilcoxon signed rank test）——正確 本方法適用於： - 兩組資料具有配對或相關關係； - 研究對象相同，僅接受不同測量或處理； - 欲檢定配對差值的中央位置是否為 $0$； - 不希望依賴差值服從常態分布的假設。 本題的甲、乙檢驗結果來自同一名受試者的同一份血液檢體，屬於典型配對資料，故應使用 Wilcoxon signed rank test。 ---

Answer

答案：A

Question 21

檢定兩個母群體變異數是否相等應採用下列哪一個檢定？ (A) 卡方（Chi-square）檢定 (B) $F$ 檢定 (C) $t$ 檢定 (D) $Z$ 檢定

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「兩個母群體變異數是否相等」的假設檢定。 設兩個母群體的變異數分別為 $\sigma1^2$、$\sigma2^2$，欲檢定： $$ H0:\sigma1^2=\sigma2^2 $$ $$ H1:\sigma1^2
e\sigma2^2 $$ 在兩母群體彼此獨立且近似常態分布的條件下，利用兩個樣本變異數的比值： $$ F=\frac{S1^2}{S2^2} $$ 進行檢定。當虛無假設成立時，統計量服從 $F$ 分布，其自由度為： $$ df1=n1-1,\qquad df2=n2-1 $$ 因此，檢定兩個母群體變異數是否相等，應採用 $F$ 檢定。 --- 解題方法 判斷本題的關鍵在於檢定目標是「變異數的比值」。 兩個獨立常態母群體的樣本變異數分別為 $S1^2$ 與 $S2^2$。在 $H0:\sigma1^2=\sigma2^2$ 成立時： $$ \frac{S1^2}{\sigma1^2}\sim\frac{\chi^2{n1-1}}{n1-1} $$ $$ \frac{S2^2}{\sigma2^2}\sim\frac{\chi^2{n2-1}}{n2-1} $$ 兩者相除後得到： $$ \frac{S1^2}{S2^2}\sim F(n1-1,n2-1) $$ 所以，以樣本變異數之比建立的檢定統計量服從 $F$ 分布，故本題答案為 $F$ 檢定。 實際使用時，通常將較大的樣本變異數放在分子，使 $F\ge 1$，再依顯著水準與自由度判斷是否拒絕 $H0$。 --- 選項分析 (A) 卡方（Chi-square）檢定：錯誤 卡方檢定可用於檢定「單一母群體變異數」： $$ H0:\sigma^2=\sigma0^2 $$ 其統計量為：

Answer

答案：B

Question 22

下列對於 Receiver Operating Characteristic Curve（ROC 曲線）的敘述何者錯誤？ (A) ROC 曲線的線下面積可作為預測模式的效度指標。 (B) 一般線性模式可用以建構 ROC 曲線。 (C) 比較兩個預測模式的 ROC 曲線線下面積可以反映兩個預測模式的預測能力。 (D) 若 ROC 曲線的座標原點為 $0$，則 $X$ 軸與 $Y$ 軸分別是 $1-	ext{specificity}$ 與 sensitivity。

Accepted Answer

核心觀念 ROC（Receiver Operating Characteristic）曲線用於評估二元分類或預測模式的鑑別能力。其作法是逐一改變判定截點，計算每個截點下的： - 敏感度（sensitivity、true positive rate） $$	ext{sensitivity}=\frac{	ext{true positive}}{	ext{所有真正陽性}}$$ - 特異度（specificity、true negative rate） $$	ext{specificity}=\frac{	ext{true negative}}{	ext{所有真正陰性}}$$ ROC 曲線以： - $X$ 軸：$1-	ext{specificity}$，即偽陽性率（false positive rate） - $Y$ 軸：$	ext{sensitivity}$，即真陽性率（true positive rate） 繪製而成。 ROC 曲線下面積（Area Under the Curve, AUC）可用來表示預測模式區分陽性與陰性個案的能力。AUC 越接近 $1$，鑑別能力越好；AUC 約為 $0.5$，表示與隨機猜測相近。 本題官方答案為 B，關鍵在於區分「一般線性模式」與「廣義線性模式」。 --- 解題方法 本題逐項判斷各敘述是否符合 ROC 的定義與建構方式： 1. ROC 曲線是由不同判定截點下的 sensitivity 與 $1-	ext{specificity}$ 所形成。 2. AUC 是預測模式鑑別能力的重要指標。 3. 若比較兩個模式，可比較其 ROC 曲線與 AUC。 4. 對於二元結果變項，通常應使用 Logistic regression 等廣義線性模式建立預測機率，再依不同截點建構 ROC 曲線。 因此，涉及二元結果變項的預測模式建構時，適當方法是「廣義線性模式」，而非題目所稱的「一般線性模式」。 --- 選項分析 (A) ROC 曲線的線下面積可作為預測模式的效度指標。 正確。 AUC 可衡量預測模式的區辨能力（discrimination），也就是模式區分真正陽性與真正陰性個案的能力。 AUC 具有下列常見解釋： - $	ext{AUC}=1$：完美區辨。 - $	ext{AUC}=0.5$：與隨機分類相近。 - $	ext{AUC}0.5$：具有一定區辨能力。 - AUC 越大：整體分類表現通常越佳。 嚴格而言，AUC 主要反映的是模式的「區辨效度」或「鑑別能力」，不代表校準度（calibration）或臨床實用性；但在考試命題慣例中，AUC 可作為預測模式效度的重要指標，故本選項正確。 --- (B) 一般線性模式可用以建構 ROC 曲線。 錯誤，為本題答案。 一般線性模式（general linear mod…

Answer

答案：B

Question 23

檢定某樣本是否來自平均值為 $\mu0$ 的母族群，若在該樣本確非來自 $\mu0$ 的母族群前提下，且檢定結果為拒絕 $H0$ 的機率是指下列哪一個機率？ (A) 第一型錯誤（Type I error） (B) 第二型錯誤（Type II error） (C) 檢定力（power） (D) 顯著水準（significance level）

Accepted Answer

核心觀念 本題考的是假設檢定中的「檢定力」（power）與兩類錯誤之定義。 通常設定： - 虛無假設：$H0:\mu=\mu0$ - 對立假設：$H1:\mu
e\mu0$ 題目指出樣本「確非來自平均值為 $\mu0$ 的母族群」，表示 $H0$ 為假、$H1$ 為真；同時檢定結果「拒絕 $H0$」。 因此題目所描述的機率是： $$ P(	ext{拒絕 }H0\mid H1	ext{ 為真}) $$ 這正是檢定力的定義。 --- 解題方法 判斷此類題目時，先分辨兩件事： 1. 實際上 $H0$ 是真是偽。 2. 檢定結果是拒絕還是不拒絕 $H0$。 本題的情況如下： | 實際狀況 | 檢定結果 | 名稱 | |---|---|---| | $H0$ 為真 | 拒絕 $H0$ | 第一型錯誤 | | $H0$ 為假 | 不拒絕 $H0$ | 第二型錯誤 | | $H0$ 為假 | 拒絕 $H0$ | 檢定力 | 題目屬於第三種情況，因此： $$ 	ext{Power} =P(	ext{拒絕 }H0\mid H0	ext{ 為假}) $$ 若以第二型錯誤機率 $\beta$ 表示，在特定對立假設成立時，檢定力也可寫成： $$ 	ext{Power}=1-\beta $$ 所以正確答案為 (C) 檢定力（power）。 --- 選項分析 (A) 第一型錯誤（Type I error）錯誤 第一型錯誤是指： $$ P(	ext{拒絕 }H0\mid H0	ext{ 為真}) $$

Answer

答案：C

Question 24

若單因子變異數分析（One-way ANOVA）的虛無假設（null hypothesis）為真時，檢定 $F$ 值會： (A) 接近 $1$ (B) 接近 $0$ (C) 大於 $3.84$ (D) 接近 MSE 的值

Accepted Answer

核心觀念 單因子變異數分析的虛無假設通常為： $$ H0:\mu1=\mu2=\cdots=\muk $$ 亦即各組母體平均數相同。ANOVA 的 $F$ 檢定統計量為： $$ F=\frac{MS{	ext{between}}}{MS{	ext{within}}} =\frac{MSB}{MSE} $$ 其中： - $MSB$：組間均方，反映各組平均數彼此差異。 - $MSE$：組內均方，也稱誤差均方，反映組內個體差異。 若虛無假設為真，各組平均數的差異僅來自抽樣誤差，因此組間變異與組內變異都主要估計相同的母體誤差變異數 $\sigma^2$： $$ E(MSB)=\sigma^2,\qquad E(MSE)=\sigma^2 $$ 所以： $$ F=\frac{MSB}{MSE} \approx \frac{\sigma^2}{\sigma^2}=1 $$ 在 $H0$ 為真時，$F$ 統計量服從適當自由度下的 $F$ 分配： $$ F\sim F(k-1,N-k) $$ 其中 $k$ 為組數，$N$ 為總樣本數。其典型值會以 $1$ 附近為中心，因此本題選擇「接近 $1$」。 --- 解題方法 判斷本題只需掌握 $F$ 值的組成： $$ F=\frac{	ext{組間變異}}{	ext{組內變異}} $$ 當 $H0$ 為真時，各組母體平均數相同，組間變異不應特別大。此時： - 分子 $MSB$ 約等於誤差變異； - 分母 $MSE$ 也是誤差變異； - 兩者比值通常接近 $1$。 因此： $$ F\approx 1 $$ 若 $F$ 值顯著大於 $1$，代表組間變異相對於組內變異較大，才會提供拒絕 $H0$ 的證據。 --- 選項分析 (A) 接近 $1$：正確 在虛無假設為真時，$MSB$ 與 $MSE$ 都是在估計相同的誤差變異數，因此其比值 $F=MSB/MSE$ 通常接近 $1$。這是本題官方答案。 (B) 接近 $0$：錯誤 $F$ 值雖然不會小於 $0$，且在抽樣波動下可能小於 $1$，甚至接近 $0$，但這不是 $H0$ 為真時的典型或理論中心位置。

Answer

答案：A

Question 25

若滿足大樣本的假設下，何者情況較不適合使用成對樣本平均數的檢定方法？ (A) 死亡組的高血壓病人與存活組的高血壓病人，比較兩組的舒張壓是否有所差異。 (B) 比較班上期中考與期末考成績是否有差異，以學生自己的期末考與期中考成績作為比較基礎。 (C) 生活在相同環境且同為高血脂的夫妻，比較醫療支出是否有所差異。 (D) 高血糖病人治療前與治療後血糖值是否有改變。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「成對樣本平均數檢定」與「獨立樣本平均數檢定」的適用情境。 成對樣本檢定的重點，不在於兩組樣本數是否相同，而在於兩筆觀察值之間具有明確的一對一關聯，例如： - 同一個人在不同時間的測量值； - 同一位受試者接受兩種處理後的結果； - 依重要特徵配對的兩個個體； - 同一家庭、同一對夫妻等具有共同背景的配對資料。 若每一對資料為 $(Xi,Yi)$，可先計算每一對的差值： $$ Di=Xi-Yi $$ 再將成對樣本問題轉化為「差值母體平均數是否為 0」的單一平均數檢定： $$ H0:\muD=0 $$ 大樣本下，檢定統計量可寫為： $$ Z=\frac{\bar D-0}{sD/\sqrt{n}} $$ 其中 $\bar D$ 為配對差值的樣本平均數，$sD$ 為差值的樣本標準差，$n$ 為配對數。 相對地，若兩組觀察值來自彼此獨立、沒有一對一對應關係的個體，應使用「兩獨立樣本平均數檢定」，而非成對樣本檢定。 --- 解題方法 判斷本題的關鍵，是檢查兩組資料是否具有自然或研究設計上的一對一配對關係： 1. 若是同一個人的前後測量，屬於成對樣本。 2. 若是同一對夫妻、同一家戶等可明確配對的對象，屬於成對樣本。 3. 若只是將不同個體分成兩組，且兩組成員彼此沒有配對關係，屬於獨立樣本。 四個選項中，只有死亡組與存活組是依照結果狀態分成兩組不同病人，題幹沒有提供一對一配對或相依觀察的設計，因此較不適合使用成對樣本平均數檢定。 --- 選項分析 (A) 死亡組的高血壓病人與存活組的高血壓病人，比較兩組的舒張壓是否有所差異。 正確答案。 死亡組與存活組是由不同病人所組成的兩個群體。每一位死亡組病人並沒有對應到某一位特定的存活組病人，兩組資料之間缺乏明確的一對一配對關係。

Answer

答案：A

Question 26

某研究想得知麥片（$X1=1$）及碳水化合物（$X1=0$）攝取對血中總膽固醇（$Y$）的影響，並調整性別（$X2=1$，男生；$X2=0$，女生）變項，並考慮交互作用項，得到以下多元線性迴歸模型： $$\hat{Y}=\alpha-13.25X1-5.21X2+3.38X1X2$$ 根據此模型，若考量性別為男生時，食用麥片與食用碳水化合物（參考組）兩者血中總膽固醇平均差值為何？ (A) $-9.87$ (B) $3.38$ (C) $-8.59$ (D) $-18.46$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查含有交互作用項（interaction term）的多元線性迴歸模型。模型為 $$ \hat{Y}=\alpha-13.25X1-5.21X2+3.38X1X2 $$ 其中： - $X1=1$：食用麥片；$X1=0$：食用碳水化合物，為參考組。 - $X2=1$：男生；$X2=0$：女生。 - $X1X2$：麥片攝取與性別的交互作用。 題目問的是「男生中，食用麥片與食用碳水化合物的平均血中總膽固醇差值」，因此必須固定 $X2=1$，分別計算兩種飲食組別的預測平均值，再相減。 --- 解題方法 男生的條件為 $X2=1$。 食用麥片時，$X1=1$，且 $X1X2=1$： $$ \begin{aligned} \hat{Y}{	ext{麥片，男}} &=\alpha-13.25(1)-5.21(1)+3.38(1)(1)\ &=\alpha-13.25-5.21+3.38\ &=\alpha-15.08 \end{aligned} $$ 食用碳水化合物時，$X1=0$，且 $X1X2=0$： $$ \begin{aligned} \hat{Y}{	ext{碳水化合物，男}} &=\alpha-13.25(0)-5.21(1)+3.38(0)(1)\ &=\alpha-5.21 \end{aligned} $$ 因此，男生食用麥片相對於食用碳水化合物的平均差值為 $$ \begin{aligned} \hat{Y}{	ext{麥片，男}} -\hat{Y}{	ext{碳水化合物，男}} &=(\alpha-15.08)-(\alpha-5.21)\ &=-15.08+5.21\ &=-9.87 \end{aligned} $$ 負號表示：在男生族群中，依據此迴歸模型，食用麥片者的血中總膽固醇平均值比食用碳水化合物者低 $9.87$ 個單位。

Answer

答案：A

Question 27

想了解某醫學大學學生的睡眠狀況與學習表現的相關性，睡眠狀況評估是使用匹茲堡睡眠品質量表（PSQI，滿分 $21$ 分），學習表現是以學期等第成績（A+, A, A− … C+, C, C−）評估。要使用哪個統計方法較為合適？ (A) Intra-class correlation coefficient (B) Pearson’s correlation coefficient (C) Spearman’s correlation coefficient (D) Cohen’s kappa statistic

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「兩個變項之間的相關性」及相關係數的適用條件。 - 睡眠狀況：以 PSQI 總分表示，分數範圍為 $0$ 至 $21$ 分，分數越高通常代表睡眠品質越差。 - 學習表現：以 $A+$、$A$、$A-$ 至 $C-$ 等等第表示，具有明確的高低順序，但各等第之間的間距未必相等，因此屬於序位尺度（ordinal scale）。 當資料至少有一個變項為序位資料，且研究目的在探討兩變項是否具有單調相關時，適合使用 Spearman’s correlation coefficient（斯皮爾曼等級相關係數）。 --- 解題方法 本題研究的是「睡眠狀況」與「學習表現」之間的相關性，而不是評估兩位評分者的一致性，也不是比較分類結果是否相同。 Spearman 等級相關係數的概念，是先將原始資料轉換為名次，再計算兩組名次之間的相關程度。若沒有同名次資料，公式為： $$ rs = 1-\frac{6\sum di^2}{n(n^2-1)} $$ 其中： - $rs$：Spearman 等級相關係數 - $di$：第 $i$ 位學生在兩個變項上的名次差 - $n$：樣本數 其數值介於 $-1$ 與 $1$ 之間： - $rs0$：睡眠分數與學習成績呈正向單調關係。 - $rs<0$：兩者呈反向單調關係。 - $rs=0$：沒有明顯的單調相關。 本題的學期等第具有順序性，但各等第之間不宜直接視為等距數值，因此以等級為基礎的 Spearman 相關較合適。若資料中有許多同分或同等等第，實務上會採用平均名次處理。 --- 選項分析 (A) Intra-class correlation coefficient 錯誤。 Intra-class correlation coefficient，簡稱 ICC，主要用於評估： - 同一測量對象由不同評分者評分時的一致性； - 同一評分者在不同時間重複測量時的信度； - 同一連續型測量工具的重複測量一致程度。 例如，評估三位醫師測量同一批受試者血壓的一致性，或評估同一量表在兩次測驗中的再測信度，才適合使用 ICC。 本題是探討 PSQI 分數與學期成績之間的相關性，並非評估評分者間或測量時點間的一致性，因此不適用 ICC。 --- (B) Pearson’s correlation coefficient 錯誤。 Pearson 積差相關係數主要用於兩個連續型變項之間的線性相關，例如身高與體重、血壓與年齡等。其基本形式為： $$ r = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)} {\sigmaX\sigmaY} $$ 本題的學期等第 $A+$、$A$、$A-$ 等資料雖然有順序，但等第間的距離不一定相等。例如，$A+$ 與 $A$ 的實際差距，不必然等於 $B$ 與 $B-$ 的差距。

Answer

答案：C

Question 28

若想了解性別與年齡對於中風的影響，是否為中風為 $Y$（$Y=1$ 為中風；$Y=0$ 為無中風），其自變數年齡（age，$x1$，單位：歲）、性別（gender1，$x2=1$ 為男性；$x2=0$ 為女性），並考慮其交互作用項 age:gender1，利用 R 分析的結果如下，請判斷是否需要加入交互作用項？（顯著水準為 $0.05$） （原卷 R 分析輸出內容未隨文字層完整擷取，請參考原卷。） (A) 因交互作用項的 $p$ 值大於 $0.05$，故此模型不需考慮加入交互作用項。 (B) 因交互作用項的 $p$ 值大於 $0.05$，故此模型需考慮加入交互作用項。 (C) 因交互作用項係數估計為 $-0.00668$，小於 $0$，故此模型需考慮加入交互作用項。 (D) 因交互作用項係數估計為 $-0.00668$，很接近 $0$，故此模型不需考慮加入交互作用項。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查迴歸模型中「交互作用項」的顯著性判斷。 交互作用項為： $$ 	ext{age:gender1}=x1x2 $$ 其係數估計值為 $-0.006680$，檢定結果為： $$ p=0.235 $$ 在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，檢定假設為： - $H0:\beta{	ext{age:gender1}}=0$：性別不會改變年齡與中風之間的關係。 - $H1:\beta{	ext{age:gender1}}
eq 0$：性別會改變年齡與中風之間的關係。 解題方法 比較交互作用項的 $p$ 值與顯著水準： $$ 0.2350.05 $$ 因此不拒絕虛無假設，表示目前資料沒有足夠證據支持年齡與性別之間存在顯著交互作用。 依考試判斷原則，交互作用項未達統計顯著，模型不需保留此交互作用項。因此選擇 (A)。 須注意，題目中的 R 輸出已經是「包含交互作用項」的模型；選項所稱「不需考慮加入」可理解為檢定後判斷不需保留或採用該項。 選項分析

Answer

答案：A

Question 29

一個簡單線性迴歸模式分析 $30$ 名民眾的身高（$x$）與體重（$y$）的相關性。這些樣本民眾的身高介於 $150$ 至 $185$ 公分之間，體重則是介於 $40$ 至 $110$ 公斤之間，迴歸方程式如下： $$\hat{y}=-120+1.14x$$ 下列哪一個敘述正確？ (A) 該迴歸線不排除身高與體重之間存在非線性關係。 (B) 可以用此迴歸方程式來預測一名 $190$ 公分民眾的體重。 (C) 利用此迴歸線來預測一名 $170$ 公分民眾體重所得到的預測誤差會比預測 $10$ 名 $170$ 公分民眾平均體重所得到的預測誤差大。 (D) 該迴歸線顯示民眾的身高與體重間存在顯著的正相關性。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查簡單線性迴歸的三個重點： 1. 迴歸方程式的解讀與預測。 2. 迴歸線能否代表顯著相關，須搭配統計檢定。 3. 預測「單一個體」與預測「多名個體的平均值」之差異。 已知迴歸方程式為 $$ \hat y=-120+1.14x $$ 其中 $x$ 為身高，$y$ 為體重。斜率 $1.14$ 的意義是：在此線性模型下，身高每增加 $1$ 公分，預測體重平均增加 $1.14$ 公斤。 以身高 $170$ 公分為例： $$ \hat y=-120+1.14(170) $$ $$ \hat y=-120+193.8=73.8 $$ 因此，身高 $170$ 公分者的預測體重為 $73.8$ 公斤。 --- 解題方法 判斷各選項時，應分別檢查： - 是否超出原始資料範圍； - 是否有足夠資訊判斷統計顯著性； - 預測單一個體與預測平均值時，誤差變異是否相同； - 題目既然明確設定為「簡單線性迴歸模式」，選項是否與模型設定一致。 其中，單一新個體在 $x0$ 下的預測誤差變異，通常可表示為 $$ \sigma^2\left(1+\frac{1}{n}+ \frac{(x0-\bar x)^2}{S{xx}}\right) $$ 而預測同一身高下的母體平均體重，其誤差變異為 $$ \sigma^2\left(\frac{1}{n}+ \frac{(x0-\bar x)^2}{S{xx}}\right) $$ 兩者相差一項 $\sigma^2$。這一項代表單一個體本身的個別隨機差異。因此，預測單一個體的誤差變異必然大於預測多名個體平均值的誤差變異。 若預測 $10$ 名身高皆為 $170$ 公分者的平均體重，個體誤差經平均後會縮小，誤差變異約含有 $\sigma^2/10$，而非單一個體的 $\sigma^2$。 --- 選項分析 (A) 該迴歸線不排除身高與體重之間存在非線性關係。 依嚴格的統計推論，單憑一條迴歸線確實無法檢驗線性假設是否適當；若要判斷是否存在非線性，還需觀察殘差圖、加入二次項，或進行適合度檢定。因此，此敘述在統計學的嚴格語意下具有合理性。 但是，本題已明確設定為「簡單線性迴歸模式」，命題所採取的模型前提是以直線描述身高與體重的關係。依一般考試解讀，該模型是在分析線性關係，不能將「可能存在非線性」視為本題所要肯定的結論，因此不選 A。

Answer

答案：C

Question 30

線性迴歸模型和羅吉斯迴歸模型之異同點的描述，下列何者錯誤？（$X$ 代表自變項，$Y$ 代表依變項） (A) 線性迴歸模型和羅吉斯迴歸模型都可處理多個自變項 $X$ 的分析，稱為複迴歸模型。 (B) 線性迴歸模型只能推得 $X$ 與 $Y$ 的相關性，而羅吉斯迴歸模型則可斷定 $X$ 與 $Y$ 的因果相關性。 (C) 線性迴歸模型的 $Y$ 為連續變項（常態分配），羅吉斯迴歸的 $Y$ 可以為二元變項（二項式分配）。 (D) 線性迴歸模型和羅吉斯迴歸模型的 $X$ 變數型態皆不受限定，可以是連續型變項、間斷型變項、類別變項或序位變項。

Accepted Answer

核心觀念 本題比較兩種常見迴歸模型： 1. 線性迴歸模型（linear regression） - 依變項 $Y$ 通常為連續型變項。 - 模型形式為： $$Y=\beta0+\beta1X1+\cdots+\betapXp+\varepsilon$$ - 在經典假設下，給定自變項後，誤差項服從常態分配： $$\varepsilon\sim N(0,\sigma^2)$$ 2. 羅吉斯迴歸模型（logistic regression） - 依變項通常為二元變項，例如疾病／無疾病、死亡／存活。 - 直接建模的是事件發生機率 $p=P(Y=1\mid X)$ 的對數勝算： $$ \log\left(\frac{p}{1-p}\right) =\beta0+\beta1X1+\cdots+\betapXp $$ - 個別觀察值的 $Y$ 通常服從 Bernoulli 分配；若以多個人次的成功次數進行彙總，則可視為二項式分配。 本題的關鍵在於：迴歸模型本身主要描述自變項與依變項之間的統計關聯，不能僅憑模型分析結果直接證明因果關係。 --- 解題方法 逐一檢查各選項是否符合下列判斷原則： - 兩種模型都能納入多個自變項，形成多變項迴歸模型。 - 線性迴歸與羅吉斯迴歸的依變項型態不同。 - 自變項可以是連續型、間斷型、類別型或序位型，但類別變項通常須先以虛擬變項編碼。 - 因果推論取決於研究設計、時間先後、混雜控制及其他因果假設，並非由使用羅吉斯迴歸模型即可自動獲得。 因此，宣稱「羅吉斯迴歸可以斷定因果關係」的敘述錯誤。 --- 選項分析 (A) 正確 線性迴歸與羅吉斯迴歸都可以同時納入多個自變項。 例如線性迴歸可寫成： $$Y=\beta0+\beta1X1+\beta2X2+\beta3X3+\varepsilon$$ 羅吉斯迴歸可寫成： $$ \log\left(\frac{p}{1-p}\right) =\beta0+\beta1X1+\beta2X2+\beta3X3 $$ 當模型中包含兩個以上自變項時，通常稱為複迴歸或多變項迴歸。因此本選項正確。 (B) 錯誤 線性迴歸與羅吉斯迴歸都主要用於評估變項之間的統計關聯。

Answer

答案：B

Question 31

若想了解性別與年齡對於中風的影響，建立以下模型。中風與否為 $Y$（$Y=1$ 為中風；$Y=0$ 為無中風），其年齡（$x1$，單位：歲）、性別（$x2=1$ 為男性；$x2=0$ 為女性）的係數如下： $$\operatorname{logit}\left[P(Y=1\mid x1,x2)\right]=1.10+0.02x1+1.21x2$$ 一名年齡為 $40$ 歲且為男性，與一名年齡為 $30$ 歲且為女性相比，兩人發生中風的勝算比（odds ratio）約為多少？ (A) $1.020$ (B) $1.410$ (C) $4.096$ (D) $3.353$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查 logistic regression 中「迴歸係數與勝算比（odds ratio, OR）」的關係。 模型為： $$ \operatorname{logit}\left[P(Y=1\mid x1,x2)ight] =1.10+0.02x1+1.21x2 $$ 其中： - $x1$：年齡，每增加 1 歲，其他條件相同 - $x2$：性別，男性為 $1$、女性為 $0$ - logistic 模型的迴歸係數差異，經過指數轉換後即為勝算比： $$ OR=e^{	ext{兩者線性預測值之差}} $$ 本題比較的是： - 40 歲男性：$(x1,x2)=(40,1)$ - 30 歲女性：$(x1,x2)=(30,0)$ 解題方法 先分別計算兩人的 log odds。 40 歲男性： $$ \etaM=1.10+0.02(40)+1.21(1) $$ $$ \etaM=1.10+0.80+1.21=3.11 $$ 30 歲女性： $$ \etaF=1.10+0.02(30)+1.21(0) $$ $$ \etaF=1.10+0.60=1.70 $$ 兩人的 log odds 差為： $$ \etaM-\etaF=3.11-1.70=1.41 $$ 因此，40 歲男性相對於 30 歲女性的中風勝算比為： $$ OR=e^{1.41} $$ $$ OR\approx 4.096 $$ 所以正確答案為： $$ \boxed{(C)\ 4.096} $$ 也可直接利用模型係數計算： $$ \Delta\eta =0.02(40-30)+1.21(1-0) $$ $$ \Delta\eta=0.20+1.21=1.41 $$ 故： $$ OR=e^{0.20+1.21}=e^{1.41}\approx4.096 $$ 截距 $1.10$ 在兩人的比較中會相互抵消，因此不影響最後的勝算比。 選項分析 - (A) $1.020$：錯誤 $$e^{0.02}\approx1.020$$

Answer

答案：C

Question 32

一組成對資料包含肱骨長度（$x$，單位：公分）和性別（$y$），其中 $0$ 代表女性，$1$ 代表男性，以此計算出以下羅吉斯方程式（logistic equation）： $$\ln\left(\frac{p}{1-p}\right)=-5.1+0.236x$$ 若某人肱骨長度為 $31$ 公分，則其為男性的機率最接近下列何值？ (A) $2.216$ (B) $0.902$ (C) $0.098$ (D) $0.796$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查羅吉斯迴歸（logistic regression）中，如何由肱骨長度 $x$ 推估成為男性的機率 $p$。 題目給出的羅吉斯方程式為： $$ \ln\left(\frac{p}{1-p}ight)=-5.1+0.236x $$ 其中： - $p$：某人為男性的機率 - $\dfrac{p}{1-p}$：勝算（odds） - $\ln\left(\dfrac{p}{1-p}ight)$：對數勝算（log odds），又稱 logit - $x$：肱骨長度，單位為公分 必須注意：方程式右側算出的數值是「對數勝算」，不是男性機率本身。 --- 解題方法 已知某人肱骨長度為 $31$ 公分，代入羅吉斯方程式： $$ \ln\left(\frac{p}{1-p}ight) =-5.1+0.236(31) $$ 先計算右側： $$ 0.236	imes31=7.316 $$ 因此： $$ \ln\left(\frac{p}{1-p}ight) =-5.1+7.316=2.216 $$ 此時 $2.216$ 是對數勝算，對兩邊取指數： $$ \frac{p}{1-p}=e^{2.216} $$ 再將其轉換為機率： $$ p=\frac{e^{2.216}}{1+e^{2.216}} $$ 因為： $$ e^{2.216}\approx 9.17 $$ 所以： $$ p\approx\frac{9.17}{1+9.17} =\frac{9.17}{10.17} \approx0.902 $$ 因此，此人為男性的機率約為 $0.902$。 --- 選項分析 (A) $2.216$：錯誤 $2.216$ 是代入 $x=31$ 後所得到的： $$ \ln\left(\frac{p}{1-p}ight) $$

Answer

答案：B

Question 33

下列有關線性相關係數的敘述，哪些是正確的？

I：若兩變數之線性相關係數為零，則這兩個變數之間沒有關係。

II：若迴歸線的斜率為負，則線性相關係數為負。

III：線性相關係數的值介於 $-1$ 到 $1$ 之間。

IV：線性相關係數為 $0.62$ 的線性關係比線性相關係數為 $-0.82$ 的線性關係更強。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查 Pearson 線性相關係數 $r$ 的意義、範圍、方向與強度，以及它和簡單線性迴歸斜率的關係。 線性相關係數可表示為： $$ r=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{sXsY} $$ 其中 $sX$、$sY$ 分別為 $X$、$Y$ 的標準差。其值必定介於 $-1$ 與 $1$ 之間： $$ -1\leq r\leq 1 $$ 在簡單線性迴歸中，迴歸線斜率 $b1$ 與相關係數的關係為： $$ b1=r\frac{sY}{sX} $$ 由於標準差皆為正值，因此 $b1$ 與 $r$ 的正負號相同。 解題方法 逐一判斷 I～IV： - I 判斷相關係數為零的意義。 - II 利用 $b1=r(sY/sX)$ 判斷斜率與相關係數的方向。 - III 直接利用相關係數的定義範圍。 - IV 比較相關係數絕對值，以判斷線性關係強弱。 各敘述分析 I：錯誤 若兩變數的線性相關係數為零，表示兩變數之間「沒有線性關係」，不代表兩變數之間完全沒有任何關係。 例如： $$ Y=X^2 $$ 當 $X$ 的分布以 $0$ 為中心且對稱時，$X$ 與 $Y$ 的線性相關係數可能為 $0$，但 $Y$ 明顯受到 $X$ 的影響，兩者仍存在非線性關係。 因此，$r=0$ 只能表示無線性相關，不能推論完全沒有關係。 II：正確 簡單線性迴歸斜率為： $$ b1=r\frac{sY}{sX} $$ 因為 $sY0$、$sX0$，所以 $b1$ 與 $r$ 的符號相同。 當迴歸線斜率為負，即： $$ b1<0 $$ 可推得：

Answer

答案：C

Question 34

以一組成對資料建立迴歸模型，得到總變異量（total variation）為 $20.711$ ，解釋變異量（explained variation）為 $18.592$ ，未解釋變異量（unexplained variation）為 $2.119$ ，則此模型的判定係數（coefficient of determination）為：

Accepted Answer

核心觀念 本題考查迴歸分析中的判定係數（coefficient of determination，$R^2$）。 判定係數表示迴歸模型所能解釋的總變異比例，公式為： $$ R^2=\frac{	ext{解釋變異量}}{	ext{總變異量}} $$ 由變異分解關係可知： $$ 	ext{總變異量} = 	ext{解釋變異量} + 	ext{未解釋變異量} $$ 本題數據符合： $$ 20.711=18.592+2.119 $$ 因此資料可直接套用判定係數公式。 解題方法 已知： - 總變異量：$20.711$ - 解釋變異量：$18.592$ - 未解釋變異量：$2.119$ 判定係數為： $$ R^2=\frac{18.592}{20.711} $$ 計算得： $$ R^2\approx 0.8977 $$ 四捨五入至小數點後三位： $$ R^2\approx 0.898 $$ 因此，模型約能解釋總變異的 $89.8\%$，未被模型解釋的部分約占 $10.2\%$。 選項分析 - (A) $1.114$：錯誤 此數值是總變異量除以解釋變異量： $$ \frac{20.711}{18.592}\approx 1.114 $$ 這是兩個變異量的比值，不是判定係數。判定係數應以解釋變異量除以總變異量，因此通常介於 $0$ 與 $1$ 之間。

Answer

答案：C

Question 35

迴歸方程式： $$\hat{y}=1150+58.3x$$ 迴歸係數檢定的 $p$ 值為 $0.017$，$R^2=0.792$。下列何者正確？ (A) 當 $x$ 變化一個單位時，$y$ 的邊際變化為 $0.792$。 (B) 迴歸線解釋 $y$ 的變異量為 $0.017$。 (C) 當 $y$ 增加一個單位時，$x$ 的邊際變化為 $58.3$。 (D) 由於 $p$ 值 $<0.05$，迴歸係數與 $0$ 有顯著差異。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查簡單線性迴歸方程式、迴歸係數、$p$ 值與決定係數 $R^2$ 的意義。 迴歸方程式為： $$ \hat{y}=1150+58.3x $$ 其中： - $1150$ 為截距，表示當 $x=0$ 時，預測的 $y$ 值。 - $58.3$ 為斜率，也就是迴歸係數，表示當 $x$ 增加一個單位時，$\hat{y}$ 平均增加 $58.3$ 個單位。 - $R^2=0.792$ 表示迴歸模型可解釋 $y$ 總變異的 $79.2\%$。 - $p=0.017$ 是迴歸係數檢定的結果，用來檢定迴歸係數是否與 $0$ 有顯著差異。 通常斜率檢定為： $$ H0:\beta1=0 $$ $$ H1:\beta1
eq 0 $$ 在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下，若 $p<0.05$，則拒絕虛無假設，認為迴歸係數與 $0$ 有統計上顯著差異。 解題方法 本題可分別判斷三個數值的意義： 1. $58.3$ 是迴歸線的斜率，代表 $x$ 每增加一單位時，預測的 $y$ 平均增加 $58.3$。 2. $R^2=0.792$ 是模型解釋力，代表迴歸線解釋 $y$ 變異的 $79.2\%$。 3. $p=0.017$ 是迴歸係數顯著性檢定結果。因為 $$ 0.017<0.05 $$ 所以拒絕 $H0:\beta1=0$，判定迴歸係數與 $0$ 有顯著差異。 因此正確選項為 (D)。 選項分析 (A) 當 $x$ 變化一個單位時，$y$ 的邊際變化為 $0.792$。 錯誤。 $y$ 對 $x$ 的邊際變化由斜率決定： $$ \frac{\Delta \hat{y}}{\Delta x}=58.3 $$ 因此，當 $x$ 增加一個單位時，$\hat{y}$ 平均增加 $58.3$ 個單位，而不是 $0.792$。 $0.792$ 是 $R^2$，代表迴歸模型解釋 $y$ 變異的比例，並非斜率或邊際變化量。 (B) 迴歸線解釋 $y$ 的變異量為 $0.017$。 錯誤。 迴歸線解釋的變異比例由 $R^2$ 表示： $$ R^2=0.792 $$

Answer

答案：D

Question 36

若想了解自變數（$X$）與依變數（$Y$）的相關性，進行簡單線性迴歸模型及皮爾森（Pearson’s）相關係數的估計，其模型的截距項及自變數之迴歸係數分別為 $\beta0$ 及 $\beta1$。根據估計結果，下列敘述何者錯誤？ (A) 簡單線性迴歸的判定係數剛好是皮爾森相關係數的平方。 (B) 估計得到皮爾森相關係數的方向，將與 $\beta1$ 的方向一致。 (C) 可使用最大概似估計法或最小平方估計簡單線性迴歸係數。 (D) 若估計後的 $\beta1$ 大於 $0$ 時，可推得 $X$ 與 $Y$ 具有正相關性。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查簡單線性迴歸與皮爾森相關係數之間的關係，重點包括： 1. 簡單線性迴歸模型 $$Yi=\beta0+\beta1Xi+\varepsiloni$$ 2. 最小平方估計量 $$\hat{\beta}1=\frac{S{xy}}{S{xx}}$$ 3. 皮爾森相關係數 $$r=\frac{S{xy}}{\sqrt{S{xx}S{yy}}}$$ 4. 簡單線性迴歸的判定係數 $$R^2=r^2$$ 本題官方答案為 D，應依「統計推論與研究解釋」的嚴格意義判斷。 --- 解題方法 在含有截距項的簡單線性迴歸中， $$ \hat{\beta}1=\frac{S{xy}}{S{xx}} $$ 其中 $S{xx}0$。皮爾森相關係數為 $$ r=\frac{S{xy}}{\sqrt{S{xx}S{yy}}} $$ 由於 $S{xx}$、$S{yy}$ 及其平方根皆為正值，因此 $\hat{\beta}1$ 與 $r$ 都由 $S{xy}$ 的正負決定，兩者方向一致。 此外，在簡單線性迴歸且包含截距項時，判定係數與皮爾森相關係數具有下列關係： $$ R^2=r^2 $$ 迴歸係數可以使用最小平方估計法求得；在誤差項服從常態分配的條件下，也可以使用最大概似估計法求得。 --- 選項分析 (A) 簡單線性迴歸的判定係數剛好是皮爾森相關係數的平方。 正確。 在「單一自變數、含截距項」的簡單線性迴歸中， $$ R^2=r^2 $$ 因此，判定係數等於皮爾森相關係數的平方。由於平方會消除正負號，$R^2$ 只能表示線性關係的解釋程度，不能表示關係方向。 例如： - $r=0.8$ 時，$R^2=0.64$ - $r=-0.8$ 時，$R^2=0.64$ 所以 (A) 正確。 --- (B) 估計得到皮爾森相關係數的方向，將與 $\beta1$ 的方向一致。 正確。 更精確地說，應以估計的迴歸係數 $\hat{\beta}1$ 表示。由 $$ \hat{\beta}1=\frac{S{xy}}{S{xx}} $$ 以及 $$ r=\frac{S{xy}}{\sqrt{S{xx}S{yy}}} $$ 可知兩者的分子都是 $S{xy}$，分母均為正值。因此： $$ \operatorname{sign}(\hat{\beta}1)=\operatorname{sign}(r) $$ 也就是： - $\hat{\beta}10$ 時，$r0$ - $\hat{\beta}1<0$ 時，$r<0$ - $\hat{\beta}1=0$ 時，$r=0$

Answer

答案：D

Question 37

想了解中風（$Y=0,1$）與抽菸量（$X=0,1,2$）的相關性，利用羅吉斯迴歸進行分析。抽菸量為 $0$ 代表無抽菸者（參考組），抽菸量為 $1$ 代表每天平均一包，抽菸量為 $2$ 代表每天平均為兩包或兩包以上；依變項為中風，$Y=1$ 代表中風、$Y=0$ 代表沒有中風。 利用 R 分析得到以下結果（smokinglevel 1 與 smokinglevel 2 為兩個虛擬變項，分別代表抽菸量 $1$ 與抽菸量 $2$）。 （原卷 R 分析輸出內容未隨文字層完整擷取，請參考原卷。） 抽菸量為 $2$ 與抽菸量為 $1$ 相比，發生中風的勝算比（odds ratio）約為多少？ (A) $1.429$ (B) $1.132$ (C) $1.263$ (D) $0.700$

Accepted Answer

核心觀念 羅吉斯迴歸模型為： $$ \log\left(\frac{p}{1-p}\right) =\beta0+\beta1X1+\beta2X2 $$ 其中： - 無抽菸者為參考組； - $X1=1$ 表示每天約一包； - $X2=1$ 表示每天兩包以上； - 係數差異的指數值代表兩組間的勝算比（odds ratio, OR）。 題目要求比較「每天兩包以上」與「每天一包」的中風勝算。 解題方法 由圖中 R 輸出可得： $$ \hat{\beta}1=0.12385 $$ $$ \hat{\beta}2=0.35718 $$ 每天一包相對於無抽菸者的對數勝算為： $$ \beta0+\beta1 $$ 每天兩包以上相對於無抽菸者的對數勝算為： $$ \beta0+\beta2 $$ 因此，每天兩包以上相對於每天一包的對數勝算差為： $$ \beta2-\beta1 =0.35718-0.12385 =0.23333 $$ 勝算比為： $$ OR=\exp(\beta2-\beta1) =\exp(0.23333) \approx 1.263 $$

Answer

答案：C

Question 38

我們知道在進行抽樣時，隨機抽樣可以避免偏差發生，也比較能夠得到具有代表母群體特性的樣本。下列哪一種隨機抽樣方法所獲得的樣本較常有資料非獨立（non-independence）的問題？

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像；題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查各種隨機抽樣方法的特性，尤其是樣本觀察值之間是否容易產生「資料非獨立（non-independence）」問題。 資料獨立是指一個觀察值的出現，不會受到另一個觀察值影響。在統計分析中，許多估計與檢定方法都建立在觀察值彼此獨立的假設上。 解題方法 判斷重點在於：抽樣單位是否以「群」為單位被抽出，且同一群內的個體具有共同環境、共同特徵或彼此互相影響。 群集隨機抽樣是先將母群體分成許多群集，再隨機抽取部分群集，並調查被抽中群集內的個體。同一群集內的個體通常具有較相似的背景，彼此觀察值容易呈現相關性，因此較常發生資料非獨立問題。 例如抽取數所學校，再調查各校學生的健康狀況。同一所學校的學生可能受到相同的校園環境、衛生政策與社會背景影響，其資料不宜視為完全獨立。 因此本題答案為群集隨機抽樣。 選項分析 (A) 群集隨機抽樣：正確 群集隨機抽樣以群集作為抽樣單位，同一群集內的個體可能具有相似特徵，且受到共同環境影響，因此彼此之間容易相關，產生資料非獨立問題。 在統計分析上，群集抽樣通常需要考慮群內相關性，並可能使用群集校正、廣義估計方程式或多層次模型等方法處理。 (B) 分層隨機抽樣：錯誤 分層隨機抽樣是先依照重要特徵將母群體分成數個互斥且相對同質的層，再於各層內進行隨機抽樣。

Answer

答案：A

Question 39

下列 Kaplan–Meier 圖（KM plot）為存活分析結果，資料來自肺癌病患資料，事件為死亡發生，追蹤記錄治療後多久發生死亡的時間，橫軸為存活時間（單位：月），縱軸為存活機率（survival probability），實線為女性、虛線為男性，並顯示利用對數等級檢定（log-rank test）的 $p$ 值，如圖所示。請依下圖結果，選出正確選項：

（原卷 Kaplan–Meier 圖未隨文字層完整擷取，請參考原卷。）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像；題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查 Kaplan–Meier 存活曲線的判讀，以及 log-rank test 的意義。 1. Kaplan–Meier 曲線的縱軸為存活機率，曲線下降表示在該時間點發生死亡事件。 2. 存活中位數是存活機率下降至 $0.5$ 時，對應橫軸的時間。 3. log-rank test 用來比較兩組整體存活曲線是否具有顯著差異，虛無假設為兩組存活分布相同。 4. 設限資料（censoring）通常以曲線上的短刻痕表示；死亡事件則造成曲線向下階梯式下降。 圖中 log-rank $p=0.0097<0.05$，表示男女兩組的整體存活曲線具有統計上顯著差異，但不能直接解釋為「平均存活時間」一定有顯著差異。 解題方法 判讀中位存活時間的方法，是在縱軸找存活機率 $0.5$，再水平對應至男女兩條曲線： - 男性虛線與 $S(t)=0.5$ 的交點約在 $59$ 個月。 - 女性實線與 $S(t)=0.5$ 的交點約在 $82$ 個月。 因此，男性存活中位數約為 $59$ 個月，女性存活中位數約為 $82$ 個月，符合選項（D）。 選項分析

Answer

答案：D

Question 40

研究人員利用統計軟體分析了四種肺癌細胞類型患者的存活資料，並在輸出報告中得到分層相等性檢定（Test of Equality over Strata）的結果，其中 Log-Rank 與 Wilcoxon 檢定的 $p$-value 均小於 $0.0001$。下列關於此統計結果的解讀，何者最適當？ (A) 檢定結果表明，這四種癌細胞患者的存活曲線之間存在顯著的差異。 (B) 檢定結果顯示四種癌細胞患者的存活曲線高度同質，沒有達到統計學上的顯著差異。 (C) Log-Rank 與 Wilcoxon 檢定結果互相矛盾，因此無法做出任何有效結論。 (D) 此結果僅能證明各組中位數存活時間相同，但存活曲線的形狀不同。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查存活分析中的「分層相等性檢定」（Test of Equality over Strata），用來比較四種肺癌細胞類型患者的存活曲線是否相同。 虛無假設為： $$ H0:S1(t)=S2(t)=S3(t)=S4(t) $$ 亦即四組患者在各時間點的存活機率相同。對立假設為至少有一組的存活曲線與其他組不同。 常見檢定包括： - Log-Rank test：依據各時間點的實際死亡人數與虛期望死亡人數比較，對整段追蹤期間的存活差異進行檢定。 - Wilcoxon test：同樣比較實際死亡人數與期望死亡人數，但對較早發生的事件給予較大權重，因此對早期存活差異較敏感。 本題兩種檢定的 $p$-value 均小於 $0.0001$。在一般顯著水準 $\alpha=0.05$ 下： $$ p<0.0001<0.05 $$ 因此拒絕虛無假設，表示四組存活曲線並非完全相同，組別與患者存活情形之間存在統計上顯著的關聯。 解題方法 判斷此題只需依序掌握三個步驟： 1. 確認檢定目的：比較四組存活曲線是否相等。 2. 比較 $p$-value 與顯著水準： $$ p<0.0001<0.05 $$ 3. 作出統計結論：拒絕「四組存活曲線相同」的虛無假設。 因此，本檢定支持的結論是：四種癌細胞患者的存活曲線之間具有顯著差異。 須注意，這是整體性的檢定，只能表示「至少有一組與其他組不同」，不能單獨確定是哪兩組不同，也不能直接判斷哪一組的存活最好。 選項分析 (A) 檢定結果表明，這四種癌細胞患者的存活曲線之間存在顯著的差異。 正確。兩種檢定的 $p$-value 均小於 $0.0001$，遠低於常用顯著水準 $0.05$，應拒絕四組存活曲線相等的虛無假設。因此可判定四組存活曲線存在統計學上的顯著差異。 更精確地說，是「至少一組存活曲線與其他組不同」，而非表示每一組兩兩之間都一定顯著不同；但就本題選項的概括敘述而言，(A) 最適當。

Answer

答案：A

Question 41

生產一種實驗性疫苗時，為了評估產品容量的變異性，在產線上每 $200$ 支疫苗進行隨機抽樣。這種抽樣方案能得到隨機樣本嗎？以及是否為簡單隨機樣本？ (A) 兩者皆是 (B) 是隨機樣本，但非簡單隨機樣本 (C) 非隨機樣本，但為簡單隨機樣本 (D) 兩者皆非

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「隨機樣本」與「簡單隨機樣本」的區別，並涉及系統抽樣（systematic sampling）。 - 隨機樣本：抽樣過程具有機會性，母體中的個體有依照某種隨機機制被抽中的機會。 - 簡單隨機樣本（simple random sample, SRS）：從母體中抽取容量為 $n$ 的樣本時，所有可能的 $n$ 個體組合被抽中的機率都相同。 題目所述「每 $200$ 支疫苗進行隨機抽樣」，屬於依固定間隔抽取的系統抽樣，不是簡單隨機抽樣。 --- 解題方法 假設生產線上的疫苗依序編號為： $$ 1,2,3,\ldots,N $$ 每 $200$ 支抽取 $1$ 支，通常先在第 $1$ 至第 $200$ 支中隨機選定一個起始位置 $R$，再抽取： $$ R,\ R+200,\ R+400,\ R+600,\ldots $$ 例如隨機起始位置為第 $37$ 支，則抽取第 $37$、$237$、$437$ 支，以此類推。 這種方法具有隨機性，因為起始位置是以隨機方式決定，故屬於隨機抽樣。 但是，它不是簡單隨機樣本。原因在於抽樣單位受到固定間隔 $200$ 的限制，後續抽取位置會由第一個起始位置決定，樣本中的個體並非獨立地從母體中任意選出。 例如，若母體有 $1,000$ 支疫苗，每 $200$ 支抽取 $1$ 支，可能的樣本形式大致為： - 第 $1,201,401,601,801$ 支； - 第 $2,202,402,602,802$ 支； - $\ldots$； - 第 $200,400,600,800,1000$ 支。

Answer

答案：B

Question 42

一個樣本有 $50$ 個數值，已知該樣本來自一個偏態分布的母群體，母群體標準差未知。要建立此狀況下母群體分布平均值 $\mu$ 的信賴區間，需要使用何種統計量分布？

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「母群體標準差未知時，母群體平均值 $\mu$ 的信賴區間應使用何種抽樣分布」。 樣本平均數為 $\bar X$，樣本標準差為 $S$。當母群體標準差 $\sigma$ 未知時，通常以 $S$ 估計 $\sigma$，所使用的統計量為： $$ T=\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt{n}} $$ 在母群體為常態分布時，$T$ 服從自由度為 $n-1$ 的學生 $t$ 分布。 本題樣本數為 $n=50$，雖然母群體為偏態分布，但樣本數已達一定程度。依中央極限定理，$\bar X$ 的抽樣分布可近似常態分布；在 $\sigma$ 未知時，以 $S$ 取代 $\sigma$，考試命題慣例採用學生 $t$ 分布作為近似推論工具。 --- 解題方法 建立母群體平均值 $\mu$ 的信賴區間時，若母群體標準差未知，使用： $$ \bar X \pm t{\alpha/2,n-1}\frac{S}{\sqrt{n}} $$ 本題： - 樣本數：$n=50$ - 母群體標準差：未知 - 推論參數：母群體平均值 $\mu$ - 使用的標準差估計量：樣本標準差 $S$ - 自由度：$n-1=49$ 因此信賴區間的形式為： $$ \bar X \pm t{\alpha/2,49}\frac{S}{\sqrt{50}} $$ 所以應使用學生 $t$ 分布，選擇 (A)。 --- 偏態分布與樣本數 $50$ 的說明 嚴格而言，若母群體不是常態分布，則 $$ \frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt{n}} $$ 在有限樣本下不一定「精確」服從自由度 $49$ 的學生 $t$ 分布。學生 $t$ 分布的精確推導通常建立在母群體常態分布的假設上。 但本題樣本數為 $50$，可依中央極限定理認為 $\bar X$ 的分布具有近似常態性。當 $\sigma$ 未知時，實務與考試常以 $t$ 分布取代未知的標準差，作為近似信賴區間的依據。因此依官方答案與一般命題慣例，選擇學生 $t$ 分布。

Answer

答案：A

Question 43

成對樣本（paired-sample）$t$ 檢定的檢定結果會與下列哪一種檢定方法的結果一致？ (A) 卡方分布的 McNemar 檢定 (B) 成對樣本差異值的單一樣本 $t$ 檢定 (C) 小樣本的單一樣本平均值 $Z$ 檢定 (D) 無母數的 Wilcoxon signed rank test

Accepted Answer

核心觀念 成對樣本 $t$ 檢定是將每一對觀察值先轉換為「差異值」，再對差異值的平均數進行單一樣本 $t$ 檢定。 設第 $i$ 對觀察值為 $Xi$ 與 $Yi$，定義： $$ Di=Xi-Yi,\quad i=1,2,\ldots,n $$ 成對樣本 $t$ 檢定實際上是在檢定差異值母體平均數是否等於假設值 $\mu{D0}$： $$ H0:\muD=\mu{D0} $$ 通常若檢定「前後是否有平均差異」，則 $\mu{D0}=0$。 --- 解題方法與公式推導 差異值的樣本平均數為： $$ \bar D=\frac{1}{n}\sum{i=1}^{n}Di $$ 差異值的樣本標準差為： $$ sD=\sqrt{\frac{\sum{i=1}^{n}(Di-\bar D)^2}{n-1}} $$ 因此，成對樣本 $t$ 檢定的統計量為： $$ t=\frac{\bar D-\mu{D0}}{sD/\sqrt n} $$ 其自由度為： $$ df=n-1 $$ 若將每一對資料先計算差異值 $Di$，再直接對 $D1,D2,\ldots,Dn$ 進行單一樣本 $t$ 檢定，所使用的平均數、標準差、檢定統計量與自由度完全相同。因此： 成對樣本 $t$ 檢定，等同於「成對樣本差異值的單一樣本 $t$ 檢定」。 所以正確答案為 (B)。 --- 選項分析 (A) 卡方分布的 McNemar 檢定：錯誤 McNemar 檢定適用於成對的類別資料，尤其是二分類資料，例如： - 治療前：痊癒／未痊癒 - 治療後：痊癒／未痊癒 - 檢測方法甲：陽性／陰性 - 檢測方法乙：陽性／陰性 McNemar 檢定主要比較成對列聯表中兩種不一致結果的數量，通常關注： - 前陽性、後陰性的個案數 - 前陰性、後陽性的個案數 其核心是比較不一致配對的頻數，而不是比較連續型差異值的平均數。 成對樣本 $t$ 檢定處理的是連續型資料的平均差異；McNemar 檢定處理的是成對類別資料，因此兩者的資料型態、檢定統計量與虛無假設均不同。 --- (B) 成對樣本差異值的單一樣本 $t$ 檢定：正確 成對樣本 $t$ 檢定的標準作法就是： 1. 計算每一對觀察值的差異值 $Di$。 2. 將所有差異值視為一組單一樣本。 3. 檢定差異值母體平均數 $\muD$ 是否等於指定值。 其統計量為： $$ t=\frac{\bar D-\mu{D0}}{sD/\sqrt n} $$ 這正是單一樣本 $t$ 檢定的公式，因此兩種方法的檢定結果完全一致。 --- (C) 小樣本的單一樣本平均值 $Z$ 檢定：錯誤

Answer

答案：B

	無抽菸（ $X=0$ ）	有抽菸（ $X=1$ ）
有動脈硬化症（ $Y=1$ ）	$15$	$20$
無動脈硬化症（ $Y=0$ ）	$20$	$10$

115 專技高考高等考試 公共衛生師 生物統計學 考古題詳解

第 一 題15 分

核心觀念

解題方法

（一）無高血壓樣本中，吸菸者罹患心血管疾病的 odds ratio

未吸菸者

吸菸者

判讀

（二）有高血壓樣本中，吸菸者與心血管疾病的 odds ratio

未吸菸者

吸菸者

判讀

第 二 題20 分

核心觀念

（一）虛無假設與對立假設

虛無假設 H0H_0H0​

對立假設 H1H_1H1​

（二）One-way ANOVA 的資料假設

1. 觀察值彼此獨立

2. 依變項為連續型數值資料

3. 各組母體分布近似常態

4. 各組變異數相等

第 三 題15 分

第 1 題1 分

第 2 題1 分

第 3 題1 分

第 4 題1 分

第 5 題1 分

第 6 題1 分

第 7 題1 分

第 8 題1 分

第 9 題1 分

第 10 題1 分

第 11 題1 分

第 12 題1 分

第 13 題1 分

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) One-way ANOVA

第 14 題1 分

核心觀念

解題方法

1. 判斷樣本是否獨立

2. 判斷應使用參數法或無母數法

3. Wilcoxon 等級和檢定的基本做法

第 15 題1 分

第 16 題1 分

核心觀念

解題方法

1. 設定假設

2. 單一樣本比例檢定統計量

選項分析

(A) 單一樣本比例檢定——正確

第 17 題1 分

第 18 題1 分

第 19 題1 分

第 20 題1 分

第 21 題1 分

第 22 題1 分

第 23 題1 分

第 24 題1 分

第 25 題1 分

第 26 題1 分

第 27 題1 分

第 28 題1 分

第 29 題1 分

第 30 題1 分

第 31 題1 分

第 32 題1 分

第 33 題1 分

第 34 題1 分

第 35 題1 分

第 36 題1 分

第 37 題1 分

第 38 題1 分

第 39 題1 分

第 40 題1 分

核心觀念

解題方法與公式推導

115 專技高考高等考試公共衛生師生物統計學考古題詳解

第一題15 分

第二題20 分

虛無假設 $H_0$

對立假設 $H_1$

第三題15 分

(B) 成對樣本差異值的單一樣本 $t$ 檢定：正確

(C) 小樣本的單一樣本平均值 $Z$ 檢定：錯誤