114 專技高考高等考試 公共衛生師 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考查母體平均數的信賴區間估計，以及以信賴區間判斷兩母體平均數是否有差異。

已知母體標準差 $\sigma=3.1$ 天、樣本數 $n=100$，因此使用標準常態分配的 $Z$ 信賴區間：

其中 $\bar{x}=4.3$ 天。99% 信賴區間的中央面積為 $0.99$，兩尾各留 $\alpha/2=0.005$，故使用題目提供的 $Z_{0.995}=2.58$。

解題方法

（一）99% 信賴區間

先計算平均數的標準誤：

再計算誤差界限：

因此，母體平均住院天數的 99% 信賴區間為：

約為 3.50 至 5.10 天。

（二）與另一所醫學中心的平均數比較

另一所醫學中心的平均住院天數為 4 天。由（一）的 99% 信賴區間可見，4 天落在區間 $(3.50,\ 5.10)$ 內。

核心觀念

本題考單因子變異數分析（one-way ANOVA），用來檢定三種教學方法的母體平均成績是否相同。檢定統計量為組間均方除以組內均方：

變異數分析表中，平方和可分解為組間平方和與組內平方和之和；自由度則有組間、組內及合計的關係。

解題方法與計算

設三種教學方法的母體平均成績分別為 $\mu_1,\mu_2,\mu_3$。

（一）虛無假設與對立假設

（二）計算 $A、B、C、D、E$

三種教學方法的組數為 $k=3$，合計自由度為 $22$。

1. 組間自由度 $B$

2. 組內自由度 $D$

3. 組間平方和 $A$

組間均方等於組間平方和除以組間自由度：

核心觀念

本題考兩個獨立母體比例的單尾假設檢定。研究問題是都市居民生病時就醫比例是否高於鄉村居民，因此比較兩組母體比例 $p_1$ 與 $p_2$：

• $p_1$：都市居民生病時會去看醫生的母體比例。
• $p_2$：鄉村居民生病時會去看醫生的母體比例。

設虛無假設與對立假設為：

顯著水準為 $\alpha=0.05$。在虛無假設成立下，兩組樣本比例以合併比例（pooled proportion）估計共同母體比例，再計算兩比例差的 $Z$ 檢定統計量。

解題方法

都市樣本數 $n_1=300$，其中 $x_1=180$ 人表示會就醫；鄉村樣本數 $n_2=200$，其中 $x_2=60$ 人表示會就醫。因此：

在 $H_0:p_1=p_2$ 下，合併比例為：

兩比例差的標準誤為：

核心觀念

在線性迴歸中，常見的推論問題是檢定母體迴歸係數是否為零。以簡單線性迴歸為例，模型為

若要檢定自變項 $X$ 是否與應變項 $Y$ 有線性關聯，通常檢定斜率係數：

解題方法

在誤差項符合線性迴歸推論假設的條件下，係數估計值除以其標準誤，形成 $t$ 統計量：

在簡單線性迴歸中，此統計量在虛無假設下服從自由度為 $n-2$ 的 $t$ 分配。因此，檢定迴歸係數是否具有統計上的顯著意義，採用 $t$ 檢定。

選項分析

核心觀念

線性迴歸中的預測變項可以是連續變項，也可以是類別變項。教育程度的「學士、碩士、博士」是類別變項，各類別沒有可直接代入迴歸式的連續數值間距，因此通常以**虛擬變數（dummy variables）**編碼後納入模型。

若教育程度有 $k$ 個類別，通常建立 $k-1$ 個虛擬變數，並以其中一類作為參考組。本題有三類，故建立兩個虛擬變數。

解題方法

例如以學士為參考組，可設定：

• $D_1=1$ 表示碩士，否則為 $0$
• $D_2=1$ 表示博士，否則為 $0$

迴歸模型可寫為：

其中，$\beta_0$ 是學士組的預測平均成績；$\beta_1$ 和 $\beta_2$ 分別表示碩士組、博士組相對於學士組的預測成績差異。這樣可在同一線性迴歸模型中比較不同教育程度的成績。

核心觀念

本題考各種統計圖中「百分比」代表的意義。長條圖、直方圖與次數多邊圖以百分比呈現觀察值在類別或組距中的分布；盒形圖則以四分位數標示資料的位置，其百分位數表示資料排序上的累積位置。

解題方法

判斷圖上的百分比是表示「某類或某組占全部資料的比例」，還是表示「資料在排序中的位置」。長條圖、直方圖與次數多邊圖呈現的是前者；盒形圖的四分位數對應第 25、50、75 百分位數，呈現的是後者，因此選盒形圖。

選項分析

• (A) 長條圖：錯。 各長條可表示類別所占百分比，反映各類別的相對次數；各類別互斥且涵蓋全部資料時，百分比合計為 $100\%$。
• (B) 直方圖：錯。 直方圖以組距呈現連續資料的分布。

核心觀念

本題考的是兩組獨立樣本平均數比較的無母數對應方法。兩獨立樣本 $t$ 檢定以兩組的平均數差異為比較對象；當資料不適合採用此參數方法時，可改以秩次比較兩組資料的分布位置。

常見的檢定對應如下：

解題方法

先辨認 two-sample $t$ test 比較的是兩組彼此獨立的樣本，再找出適用於兩組獨立樣本的無母數方法。Wilcoxon rank sum test 將兩組觀測值合併排序，依各組秩次和評估兩組分布位置是否有差異，因此是本題所問的對應方法。

選項分析

核心觀念

變異係數（coefficient of variation, CV）是標準差相對於平均數的比例，用來衡量資料的相對變異程度：

其中 $s$ 是標準差，$\bar{x}$ 是平均數。標準差與平均數具有相同單位，因此兩者相除後，單位會消去。

解題方法

本題的身高以公分（cm）測量，所以平均身高的單位是 cm，身高的標準差單位也同樣是 cm。代入變異係數的公式：

核心觀念

本題考查兩個獨立母群體比例差的標準誤。男性與女性是兩個不同群體，分別估計願意接種疫苗的比例。依題目官方答案所採用的未合併比例標準誤公式：

其中，$\hat p_1$、$\hat p_2$ 是兩組樣本比例，$n_1$、$n_2$ 是兩組樣本數。

解題方法

男性願意接種的樣本比例為：

女性願意接種的樣本比例為：

全體受訪者中，願意接種者共 $30+16=46$ 人，總樣本數為 $100$ 人，因此合併比例為：

題目官方答案採用以合併比例估計共同成功機率的標準誤，並以原始樣本數 $60$ 與 $40$ 作為分母：

核心觀念

本題考男性與女性兩組比例差的檢定量。若要檢定兩組母體比例是否相同，虛無假設為 $H_0:p_m=p_f$，通常使用合併比例的雙樣本 $Z$ 檢定：

其中 $x_m,x_f$ 是兩組的事件人數，$n_m,n_f$ 是兩組樣本數。

解題方法

核心觀念

本題考的是單一母體比例檢定的檢定統計量及其大樣本分布。令每次遇見異色寶可夢為成功，則成功機率為 $p$。官方主張 $p=0.20$，玩家觀察到 $n=100$ 次遇見中有 $x=10$ 次異色，因此樣本比例為

檢定官方數據是否與玩家觀察相符，可設定虛無假設 $H_0:p=0.20$，並使用單一比例的 $Z$ 檢定。當樣本數足夠大時，樣本比例經標準化後近似服從標準常態分布。

解題方法

在虛無假設成立時，$\hat p$ 的期望值為 $p_0$，標準誤為

因此，檢定統計量為

代入題目資料：

核心觀念

Kaplan–Meier 法（Kaplan–Meier method）是分析存活資料的非參數方法，用來估計個體在特定時間之後仍未發生研究事件的機率，也就是存活率曲線。研究事件可依研究設計定義為死亡、疾病復發或其他終點事件。

此法能處理右設限資料：受試者在追蹤結束或失訪時，若尚未發生事件，其完整的事件時間未知，但已知其至少存活至設限時間。Kaplan–Meier 法會在每個事件發生時間更新存活率估計。

解題方法

題目問 Kaplan–Meier 法主要估計哪一種曲線。判斷關鍵是辨認它屬於存活分析方法，其估計目標為時間 $t$ 的存活函數：

其中 $T$ 是事件發生時間。若在事件時間 $t_i$ 前有 $n_i$ 人仍在風險集中，該時間發生 $d_i$ 個事件，Kaplan–Meier 存活率估計為：

核心觀念

本題考「信賴區間是否包含虛無值」與統計顯著性的判讀。若在雙尾檢定、顯著水準 $\alpha=0.05$ 下計算 $95\%$ 信賴區間，區間排除虛無值，即可判定結果達統計顯著；若區間包含虛無值，則未達統計顯著。

比值型指標的虛無值是 $1$；差值型指標的虛無值是 $0$：

• Odds ratio（勝算比，OR）：虛無值為 $1$。
• Relative risk（相對風險，RR）：虛無值為 $1$。
• Hazard ratio（風險比，HR）：虛無值為 $1$。
• Regression coefficient（迴歸係數）：虛無值為 $0$。

解題方法

逐一確認各指標的虛無值，即可判斷其信賴區間能否用來檢定統計顯著性。OR、RR、HR 的信賴區間若不含 $1$，代表該比值與無效果的虛無假設有顯著差異；迴歸係數的信賴區間若不含 $0$，代表係數與零有顯著差異。

核心觀念

Kaplan–Meier（KM）曲線用來估計事件發生時間的存活函數 $S(t)$，表示個體存活至時間 $t$ 之後的機率。曲線呈階梯狀：事件發生時下降；設限資料只影響後續風險集合人數，不會使曲線當下下降。

在時間 $t_i$ 的 KM 估計值為：

其中 $n_i$ 是事件發生前仍在風險集合中的人數，$d_i$ 是時間 $t_i$ 發生事件的人數。只要 $d_i>0$，存活率就會下降。

解題方法

判斷曲線是否下降，直接看 KM 估計式中的事件數 $d_i$。事件發生時，$d_i>0$，乘上的因子 $1-d_i/n_i$ 小於 1，因此存活率下降。設限或研究結束則不代表事件發生，故不會讓曲線下降。

選項分析

核心觀念

Cox proportional hazards model（Cox 比例風險模型）用來分析某事件發生時間與解釋變項的關係。其 hazard（危險率）是指在個體截至時間 $t$ 尚未發生事件的條件下，事件於接下來極短時間內發生的瞬時速率。

模型可寫為：

其中 $h_0(t)$ 是基準危險率，$\beta$ 表示解釋變項對危險率的影響。當比較 $X=1$ 與 $X=0$ 時，危險比（hazard ratio, HR）為：

因此，HR 比較的是兩組在同一時間點的瞬時事件發生速率；在比例風險假設成立時，此比值不隨時間改變。

解題方法

辨認 HR 的關鍵是看分子與分母：它是「兩組 hazard 的比值」，不是事件機率、存活機率或存活時間的比值。若 $HR>1$，代表暴露組的瞬時事件發生速率較高；若 $HR<1$，代表較低；若 $HR=1$，代表兩組的瞬時事件發生速率相同。

核心觀念

本題比較分層抽樣與集群抽樣的主要目的：

• 分層抽樣：先依母體特徵分成數個互斥且涵蓋全體的層，再從每一層抽取樣本。各層內通常較同質、層與層之間較異質；妥善分層可提高估計精確度、減少抽樣誤差。
• 集群抽樣：先將母體分成多個集群，再抽取部分集群進行調查。集群常以地理區域或自然群體劃分，抽中後集中調查，可減少交通、訪問與行政作業成本。

解題方法

抓住兩種方法各自的典型效益即可：**分層抽樣著重提升估計精確度；集群抽樣著重降低調查成本。**因此選項中，只有「前者在減少抽樣誤差、後者在降低抽樣成本」符合兩者的主要特性。

選項分析

核心觀念

本題比較不同檢定方法所使用的自由度。自由度通常由樣本數與模型參數數目決定，因此是整數；但在不等變異數的兩樣本 $t$ 檢定中，常用 Welch–Satterthwaite 公式估計自由度，結果通常是非整數。

解題方法

先辨認各選項的自由度公式：若自由度是樣本數相減或模型秩的差，便是整數；若由變異數估計公式近似計算，則可能是非整數。

Welch 兩樣本 $t$ 檢定的自由度估計為

其中 $n_1,n_2$ 是兩組樣本數，$s_1^2,s_2^2$ 是樣本變異數。公式包含變異數與樣本數的比例，計算結果通常不是整數；以此自由度查 $t$ 分配臨界值或計算 $p$ 值。

核心觀念

本題考的是四種統計係數是否有固定的理論下界或上界。判斷時要區分「必定落在有限範圍內」與「沒有固定有限界」：

• 迴歸係數可為任意實數，沒有固定的下界或上界。
• 簡單線性迴歸的決定係數 $R^2$ 介於 $0$ 與 $1$。
• 變異係數 $CV$ 通常定義為標準差除以平均數的絕對值，非負，因此有下界 $0$；沒有固定上界。
• 相關係數 $r$ 介於 $-1$ 與 $1$。

因此，②、③、④各有特定下界或上界，共 $3$ 個。

解題方法

逐項檢查係數的定義與數學範圍：

1. 迴歸係數：在線性迴歸中，斜率係數表示自變數每增加一單位時，依變數平均改變多少。其正負與大小取決於資料及變數單位，可取任意實數，沒有固定的有限下界或上界。因此①不計。
2. 簡單線性迴歸的決定係數：含截距的簡單線性迴歸中，$R^2=r^2$，而 $-1\le r\le 1$，故 $0\le R^2\le 1.$ 具有下界 $0$ 與上界 $1$，因此②計入。
3. 變異係數：通常寫作 $CV=\frac{s}{|\bar{x}|}\times 100\%,$

核心觀念

本題考查資料整體平移後，位置與離散程度指標如何變化。設原數列為 $x_1,x_2,\ldots,x_n$，每個數值都加上常數 $a$，新數列為 $y_i=x_i+a$。

解題方法

逐一檢查各指標套用 $y_i=x_i+a$ 後是否改變：

1. 平均數 $\bar y=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i+a)=\bar x+a$ 平均數會增加 $a$，因此會改變。

2. 四分位距 數列每個數值都平移 $a$ 後，第一四分位數與第三四分位數也各增加 $a$。因此： $IQR_y=(Q_3+a)-(Q_1+a)=Q_3-Q_1=IQR_x$ 四分位距不變。

3. 標準差 每個數值與新平均數的差不變： $y_i-\bar y=(x_i+a)-(\bar x+a)=x_i-\bar x$ 因此標準差不變。

核心觀念

本題考辨類別資料常用檢定是否會計算卡方統計量 $\chi^2$。獨立性檢定、適合度檢定與 McNemar 檢定都會以觀察次數和虛無假設下的期望次數或差異為基礎，計算卡方統計量；Fisher 精確檢定則直接依超幫幾何分布計算精確機率，不以卡方值作為檢定統計量。

解題方法

逐一辨認各方法的檢定統計量：

• 獨立性檢定及適合度檢定，常用 Pearson 卡方統計量： $\chi^2=\sum \frac{(O-E)^2}{E}$ 其中 $O$ 為觀察次數，$E$ 為虛無假設下的期望次數。
• McNemar 檢定用於成對類別資料，常見的未連續性校正統計量為： $\chi^2=\frac{(b-c)^2}{b+c}$ 其中 $b,c$ 是配對列聯表中不一致的兩格次數。
• Fisher 精確檢定則在固定列聯表邊際合計的條件下，計算觀察到該表或更極端結果的精確機率，不須先計算 $\chi^2$。

因此，不會計算卡方值的是 Fisher 精確檢定。

選項分析

核心觀念

羅吉斯迴歸（Logistic regression）主要用來分析或預測類別型依變數，尤其是只有兩種結果的二元變數，例如疾病是否發生（是／否）、治療是否有效（有效／無效）。模型將事件發生的機率轉換為勝算的對數（log odds），常見形式為：

其中 $p$ 是事件發生的機率，右側則由截距與解釋變數組成。模型預測的機率介於 0 與 1 之間。

解題方法

先看題目問的是「依變數的類型」。羅吉斯迴歸的典型應用是依變數為二元結果，因此選擇「二元類別型變數」。雖然模型會估計事件發生的機率，但該機率是由二元依變數建立的模型所推得，並不表示依變數本身是連續變數或發生率。

選項分析

核心觀念

本題考查「效應量、樣本數與檢定力」之間的關係。效應量表示研究中欲偵測的差異或關聯程度；在顯著水準與檢定力等條件相同時，效應量越小，越不容易和隨機誤差區分，因此需要較多樣本才能偵測出來。

解題方法

比較小效應量與大效應量的偵測難度即可：小效應量造成的訊號較弱，增加樣本數能降低估計的不確定性、提高檢定力。因此，若研究目標是偵測較小的效應量，所需樣本數會增加。

以兩組平均數差異的樣本數概念表示，所需樣本數大致與效應量平方的倒數成正比：

核心觀念

兩獨立樣本變異數的 $F$ 檢定，將第一組與第二組的樣本變異數分別記為 $s_1^2$、$s_2^2$，檢定統計量為

其自由度依序為 $(n_1-1,\ n_2-1)$。若交換兩組的順序，分子與分母也會交換，因此新的統計量是原統計量的倒數。

解題方法

設男生、女生的樣本變異數分別為 $s_m^2$、$s_f^2$。

第一人以男生為第一組，計算

第二人以女生為第一組，計算

因此，兩人算出的 $F$ 值互為倒數。題目指出兩組變異數不相等，故兩個統計量不會同為 $1$，但仍符合互為倒數的關係。

選項分析

核心觀念

本題考中央極限定理：若母體具有有限的期望值 $\mu$ 與變異數 $\sigma^2$，從母體獨立抽取 $n$ 個觀察值，樣本平均數 $\bar X$ 的抽樣分布在樣本數夠大時會趨近常態分布。其近似形式為：

也就是說，樣本平均數的平均為 $\mu$，變異數為 $\sigma^2/n$，標準誤為 $\sigma/\sqrt n$。母體本身不必是常態分布，但須符合中央極限定理的適用條件；樣本數需要多大，則會受母體分布形狀影響。

解題方法

題目直接詢問樣本數夠大時，樣本平均數的抽樣分布趨近何種分布。依中央極限定理，該分布趨近常態分布，因此選擇「常態分布」。

選項分析

核心觀念

本題考查陽性預測值（positive predictive value, PPV）：在檢測結果為陽性的人當中，實際罹病者所占的比例。盛行率低時，即使檢測敏感度與特異度不錯，假陽性仍可能使陽性預測值降低。

依貝氏定理：

解題方法

將題目數值代入：盛行率 $=0.01$、敏感度 $=0.90$、特異度 $=0.95$，因此假陽性率 $=1-0.95=0.05$。

換算為百分比約為 $15.4\%$，故選項（C）正確。

核心觀念

本題考二項式分布與卜瓦松分布的參數，以及兩者的期望值與變異數。

若 $X\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)$，則：

若 $X\sim\operatorname{Binomial}(n,p)$，則：

解題方法

先辨認各分布的基本性質：卜瓦松分布只由平均發生次數 $\lambda$ 決定，且其期望值與變異數都等於 $\lambda$；二項式分布則由試驗次數 $n$ 與每次成功機率 $p$ 決定。據此逐一檢視各選項。

選項分析

(A) 正確。 卜瓦松分布的期望值與變異數皆為 $\lambda$，所以期望值等於變異數。

核心觀念

抽樣分布是指：從同一母群體取出所有可能樣本，對每個樣本計算指定統計量後，該統計量所形成的機率分布。樣本平均數的抽樣分布，其標準差稱為標準誤。

若母群體標準差為 $\sigma$，且以獨立隨機抽樣估計母群體平均數，則樣本平均數的標準誤為

因此，樣本數 $n$ 增加時，樣本平均數的標準誤與變異數會降低。

解題方法

逐項辨認抽樣分布的定義與性質，並檢查樣本數增加時抽樣分布的變異性如何改變。題目問「何者錯誤」，找出違反標準誤與樣本數關係的敘述即可。

選項分析

• **(A) 正確。**這是抽樣分布的定義：對同一母群體中的所有可能樣本計算統計量，再觀察這些統計量形成的分布。
• **(B) 正確。**統計量抽樣分布的標準差稱為該統計量的標準誤；

核心觀念

本題考查假設檢定中 $P$ 值的定義。$P$ 值是在虛無假設 $H_0$ 為真時，取得目前觀察到的檢定統計量，或比它更不利於 $H_0$ 的結果之機率。何謂「更極端」，須依對立假設是左尾、右尾或雙尾檢定而定。

解題方法

直接辨認定義中的兩個條件：一是以 $H_0$ 為真作為計算前提；二是計算觀察到目前結果或更極端結果的機率。符合這兩點的選項即為 $P$ 值的意義。

選項分析

• (A) 正確。「在虛無假設為真時，觀察到比目前統計量數值更極端的機率」符合 $P$ 值定義；嚴謹地說，也包含與目前觀察結果同等極端的結果。
• (B) 錯誤。$P$ 值不是「拒絕虛無假設的機率」。

核心觀念

樣本數估計是依研究目的與設計，計算達到預定統計要求所需的受試者人數。常見主要因素包括：

• 顯著水準 $\alpha$：可容忍的第一類錯誤機率。
• 檢定力 $1-\beta$：在母群體確有指定效果時，正確拒絕虛無假設的機率。
• 效應量：預期觀察到的差異或關聯強度；其他條件相同時，效應量越小，通常需要越大的樣本數。

信賴區間則是利用樣本資料估計母群體參數的區間。它與樣本數估計有關聯，但在本題所問的「主要因素」分類中，通常不是與顯著水準、檢定力及效應量並列的基本輸入因素。

解題方法

辨認樣本數估計的經典設定即可：先指定可接受的錯誤機率與檢定力，再設定研究欲偵測的最小重要效應量，依研究設計與統計方法估算樣本數。

例如，比較兩組平均數時，所需樣本數通常會隨顯著水準、檢定力、預期差異及資料變異程度而改變。題目要找的是不屬於常見主要因素的選項，因此選信賴區間。

選項分析

核心觀念

信賴區間是依樣本資料估計母體參數的一段區間。以母體平均數為例，母體標準差已知時，信賴區間可寫為

其中 $n$ 是樣本數，$1-\alpha$ 是信賴水準，$z_{1-\alpha/2}$ 是標準常態分布的臨界值。區間寬度為 $2z_{1-\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}$：樣本數增加會使區間變窄；信賴水準提高則會使臨界值變大、區間變寬。

解題方法

逐一檢視各敘述是否符合信賴區間的性質。選項（B）聲稱信賴水準越高，區間越窄，與公式所示的臨界值變化相反，因此為錯誤敘述。

選項分析

核心觀念

本題考查平均數檢定中，依「比較對象的數量與性質」選擇統計方法。題目已知全國學童母群體平均身高為 $135$ 公分，欲判斷某地區學童的平均身高是否與此已知數值不同，因此是將一組樣本的平均數與已知母群體平均數比較。

解題方法

設某地區學童的平均身高為 $\mu$，檢定假設為：

若母群體標準差未知，並以該地區抽取的樣本估計標準誤，使用單樣本 $t$ 檢定；其統計量為：

其中 $\bar{x}$ 為樣本平均數、$s$ 為樣本標準差、$n$ 為樣本數，自由度為 $n-1$。題目只問應採用何種方法，無須進一步計算檢定統計量。若母群體標準差已知，則常用單樣本 $z$ 檢定；但本題提供的是母群體平均數，而未提供母群體標準差，故選單樣本 $t$ 檢定。

選項分析

核心觀念

本題考的是資料之間是否「互相獨立」。同一群病患在服藥前、後各測量一次血壓，兩次觀測來自同一個人，因此彼此配對；分析重點是每位病患的血壓變化量，而不是把服藥前、後當成兩組無關的資料。

解題方法

令第 $i$ 位病患服藥前、後的血壓分別為 $X_i$、$Y_i$，計算個別差值：

接著以單一樣本 $t$ 檢定的方式，檢驗差值的平均數是否為 0：

配對樣本 $t$ 檢定的統計量為：

其中 $\bar D$ 是血壓差值的樣本平均數，$s_D$ 是差值的樣本標準差，$n$ 是病患人數。此檢定的重點假設是差值近似常態分布；若樣本數足夠大，通常可依中央極限定理進行近似。

選項分析

核心觀念

變異數分析（ANOVA）用來檢定多個母體平均數是否全都相同。其 $F$ 檢定若達統計顯著，表示至少有一組平均數與其他組不同；但整體檢定本身不會指出差異發生在哪些組別。

解題方法

整體 $F$ 檢定顯著後，通常進行事後多重比較，逐一比較組別平均數，找出哪些組別之間有差異。常見方法包括 Tukey 法、Bonferroni 法及 Scheffé 法。這些方法會考量多次比較造成的第一類錯誤率膨脹。

選項分析

核心觀念

本題考驗單一母體平均數的單尾 $t$ 檢定。題目要判斷資料是否足以推翻「平均減重至少 3 公斤」的宣稱。因母群體標準差未知，使用樣本標準差估計，檢定統計量服從自由度為 $n-1$ 的 $t$ 分配。

令 $\mu$ 表示服藥一個月後的母體平均減重量（公斤），數值越大代表減重越多。檢定假設為：

這是左尾檢定，顯著水準為 $\alpha=0.01$。

解題方法

已知樣本數 $n=25$、樣本平均減重量 $\bar{x}=2.5$ 公斤、樣本標準差 $s=1$ 公斤。以宣稱的 3 公斤作為虛無假設邊界值，計算：

自由度為 $n-1=24$。依題目提示，單尾檢定在 $\alpha=0.01$ 時的臨界值為 $-2.492$。由於 $-2.5<-2.492$，統計量落入左尾拒絕域；等價地，$|t|=2.5>2.492$。

核心觀念

本題考的是「三組彼此獨立樣本」在資料嚴重偏斜、樣本數又小，不適合採用常態分布假設時，應選用哪種無母數方法比較組間差異。

Kruskal-Wallis 檢定是單因子變異數分析的無母數替代方法，適用於比較三組或以上獨立樣本的分布位置。它將所有觀測值合併排序後，以秩次進行檢定，不直接依賴原始分數符合常態分布的假設。

解題方法

先辨認兩個條件：

1. 三組病患接受不同飲食療法：題意指三組彼此獨立。
2. 資料嚴重偏斜、樣本數小且不符合常態假設：不宜直接使用以常態假設為基礎的傳統參數檢定。

因此，選擇適用於三組以上獨立樣本的無母數檢定，即 Kruskal-Wallis 檢定。若各組分布形狀大致相同，檢定結果常解讀為比較各組位置或中位數是否有差異；若分布形狀不同，則應更審慎地解讀為分布是否相同。

選項分析

• (A) 單因子變異數分析（One-way ANOVA）錯誤。 這是比較三組以上獨立樣本平均數的參數方法，通常要求組內誤差近似常態，並需考慮變異數同質性。本題明確指出資料嚴重偏斜、樣本數小且不符合常態假設，故不適合作為首選。

• (B) 配對樣本 $t$ 檢定（Paired-samples $t$ test）錯誤。

核心觀念

本題考「兩獨立樣本平均數比較」的 $t$ 檢定及其虛無假設。虛無假設通常表示母體參數沒有差異；對吸菸者與非吸菸者的平均肺功能，可寫為：

也可寫成平均數差為零：$H_0:\mu_{\text{吸菸者}}-\mu_{\text{非吸菸者}}=0$。題目未指定單尾方向，因此對立假設通常表達為兩組平均數不同。

解題方法

題目問的是虛無假設，而非研究問題或對立假設。先辨認比較的對象是兩組平均肺功能，再將「沒有差異」寫成兩組母體平均數相等，即可選出符合虛無假設的敘述。

選項分析

核心觀念

配對資料是指兩筆觀察值彼此有關聯，常見情形包括同一受試者治療前後測量，或依年齡、性別等條件將受試者成對。配對分析的重點是計算每一對觀察值的差異，再分析這些差異。

令第 $i$ 對的兩筆觀察值為 $X_i$、$Y_i$，其差值為：

配對樣本 $t$ 檢定實際上是對差值 $D_i$ 進行單一樣本 $t$ 檢定，檢驗母體平均差是否為零：

其中 $\bar D$ 與 $s_D$ 分別是差值的樣本平均數與樣本標準差，$n$ 是配對數。檢定的常態性假設針對「配對差值」的分布，而不是分別要求兩組原始觀察值都符合常態分布。

解題方法

判斷各選項是否正確時，先確認配對資料的分析單位：不是把兩組當成互不相關的樣本比較，而是先求每一對的差值，再分析差值的平均情形。因此，配對資料分析的核心是同組配對資料之間的差異。

選項分析

核心觀念

判定係數 $R^2$ 用來表示迴歸模型對依變數變異的解釋程度。一般線性迴歸中：

其中，$SST$ 代表依變數的總變異，$SSE$ 代表模型未能解釋的殘差變異。因此，$R^2$ 是依變數總變異中可由模型解釋的比例。

解題方法

辨認 $R^2$ 的定義即可：它描述模型解釋依變數變異的比例，而不是某一種平方和本身，也不是自變數影響力的直接指標。因此，符合定義的是（B）。

選項分析

核心觀念

簡單線性迴歸以一條直線描述自變數 $X$ 與依變數 $Y$ 的平均關係：

其中，$\beta_0$ 是截距，$\beta_1$ 是迴歸係數（斜率）。斜率表示：自變數每增加一個單位，依變數的平均值預期改變多少單位。

解題方法

直接依斜率的定義判讀變數方向：題目問「迴歸係數（slope）」的意義，因此要看自變數 $X$ 改變一單位時，依變數 $Y$ 的平均變化量。若 $\beta_1>0$，平均而言 $Y$ 隨 $X$ 增加；若 $\beta_1<0$，則平均而言 $Y$ 隨 $X$ 減少。

選項分析

核心觀念

皮爾森相關係數 $r$ 用來描述兩個變數之間線性關係的方向與強度，取值介於 $-1$ 與 $1$ 之間：

• $r>0$：正相關，一個變數增加時，另一個變數傾向增加。
• $r<0$：負相關，一個變數增加時，另一個變數傾向減少。
• $r=0$：沒有線性相關；但仍可能存在非線性關係。

本題的相關係數為 $r=-0.75$，負號表示反向變動的傾向，絕對值 $0.75$ 則表示線性相關程度相當明顯。

解題方法

判讀相關係數時，先看正負號判斷方向，再看絕對值判斷線性關係的強度。

本題 $r=-0.75<0$，因此體重較高時，跑步速度傾向較低。這描述的是變數間的相關趨勢，不能據此認定體重增加會直接造成跑步速度下降。

選項分析

核心觀念

本題考線性迴歸模型中交互作用項的代入計算。營養補充劑以虛擬變項表示：未接受時取 $0$，接受時取 $1$。年齡與營養補充劑的交互作用項，則為兩者數值相乘。

解題方法

題目所問的是 5 歲且有接受營養補充劑的兒童，因此代入「年齡 $=5$」與「營養補充劑 $=1$」：

因此，預期發育指數為 $75.0$。

選項分析

核心觀念

本題考查存活分析中的設限資料（censored data）。當受試者在研究期間內未觀察到事件，或追蹤在事件發生前終止時，實際事件時間無法確知，只能知道事件時間至少（或至多）落在某個範圍，因此該筆資料屬於設限資料。

設限資料並非毫無資訊。分析時會保留個案已知的追蹤時間與設限狀態，納入存活曲線或其他存活分析方法；只是不能把設限時間當成事件發生時間。

解題方法

判斷關鍵在於辨別「未觀察到事件」與「資料完全不納入分析」的差異。設限代表事件時間不完整，但受試者截至最後追蹤時仍提供了部分存活時間資訊。因此，宣稱設限資料會被完全排除的選項不正確。

選項分析

核心觀念

本題考查判讀統計結果時，如何同時評估「統計顯著性」與「實際或臨床意義」。$P$ 值主要反映：在虛無假設成立的前提下，觀察到目前結果或更極端結果的機率。它本身不表示效果有多大，也不能直接判定效果是否具有臨床重要性。

因此，除 $P$ 值外，還要看：

• 效應量：量化組間差異或變項關聯的大小，例如平均差、相對風險、勝算比等。
• 信賴區間：呈現效應估計的不確定性與可能範圍；區間越窄，估計通常越精確。判讀時也可查看區間是否包含虛無值，例如差值的 $0$、相對風險的 $1$。

解題方法

題幹同時提到「統計顯著性」及「臨床意義」。作答時應選能補足 $P$ 值不足之處的指標：效應量說明效果大小，信賴區間說明估計的精確度與不確定性。故選 (B)。

統計顯著不等於臨床重要：大型樣本可能使很小、臨床上不重要的效果達到統計顯著；反之，樣本較小時，有臨床意義的效果也可能因估計不精確而未達顯著。