112 專技高考高等考試 水利工程技師 水文學 考古題詳解

112 年・專技高考・高等考試・水利工程技師
試題代碼 水文學

第 一 題20 分

以下為某地區之日降雨量資料：

時間（日）12345678
降雨量（mm）1.63.85.69.817.98.37.12.6

假設此次降雨事件符合頻率分析中的指數分布（exponential distribution），如下式所示：

f(xi)=λe−λxi,i=1,2,3,…,8f(x_i)=\lambda e^{-\lambda x_i},\quad i=1,2,3,\ldots,8

其中，f(xi)f(x_i) 為指數機率密度函數；λ\lambda 為參數。

試以最大可能方法（method of maximum likelihood）求參數值 λ\lambda。

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核心觀念

本題考指數分布參數 λ\lambda 的最大概似估計。對 nn 個互相獨立、來自同一指數分布的觀測值 xix_i，機率密度函數為

f(xi)=λe−λxi,xi≥0, λ>0f(x_i)=\lambda e^{-\lambda x_i},\qquad x_i\geq 0,\ \lambda>0

最大概似法是選取使觀測資料的概似函數最大的參數值。

解題方法

將 8 日降雨量視為 8 個獨立觀測值，概似函數為

L(λ)=∏i=18λe−λxi=λ8e−λ∑i=18xiL(\lambda)=\prod_{i=1}^{8}\lambda e^{-\lambda x_i} =\lambda^8 e^{-\lambda\sum_{i=1}^{8}x_i}

取自然對數：

ln⁡L(λ)=8ln⁡λ−λ∑i=18xi\ln L(\lambda)=8\ln\lambda-\lambda\sum_{i=1}^{8}x_i

對 λ\lambda 微分並令其為零：

dln⁡Ldλ=8λ−∑i=18xi=0\frac{d\ln L}{d\lambda} =\frac{8}{\lambda}-\sum_{i=1}^{8}x_i=0

因此最大概似估計量為

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第 二 題20 分

若溪流於某測站所記錄的年尖峰流量如下表所示：

年198219831984198519861987198819891990
尖峰流量（m³/s）45.127.318.949.335.521.626.862.538.4

若尖峰流量適合極端值第一類分布（distribution of extreme value Type I），試求：

（一）尖峰流量為 52.5 m3/s52.5\ \mathrm{m^3/s} 之重現期（年）？

（二）100 年重現期之流量（m³/s）？

（三）流量大於 52.5 m3/s52.5\ \mathrm{m^3/s} 在 25 年至少發生一次的機率？

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核心觀念

年尖峰流量採極端值第一類分布（Gumbel 分布）時，其累積機率分布函數為

F(x)=exp⁡[−exp⁡(−x−uα)]F(x)=\exp\left[-\exp\left(-\frac{x-u}{\alpha}\right)\right]

其中 uu 為位置參數，α\alpha 為尺度參數。以樣本平均數 xˉ\bar{x} 與樣本標準差 ss 估計參數：

α=6πs,u=xˉ−0.5772α\alpha=\frac{\sqrt{6}}{\pi}s,\qquad u=\bar{x}-0.5772\alpha

重現期 TT 與年超越機率 PeP_e 的關係為 T=1/PeT=1/P_e。假設各年流量彼此獨立，25 年內至少超過指定流量一次的機率為 1−(1−Pe)251-(1-P_e)^{25}。

解題方法

9 筆年尖峰流量的總和及平方和為

∑xi=325.4,∑xi2=13392.86\sum x_i=325.4,\qquad \sum x_i^2=13392.86

因此樣本平均數為

xˉ=325.49=36.156 m3/s\bar{x}=\frac{325.4}{9}=36.156\ \mathrm{m^3/s}

樣本標準差採分母 n−1n-1 計算：

s=∑xi2−(∑xi)2/nn−1=13392.86−325.42/98=14.265 m3/ss=\sqrt{\frac{\sum x_i^2-(\sum x_i)^2/n}{n-1}} =\sqrt{\frac{13392.86-325.4^2/9}{8}} =14.265\ \mathrm{m^3/s}

Gumbel 標準化頻率因子為

K=x−xˉs=y−0.57721.2825K=\frac{x-\bar{x}}{s} =\frac{y-0.5772}{1.2825}

其中 y=−ln⁡[−ln⁡F(x)]y=-\ln[-\ln F(x)]。

（一）52.5 m3/s52.5\ \mathrm{m^3/s} 的重現期

先求該流量的頻率因子及約化變數：

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第 三 題20 分

某一集水區面積為 80 km280\ \mathrm{km^2}，蓄水常數（KK）為 1 小時，降雨分布如下圖所示：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示為降雨強度 ii 隨時間 tt 變化，降雨強度為 60 mm/hr60\ \mathrm{mm/hr}，延時為 1 小時。

試求其出流分布，假設所有的降雨只有 40% 變成逕流？

（註：若線性水庫為假想水庫，以類比集水區，水庫之單位面積出流量可用下式表示。）

qN=1(N−1)! K(tK)N−1e−t/Kq_N=\frac{1}{(N-1)!\,K}\left(\frac{t}{K}\right)^{N-1}e^{-t/K}

若將面積 80 km280\ \mathrm{km^2} 的集水區出流量視為 N=4N=4 個串聯線性水庫的水流來表示之。

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核心觀念

本題以 N=4N=4 個串聯線性水庫的單位面積出流反應函數，將有效降雨轉換為出流歷線。題給的 qNq_N 是單位面積出流反應函數，對有效降雨歷線積分後，可得集水區的出流分布。

降雨強度為 60 mm/hr60\ \mathrm{mm/hr}，其中 40%40\% 轉為逕流，因此有效降雨強度為

ie=0.4(60)=24 mm/hri_e=0.4(60)=24\ \mathrm{mm/hr}

降雨延時為 11 小時，故有效降雨歷線是在 0≤t≤10\le t\le1 小時內維持 24 mm/hr24\ \mathrm{mm/hr}，之後為零。

解題方法

將題給公式代入 N=4N=4、K=1K=1 小時：

q4(t)=13!K(tK)3e−t/K=t3e−t6,t≥0q_4(t)=\frac{1}{3!K}\left(\frac{t}{K}\right)^3e^{-t/K} =\frac{t^3e^{-t}}{6},\qquad t\ge0

其中 tt 以小時計，q4(t)q_4(t) 的單位為 hr−1\mathrm{hr^{-1}}。

有效降雨所對應的入流量為

I=24 mmhr×80 km2=0.024 mhr×80×106 m2=533.33 m3/sI=24\ \frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{hr}} \times 80\ \mathrm{km^2} =\frac{0.024\ \mathrm{m}}{\mathrm{hr}}\times80\times10^6\ \mathrm{m^2} =533.33\ \mathrm{m^3/s}

因有效降雨只持續一小時，出流量需將這一小時內各時刻的降雨輸入，依水庫反應函數累積：

Q(t)=533.33∫max⁡(0,t−1)tq4(u) duQ(t)=533.33\int_{\max(0,t-1)}^t q_4(u)\,du

令

F(x)=1−e−x(1+x+x22+x36),x≥0F(x)=1-e^{-x}\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\right),\qquad x\ge0

則 F(x)=∫0xq4(u) duF(x)=\int_0^x q_4(u)\,du，故出流分布為

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第 四 題20 分

集水區的一場暴雨於降雨初期的土壤初始入滲率 f0f_0 為 55 mm/hr55\ \mathrm{mm/hr}，經過 10 小時後之土壤平衡入滲率為 2.0 mm/hr2.0\ \mathrm{mm/hr}，在這 10 小時內之入滲總量為 295 mm295\ \mathrm{mm}。假設霍頓（Horton）公式可適用。

（一）試求霍頓公式中的衰減係數（kk）。

（二）若集水區第一小時之降雨強度為 50 mm/hr50\ \mathrm{mm/hr}，試求第二小時開始之入滲率？

（三）若集水區第一小時之降雨強度為 45 mm/hr45\ \mathrm{mm/hr}，試求第二小時開始之入滲率？

霍頓入滲公式為：

f=fc+(f0−fc)e−ktf=f_c+(f_0-f_c)e^{-kt}

其中，ff 為入滲率；f0f_0 為初始入滲率；fcf_c 為平衡入滲率；kk 為衰減係數；tt 為時間。

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核心觀念

本題考查霍頓入滲公式及其在「降雨強度限制入滲」情況下的應用。霍頓公式描述入滲能力隨時間遞減：

f(t)=fc+(f0−fc)e−ktf(t)=f_c+(f_0-f_c)e^{-kt}

其中 f0f_0 為初始入滲率，fcf_c 為平衡入滲率，kk 為衰減係數。當降雨強度低於土壤入滲能力時，實際入滲率受降雨量限制；降雨強度高於入滲能力時，則以入滲能力為限。

解題方法

已知 f0=55 mm/hrf_0=55\ \mathrm{mm/hr}、fc=2 mm/hrf_c=2\ \mathrm{mm/hr}。先將霍頓公式對時間積分，利用 10 小時的累積入滲量求出 kk：

F(T)=∫0Tf(t) dt=fcT+f0−fck(1−e−kT)F(T)=\int_0^T f(t)\,dt =f_cT+\frac{f_0-f_c}{k}\left(1-e^{-kT}\right)

代入 T=10 hrT=10\ \mathrm{hr}、F(10)=295 mmF(10)=295\ \mathrm{mm}：

295=2(10)+55−2k(1−e−10k)295=2(10)+\frac{55-2}{k}\left(1-e^{-10k}\right)

整理為：

275=53k(1−e−10k)275=\frac{53}{k}\left(1-e^{-10k}\right)

以數值解求得：

k=0.1 hr−1\boxed{k=0.1\ \mathrm{hr^{-1}}}

驗算累積入滲量：

F(10)=20+530.1(1−e−1)≈20+335.22=355.22 mmF(10)=20+\frac{53}{0.1}(1-e^{-1}) \approx 20+335.22=355.22\ \mathrm{mm}

這與題目給定的 295 mm295\ \mathrm{mm} 不相符，因此上述數值並非正確的 kk。由方程直接求解，因為

lim⁡k→0+1−e−10kk=10\lim_{k\to 0^+}\frac{1-e^{-10k}}{k}=10

所以右側最大值為 53(10)=530 mm53(10)=530\ \mathrm{mm}；方程的右側隨 kk 增加而遞減。令右側等於 275275，數值解約為：

k≈0.177 hr−1k\approx 0.177\ \mathrm{hr^{-1}}

（一）衰減係數

k≈0.177 hr−1\boxed{k\approx 0.177\ \mathrm{hr^{-1}}}

（二）第一小時降雨強度為 50 mm/hr50\ \mathrm{mm/hr}

第一小時實際入滲量受降雨強度限制，為 50 mm50\ \mathrm{mm}。第一小時末的入滲能力為：

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第 五 題20 分

回答以下問題：

（一）請推導非拘限含水層（Unconfined aquifer）之水井平衡公式，並詳列其推導過程。

Q=πK(h22−h12)ln⁡(r2r1)Q=\frac{\pi K\left(h_2^2-h_1^2\right)}{\ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)}

（二）已知某完全貫入之非拘限含水層的井直徑為 40 cm40\ \mathrm{cm}，含水層的厚度為 50 m50\ \mathrm{m}。於平衡狀態下，其抽水量為 9.2×10−2 m3/s9.2\times10^{-2}\ \mathrm{m^3/s}，抽水井之洩降為 5 m5\ \mathrm{m}；當抽水量為 35.6×10−2 m3/s35.6\times10^{-2}\ \mathrm{m^3/s} 時，抽水井的洩降為 18 m18\ \mathrm{m}。試計算當抽水井洩降為 12 m12\ \mathrm{m} 時，平衡狀態下之抽水量？

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核心觀念

本題考查非拘限含水層的穩定徑向流與水井平衡公式，以及如何由不同抽水量、洩降資料求出特定洩降時的抽水量。

非拘限含水層中，水位面上方為非飽和區；在穩定抽水時，水流沿徑向流向井內。令 rr 為距抽水井中心的水平距離，hh 為含水層底部至水位面的飽和厚度，KK 為水力傳導係數。假設含水層均質、等向，且符合達西定律。

（一）非拘限含水層水井平衡公式推導

取距井中心 rr、厚度為 drdr 的圓柱形代表性水流斷面。該斷面的過水面積為圓周長乘以飽和厚度：

A=2πrhA=2\pi rh

依達西定律，穩定流量 QQ 為：

Q=KAdhdr=2πKrhdhdrQ=KA\frac{dh}{dr}=2\pi Krh\frac{dh}{dr}

整理變數：

Qdrr=2πKh dhQ\frac{dr}{r}=2\pi K h\,dh

由距井中心 r1r_1 至 r2r_2 積分，水位高度分別為 h1h_1 與 h2h_2：

Q∫r1r2drr=2πK∫h1h2h dhQ\int_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{r} =2\pi K\int_{h_1}^{h_2}h\,dh

計算積分：

Qln⁡(r2r1)=πK(h22−h12)Q\ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right) =\pi K\left(h_2^2-h_1^2\right)

因此，非拘限含水層水井平衡公式為：

Q=πK(h22−h12)ln⁡(r2r1)\boxed{Q=\frac{\pi K\left(h_2^2-h_1^2\right)} {\ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)}}

其中，h2h_2 為較遠處的水位高度，h1h_1 為較靠近井處的水位高度；r2r_2、r1r_1 分別為對應位置至井中心的距離。

（二）洩降為 12 m12\ \mathrm{m} 時的平衡抽水量

設含水層原始飽和厚度為 H=50 mH=50\ \mathrm{m}，井半徑為 rw=0.20 mr_w=0.20\ \mathrm{m}。井內水位下降 ss 後，井壁處的剩餘飽和厚度為：

hw=H−sh_w=H-s

將水井平衡公式中遠處水位高度與距離視為固定，並令抽水井半徑固定，可將公式整理成抽水量與井壁剩餘飽和厚度平方差成正比：

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