113 專技高考高等考試 水利工程技師 流體力學 考古題詳解

113 年・專技高考・高等考試・水利工程技師
試題代碼 流體力學

第 一 題20 分

請以文字、圖形或公式說明下列名詞之意涵：

(一) 二相流（two phase flow）

(二) 邊界層（boundary layer）

(三) 自由渦流（free vortex）

(四) 停滯點（stagnation point）

(五) 煙線（streak line）

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核心觀念

本題考查流體力學中兩相流、黏性流動、理想渦流、流場特殊點，以及描述流體運動的流線與跡線概念。作答時應清楚說明各名詞的定義與代表性特徵；適當搭配公式，能凸顯其物理意義。

解題方法

(一) 二相流（two-phase flow）

二相流是指兩種不同相態的物質同時存在於流動系統中，並共同流動或互相作用。例如液體與氣體混合流動、液體中含有固體顆粒，或氣體中含有液滴。

常見例子包括管內水與空氣混流、含砂水流，以及沸騰時液體與蒸氣共同流動。二相流的流動特性會受兩相的密度、黏度、界面張力與相間作用影響；相分布型態則可能是氣泡流、分層流、液滴流或懸浮顆粒流等。

(二) 邊界層（boundary layer）

流體流經固體表面時，受無滑移條件影響，緊貼壁面的流速等於壁面速度；對靜止壁面而言，壁面處流速為零。黏性作用主要集中於壁面附近一薄層，稱為邊界層。邊界層內的流速由壁面處逐漸增加，至邊界層外緣接近外部主流速度。

以平板外流為例，若外部流速為 U∞U_\infty，邊界層厚度 δ\delta 常以 u=0.99U∞u=0.99U_\infty 所在位置作為工程上的界定。邊界層內速度梯度造成壁面剪應力：

τw=μ∂u∂y∣y=0\tau_w=\mu\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{y=0}

其中 μ\mu 為流體動力黏度，yy 為垂直壁面的距離。邊界層可為層流或紊流，並可能因逆壓力梯度而分離。

(三) 自由渦流（free vortex）

自由渦流又稱無外加力矩的渦流。流體微粒繞渦心旋轉時，其切向速度與半徑成反比：

Vθr=CV_\theta r=C

其中 VθV_\theta 為切向速度、rr 為距渦心的半徑、CC 為常數。因此半徑愈小，切向速度愈大。自由渦流的旋轉流動除渦心外為無旋流，且理想情況下渦心以外的環流為：

Γ=2πrVθ=2πC\Gamma=2\pi rV_\theta=2\pi C

忽略損失時，徑向平衡滿足：

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第 二 題20 分

一顆圓形沙粒在水中以 UU 的終端速度（terminal velocity）沉降，其直徑為 D0=1 cmD_0=1\ \mathrm{cm}，密度 ρs=2.65×103 kg/m3\rho_s=2.65\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}，水的密度為 ρ=103 kg/m3\rho=10^3\ \mathrm{kg/m^3}，曳力係數 CDC_D（Drag force）為 CD=24/ReC_D=24/Re，ReRe 為雷諾數（Reynolds number），流體運動黏度 ν=10−6 m2/s\nu=10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}。試求：

(一) 沙粒的終端速度 UU。

(二) 以沙粒直徑和終端速度計算雷諾數 ReRe。

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核心觀念

沙粒以終端速度沉降時，重力扣除浮力後的有效重量，與流體曳力平衡。球形粒子的曳力為

FD=12CDρU2A,A=πD024F_D=\frac{1}{2}C_D\rho U^2 A, \qquad A=\frac{\pi D_0^2}{4}

本題給定 CD=24/ReC_D=24/Re，而雷諾數定義為

Re=UD0ν.Re=\frac{UD_0}{\nu}.

因此曳力係數會隨速度改變，須先將 CDC_D 與 ReRe 的關係代入終端力平衡，再求 UU。

解題方法

球形沙粒體積為 V=πD03/6V=\pi D_0^3/6。終端沉降時，有效重量與曳力相等：

(ρs−ρ)gV=12CDρU2A.(\rho_s-\rho)gV = \frac{1}{2}C_D\rho U^2A.

代入球體積與投影面積：

(ρs−ρ)gπD036=12CDρU2πD024.(\rho_s-\rho)g\frac{\pi D_0^3}{6} = \frac{1}{2}C_D\rho U^2\frac{\pi D_0^2}{4}.

約去 πD02\pi D_0^2，整理得

U2=4(ρs−ρ)gD03CDρ.U^2=\frac{4(\rho_s-\rho)gD_0}{3C_D\rho}.

再代入 CD=24/ReC_D=24/Re 及 Re=UD0/νRe=UD_0/\nu：

CD=24νUD0.C_D=\frac{24\nu}{UD_0}.

故

U2=4(ρs−ρ)gD03ρ⋅UD024ν=(ρs−ρ)gUD0218ρν.U^2 = \frac{4(\rho_s-\rho)gD_0}{3\rho} \cdot\frac{UD_0}{24\nu} = \frac{(\rho_s-\rho)gUD_0^2}{18\rho\nu}.

約去非零的 UU，可得終端速度：

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第 三 題20 分

若流體為理想流體，吾人進行水工模型試驗時常以福祿數 FrFr（Froude Number）進行模型縮尺之設計。

(一) 試證明

Fr=慣性力重力=VgLFr=\frac{\text{慣性力}}{\text{重力}}=\frac{V}{\sqrt{gL}}

其中 VV 為流體流速，gg 為重力加速度，LL 為特性長度。

(二) 如幾何縮尺設定為 Lm/Lp=1/100L_m/L_p=1/100，其中下標 mm 和 pp 分別代表模型和原型之物理量，原型流量為 Qp=200 CMSQ_p=200\ \mathrm{CMS}，試求模型流量 QmQ_m。

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核心觀念

福祿數 FrFr 是慣性力與重力之比，用來描述流動中慣性效應相對於重力效應的大小。水工模型試驗若以重力為主要控制力，模型與原型須符合福祿數相等：

Frm=FrpFr_m=Fr_p

解題方法

取特性長度 LL、流速 VV，流體密度為 ρ\rho。

慣性力的量級可由質量乘上加速度估算。質量量級為 ρL3\rho L^3，加速度量級為 V2/LV^2/L，所以：

F慣性∼ρL3V2L=ρV2L2F_{\text{慣性}}\sim \rho L^3\frac{V^2}{L} =\rho V^2L^2

重力為質量乘上重力加速度：

F重力∼ρL3gF_{\text{重力}}\sim \rho L^3g

因此，福祿數為慣性力與重力之比的平方根：

Fr=F慣性F重力=ρV2L2ρL3g=VgLFr=\sqrt{\frac{F_{\text{慣性}}}{F_{\text{重力}}}} =\sqrt{\frac{\rho V^2L^2}{\rho L^3g}} =\frac{V}{\sqrt{gL}}

此式亦可由力比直接看出：

F慣性F重力∼V2gL=Fr2\frac{F_{\text{慣性}}}{F_{\text{重力}}} \sim \frac{V^2}{gL}=Fr^2

故題目所列的「慣性力／重力」應理解為福祿數平方；福祿數本身為該力比的平方根。

模型流量計算

模型與原型採福祿相似，且兩者受相同重力加速度作用，因此：

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第 四 題20 分

如圖所示，大型油箱裝滿不同比重的流體，上層流體比重 SG=0.81S_G=0.81，下層為水。油箱噴嘴直徑 D=0.3 mD=0.3\ \mathrm{m}，試求噴嘴的流量。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中標示資訊：上層流體比重 SG=0.81S_G=0.81；上層液深 h=2.0 mh=2.0\ \mathrm{m}；界面下方至噴嘴中心線之垂直距離為 1.0 m1.0\ \mathrm{m}；噴嘴直徑 D=0.3 mD=0.3\ \mathrm{m}；上層流體單位重標示為 γ0\gamma_0，水的單位重標示為 γ\gamma。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查不同密度流體的靜水壓與伯努力方程式。上層是比重 SG=0.81S_G=0.81 的油，下層是水；噴嘴流出的為水。計算噴嘴中心處的壓力時，油柱和水柱對壓力的貢獻須分別以各自的單位重計算。

解題方法

假設油箱自由液面及噴流出口均為大氣壓，且忽略流動損失。由自由液面到噴嘴中心線，油層深 2.0 m2.0\ \mathrm{m}，界面以下的水深為 1.0 m1.0\ \mathrm{m}。

噴嘴中心處的表壓為

p=γ0(2.0)+γ(1.0)p=\gamma_0(2.0)+\gamma(1.0)

其中 γ0=SGγ=0.81γ\gamma_0=S_G\gamma=0.81\gamma，所以

pγ=0.81(2.0)+1.0=2.62 m\frac{p}{\gamma} =0.81(2.0)+1.0 =2.62\ \mathrm{m}

這表示噴嘴中心處的壓力相當於 2.62 m2.62\ \mathrm{m} 水柱。對噴嘴內的水使用伯努力方程式，並取油箱自由液面速度為零：

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第 五 題20 分

如圖所示，兩平行板間的流速分布為拋物線，即

u(y)=U0(1−y2B2)u(y)=U_0\left(1-\frac{y^2}{B^2}\right)

其中 U0=0.4 m/sU_0=0.4\ \mathrm{m/s}，B=0.5 mB=0.5\ \mathrm{m}，流體運動黏度 ν=10−6 m2/s\nu=10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}，流體密度 ρ=103 kg/m3\rho=10^3\ \mathrm{kg/m^3}。試求：

(一) 在 y=−By=-B 之剪應力（Shear Stress）τ0\tau_0。

(二) 在 y=−B2y=-\frac{B}{2} 之渦度（Vorticity）Ωz\Omega_z。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查牛頓流體的剪應力與二維流場的渦度。動力黏度為

μ=ρν\mu=\rho\nu

對速度只有 xx 方向分量、且只隨 yy 變化的流場，剪應力分量與渦度分別為

τxy=μdudy,Ωz=∂v∂x−∂u∂y=−dudy\tau_{xy}=\mu\frac{du}{dy}, \qquad \Omega_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} =-\frac{du}{dy}

解題方法

先對速度分布微分：

u(y)=U0(1−y2B2)⟹dudy=−2U0yB2u(y)=U_0\left(1-\frac{y^2}{B^2}\right) \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dy}=-\frac{2U_0y}{B^2}

由題給數值，

μ=ρν=(103)(10−6)=10−3 Pa⋅s\mu=\rho\nu =(10^3)(10^{-6}) =10^{-3}\ \mathrm{Pa\cdot s}

（一）y=−By=-B 處的剪應力

dudy∣y=−B=−2U0(−B)B2=2U0B=2(0.4)0.5=1.6 s−1\left.\frac{du}{dy}\right|_{y=-B} =-\frac{2U_0(-B)}{B^2} =\frac{2U_0}{B} =\frac{2(0.4)}{0.5} =1.6\ \mathrm{s^{-1}}

因此

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