114 專技高考高等考試 水利工程技師 水文學 考古題詳解

114 年・專技高考・高等考試・水利工程技師
試題代碼 水文學

第 一 題25 分

有一矩形集水區，其四角落之位置座標為 (0,0)(0,0)、(0,10)(0,10)、(14,10)(14,10)、(14,0)(14,0)。

集水區內設有四個雨量測站，各測站所在位置的座標及降雨量如下表。所有座標值的單位均為公里，假設無任何降雨損失，試以徐昇式法推求此集水區的平均降雨量。

雨量測站位置(4,2)(4,2)(4,7)(4,7)(11,7)(11,7)(11,2)(11,2)
降雨量（cm）1.52.02.44.3

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核心觀念

徐昇式法（Thiessen polygon method）依各雨量站的位置，將集水區劃分為若干多邊形；每個多邊形內的任一點，皆以距離最近的雨量站代表其降雨量。集水區平均降雨量為各站降雨量按其控制面積加權的平均值：

Pˉ=∑i=1nAiPiA\bar P=\frac{\sum_{i=1}^{n}A_iP_i}{A}

其中 AiA_i 為第 ii 個測站的控制面積，PiP_i 為該站降雨量，AA 為集水區總面積。

解題方法

集水區為 14 km×10 km14\text{ km}\times10\text{ km} 矩形，四站座標分別為 (4,2)(4,2)、(4,7)(4,7)、(11,7)(11,7)、(11,2)(11,2)。相鄰測站的距離平分線為控制區邊界；再將分區限制在集水區矩形內，即可求各站控制面積。

四站形成矩形配置，因此控制區邊界可由站點中點的水平線與垂直線構成：

  • 左右兩列測站的中點在 x=(4+11)/2=7.5x=(4+11)/2=7.5。
  • 上下兩列測站的中點在 y=(2+7)/2=4.5y=(2+7)/2=4.5。

再依測站與集水區邊界的距離，計算各分區面積：

測站座標控制區範圍（公里）控制面積（平方公里）
(4,2)(4,2)0≤x≤7.5, 0≤y≤4.50\le x\le7.5,\ 0\le y\le4.57.5×4.5=33.757.5\times4.5=33.75
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第 二 題25 分

某流域內連續發生三場延時 1 小時之有效降雨，有效降雨分別為 1 cm、1.5 cm、0.5 cm。延時 1 小時有效降雨之單位歷線如下表，試求此三場降雨所產生之直接逕流歷線。

時間（hr）12345678910
U(1,t)U(1,t)（cms）1020406050403020105

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核心觀念

本題考查單位歷線的比例原理與線性疊加原理。延時 1 小時有效降雨每 1 cm 所產生的直接逕流歷線為 U(1,t)U(1,t)；若有效降雨深度為 PP cm，歷線各時刻的流量便乘以 PP。不同時段的降雨所產生的逕流歷線，則依各自的發生時間平移後相加。

解題方法

三場有效降雨各延時 1 小時，雨量依序為 11、1.51.5、0.50.5 cm。因此，以第一場降雨開始時刻為基準，總直接逕流歷線為：

Q(t)=1 U(1,t)+1.5 U(1,t−1)+0.5 U(1,t−2)Q(t)=1\,U(1,t)+1.5\,U(1,t-1)+0.5\,U(1,t-2)

其中 U(1,t)=0U(1,t)=0（當 t<1t<1 或 t>10t>10）。第一場歷線不平移；第二場因相隔 1 小時，向後平移 1 小時；第三場向後平移 2 小時。

逐時疊加如下：

時間 tt（hr）第一場：1U(1,t)1U(1,t)第二場：1.5U(1,t−1)1.5U(1,t-1)第三場：0.5U(1,t−2)0.5U(1,t-2)總流量 Q(t)Q(t)（cms）
1100010
22015035
34030575
4606010130
5509020160
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第 三 題25 分

某厚度為 30 m 之限制含水層靠近一補助邊界（河川）。現有一抽水井以 5000 cmd 抽水，長時間後在觀測井處的洩降為 0.43 m。

補助邊界、抽水井及觀測井之平面圖可用卡式座標系統標示，YY 軸座標為補助邊界，抽水井之座標為 (200,0)(200,0)，觀測井座標為 (100,100)(100,100)，座標之單位為 m。試求含水層之水力傳導係數。

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核心觀念

本題考查限制含水層靠近定水頭補助邊界時的穩定流降深，需使用鏡像井法處理河川邊界。

定水頭補助邊界可視為水位固定的邊界。鏡像井法將邊界另一側設置一口與實際抽水井等距的注水井，使邊界上的降深為零。含水層厚度為 bb，水力傳導係數為 KK 時，透水量係數為 T=KbT=Kb。觀測井的穩定降深為

s=Q2πTln⁡(rirp)=Q2πKbln⁡(rirp)s=\frac{Q}{2\pi T}\ln\left(\frac{r_i}{r_p}\right) =\frac{Q}{2\pi Kb}\ln\left(\frac{r_i}{r_p}\right)

其中 rpr_p 是觀測井至實際抽水井的距離，rir_i 是觀測井至鏡像注水井的距離。

解題方法

補助邊界為 YY 軸，即 x=0x=0。抽水井位於 (200,0)(200,0)，因此鏡像注水井位於邊界另一側的對稱位置 (−200,0)(-200,0)。觀測井位於 (100,100)(100,100)。

觀測井至實際抽水井的距離為

rp=(200−100)2+(0−100)2=20 000≈141.42 mr_p=\sqrt{(200-100)^2+(0-100)^2} =\sqrt{20\,000} \approx 141.42\ \text{m}

觀測井至鏡像注水井的距離為

ri=(−200−100)2+(0−100)2=100 000≈316.23 mr_i=\sqrt{(-200-100)^2+(0-100)^2} =\sqrt{100\,000} \approx 316.23\ \text{m}
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第 四 題25 分

某洪氾區由兩河堤 A、B 保護兩河川，其設計週期分別為 20 年與 50 年。

假設兩河川之洪水事件具獨立性，試求：

(一) 該洪氾區每年之淹水機率？（12 分）

(二) 若河堤 A 設計週期由 20 年提高到 50 年，此洪氾區淹水機率可以降低為多少？（13 分）

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核心觀念

設計週期為 TT 年的河堤，代表其所防護的設計洪水在任一年被超越的機率為

p=1T.p=\frac{1}{T}.

洪氾區只有在兩條河川的洪水都未超越各自河堤設計標準時才不淹水。兩河洪水事件彼此獨立，因此「兩河都未超越」的機率等於兩者未超越機率的乘積；淹水機率則為其補事件。

解題方法

令 AA、BB 分別代表河川洪水超越河堤 A、B 設計標準的事件。題目給定兩河洪水事件獨立。

河堤 A 的設計週期為 20 年，河堤 B 為 50 年，因此

P(A)=120,P(B)=150.P(A)=\frac{1}{20},\qquad P(B)=\frac{1}{50}.

洪氾區不淹水，須兩條河川都沒有超越設計標準：

P(不淹水)=(1−120)(1−150)=1920⋅4950=0.931.P(\text{不淹水}) =\left(1-\frac{1}{20}\right)\left(1-\frac{1}{50}\right) =\frac{19}{20}\cdot\frac{49}{50} =0.931.

因此每年淹水機率為

P(淹水)=1−P(不淹水)=1−0.931=0.069.P(\text{淹水}) =1-P(\text{不淹水}) =1-0.931 =0.069.
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