112 年專技高考高等考試水利工程技師考古題與詳解

Question 1

有一寬渠（Wide channel），渠床坡度 $S0=0.001$，曼寧粗糙係數 $n=0.015$。 當單位寬度流量 $q=3.0\ \mathrm{m^3/s}$ 時，試求此渠流的臨界水深 $yc$（Critical depth）、正常水深 $yn$（Normal depth），及正常水深所對應之水流福祿數（Froude number）與比能 $E$（Specific energy）。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查寬矩形渠道的臨界水深、正常水深，以及正常水深下的福祿數與比能。

寬渠可忽略側壁對水力半徑的影響，因此水力半徑近似等於水深 $y$ 。每單位寬度流量為 $q$ ，單位流量下的連續方程為 $V=q/y$ 。

臨界水深由臨界流條件 $Fr=1$ 求得；正常水深則由曼寧公式令均勻流摩擦坡度等於渠床坡度 $S_0$ 求得。比能定義為水深與速度水頭之和：

$E=y+\frac{V^2}{2g}$

解題方法

取重力加速度 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$ 。

1. 臨界水深 $y_c$

寬渠的福祿數為

$Fr=\frac{V}{\sqrt{gy}}=\frac{q/y}{\sqrt{gy}}$

臨界流時 $Fr=1$ ，因此

\frac{q^2}{g y_c^3}=1 \quad\Longrightarrow\quad y_c=\left(\frac{q^2}{g}\right)^{1/3}

代入 $q=3.0\ \mathrm{m^2/s}$ ：

y_c=\left(\frac{3.0^2}{9.81}\right)^{1/3} =0.972\ \mathrm{m}

2. 正常水深 $y_n$

寬渠的曼寧公式以單位寬度流量表示為

$q=\frac{1}{n}y_n^{5/3}S_0^{1/2}$

其中水力半徑以 $R\approx y_n$ 近似。整理得

$y_n=\left(\frac{qn}{\sqrt{S_0}}\right)^{3/5}$

代入 $q=3.0\ \mathrm{m^2/s}$ 、 $n=0.015$ 、 $S_0=0.001$ ：

Question 2

水流流經一座文托利水槽（Venturi Flume），具有水平槽底及矩形斷面，俯視平面圖如圖 1 所示。渠槽上游段寬度為 $5.0\ \mathrm{m}$ ，渠槽中間段為束縮段，束縮段最窄處寬度為 $b$ ，渠槽下游段寬度為 $5.0\ \mathrm{m}$ 。

假如水流流量 $Q=12.5\ \mathrm{m^3/s}$ ，曼寧係數 $n=0.012$ ，渠槽上游段為正常水深，在忽略能量損失條件下，請回答下列兩個問題：

(一) 水流在束縮段最窄處恰好形成臨界流，試求束縮段最窄處寬度 $b$ 值。（10 分）

(二) 假如束縮段最窄處的寬度 $b$ 為 $2.0\ \mathrm{m}$ ，過窄，發生迴水現象，試推估束縮段上游寬度為 $5\ \mathrm{m}$ 處之水深，並分析束縮段下游處水面線之可能變化。（15 分）

圖 1　水流流經一座文托利水槽俯視示意圖

Accepted Answer

資料完整性 題目未提供渠床坡度 $S0$，因此無法由曼寧公式求出上游正常水深，也就無法得到第（一）題的唯一數值寬度。以下先列出第（一）題以 $S0$ 表示的解；第（二）題則假設束縮段最窄處形成臨界控制，並依水平槽底、忽略能量損失計算。 核心觀念 矩形渠道的單位寬流量為 $q=Q/b$，比能為 $$ E=y+\frac{V^2}{2g} =y+\frac{q^2}{2gy^2}. $$ 臨界流時 $Fr=1$，因此 $$ yc=\left(\frac{q^2}{g}\right)^{1/3}, \qquad Ec=\frac{3}{2}yc. $$ 上游正常水深 $yn$ 則由曼寧公式決定： $$ Q=\frac{1}{n}AR^{2/3}S0^{1/2}, \qquad A=5yn,\quad R=\frac{5yn}{5+2yn}. $$ （一）束縮段恰好形成臨界流 上游渠寬為 $5.0\ \mathrm{m}$，所以單位寬流量為 $Q/5$。上游正常水深處的比能為 $$ En=yn+\frac{Q^2}{2g(5yn)^2}. $$ 忽略能量損失且槽底水平，束縮最窄處的臨界比能等於上游比能： $$ En=Ec=\frac{3}{2}yc. $$ 故 $yc=2En/3$。由臨界條件 $Q/b=\sqrt{g yc^3}$，得到 $$ \boxed{ b=\frac{Q}{\sqrt{g(2En/3)^3}} } $$ 其中 $Q=12.5\ \mathrm{m^3/s}$，而 $En$ 須先由 $S0$ 求得 $yn$ 才能計算。因此本小題缺少渠床坡度，不能定出數值 $b$。 （二）最窄處寬度為 $2.0\ \mathrm{m}$ 最窄處單位寬流量為 $$ qt=\frac{12.5}{2.0}=6.25\ \mathrm{m^2/s}. $$ 若最窄處恰為臨界控制，則

Question 3

有一條矩形渠道內有均勻流，水深 $y1=3.0\ \mathrm{m}$，流速 $V1=2.0\ \mathrm{m/s}$。渠道下游出現一個穩定的湧潮（tidal bore），往渠道上游方向移動，如圖 2 所示，移動速度為 $10.0\ \mathrm{m/s}$。 假設渠道為水平渠道並忽略能量損失，試推求此湧潮的高度 $\eta$、湧潮後段水深 $y2$及流速 $V2$。 圖 2 渠道下游出現湧潮往上游方向移動示意圖

Accepted Answer

核心觀念 本題考查移動湧潮的質量與動量守恆。取渠道向下游為正方向，湧潮向上游移動，因此其速度為 $c=-10.0\ \mathrm{m/s}$。在湧潮參考系中，湧潮前、後的水流相對速度分別為 $$ u1=V1-c=2.0-(-10.0)=12.0\ \mathrm{m/s},\qquad u2=V2-c=V2+10.0. $$ 忽略能量損失不代表可跨越湧潮直接套用伯努力方程；此處應以質量守恆與動量守恆求解。 解題方法 以單位渠道寬度計算，質量守恆為 $$ y1u1=y2u2. $$ 因此相對流量為 $$ q'=y1u1=3.0(12.0)=36.0\ \mathrm{m^2/s}, \qquad u2=\frac{36.0}{y2}. $$ 湧潮參考系中，前、後斷面的動量守恆式為 $$ \frac{y1^2}{2}+\frac{y1u1^2}{g} = \frac{y2^2}{2}+\frac{y2u2^2}{g}. $$ 代入 $u2=q'/y2$，可得矩形渠道水躍共軛水深關係： $$ \frac{y2}{y1} =\frac{1}{2}\left(\sqrt{1+8Fr1^2}-1\right), \qquad Fr1=\frac{u1}{\sqrt{gy1}}. $$ 計算湧潮參考系中的前段弗勞德數：

Question 4

有一座台階式消能設施，它是由一段水平矩形渠道末段抬高 $\Delta z$ 後接上另一段水平矩形渠道所組成。

假設渠道上游段有均勻水流，水深 $y_1=0.3\ \mathrm{m}$ ，流速 $V_1=7.0\ \mathrm{m/s}$ ， $\Delta z=0.3\ \mathrm{m}$ 。水躍發生在台階上游的水平矩形渠道，如圖 3 所示。水躍後水深為 $y_2$ ，流速為 $V_2$ ；水躍後台階下游渠道水深為 $y_3$ ，流速為 $V_3$ 。試求渠道上游段水流福祿數 $Fr_1$ 、水躍後水深 $y_2$ 、台階下游段水深 $y_3$ 及流速 $V_3$ 。

圖 3　矩形渠道台階式消能設施示意圖

Accepted Answer

核心觀念

本題考查矩形渠道的福祿數、水躍共軛水深，以及渠道抬高後的能量方程。

矩形渠道的單位寬流量為 $q=Vy$ ，福祿數為

Fr=\frac{V}{\sqrt{gy}}

水躍前後可用動量方程求共軛水深；水躍後至台階下游，則以能量方程計算。題目未提供台階處的能量損失，以下依常見理想化作法，假設台階前後能量損失可忽略。

解題方法

1. 求上游福祿數與單位寬流量

取 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$ ：

Fr_1=\frac{7.0}{\sqrt{9.81(0.3)}}\approx 4.08

q=V_1y_1=7.0(0.3)=2.10\ \mathrm{m^2/s}

2. 以水躍共軛水深公式求 $y_2$

矩形渠道水躍的共軛水深比為

\frac{y_2}{y_1} =\frac{1}{2}\left(\sqrt{1+8Fr_1^2}-1\right)

代入 $Fr_1=4.08$ 、 $y_1=0.3\ \mathrm{m}$ ：

y_2 =0.3\cdot\frac{\sqrt{1+8(4.08)^2}-1}{2} \approx 1.588\ \mathrm{m}

水躍後流速為

V_2=\frac{q}{y_2} =\frac{2.10}{1.588} \approx 1.323\ \mathrm{m/s}

3. 以台階前後能量方程求 $y_3$

水躍後斷面的比能為

112 專技高考高等考試水利工程技師渠道水力學考古題詳解

第一題25 分

核心觀念

解題方法

1. 臨界水深 $y_c$

2. 正常水深 $y_n$

第二題25 分

第三題25 分

第四題25 分

核心觀念

解題方法

其他考古題

112 年水利工程技師的其他科目

水利工程技師《渠道水力學》其他年度

112 專技高考高等考試 水利工程技師 渠道水力學 考古題詳解

第 一 題25 分

核心觀念

解題方法

1. 臨界水深 ycy_cyc​

2. 正常水深 yny_nyn​

第 二 題25 分

第 三 題25 分

第 四 題25 分

核心觀念

解題方法

其他考古題

112 年水利工程技師的其他科目

水利工程技師《渠道水力學》其他年度

112 專技高考高等考試水利工程技師渠道水力學考古題詳解

第一題25 分

1. 臨界水深 $y_c$

2. 正常水深 $y_n$

第二題25 分

第三題25 分

第四題25 分