111 專技高考高等考試 水利工程技師 流體力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查平面閘門的靜水壓力分布與靜力矩平衡。水壓隨深度增加，閘門所受水壓合力的作用點不在受壓面的幾何中心；計算力矩時，應沿閘門長度積分壓力造成的力矩。

依圖示，繩索垂直於閘門，滑輪與繩索理想，因此繩張力等於懸掛質量塊的重量：

解題方法

令 $s$ 為從閘門底部鉸鏈沿閘門向上量的距離，閘門與水平面的夾角為 $\theta=60^\circ$。垂直水深為 $d$ 的位置，沿閘門的浸水長度為

閘門寬度為 $b=10\ \mathrm{m}$。在浸水範圍內，距鉸鏈 $s$ 處的垂直深度為 $s\sin\theta$，故該處表壓為

取一小段閘門面積 $b\,ds$，其水壓力為 $dF=p(s)b\,ds$。對鉸鏈取力矩，水壓造成的力矩大小為

代入 $\ell=d/\sin\theta$：

核心觀念

本題考變質量系統的動量方程，也可視為火箭推進模型。水以相對大車速度 $V$ 向左噴出，對大車產生向右的推力；噴流質量流率為

解題方法

取向右為正方向，並假設題目所稱的噴流速度 $V$ 是相對大車的速度。令 $M(t)$ 為大車及車內剩餘水的總質量。噴流離開時的地面速度為 $U-V$。水平外力忽略，對「大車與車內剩餘水」套用動量方程：

由於車內質量以速率 $\dot m$ 減少，$\frac{dM}{dt}=-\dot m$。展開上式：

因此

題幹只給車內水的初始質量，未給大車本身質量；嚴格而言，若計入車體質量，還需知道車體質量 $M_c$。以下依本題常用理想化，忽略車體質量，將 $M_0$ 作為初始有效質量，則

代入運動方程並利用大車由靜止起動 $U(0)=0$：

核心觀念

本題考查斜板上定常、二維、不可壓縮且完全發展的層流。完全發展表示 $u=u(y)$，流速沿斜板方向不隨 $x$ 改變；流體厚度固定，且斜板與自由液面之間沒有穿透流動。

依圖取 $x$ 軸沿斜板向下、$y$ 軸垂直斜板向外。重力在兩方向的分量為 $g\sin\theta$ 與 $-g\cos\theta$。

解題方法

（一）由連續方程式求 $v$

二維不可壓縮流的連續方程式為

因 $u=u(y)$，所以 $\partial u/\partial x=0$，因此

表示 $v$ 為常數。斜板為不透水壁面，壁面法向速度為零，即 $v(0)=0$，故

（二）由 $x$ 方向 Navier–Stokes 方程式求 $u(y)$

定常二維流動的 $x$ 方向動量方程式為

核心觀念

本題結合連續方程、伯努力方程與倒置差壓計。倒置壓力計內的液體比水輕，兩測壓點之間的管線高程差會同時出現在伯努力方程與壓力計關係式中；將兩式合併後，高程差相消。

解題方法

先由連續方程求點 1 的流速：

以水流無損失的伯努力方程連接 1、2 點：

倒置差壓計中，兩側為水、上方連通液體的比重為 $SG_0=0.8$。壓力計關係式可寫成：

核心觀念

取圖示方向為正：$x$ 軸由平板指向液膜外側，$y$ 軸向上。平板以速度 $V_0$ 向上移動，重力加速度在 $y$ 方向的分量為 $-g$。

本題使用二維不可壓縮連續方程式，以及穩態、完全發展條件下的 $y$ 方向納維－史托克方程式。由題意 $v=v(x)$，故 $\partial v/\partial y=0$；液膜自由表面為定壓面，因此 $\partial p/\partial y=0$。

解題方法

（一）求 $x$ 方向速度 $u$

二維不可壓縮連續方程式為

因為 $v=v(x)$，所以 $\partial v/\partial y=0$，因此

故 $u$ 不隨 $x$ 改變。平板為不透水壁面，壁面法向速度為 $u(0,y)=0$，因此整個液膜內

（二）求 $y$ 方向速度分布 $v(x)$

$y$ 方向納維－史托克方程式為