113 年專技高考高等考試水利工程技師考古題與詳解

Question 1

近年來受到極端氣候影響，部分農業區會因水源不足而施行停耕處置。

試問：

(一) 已知某農業區每年耕作收益為 30 萬元，若實施休耕則可獲得 5 萬元之補助，若該區每年休耕之機率為 10%，試問該區每年收益的期望值為何？（5 分）

(二) 若受到灌溉水源不足之影響，該農業區十年內至少休耕兩次的機率為何？（5 分）

(三) 面對未來極端氣候挑戰，試問百年大旱在未來 30 年間發生之機率為何？若因氣候影響，其發生機率增至 40%，試問原本百年大旱之重現期距（return period）將變更為幾年？（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查期望值、二項分配，以及水文頻率分析中的年超越機率與重現期距。 設事件每年發生的機率為 $p$，且各年發生與否相互獨立，則： - 每年收益的期望值為各種收益乘上其發生機率後加總。 - $n$ 年內至少發生 $k$ 次，可用二項分配計算。 - 重現期距 $T$ 與年超越機率 $p$ 的關係為 $T=1/p$。因此，$T$ 年事件在 $N$ 年內至少發生一次的機率為 $1-(1-1/T)^N$。 解題方法 （一）每年收益的期望值 休耕機率為 $0.1$，正常耕作機率為 $1-0.1=0.9$。正常耕作收益為 30 萬元，休耕補助為 5 萬元，因此： $$ E(X)=30(0.9)+5(0.1)=27+0.5=27.5	ext{ 萬元} $$ （二）十年內至少休耕兩次的機率 令 $X$ 為十年內休耕次數。假設每年休耕機率固定為 $p=0.1$，且各年相互獨立，則 $X\sim\operatorname{Binomial}(10,0.1)$。 「至少休耕兩次」是 $X\ge 2$，以補事件計算較簡潔：

Question 2

極端值第一型分布（extreme value type I distribution）又稱為甘保分布（Gumbel distribution），如下式所示，為選取統計資料中之極值進行統計，因此在水文分析中常被用來推估水文量：

$F(x)=P(x_T\leq x)=e^{-e^{-y}}$

$y=\frac{\pi}{\sqrt{6}\sigma}(x_T-\mu)+0.5772$

其中 $x$ 為大於某事件 $x_T$ 之水文量。

(一) 進行水文分析時，需先選取合適之水文資料，以進行後續之頻率分析工作，請說明水文資料之選取方式有哪些？（10 分）

(二) 假設某流量站平均流量（ $\mu$ ）為 $1200\ \mathrm{m^3/s}$ ，標準偏差（ $\sigma$ ）為 $430\ \mathrm{m^3/s}$ 。若該測站之流量分布符合上述甘保分布，已知現況堤頂高為 5 年之設計洪水量，試問若欲提升設計標準至 25 年洪水量，其設計流量應增加多少？（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 水文頻率分析要先把連續觀測紀錄整理成具有代表性的極值樣本，再估計各重現期的水文量。常用的選取方式有： 1. 年最大值序列（Annual Maximum Series, AMS）：每年選取一個最大值，例如年最大洪峰流量。資料整理簡單，且每年樣本數固定；但若某年有數次很大的洪水，只有最大的一次會進入樣本。 2. 超越門檻值序列（Partial Duration Series, PDS；亦稱年超越值序列）：設定一個門檻，選取所有超過門檻且彼此獨立的洪水事件。這種方式能納入同一年內多次較大洪水，但須合理設定門檻，並避免把同一場洪水拆成多個事件。 3. 季節極值序列：若洪水或低水有明顯季節性，可按季節分段，各季選取極值進行分析；使用時須維持資料期間與季節劃分的一致性。 洪水頻率分析最常見的是年最大值序列；若關注一年內多次超越門檻的事件，則可採超越門檻值序列。 解題方法 題目給定甘保分布的累積機率 $F(xT)$。重現期為 $T$ 年的洪水量，其年超越機率為 $1/T$，因此非超越機率為 $$ F(xT)=1-\frac{1}{T}. $$ 由題目所給公式 $$ F(xT)=e^{-e^{-y}}, $$ 取自然對數並整理，可得 $$ y=-\ln[-\ln F(xT)]. $$ 再由 $$ y=\frac{\pi}{\sqrt{6}\sigma}(xT-\mu)+0.5772 $$ 解出重現期 $T$ 的設計洪水量： $$ xT=\mu+\frac{\sqrt{6}\sigma}{\pi}(y-0.5772). $$ 現況堤頂高相當於 5 年洪水量，提升設計標準後為 25 年洪水量；所求為兩者的流量差。因兩個重現期使用相同的 $\mu$、$\sigma$，相減時平均流量與常數 $0.5772$ 均會消去： $$ \Delta x=x{25}-x5 =\frac{\sqrt{6}\sigma}{\pi}(y{25}-y5). $$ 計算

Question 3

已知某集水區面積為 3 公頃，假設該集水區原先全為綠地，現欲開發 0.5 公頃之住宅區，其中綠地與建築用地之逕流係數分別為 0.4 與 1.0。已知該集水區降雨延時與強度關係符合 Sherman 公式，如下式所示：

$I_t=\frac{325.81}{t^{0.4256}}$

其中 $I_t$ 為降雨強度（mm/hr）， $t$ 為降雨延時（分鐘）。

(一) 依據出流管制規定，基地開發後之洪峰流量應不大於開發前，試問若降雨延時採用 90 分鐘進行設計時，需要削減多少洪峰流量（ $\mathrm{m^3/sec}$ ）？（10 分）

(二) 出口處正好有 0.03 公頃之矩形水池可供滯洪之用，吾人欲以三角形歷線法（上升段與退水段延時相同）決定蓄水體積，如下圖所示。已知降雨延時（ $t$ ）等於降雨尖峰時間（time to peak, $t_p$ ）；試問若要滿足開發後洪峰流量不得大於開發前之規定，該水池應至少浚深多少公尺？（10 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查合理化公式估算開發前後的洪峰流量，以及用三角形歷線的累積流量差估算滯洪量。依題目所述，基地開發後的洪峰流量不得大於開發前；本題依民國 113 年命題時的出流管制原則計算。

合理化公式以公頃及毫米／小時計算時，可寫成：

Q=\frac{CIA}{360}

其中 $Q$ 為 $\mathrm{m^3/s}$ ， $C$ 為逕流係數， $I$ 為降雨強度（ $\mathrm{mm/hr}$ ）， $A$ 為集水面積（ha）。

解題方法

（一）需削減的洪峰流量

降雨延時 $t=90$ 分鐘，代入 Sherman 公式：

I_{90}=\frac{325.81}{90^{0.4256}} =47.9997\ \mathrm{mm/hr} \approx 48.00\ \mathrm{mm/hr}

開發前全區為綠地，逕流係數加權面積為：

(CA)_{\text{前}}=0.4\times3=1.2

開發後有 $2.5$ ha 綠地及 $0.5$ ha 建築用地：

(CA)_{\text{後}}=0.4\times2.5+1.0\times0.5=1.5

因此：

Q_{\text{前}}=\frac{1.2\times47.9997}{360} =0.1600\ \mathrm{m^3/s}

Q_{\text{後}}=\frac{1.5\times47.9997}{360} =0.2000\ \mathrm{m^3/s}

為使開發後洪峰不超過開發前，所需削減量為：

Question 4

某人欲於砂質土壤上設置一排水渠道，假設設計斷面之渠底寬度需等於水深高度，已知渠道之坡度為 0.0081、曼寧 $n$ 值為 0.03，試問：

(一) 若以矩形斷面進行設計，已知該渠道容許流速為 $3\ \mathrm{m/s}$ ，試問該渠寬為何？最大排水量為何？（10 分）

(二) 承上，若以梯形斷面進行設計（斜邊之垂直水平比為 $1:1$ ），在相同水力半徑下，其最大排水量與矩形斷面最大排水量之比為何？（5 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查曼寧公式、矩形與梯形渠道的斷面幾何，以及水力半徑。曼寧公式為 $$ V=\frac{1}{n}R^{2/3}S^{1/2},\qquad Q=VA $$ 其中 $V$ 為平均流速、$R=A/P$ 為水力半徑、$S$ 為渠道坡度、$A$ 為通水面積、$P$ 為濕周。題目指定渠底寬度等於水深，故矩形與梯形均採 $b=y$。 解題方法 先由曼寧公式求出符合容許流速 $V=3\ \mathrm{m/s}$ 的水力半徑，再利用斷面幾何求出水深與渠寬。第二小題則利用「相同水力半徑」可得相同流速，將流量比化為通水面積比。 （一）矩形斷面 由 $S=0.0081$、$n=0.03$ 得 $$ R^{2/3}=\frac{Vn}{\sqrt S} =\frac{3(0.03)}{\sqrt{0.0081}} =\frac{0.09}{0.09}=1 $$ 因此 $R=1\ \mathrm{m}$。 矩形斷面中，$b=y$，故 $$ A=by=y^2,\qquad P=b+2y=3y $$ 水力半徑為 $$ R=\frac{A}{P}=\frac{y^2}{3y}=\frac{y}{3} $$ 代入 $R=1\ \mathrm{m}$，得 $y=3\ \mathrm{m}$。因 $b=y$，渠底寬度亦為 $3\ \mathrm{m}$。 通水面積為 $A=3	imes3=9\ \mathrm{m^2}$，最大排水量為 $$ Q=VA=3	imes9=27\ \mathrm{m^3/s} $$ （二）梯形斷面 斜邊垂直：水平比為 $1:1$，即邊坡係數 $z=1$。梯形斷面且 $b=y$ 時， $$ A=y(b+zy)=y(y+y)=2y^2 $$ $$ P=b+2y\sqrt{1+z^2} =y(1+2\sqrt2) $$

Question 5

波浪沖擊海岸構造物表面時，因海浪影響容易形成一周期性的往復運動，試問：

(一) 波浪溯升高度（height of run-up）常為決定堤防高度不可或缺之條件，請解釋何謂溯升高度（run-up）與波浪回降（run-down）。（6 分）

(二) 通常計劃堤頂高是不可低於溯升高度，然有時考量經費與保護標的類型，設計時是容許部分海水越過堤頂，請分別就暴潮溢淹、海岸侵蝕，以及洪氾溢淹之情況，說明其保護標的類型。（9 分）

(三) 一般來說，越波量之決定與其平均越波量、瞬間最大越波量皆有相關，試問其間關係為何？並請說明容許越波量通常是考量哪些因素訂定之。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考海岸構造物受波浪作用時的水位變化，以及設計堤頂高程時如何衡量越波風險。分析時要分清三個量：

溯升高度描述波浪沿構造物迎浪面向上爬升的最高水位。
回降描述波浪爬升後沿迎浪面退回時的水位下降。
越波量描述越過堤頂、進入背浪側的水量；平均越波量反映一段時間的整體水量，單波最大越波量則反映個別波浪的瞬間危害。

解題方法

作答時先以靜水位作為高程基準，說明溯升與回降在迎浪面上的位置，再按不同災害類型辨認防護標的。最後將越波量分為「一段時間的平均水量」與「單一波浪的極端水量」，說明兩者都要檢核，並指出容許值須配合堤後土地利用及可接受風險訂定。

（一）波浪溯升高度與波浪回降

**波浪溯升高度（run-up）**是波浪到達海堤、護岸或斜坡式海岸構造物後，水體沿迎浪面向上爬升所達到的最高高程，通常以靜水位或設計水位為基準表示。設計時可用溯升高程檢核堤頂是否足以避免越波，或估算越波情況。

**波浪回降（run-down）**是波浪溯升至最高點後，受重力作用沿迎浪面向下退回時，水面所到達的最低位置；亦即水體從溯升最高點回落時，迎浪面上波浪水位相對基準水位的下降。回降會影響堤前波浪與構造物的受力及波浪作用範圍。

須注意，溯升與回降都是迎浪面上的波浪水位變化；越波則是水體越過堤頂進入背浪側，三者不可混為一談。

（二）不同災害情況的保護標的

允許部分海水越過堤頂時，應按越波後可能造成的損害，確認堤後保護標的及可接受程度：

情況	主要保護標的	設計考量
暴潮溢淹	海堤背後低窪地區的居民、生命財產、建築物、道路及重要公共設施	暴潮水位與波浪越波可能使海水進入陸域；人口密集、重要設施集中處須採較嚴格的容許越波標準。
海岸侵蝕	海岸線、沙灘與海岸地形，以及鄰近道路、建築物、堤防等設施	應避免越波流或波浪作用引發、加劇堤後沖刷與海岸土砂流失；若堤後為可承受局部水流的空地，容許程度可依侵蝕風險評估。
洪氾溢淹	沿海集水區、河川與排水系統周邊的居民、農地、聚落及交通與公共設施	強降雨、河川洪水與排水不及可能和海岸越波、高潮位同時發生；需考量堤後積水與排水能力，避免越波增加既有洪氾風險。

容許越波量不是只看堤身本身，而是看越波對堤後土地、人口、設施及安全造成的後果。同一座海堤若堤後土地利用不同，設計容許值也可能不同。

113 專技高考高等考試水利工程技師包括海岸工程、防洪工程與排水工程考古題詳解

第一題20 分

第二題20 分

第三題20 分

核心觀念

解題方法

（一）需削減的洪峰流量

第四題15 分

第五題25 分

核心觀念

解題方法

（一）波浪溯升高度與波浪回降

（二）不同災害情況的保護標的

（三）平均越波量、瞬間最大越波量及容許越波量

其他考古題

113 年水利工程技師的其他科目

水利工程技師《包括海岸工程、防洪工程與排水工程》其他年度

113 專技高考高等考試 水利工程技師 包括海岸工程、防洪工程與排水工程 考古題詳解

第 一 題20 分

第 二 題20 分

第 三 題20 分

核心觀念

解題方法

（一）需削減的洪峰流量

第 四 題15 分

第 五 題25 分

核心觀念

解題方法

（一）波浪溯升高度與波浪回降

（二）不同災害情況的保護標的

（三）平均越波量、瞬間最大越波量及容許越波量

其他考古題

113 年水利工程技師的其他科目

水利工程技師《包括海岸工程、防洪工程與排水工程》其他年度

113 專技高考高等考試水利工程技師包括海岸工程、防洪工程與排水工程考古題詳解

第一題20 分

第二題20 分

第三題20 分

第四題15 分

第五題25 分