112 專技高考高等考試 水利工程技師 流體力學 考古題詳解

112 年・專技高考・高等考試・水利工程技師
試題代碼 流體力學

第 一 題20 分

有一直徑 D=90 mmD=90\ \mathrm{mm}、長度 L=300 mmL=300\ \mathrm{mm} 的軸（shaft），如圖所示，以速度 U=6 m/sU=6\ \mathrm{m/s} 穿過一可變直徑之軸承（bearing）。

軸與軸承間隙充滿動力黏滯係數（dynamic viscosity）為 0.12 Pa⋅s0.12\ \mathrm{Pa\cdot s} 之牛頓流體潤滑油，其間隙從 h1=1.6 mmh_1=1.6\ \mathrm{mm} 變化到 h2=0.5 mmh_2=0.5\ \mathrm{mm}。

試求維持軸的軸向運動所需之力為多少 N\mathrm{N}？

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核心觀念

軸以速度 UU 沿軸向移動，潤滑油在軸表面與軸承表面之間形成薄膜。採用薄膜內的局部 Couette 流模型，油膜中的速度由軸表面的 UU 變化至軸承表面的 00，因此局部速度梯度大小為

∣dudy∣=Uh(x)\left|\frac{du}{dy}\right|=\frac{U}{h(x)}

依牛頓黏滯定律，軸表面的剪應力大小為

τ(x)=μUh(x)\tau(x)=\mu\frac{U}{h(x)}

油膜間隙沿軸長方向由 h1h_1 線性變至 h2h_2，故須沿軸長積分剪力，而不能直接用單一間隙計算。

解題方法

令 x=0x=0 位於間隙為 h1h_1 的一端，x=Lx=L 位於間隙為 h2h_2 的另一端。依圖示的線性變化，間隙可寫成

h(x)=h1−h1−h2Lxh(x)=h_1-\frac{h_1-h_2}{L}x

軸表面長度為 dxdx 的微小面積為 dA=πD dxdA=\pi D\,dx，其黏滯剪力為

dF=τ(x)dA=μUh(x)πD dxdF=\tau(x)dA =\frac{\mu U}{h(x)}\pi D\,dx

所以維持軸向運動所需的力大小為

F=μUπD∫0Ldxh(x)=μUπDLh1−h2ln⁡(h1h2)\begin{aligned} F &=\mu U\pi D\int_0^L\frac{dx}{h(x)}\\ &=\mu U\pi D\frac{L}{h_1-h_2} \ln\left(\frac{h_1}{h_2}\right) \end{aligned}
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第 二 題20 分

有一半徑 4 m4\ \mathrm{m}、長度 5 m5\ \mathrm{m} 的四分之一圓形閘門，其上緣 AA 處為鉸接點，如圖所示。假設閘門重量忽略不計。

BB 處以彈簧施力於閘門，以控制水溢流過擋水牆。試求當水位上升到閘門上緣 AA 處時，為保持閘門關閉所需最小彈簧力為多少 kN\mathrm{kN}？

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核心觀念

水作用在曲面上的微小面積時，壓力方向垂直於曲面；本題閘門是圓弧面，因此每一微小壓力力都沿半徑方向。以鉸接點 AA 取力矩，可直接求出水壓對閘門的開啟力矩，再與彈簧力矩平衡。

解題方法

令圓心為 CC，半徑 R=4 mR=4\ \mathrm{m}，閘門長度 L=5 mL=5\ \mathrm{m}。以角度 θ\theta 描述圓弧，BB 對應 θ=0\theta=0，AA 對應 θ=π/2\theta=\pi/2。取 AA 為座標原點，圓弧上各點座標為

x=Rcos⁡θ,y=R(sin⁡θ−1)x=R\cos\theta,\qquad y=R(\sin\theta-1)

水面通過 AA，故該點的水深為 h=−y=R(1−sin⁡θ)h=-y=R(1-\sin\theta)。圓弧微小面積為 dA=LR dθdA=LR\,d\theta，其水壓合力大小為

dF=p dA=γR(1−sin⁡θ) LR dθdF=p\,dA =\gamma R(1-\sin\theta)\,LR\,d\theta

其中水的單位重 γ=9.81 kN/m3\gamma=9.81\ \mathrm{kN/m^3}。壓力方向沿圓弧外法線，單位方向向量為 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta,\sin\theta)。因此，微小水壓對 AA 的力矩為

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第 三 題20 分

當流體緩慢地流過一個高度 hh、且寬度 bb 的垂直平板時，在板面上會產生壓力。

假設平板中間點的壓力 pp 為平板高度 hh、寬度 bb、入流速度 VV、流體黏滯係數 μ\mu 與流體密度 ρ\rho 的函數，試以因次分析將此函數關係以無因次形式表示。

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核心觀念

本題考雷利因次分析（Buckingham Π\Pi 定理）：將有因次的物理量關係改寫為無因次群之間的關係。題目中的變數為壓力 pp、平板高度 hh、寬度 bb、入流速度 VV、動力黏滯係數 μ\mu 與流體密度 ρ\rho。

基本因次為質量 MM、長度 LL、時間 TT：

[p]=ML−1T−2,[h]=[b]=L,[V]=LT−1,[p]=ML^{-1}T^{-2},\quad [h]=[b]=L,\quad [V]=LT^{-1}, [μ]=ML−1T−1,[ρ]=ML−3.[\mu]=ML^{-1}T^{-1},\quad [\rho]=ML^{-3}.

共有 n=6n=6 個變數，基本因次有 k=3k=3 個，因此可組成 n−k=3n-k=3 個獨立無因次群。

解題方法

選取 ρ\rho、VV、hh 作為重複變數。三者涵蓋 M,L,TM,L,T 三種基本因次，且彼此獨立。

先以壓力 pp 建立第一個無因次群：

Π1=pρaVchd.\Pi_1=p\rho^aV^ch^d.

代入因次後，各基本因次的指數須分別為零：

[Π1]=M1+aL−1−3a+c+dT−2−c.[\Pi_1] =M^{1+a}L^{-1-3a+c+d}T^{-2-c}.

因此

1+a=0,−2−c=0,−1−3a+c+d=0,1+a=0,\qquad -2-c=0,\qquad -1-3a+c+d=0,

解得 a=−1a=-1、c=−2c=-2、d=−1d=-1，故

Π1=pρV2.\Pi_1=\frac{p}{\rho V^2}.

再以寬度 bb 建立第二個無因次群：

Π2=bρaVchd.\Pi_2=b\rho^aV^ch^d.

解指數方程可得 a=0a=0、c=0c=0、d=−1d=-1，所以

Π2=bh.\Pi_2=\frac{b}{h}.

最後以黏滯係數 μ\mu 建立第三個無因次群：

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第 四 題20 分

有一流體流入直徑 10 cm10\ \mathrm{cm} 之彎管中，從⑵出口直徑 4 cm4\ \mathrm{cm} 處流出進入大氣中，如圖所示。此彎管由螺栓固定住（未呈現在圖上）。

若在⑴處速度 V1=0.8 m/sV_1=0.8\ \mathrm{m/s}，h1=70 cmh_1=70\ \mathrm{cm}，h2=50 cmh_2=50\ \mathrm{cm}，水密度為 1000 kg/m31000\ \mathrm{kg/m^3}，汞密度為 13600 kg/m313600\ \mathrm{kg/m^3}，假設忽略重力作用且⑴與⑵處為均勻流，試求：

(一) 螺栓支撐力 FxF_x 與 FyF_y 為多少 N\mathrm{N}？

(二) ⑴與⑵之間的摩擦損失。

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核心觀念

本題結合差壓計、連續方程、控制體動量方程與伯努力能量方程。

取 xx 軸向右、yy 軸向上，並以大氣壓為零表壓。題述忽略重力作用用於彎管控制體的動量平衡；水銀差壓計仍依靜水壓計算，能量方程仍須計入高程差。

解題方法與計算

1. 由水銀差壓計求⑴處壓力

由圖可知，⑴處中心線比右側水銀與水的交界面高 h1=0.70 mh_1=0.70\ \mathrm{m}；左側大氣液面比該交界面高 h2=0.50 mh_2=0.50\ \mathrm{m}。以交界面兩側壓力相等：

p1+ρwgh1=patm+ρHggh2p_1+\rho_w g h_1=p_{\mathrm{atm}}+\rho_{\mathrm{Hg}}g h_2

因此⑴處表壓為

p1=ρHggh2−ρwgh1=13600(9.81)(0.50)−1000(9.81)(0.70)=59841 Pap_1=\rho_{\mathrm{Hg}}g h_2-\rho_w g h_1 =13600(9.81)(0.50)-1000(9.81)(0.70) =59841\ \mathrm{Pa}

2. 由連續方程求流量與出口速度

A1=π(0.10)24=0.007854 m2,A2=π(0.04)24=0.001257 m2A_1=\frac{\pi(0.10)^2}{4}=0.007854\ \mathrm{m^2}, \qquad A_2=\frac{\pi(0.04)^2}{4}=0.001257\ \mathrm{m^2} Q=A1V1=0.007854(0.8)=0.006283 m3/sQ=A_1V_1=0.007854(0.8)=0.006283\ \mathrm{m^3/s} V2=QA2=V1(d1d2)2=0.8(0.100.04)2=5.0 m/sV_2=\frac{Q}{A_2} =V_1\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2 =0.8\left(\frac{0.10}{0.04}\right)^2 =5.0\ \mathrm{m/s}

質量流率為 m˙=ρQ=6.283 kg/s\dot m=\rho Q=6.283\ \mathrm{kg/s}。

3. 以動量方程求螺栓支撐力

對彎管內流體取控制體。⑵出口為大氣，因此其表壓為零。設彎管對流體的作用力為 R\mathbf R，穩定流動的動量方程為

∑F=m˙(V2−V1)\sum \mathbf F=\dot m(\mathbf V_2-\mathbf V_1)

在 xx 方向，⑴處壓力力向右：

Rx+p1A1=m˙(0−V1)R_x+p_1A_1=\dot m(0-V_1)
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第 五 題20 分

在 xyxy 平面上之穩定（steady）、二維速度場（velocity field）中，在 xx 方向速度分量是 u=ax+by+c+u=ax+by+c+，其中 aa、bb、cc 與 dd 為常數。試求：

(一) 若該流場為不可壓縮（incompressible）流，在 yy 方向的速度分量 vv 之通式為何？

(二) 若該流場為不可壓縮流且渦度（vorticity）為 00，速度分量 vv 為何？

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核心觀念

二維穩定速度場的速度分量為 u(x,y)u(x,y) 與 v(x,y)v(x,y)。不可壓縮流體須滿足連續方程：

∂u∂x+∂v∂y=0\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0

二維流場的渦度只有 zz 方向分量：

ωz=∂v∂x−∂u∂y\omega_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}

題目中的 u=ax+by+c+u=ax+by+c+ 未寫出末項。以下依題目列出的常數 dd，將其解讀為 u=ax+by+c+dxu=ax+by+c+dx。

解題方法

（一）由不可壓縮條件求 vv 的通式

先計算 uu 的偏導數：

∂u∂x=a+d,∂u∂y=b\frac{\partial u}{\partial x}=a+d,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=b

代入連續方程：

(a+d)+∂v∂y=0(a+d)+\frac{\partial v}{\partial y}=0

因此

∂v∂y=−(a+d)\frac{\partial v}{\partial y}=-(a+d)

對 yy 積分，積分常數可為 xx 的函數，故

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