113 專技高考高等考試 公共衛生師 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考驗兩個獨立樣本比例的比較：一是估計慢性腎臟病組與健康對照組的肥胖比率差異及其 95% 信賴區間；二是檢定肥胖情形與慢性腎臟病是否相關。

這是病例對照資料，兩組人數是依疾病狀態選取，因此比較的是兩組的肥胖比例，不宜直接解讀為肥胖造成慢性腎臟病的風險或因果效果。

解題方法

令慢性腎臟病組為第 1 組、健康對照組為第 2 組：

兩組肥胖比率差異（慢性腎臟病組減健康對照組）為：

也就是慢性腎臟病組的肥胖比率高約 18.41 個百分點。

兩獨立樣本比例差的標準誤為：

代入 $n_1=182$、$n_2=178$：

95% 信賴區間使用 $Z_{0.975}=1.96$：

換算為百分比，約為 10.30% 至 26.53%。由於整個區間均大於 0，表示兩組肥胖比率有差異。

假設檢定

設兩組肥胖比例相等為虛無假設：

在 $H_0$ 下，以合併比例估計共同比例：

核心觀念

本題考查簡單線性迴歸的斜率解釋、整體迴歸顯著性檢定，以及代入迴歸式進行預測。

迴歸式為

其中 $x$ 為身體質量指數（BMI），$\hat{y}$ 為尿酸的預測值，單位為毫克／分升。斜率 $0.069$ 表示在此線性模式下，BMI 每增加 $1$ 單位，預測尿酸平均增加 $0.069$ 毫克／分升。

簡單線性迴歸的整體顯著性檢定，等價於檢定母體迴歸斜率是否為零：

解題方法

先由迴歸式解讀自變項與依變項的關係：斜率為正，表示 BMI 與預測尿酸值呈正向線性關係；截距 $5.124$ 是 BMI 為 $0$ 時的模型預測值，但本題 BMI 範圍為 $15$ 至 $35$，故不宜將截距解讀為研究範圍內的實際情況。

接著依變異數分析表的 $F$ 檢定結果判斷顯著性。表中 $F=6.91$、$P=0.009$。在顯著水準 $\alpha=0.05$ 下：

核心觀念

本題比較兩個獨立組別的收縮壓平均值，適用獨立樣本平均數檢定。兩組樣本數均大，且題目提供兩組標準差；依題目附列的自由度，可採合併變異數的兩獨立樣本 $t$ 檢定。

以有規律運動組減去無規律運動組，令母體平均收縮壓分別為 $\mu_1$、$\mu_2$。題目問兩組平均值「是否有差異」，故採雙尾檢定：

顯著水準 $\alpha$ 是在虛無假說為真時，錯誤拒絕虛無假說的機率上限；$p$ 值則是以虛無假說為前提，觀察到目前或更極端檢定統計量的機率。

解題方法

先計算合併變異數及標準誤：

因此 $s_p\approx 21.54$，平均數差的標準誤為

檢定統計量為

自由度為 $n_1+n_2-2=246$。雙尾檢定在 $\alpha=0.05$ 時，臨界值為 $t_{246,0.975}=1.970$。由於 $|t|=7.19>1.970$，拒絕 $H_0$。兩組平均收縮壓有統計上顯著差異；

核心觀念

盒形圖中，盒子的左、右邊界分別是第一四分位數 $Q_1$ 與第三四分位數 $Q_3$，盒內的線是中位數；兩端鬚線端點表示最小值與最大值。

解題方法

依橫軸刻度比較三科盒形圖。由圖約可讀出：

核心觀念

本題考查全機率公式與條件機率。設 $W$ 為「開白花」、$P$ 為「開紫花」、$D$ 為「感染枯萎病」，則 $W$ 與 $P$ 互斥且涵蓋所有蘋果樹。

題目給出的是：

• $P(W)=0.60$，所以 $P(P)=0.40$。
• $P(D)=0.13$。
• $P(D\mid P)=0.10$，表示「已知開紫花時，感染枯萎病的機率為 0.10」。

要求的是 $P(D\mid W)$，也就是「已知開白花時，感染枯萎病的機率」。

解題方法

依全機率公式，感染枯萎病的蘋果樹分為開白花與開紫花兩群：

代入已知數值：

因此，開白花的蘋果樹感染枯萎病的機率為 $0.15$，即 $15\%$。

選項分析

核心觀念

本題考中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT），以及樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分布特性。若母體平均數為 $\mu$、變異數為有限的 $\sigma^2$，則在適當條件下，樣本數 $n$ 增大時，樣本平均數的標準化分布會趨近標準常態分布：

因此，$\bar{X}$ 的期望值為 $\mu$，標準差為 $\sigma/\sqrt{n}$；而常態近似所需的樣本數，會受母體分布形狀影響。

解題方法

判斷各選項是否符合中央極限定理及樣本平均數的抽樣分布性質。前三項分別描述大樣本下的分布趨勢、期望值與標準差；關鍵在於檢查 D 是否正確表示樣本數與母體分布形狀的關係。

選項分析

(A) 正確。 若母體具有有限變異數，在常見的獨立同分布抽樣條件下，樣本數夠大時，樣本平均數的標準化分布會趨近常態分布。母體本身不必是常態分布。

(B) 正確。 樣本平均數的期望值為：

核心觀念

母體體重近似常態分布，母體平均數 $\mu=170$ 磅、標準差 $\sigma=30$ 磅。抽取 $n=25$ 位男性時，樣本平均數 $\bar X$ 的標準誤為：

題目問「90% 上界」，依本題官方答案採單尾 90% 上界，也就是取 $Z_{0.1}=1.282$。

解題方法

樣本平均數的 90% 單尾上界為：

代入題目數值：

因此選項 (A) 符合計算結果。

選項分析

核心觀念

本題考查母體標準差未知時，利用樣本平均數估計母體平均數的信賴區間。標準差以樣本標準差 $s$ 估計，因此使用 $t$ 分配，並以自由度 $n-1$ 查表。

95% 信賴區間的形式為：

題目問的是「寬度」，也就是上限減下限：

解題方法

已知 $n=16$、$\bar{x}=2.5$、$s=3.0$。平均數 $\bar{x}$ 用來定位區間中心，但計算區間寬度時會抵消，不必代入。

自由度為：

依題目提供的數值，95% 信賴區間使用 $t_{15,0.025}=2.131$。代入：

核心觀念

檢定力（power）是「虛無假說實際為假時，正確拒絕虛無假說的機率」，記作 $1-\beta$。其中 $\beta$ 是第二類錯誤率，也就是虛無假說為假卻未能拒絕它的機率。

檢定力會受顯著水準、樣本數、效果大小與資料變異等因素影響。其他條件相同時，對立假說下的抽樣分布與虛無假說下的抽樣分布分得越開，拒絕域越容易涵蓋對立假說下的結果，檢定力便越大。

解題方法

逐一核對選項中的定義與方向：

• 檢定力是正確拒絕「錯誤的」虛無假說，不是正確保留虛無假說。
• 在其他條件相同時，增加樣本數通常會降低標準誤，使兩個假說下的抽樣分布較不重疊，提升檢定力。
• 診斷檢定中，檢定力對應的是敏感度（sensitivity），而非特異度（specificity）。

因此，抽樣分布重疊越少、越容易區分兩個假說時，檢定力越大，符合（D）。

選項分析

核心觀念

本題考的是樣本平均數的抽樣分布。若母體為常態分布 $N(\mu,\sigma^2)$，抽取 $n$ 位個體後，樣本平均數仍為常態分布，且

題目給定母體平均數 $\mu=340$、標準差 $\sigma=80$，樣本數 $n=4$。

解題方法

先計算樣本平均數的標準誤：

所求機率為

以 $\bar X$ 的平均數 340 標準化：

因此

核心觀念

本題考查研究設計與統計檢定的配對方式：要比較的是男性與女性的降壓效果是否相同。性別是兩個彼此獨立的群體；每位患者則各有服藥前、服藥 5 週後兩次收縮壓測量。

解題方法

先對每位患者計算服藥前後的差值，例如定義降壓效果為：

接著比較男性與女性兩組的平均降壓效果。男性患者與女性患者是不同個體，兩組彼此獨立，因此依官方答案，最適合使用獨立樣本 $t$ 檢定比較兩組平均數。

研究假設可寫為：

此處的 $\mu_{\text{男}}$ 與 $\mu_{\text{女}}$ 分別代表男性、女性的平均降壓效果。題目未提供原始數據，無須計算檢定統計量；若分析實際資料，應先算出每位患者的前後差值，再以兩組差值進行獨立樣本比較。

選項分析

核心觀念

符號檢定（sign test）適用於配對資料，檢驗差值的中位數是否為 0。它只看每位受試者的差值方向，不使用差值大小，也不要求差值服從常態分配。

本題定義差值為「Baseline − Week 1」，因此正值表示鈉攝取下降。若飲食諮詢有效，正差值的比例應大於 $1/2$。

解題方法

逐一判斷差值的正負：

• 正差值：第 1、3、5、6、7 人，共 $5$ 人。
• 負差值：第 2、4 人，共 $2$ 人。
• 零差值：第 8 人，共 $1$ 人。

符號檢定中，零差值不提供方向資訊，因此排除。有效樣本數為 $n=7$，正號數 $X=5$。

在虛無假設下，正、負號機率各為 $1/2$，故 $X\sim\operatorname{Binomial}(7,1/2)$。本題檢定「是否降低」，屬右尾單尾檢定：

核心觀念

本題考「成對資料」的無母數檢定。若同一批受試者在飲食諮詢前後各測量一次鈉攝取量，兩次觀察值彼此相關，應以每人的前後差值進行 Wilcoxon 符號等級檢定（Wilcoxon signed-rank test），而非把兩次測量當成獨立組別。

依題意，以「諮詢前攝取量減諮詢後攝取量」作為差值，正差值代表鈉攝取下降。令差值為 $d_i$，檢定統計量之一為正差值的等級總和：

解題方法

計算時先求每位受試者的前後差值，排除差值為 $0$ 的觀察值；再將非零差值的絕對值由小到大排序，依序給予等級。若絕對差值有並列，使用平均等級。最後加總正差值所對應的等級，即得 $R^+$。

依官方答案採用的前題資料及差值方向，正等級和為 $R^+=16.5$，因此選項 A 正確。題幹未附「承上題」的原始前後測資料；上述數值依官方答案所對應的資料計算。

選項分析

核心觀念

單因子變異數分析（one-way ANOVA）用來檢定三個以上獨立群體的母體平均數是否全相等。虛無假設為

對立假設為「至少有一個中心的母體平均數不同」，而不是三者兩兩都不同。檢定統計量為

其中 $SS_B$ 為組間平方和，$SS_W$ 為組內平方和，$k$ 為組數，$N$ 為總樣本數。

解題方法

三組樣本數分別為 $n_A=20$、$n_B=15$、$n_C=25$，總樣本數 $N=60$。總平均數為加權平均：

組間平方和：

組間自由度為 $k-1=2$，因此

核心觀念

本題考驗卡方獨立性檢定。若葉子形狀與豆莢顏色所代表的兩種性狀彼此獨立，則兩性狀組合的觀察次數應符合各自邊際比例所推得的期望次數。

由 $AaBb\times AaBb$ 可知，葉子形狀的表現型比例為橢圓形：細長形 $=3:1$；豆莢顏色的表現型比例為綠色：黃色 $=3:1$。兩性狀獨立時，四種組合的期望比例為 $9:3:3:1$。

解題方法

總子代數為

在兩基因座獨立的假設下，四種表現型的期望比例依序為：

計算卡方統計量：

核心觀念

斯皮爾曼等級相關係數 $r_s$ 是以 $X$、$Y$ 的等級取代原始數值，再衡量兩者之間單調關係的相關係數。其範圍為 $-1$ 至 $+1$：

• $r_s$ 接近 $+1$：高度正向單調相關。
• $r_s$ 接近 $-1$：高度反向單調相關。
• $r_s$ 接近 $0$：單調相關性較弱；但不代表兩變數之間完全沒有其他形式的關係。

解題方法

判斷各選項是否符合 $r_s$ 的定義、範圍與方向解讀即可。題目已提供官方答案為 C，因此關鍵在於辨認 $r_s=-0.9$ 代表的是強烈反向相關，而非相關性很低。

選項分析

核心觀念

本題考的是「兩組別與基因型類別之關聯」應採用何種統計檢定。研究對象依是否罹患心血管疾病（CVD）分為病例組與對照組；每個 SNP 以 $0、1、2$ 編碼，代表三種基因型類別。分析時可將資料整理成「病例／對照 × 基因型」的列聯表，再檢驗兩者是否相關。

卡方檢定可用於檢驗兩個類別變項是否獨立。此處可將 CVD 狀態視為二分類變項、SNP 基因型視為三分類變項，形成 $2\times3$ 列聯表。

解題方法

針對每一個候選 SNP，統計病例組及對照組中三種基因型的人數，列成下表：

卡方獨立性檢定的虛無假設為「基因型分布與 CVD 狀態無關」。各格期望次數為：

檢定統計量為：

核心觀念

本題考羅吉斯迴歸係數的解讀，以及勝算比（odds ratio, OR）、Wald 檢定與信賴區間的意義。

羅吉斯迴歸模型可寫為：

其中 $p$ 為冠心病的機率，$\frac{p}{1-p}$ 為冠心病的勝算。年齡係數 $B=0.130$ 表示年齡每增加一歲，冠心病勝算的對數增加 $0.130$；換算成勝算比為：

因此，每增加一歲，勝算約增加 $13.9\%$。這是勝算的變化，不等於風險（機率）的變化。

解題方法

年齡每增加兩歲，勝算比為：

也就是勝算增加約 $29.7\%$，所以（B）正確。

選項分析

（A）錯誤。 $e^{0.130}=1.139$ 表示每增加一歲，冠心病的勝算增加 $13.9\%$，不能直接說冠心病的風險增加 $13.9\%$。風險是機率；

核心觀念

羅吉斯迴歸用來描述二元結果變項的發生機率。若 $p$ 代表使用毒品的機率，模型將勝算取自然對數，表示為：

右側是對數勝算；要換算成機率，先求線性預測值 $\eta$，再套用反羅吉斯轉換：

交互作用項的數值，是兩個變項編碼值的乘積。

解題方法

題目中的女高中生無接受 HIV 教育、亦無 HIV 常識，因此：

交互作用項為：

代入羅吉斯迴歸模型：

核心觀念

本題考單一樣本 $t$ 檢定的輸出判讀。表中的 Test value = 54 表示檢定基準值為 54 歲，檢定母體平均數是否與此值不同：

自由度為 $df=n-1$，所以樣本數應由 $n=df+1$ 求得；自由度不是樣本數。

解題方法

表中 $df=1{,}206$，故納入分析的樣本數為：

平均差是樣本平均數減去檢定基準值。表列 Mean difference = 2.388，因此：

雙尾顯著性 $p<0.001<0.05$，因此在 $\alpha=0.05$ 下拒絕虛無假說，檢定結果達統計上顯著。

選項分析

核心觀念

皮爾森相關係數 $r$ 用來衡量兩個連續變數之間的線性關係方向與強度；斯皮爾曼等級相關係數 $\rho_s$ 則以資料的名次計算，適用於次序資料，或變數間呈單調關係的情形。

相關係數的大小與統計檢定的 $p$ 值回答不同問題：相關係數反映關係的方向與強度；$p$ 值則用來評估觀察到的相關是否有統計證據偏離虛無假設。樣本數很大時，即使相關程度不強，也可能得到很小的 $p$ 值。

解題方法

逐項判斷相關係數適用的資料型態與限制，並區分「相關強度」和「統計顯著性」。選項 B 給出 $r=0.25$，表示正向但通常屬於弱相關；$p<0.0001$ 說明檢定結果達統計顯著，並不會把弱相關變成強相關，因此敘述合適。

選項分析

(A) 錯誤。 斯皮爾曼相關係數適合用於次序變數，因為它根據名次衡量兩變數的單調關係。皮爾森相關係數則主要用於連續變數的線性關係；直接套用在次序資料上通常不合適。因此不能說兩者都適合評估兩個次序變數之間的相關性。

核心觀念

投手過去投進好球帶的相對頻率為 $40/50=0.8$。假設每次投球相互獨立，且今天每球投進好球帶的機率維持 $p=0.8$，則投進好球帶的球數 $X$ 服從二項分配：

題目問「9 顆以上」，包含投進 9 顆與 10 顆，因此要求 $P(X\geq 9)$。

解題方法

使用二項分配的機率質量函數，分別計算 $X=9$ 與 $X=10$ 的機率後相加：

核心觀念

本題考平均數、中位數與眾數所反映的分布位置關係，以及偏態的判讀：

• 平均數：所有觀測值的總和除以觀測值個數。
• 中位數：將資料由小到大排列後，位於中央的值；約有一半觀測值不大於中位數，另一半不小於中位數。
• 眾數：出現次數最多的值。

若平均數大於中位數，常見情形是分布右側有較長的尾巴，少數較大的觀測值會把平均數往上拉。本題提供的平均數、中位數及眾數，與此種右偏分布的特徵相符。

解題方法

題目給定平均住院日數為 $10$ 天、中位數為 $8$ 天、眾數為 $6$ 天，因此三者呈現：

這是右偏分布的典型位置關係。住院日數較長的少數病人，會使平均數高於中位數與眾數；因此「可能有一些病人住院特別久」是合理敘述。此關係可用來判讀分布傾向，但僅憑三個統計量不能確定分布形狀，也不能推得標準差或各區間的人數比例。

選項分析

核心觀念

母群體平均數的信賴區間，是以樣本資料估計母群體平均數的合理範圍。若母群體標準差未知，常用的 $100(1-\alpha)\%$ 信賴區間為：

其中 $\bar{x}$ 是樣本平均數、$s$ 是樣本標準差、$n$ 是樣本數，$t_{1-\alpha/2,\;n-1}$ 是 $t$ 分配的臨界值。因此，區間寬度為：

區間的中心是 $\bar{x}$；寬度則由臨界值、標準差與樣本數決定。

解題方法

逐項查看各敘述是否符合寬度公式。公式中沒有 $\bar{x}$，所以改變樣本平均數只會使整個信賴區間平移，不會改變其寬度。據此判斷，選項 (D) 錯誤。

選項分析

核心觀念

本題考查兩個彼此獨立組別的連續型資料平均數比較。研究結果是體重變化，單位為公斤；A、B 兩組各有 49 位不同參與者，因此組間比較屬於獨立樣本，而非配對樣本。

題目假設兩組體重變化皆為常態分布，且母群體變異數相等，適用獨立樣本兩母體平均數差異的雙樣本 $t$ 檢定（two-sample $t$ test）。

解題方法

設 $\mu_A$、$\mu_B$ 分別為兩組的母群體平均體重變化，檢定：

兩組體重變化的樣本平均數為 $-6.3$ 公斤與 $-4.0$ 公斤，觀察到的平均差為：

這表示 A 組平均減重比 B 組多 $2.3$ 公斤。要判定差異是否達統計顯著，需將平均差除以其標準誤，進行雙樣本 $t$ 檢定。

在母體變異數相等的假設下，合併變異數為：

檢定統計量為：

核心觀念

本題考查「平均數的信賴區間」與「樣本標準差」的關係。若題目提供 A 組體重變化的平均數信賴區間與樣本數，可由信賴區間半寬反推出標準誤，再利用標準誤公式求出樣本標準差：

其中，$s$ 為樣本標準差，$n$ 為樣本數，$df=n-1$。

解題方法

承上題的 A 組資料，以平均數的 95% 信賴區間計算，區間半寬為 $1.10$ 公斤；A 組樣本數為 $49$，故自由度為 $48$。題目提供 $t_{48,0.975}=2.01$。

代入信賴區間公式：

因此：

所以 A 組體重變化的標準差約為 $3.83$ 公斤。

選項分析

核心觀念

本題考「配對樣本」的平均差檢定。若同一組受試者在介入前、後各測量一次，分析重點是每位受試者的前後差值，而不是把兩次測量當成互相獨立的兩組資料。

令 $d_i$ 為第 $i$ 位受試者的體重差，$\mu_d$ 為母體平均差。若要檢定介入前後的平均體重是否改變，虛無假設為：

雙尾對立假設為 $H_1:\mu_d\ne 0$。

解題方法

題目問的是 B 組介入前後的體重是否有改變。檢定「沒有平均改變」時，虛無假設中的平均差應設為 $0$；因此，選項中只有 C 正確設定了虛無假設。

實際判斷是否達統計顯著，還需要差值資料及其標準誤等資訊，再計算檢定統計量並與顯著水準比較。本題依官方答案選 C，考點在檢定假設的設定。

選項分析

核心觀念

本題考線性迴歸的誤差（殘差）假設。以簡單線性迴歸為例：

其中 $\varepsilon_i$ 是模型未能解釋的誤差；以資料估計迴歸線後，觀察值與預測值之差為殘差：

傳統線性迴歸推論常要求誤差彼此獨立、平均數為 $0$、變異數相同；進行小樣本推論時，另常假設誤差服從常態分布。題目問「何者不是」應滿足的假設。

解題方法

逐項對照迴歸假設即可：殘差（誤差）應互相獨立，而不是彼此相依；其餘選項所列的常態性、零平均數與變異數同質性，皆是傳統迴歸模型常見的假設或條件。

選項分析

• (A) 殘差呈現常態分布：錯誤選項。 傳統線性迴歸的推論通常假設誤差服從常態分布，尤其用於小樣本下的 $t$ 檢定與信賴區間。常態性不是最小平方法估計本身成立的必要條件，但屬常見推論假設。

核心觀念

$p$ 值用來衡量：在虛無假說 $H_0$ 為真時，觀察到目前資料或更不利於 $H_0$ 的資料有多常見。它的大小不是 $H_0$ 為真的機率，也不是檢定力。

若檢定統計量為 $T$，觀察值為 $t_{\text{obs}}$，則 $p$ 值可概括寫為：

「更極端」的方向依研究假設及檢定方式而定；單邊檢定看單一尾端，雙邊檢定則衡量兩個方向的極端結果。

解題方法

逐一辨認各選項描述的是檢定力、證據方向，還是 $p$ 值的正式定義。題目問的是 $p$ 值的意義，因此符合「在 $H_0$ 為真條件下，計算觀察結果或更極端結果的機率」者，即為正確敘述。

選項分析

核心觀念

Kaplan–Meier（KM）法是無母數存活分析方法，用來估計存活函數 $S(t)$，也就是個體存活超過時間 $t$ 的機率。曲線只有在發生死亡事件時才會下降；「+」標記代表設限（censored），表示該個案追蹤至該時間點仍未觀察到死亡，或之後無法繼續追蹤，不代表死亡事件。

中位數存活時間是存活率降至 $50\%$ 時所對應的時間。

解題方法

先讀取圖例與曲線形狀：Group 1 在第 9 個月的存活率約為 $91\%$，Group 2 約為 $75\%$。再確認曲線下降代表死亡事件，而「+」代表設限。最後檢查兩條曲線是否降至 $50\%$，即可判斷能否估計中位數存活時間。

選項分析

• (A) 正確。 Kaplan–Meier 法不需假設存活時間服從特定的參數分布，屬於無母數方法。

核心觀念

題目描述某段固定時間內事件發生次數的情形：事故彼此獨立、平均發生率穩定，且事故次數不受限。這符合卜瓦松分配（Poisson distribution）的條件。

若每日期望事故次數為 $\lambda$，則每日事故次數 $X$ 可設為：

卜瓦松分配的期望值與變異數皆為 $\lambda$：

解題方法

題目給定每日平均發生事故 $3$ 次，因此 $\lambda=3$。代入卜瓦松分配的期望值與變異數公式：

故期望值為 $3$，變異數也為 $3$，對應選項 (D)。

選項分析

核心觀念

本題考 Poisson 分配的右尾機率。若每日交通事故次數 $X$ 服從參數為 $\lambda$ 的 Poisson 分配，則

「4 次（含）以上」表示 $X\ge 4$，可用補事件計算：

解題方法

本題承接前題，使用前題求得的平均每日事故次數 $\lambda=2$。先算出事故次數為 0、1、2、3 次的機率，再以 1 扣除：

因此依 Poisson 分配公式與 $\lambda=2$ 計算，$P(X\ge4)\approx 0.143$，與官方答案 A 的 $0.353$ 不一致。選項 A 對應的尾機率約為 $\lambda=3$ 時的結果：