111 專技高考高等考試 水利工程技師 水文學 考古題詳解

核心觀念

本題旨在考查應用經驗公式推求水面蒸發量之計算能力，涉及的核心水文學觀念如下：

1. 道爾吞型蒸發公式（Dalton's Law of Evaporation）： 水面蒸發速率與水面飽和汽壓及空氣實際汽壓之差值（即蒸氣壓不足量，Vapor Pressure Deficit）成正比，並受風速影響： $E = f(v)(e_s - e_a)$

2. 邁爾公式（Meyer's Formula）： 邁爾公式為估算大水體水面日蒸發量的典型英制經驗公式。題目給定型式如下： $E = 0.36(e_s - e_a)\left(1 + \frac{v}{10}\right)$ 其中：

• $E$：日蒸發量（$\mathrm{in/day}$）。
• $e_s$：水面溫度（水溫）對應之飽和汽壓（$\mathrm{inHg}$）。
• $e_a$：空氣實際汽壓（$\mathrm{inHg}$），等於空氣溫度對應之飽和汽壓 $e_{sa}$ 乘上相對濕度 $RH$。
• $v$：水面上方 $25\ \mathrm{ft}$ 高度處之風速（$\mathrm{mile/hr}$）。

3. 汽壓取值與單位換算：

• 水面飽和汽壓 $e_s$：蒸發發生於水面，取水溫（$15^\circ\mathrm{C}$）之飽和汽壓。
• 空氣實際汽壓 $e_a$：由氣溫（$25^\circ\mathrm{C}$）之飽和汽壓乘以相對濕度求得（$e_a = RH \times e_{sa}$）。
• 單位換算：題表給定之飽和汽壓單位為 $\mathrm{cmHg}$（公分汞柱），因 $1\ \mathrm{in} = 2.54\ \mathrm{cm}$，故換算為吋汞柱時需除以 $2.54$： $1\ \mathrm{cmHg} = \frac{1}{2.54}\ \mathrm{inHg}$

解題方法

步驟一：基本數據整理與單位轉換

1. 水面飽和汽壓 $e_s$（依水溫 $T_w = 15^\circ\mathrm{C}$）： $e_s = 1.5\ \mathrm{cmHg} = \frac{1.5}{2.54}\ \mathrm{inHg} \approx 0.5906\ \mathrm{inHg}$

2. 氣溫對應之飽和汽壓 $e_{sa}$（依氣溫 $T_a = 25^\circ\mathrm{C}$）： $e_{sa} = 2.5\ \mathrm{cmHg} = \frac{2.5}{2.54}\ \mathrm{inHg} \approx 0.9843\ \mathrm{inHg}$

3. 風速修正項（高度 $25\ \mathrm{ft}$，風速 $v = 10\ \mathrm{mile/hr}$）： $1 + \frac{v}{10} = 1 + \frac{10}{10} = 2$

步驟二：計算相對濕度 $RH = 20\%$ 之日蒸發量 $E_{20\%}$

1. 空氣實際汽壓 $e_{a,1}$： $e_{a,1} = 20\% \times e_{sa} = 0.20 \times \frac{2.5}{2.54} = \frac{0.50}{2.54}\ \mathrm{inHg} \approx 0.1969\ \mathrm{inHg}$

2. 汽壓差 $\Delta e_1$： $\Delta e_1 = e_s - e_{a,1} = \frac{1.5 - 0.50}{2.54} = \frac{1.0}{2.54}\ \mathrm{inHg} \approx 0.3937\ \mathrm{inHg}$

3. 代入邁爾公式求日蒸發量： $E_{20\%} = 0.36 \times \left(\frac{1.0}{2.54}\right) \times 2 = \frac{0.72}{2.54} \approx 0.2835\ \mathrm{in/day}$ 若換算為公制水深單位： $E_{20\%} = 0.2835\ \mathrm{in/day} \times 25.4\ \mathrm{mm/in} = 7.20\ \mathrm{mm/day}$

步驟三：計算相對濕度 $RH = 30\%$ 之日蒸發量 $E_{30\%}$

核心觀念

本題主要測驗水文學中應用極為廣泛的 SCS 逕流曲線數法（SCS Runoff Curve Number Method，現稱 NRCS-CN 法）。核心觀念包含：

1. 基本水量平衡與連續性假設： SCS 假定實際逕流量與降雨潛在逕流上限之比值，等於流域實際蓄水量與最大潛在入滲保水量之比值，即： $\frac{P_e}{P - I_a} = \frac{F}{S}$ 式中：

• $P$：總降雨量（$\mathrm{mm}$）。
• $P_e$：有效降雨量（Direct Runoff Depth，即逕流深，$\mathrm{mm}$）。
• $I_a$：初期損失量（Initial Abstraction，含窪蓄、截留與初期入滲，$\mathrm{mm}$）。
• $F$：降雨開始產流後之累積入滲量（$\mathrm{mm}$），滿足 $F = (P - I_a) - P_e$。
• $S$：集水區最大潛在入滲保水量（Potential Maximum Retention，$\mathrm{mm}$）。

2. 公制單位下之保水量與初損經驗公式：

• 最大潛在保水量 $S$ 與曲線數 $\mathrm{CN}$ 之關係（公制）： $S = \frac{25400}{\mathrm{CN}} - 254$
• 經驗上取初期損失量 $I_a = 0.2S$。
• 產流條件：當 $P > I_a$ 時始產生逕流，有效降雨量公式為： $P_e = \frac{(P - I_a)^2}{P - I_a + S} = \frac{(P - 0.2S)^2}{P + 0.8S} \quad (P > 0.2S)$ 若 $P \le 0.2S$，則 $P_e = 0$。

3. 複合集水區之加權計算： 區域內包含多種土地利用時，水文學標準考題慣用**面積加權平均曲線數（Area-Weighted CN）**求得綜合 $\overline{\mathrm{CN}}$ 後，代入求出全區之有效降雨深度；若考量集水區總面積 $A$，則有效降雨總體積為 $V = P_e \times A$。

解題方法

本題採用水文學國家考試評分標準之「面積加權曲線數法（Composite CN Method）」進行求解，文末並附上「分區逕流深加權法」以供對照。

【方法一：面積加權曲線數法（國家考試標準解法）】

步驟一：計算開發前之有效降雨量

1. 計算開發前之綜合加權曲線數 $\mathrm{CN}_{\text{pre}}$： $\mathrm{CN}_{\text{pre}} = \sum (A\% \times \mathrm{CN}) = 10\% \times 95 + 30\% \times 55 + 60\% \times 35$ $\mathrm{CN}_{\text{pre}} = 9.5 + 16.5 + 21.0 = 47.0$

2. 計算最大潛在保水量 $S_{\text{pre}}$ 與初期損失量 $I_{a, \text{pre}}$： $S_{\text{pre}} = \frac{25400}{47.0} - 254 = 540.43 - 254 = 286.43\ \mathrm{mm}$ $I_{a, \text{pre}} = 0.2 \times S_{\text{pre}} = 0.2 \times 286.43 = 57.29\ \mathrm{mm}$

3. 檢核產流條件並計算有效降雨深 $P_{e, \text{pre}}$： 降雨量 $P = 150\ \mathrm{mm} > I_{a, \text{pre}} = 57.29\ \mathrm{mm}$，確定產生逕流。 $P_{e, \text{pre}} = \frac{(P - 0.2S_{\text{pre}})^2}{P + 0.8S_{\text{pre}}} = \frac{(150 - 57.29)^2}{150 + 0.8 \times 286.43} = \frac{(92.71)^2}{150 + 229.14} = \frac{8595.14}{379.14} \approx 22.67\ \mathrm{mm}$

步驟二：計算開發後之有效降雨量

1. 計算開發後之綜合加權曲線數 $\mathrm{CN}_{\text{post}}$： $\mathrm{CN}_{\text{post}} = \sum (A\% \times \mathrm{CN}) = 70\% \times 95 + 20\% \times 55 + 10\% \times 35$ $\mathrm{CN}_{\text{post}} = 66.5 + 11.0 + 3.5 = 81.0$

2. 計算最大潛在保水量 $S_{\text{post}}$ 與初期損失量 $I_{a, \text{post}}$： $S_{\text{post}} = \frac{25400}{81.0} - 254 = 313.58 - 254 = 59.58\ \mathrm{mm}$ $I_{a, \text{post}} = 0.2 \times S_{\text{post}} = 0.2 \times 59.58 = 11.92\ \mathrm{mm}$

3. 檢核產流條件並計算有效降雨深 $P_{e, \text{post}}$： 降雨量 $P = 150\ \mathrm{mm} > I_{a, \text{post}} = 11.92\ \mathrm{mm}$，確定產生逕流。 $P_{e, \text{post}} = \frac{(P - 0.2S_{\text{post}})^2}{P + 0.8S_{\text{post}}} = \frac{(150 - 11.92)^2}{150 + 0.8 \times 59.58} = \frac{(138.08)^2}{150 + 47.66} = \frac{19066.09}{197.66} \approx 96.46\ \mathrm{mm}$

步驟三：計算開發前後有效降雨量變化

1. 有效降雨深度變化（$\Delta P_e$）：

核心觀念

1. 非限制含水層之杜卜伊穩定流公式（Dupuit Formula）： 在穩定抽水條件下，非限制含水層（自由含水層）之平面逕流依據杜卜伊–佛希海默（Dupuit-Forchheimer）假設，水流控制方程式對水頭平方項 $h^2$ 呈線性拉普拉斯形式（$\nabla^2(h^2) = 0$）。因此，單一抽水井之水頭分布滿足： $h^2 = C - \frac{Q}{\pi K} \ln(r)$ 其中 $Q$ 為抽水量、$K$ 為水力傳導係數、$r$ 為距抽水井之徑向距離、$C$ 為常數。

2. 邊界效應與鏡像法（Method of Images）： 含水層遇無限長「垂直不透水邊界」（阻水邊界）時，邊界處垂直法向之流速與水力坡降為零（$\partial h / \partial n = 0$）。為滿足此不透水邊界條件，依鏡像原理，需在邊界另一側之對稱位置設置一口「抽水性質相同、抽水量相等（同為 $Q$）」之假想抽水井（Image Pumping Well）。

3. 水頭平方的線性重疊原理（Superposition Principle）： 在不透水邊界影響下，含水層內任意點之水頭平方值，為實際抽水井與假想抽水井作用之疊加： $h^2(x, y) = C - \frac{Q}{\pi K} \ln(r) - \frac{Q}{\pi K} \ln(r') = C - \frac{Q}{\pi K} \ln(r \cdot r')$ 其中 $r$ 與 $r'$ 分別為該點至實際抽水井及假想抽水井之水平距離。

解題方法

1. 空間幾何關係配置

設垂直不透水邊界為直線 $x = 0$，實際含水層位於 $x < 0$ 側：

• 實際抽水井（$W$）：距邊界 $60\ \mathrm{m}$，位於 $x = -60\ \mathrm{m}$，抽水量 $Q = 2000\ \mathrm{m^3/day}$。
• 假想抽水井（$W'$）：位於對稱位置 $x = +60\ \mathrm{m}$，抽水量 $Q' = 2000\ \mathrm{m^3/day}$。
• 觀測井 I：距邊界 $30\ \mathrm{m}$，位於 $x = -30\ \mathrm{m}$。
• 至實際抽水井距離 $r_1 = |-30 - (-60)| = 30\ \mathrm{m}$
• 至假想抽水井距離 $r_1' = |-30 - 60| = 90\ \mathrm{m}$
• 觀測井 II：距邊界 $10\ \mathrm{m}$，位於 $x = -10\ \mathrm{m}$。
• 至實際抽水井距離 $r_2 = |-10 - (-60)| = 50\ \mathrm{m}$
• 至假想抽水井距離 $r_2' = |-10 - 60| = 70\ \mathrm{m}$

2. 推導觀測井 I 與 II 之水位關係式

依水頭平方重疊原理，各觀測井之水位平方分別為： $h_1^2 = C - \frac{Q}{\pi K} \ln(r_1 \cdot r_1')$ $h_2^2 = C - \frac{Q}{\pi K} \ln(r_2 \cdot r_2')$

兩式相減消除未知常數 $C$： $h_2^2 - h_1^2 = \frac{Q}{\pi K} \left[ \ln(r_1 \cdot r_1') - \ln(r_2 \cdot r_2') \right] \times (-1) = \frac{Q}{\pi K} \ln\left(\frac{r_2 \cdot r_2'}{r_1 \cdot r_1'}\right)$

整理得觀測井 I 之水位計算式： $h_1 = \sqrt{h_2^2 - \frac{Q}{\pi K} \ln\left(\frac{r_2 \cdot r_2'}{r_1 \cdot r_1'}\right)}$

3. 數值代入與計算

已知：

• $Q = 2000\ \mathrm{m^3/day}$
• $K = 20\ \mathrm{m/day}$
• $h_2 = 15\ \mathrm{m}$

核心觀念

本題考查水文學中「單位歷線（Unit Hydrograph, UH）延時變換」與「降雨逕流歷線推求」之核心計算，包含以下關鍵觀念與公式：

1. 單位歷線之定義： 流域在均勻降雨強度下，產生單位有效降雨深度（公制通常為 $1\ \mathrm{cm}$）且延時為 $t_r$ 小時所形成的直接逕流歷線（Direct Runoff Hydrograph, DRH）。
2. S 歷線法（S-curve Method）： 當欲推求之目標降雨延時 $t_r'$ 與已知單位歷線延時 $t_r$ 非整數倍數關係時（本題已知 $t_r = 2\ \mathrm{hr}$，目標 $t_r' = 3\ \mathrm{hr}$），需採用 S 歷線法進行延時轉換。

• S 歷線之建構：將延時為 $t_r$ 之單位歷線連續錯開 $t_r$ 小時後累加： $S(t) = \sum_{k=0}^{\infty} U(t_r, t - k \cdot t_r)$
• 新延時單位歷線之推求：將 S 歷線落後目標延時 $t_r'$ 小時後相減，並乘上延時比值調整係數： $U(t_r', t) = \frac{t_r}{t_r'} \left[ S(t) - S(t - t_r') \right]$

3. 線性比例與疊加原理：

• 總有效降雨深度 $P_e$ 為降雨強度 $i$ 與延時 $t_r'$ 之乘積： $P_e = i \times t_r' = 3\ \mathrm{cm/hr} \times 3\ \mathrm{hr} = 9\ \mathrm{cm}$
• 該場降雨產生之直接逕流歷線 $Q_d(t)$： $Q_d(t) = P_e \times U(t_r', t)$

4. 全流量歷線（Total Streamflow Hydrograph）與尖峰流量：

• 河川總流量 $Q(t)$ 為直接逕流與基流量 $Q_b$ 之合： $Q(t) = Q_d(t) + Q_b \quad (Q_b = 10\ \mathrm{cms})$
• 尖峰流量 $Q_p$ 即為 $Q(t)$ 之最大值。

解題方法

步驟一：建立 2 小時 S 歷線 $S(t)$

已知 $t_r = 2\ \mathrm{hr}$，以時間間隔 $\Delta t = 2\ \mathrm{hr}$ 進行錯開累加（即奇數小時與偶數小時分別累加前 $2$ 小時之數值）：

• 奇數小時：
• $S(1) = U(2,1) = 5\ \mathrm{cms}$
• $S(3) = U(2,3) + S(1) = 30 + 5 = 35\ \mathrm{cms}$
• $S(5) = U(2,5) + S(3) = 50 + 35 = 85\ \mathrm{cms}$
• $S(7) = U(2,7) + S(5) = 20 + 85 = 105\ \mathrm{cms}$
• $S(9) = U(2,9) + S(7) = 0 + 105 = 105\ \mathrm{cms}$（$t \ge 9$ 時 $U(2,t) = 0$）
• 偶數小時：
• $S(2) = U(2,2) = 10\ \mathrm{cms}$
• $S(4) = U(2,4) + S(2) = 40 + 10 = 50\ \mathrm{cms}$
• $S(6) = U(2,6) + S(4) = 40 + 50 = 90\ \mathrm{cms}$
• $S(8) = U(2,8) + S(6) = 15 + 90 = 105\ \mathrm{cms}$
• $S(10) = U(2,10) + S(8) = 0 + 105 = 105\ \mathrm{cms}$

S 歷線於 $t \ge 7\ \mathrm{hr}$ 達到平衡流量 $S_e = 105\ \mathrm{cms}$。

步驟二：推求 3 小時單位歷線 $U(3,t)$

將 $S(t)$ 滯後 $t_r' = 3\ \mathrm{hr}$ 得到 $S(t-3)$，計算差值 $\Delta S(t) = S(t) - S(t-3)$，並依公式計算： $U(3,t) = \frac{2}{3} \left[ S(t) - S(t-3) \right]$

步驟三：推求直接逕流歷線 $Q_d(t)$ 與全流量歷線 $Q(t)$

有效降雨深度 $P_e = 3\ \mathrm{cm/hr} \times 3\ \mathrm{hr} = 9\ \mathrm{cm}$。 直接逕流歷線為： $Q_d(t) = P_e \times U(3,t) = 9 \times \frac{2}{3} \left[ S(t) - S(t-3) \right] = 6 \times \left[ S(t) - S(t-3) \right]$

加上基流量 $Q_b = 10\ \mathrm{cms}$，即可求得全流量歷線： $Q(t) = Q_d(t) + 10$

計算過程總表

核心觀念

1. 水文風險（Hydrologic Risk）與二項分佈（Binomial Distribution）：

• 某水文事件之重現期（Return Period）為 $T$ 年，表示該事件在任一年發生的年超越機率（Annual Exceedance Probability）為： $p = \frac{1}{T}$
• 任一年不發生該規模事件之機率為 $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{T}$。
• 假設各年份事件之發生相互獨立（Independent），在工程壽命或評估年限 $n$ 年內，該事件至少發生一次之機率定義為水文風險 $R$： $R = 1 - (1 - p)^n = 1 - \left(1 - \frac{1}{T}\right)^n$

2. 氣候變遷下的非定常性（Non-stationarity）：

• 傳統水文統計基於「定常性假設」（Stationarity），即假設過去觀測資料的統計特徵（平均值、變異數、極值分佈）在未來維持不變。
• 氣候變遷導致極端降雨事件之頻率與強度增加（降雨強度–延時–頻率 IDF 曲線向上抬升），使原有設計防洪頻率對應之流量在未來重現期縮短（即 $T' < T$、$p' > p$），直接提升溢堤風險。

3. 綜合治水與承洪韌性（Comprehensive Flood Management & Resilience）：

• 防洪治理策略由傳統單一「圍堵型（以堤防阻水）」工程，轉向「總合治水」與「逕流分擔、出流管制」觀念，結合工程手段（Engineering/Structural Measures）與非工程手段（Non-structural Measures），建立耐淹、承洪之海綿流域與韌性社會。

解題方法

(一) 計算 5 年內至少發生一次溢堤之機率

1. 確定年超越機率： 設計重現期 $T = 10\text{ 年}$，則單一年份發生超過或等於設計標準洪水（即溢堤）之機率為： $p = \frac{1}{T} = \frac{1}{10} = 0.1$

2. 套用水文風險公式計算： 評估年限 $n = 5\text{ 年}$，5 年內每年皆不發生溢堤的機率為 $(1 - p)^5$。 因此，5 年內至少發生一次溢堤之機率 $R$ 為： $R = 1 - (1 - p)^5 = 1 - (1 - 0.1)^5 = 1 - (0.9)^5$

3. 數值展開與推導： $(0.9)^2 = 0.81$ $(0.9)^3 = 0.729$ $(0.9)^4 = 0.6561$ $(0.9)^5 = 0.59049$ 代入計算： $R = 1 - 0.59049 = 0.40951 \approx 40.95\%$

(二) 氣候變遷影響論述與防洪對策建議

1. 氣候變遷對相同設計標準溢堤風險之影響

• 非定常性衝擊：水文極值統計序列不再符合定常性假設。受大氣增溫持水量增加影響，極端降雨強度加劇。
• 等效重現期縮短，超越機率提高： 若堤防實體未變（維持過去統計之 10 年重現期設計流量 $Q_{10}$），在未來氣候情境下，該流量 $Q_{10}$ 發生的頻率大幅增加，其實際重現期將縮短為 $T' < 10\text{ 年}$，等效年超越機率變為 $p' = \frac{1}{T'} > 0.1$。
• 溢堤水文風險顯著升高： 依據風險公式 $R' = 1 - (1 - p')^n$，當 $p' > p$ 時，在相同使用年限 $n$ 內，堤防遭遇超過原設計容量而導致溢堤之機率 $R'$ 將大幅高於原始設計水準。
• 殘餘風險與破堤災害劇烈化：堤防僅能抵禦低於設計標準之洪水，一旦超越設計容量發生溢堤，甚至引發剪力沖刷破堤，將伴隨嚴重的潰壩式洪災。

2. 其他工程手段建議（Structural Measures）

加高堤防易產生「堤防效應」（Levee Effect）並受地質與都市空間限制，應採多道防線之工程手段：

• 上游源頭滯洪與蓄水設施： 於集水區中上游設置滯洪池（Detention Basin）、調節池、低衝擊開發（LID）設施，發揮削減洪峰（Peak Reduction）與延後洪峰抵達時間（Peak Lagging）之功能。
• 分洪與外排設施： 建置外圍分洪道（如新北市員山子分洪道模式），將超過水道排洪餘裕之超額洪水導引至鄰近海域或其他承受水體。
• 強化內水抽排與排水系統： 因應外水位高漲造成重力閘門關閉，應擴建防洪抽水站、增設截流管渠與滯洪沉砂池，降低內水倒灌與積淹水風險。