109 專技高考高等考試 水利工程技師 渠道水力學 考古題詳解

109 年・專技高考・高等考試・水利工程技師
試題代碼 渠道水力學

第 一 題25 分

一座三角形斷面渠道如圖所示，渠道水深 y0y_0、頂寬 bb。渠道中水深 yy 所對應的速度分布（velocity distribution）為 V=k1yV=k_1\sqrt{y}，其中 k1k_1 為常數。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

試計算此渠道之斷面平均速度（average velocity），及其能量修正係數 α\alpha（kinetic energy correction factor）與動量修正係數 β\beta（momentum correction factor）。

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核心觀念

本題考速度隨水深變化時，如何用斷面積分求平均速度及修正係數。依圖示，水深自渠底起算為 yy；由三角形幾何相似，水深 yy 處的水面寬度為

w(y)=by0yw(y)=\frac{b}{y_0}y

因此水平薄片的面積為 dA=w(y) dydA=w(y)\,dy，全斷面積為 A=12by0A=\frac12by_0。

平均速度、能量修正係數與動量修正係數的定義為

Vˉ=1A∫AV dA,α=1AVˉ3∫AV3 dA,β=1AVˉ2∫AV2 dA\bar V=\frac{1}{A}\int_A V\,dA,\qquad \alpha=\frac{1}{A\bar V^3}\int_A V^3\,dA,\qquad \beta=\frac{1}{A\bar V^2}\int_A V^2\,dA

解題方法

題給速度分布 V=k1yV=k_1\sqrt y。將它代入各定義，並以水深 yy 作為積分變數，範圍為 0≤y≤y00\le y\le y_0。

一、斷面平均速度

Q=∫AV dA=∫0y0k1y(by0y)dy=25bk1y03/2Q=\int_A V\,dA =\int_0^{y_0} k_1\sqrt y\left(\frac{b}{y_0}y\right)dy =\frac{2}{5}bk_1y_0^{3/2}

故

Vˉ=QA=25bk1y03/212by0=45k1y0\bar V=\frac{Q}{A} =\frac{\frac25bk_1y_0^{3/2}}{\frac12by_0} =\frac45k_1\sqrt{y_0}

二、能量修正係數 α\alpha

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第 二 題25 分

一座梯形渠道之光滑斜面（n=0.01875n=0.01875），其側面斜坡之水平垂直比為 1:11:1，其底床坡度為 0.00040.0004。

若此渠道在正常水深（normal depth）2.50 m2.50\ \mathrm{m} 時，能夠輸送 80 m3/s80\ \mathrm{m^3/s} 之流量，試決定此一渠道之底部寬度。

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核心觀念

此題考梯形明渠的曼寧公式。已知正常水深、流量、糙率及底床坡度，利用曼寧公式建立渠道流量與底寬的關係，再求出底部寬度。

令側坡係數 zz 為每單位垂直高度所對應的水平寬度。題目給側坡水平：垂直比為 1:11:1，故 z=1z=1。梯形渠道的通水面積與濕周為

A=y(b+zy),P=b+2y1+z2A=y(b+zy),\qquad P=b+2y\sqrt{1+z^2}

其中 bb 為底部寬度。曼寧公式為

Q=1nAR2/3S1/2,R=APQ=\frac{1}{n}AR^{2/3}S^{1/2},\qquad R=\frac{A}{P}

解題方法

代入 y=2.50 my=2.50\ \mathrm{m}、z=1z=1，可得

A=2.50(b+2.50)=2.50b+6.25A=2.50(b+2.50)=2.50b+6.25 P=b+2(2.50)1+12=b+52P=b+2(2.50)\sqrt{1+1^2}=b+5\sqrt{2}

將 Q=80 m3/sQ=80\ \mathrm{m^3/s}、n=0.01875n=0.01875、S=0.0004S=0.0004 代入曼寧公式：

80=10.01875A(AP)2/30.000480=\frac{1}{0.01875}A\left(\frac{A}{P}\right)^{2/3}\sqrt{0.0004}
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第 三 題25 分

一矩形渠道水深 1.5 m1.5\ \mathrm{m} 之均勻流況，若渠道中有一底部光滑隆起高 0.20 m0.20\ \mathrm{m}，且造成水位略降 0.15 m0.15\ \mathrm{m} 之情況，如圖所示。假設忽略能量損失，試推估其單位寬度流量。

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核心觀念

本題考矩形渠道底床隆起時的能量方程與連續方程。忽略能量損失，隆起前後的總水頭相等；單位寬度流量則由 q=Vyq=Vy 表示。

圖中上游水深為 y1=1.5 my_1=1.5\ \mathrm{m}，底床隆起高度為 Δz=0.20 m\Delta z=0.20\ \mathrm{m}，水面下降 0.15 m0.15\ \mathrm{m}。因此隆起處水深為

y2=1.5−0.15−0.20=1.15 my_2=1.5-0.15-0.20=1.15\ \mathrm{m}

解題方法

設隆起前後流速為 V1V_1、V2V_2，以隆起前底床為基準，能量方程為

y1+V122g=Δz+y2+V222gy_1+\frac{V_1^2}{2g} = \Delta z+y_2+\frac{V_2^2}{2g}

因為 y1−(Δz+y2)=0.15 my_1-(\Delta z+y_2)=0.15\ \mathrm{m}，可得

V22−V122g=0.15\frac{V_2^2-V_1^2}{2g}=0.15

由連續方程，單位寬度流量在兩斷面相同：

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第 四 題25 分

一座寬淺渠道寬 80 m80\ \mathrm{m}、3 m3\ \mathrm{m} 水深、n=0.035n=0.035、平均坡度 0.00050.0005。若其下游有一低壩（low weir）抬升水位 1.5 m1.5\ \mathrm{m}，試推估渠流因此堰造成的緩流況（the Gradually-Varied Flow）屬於何種型態？迴水長度為何？

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核心觀念

本題評量明渠漸變流（Gradually-Varied Flow, GVF）之水面線型態判別與迴水長度（Backwater Length）計算，涉及以下核心觀念與公式：

  1. 寬淺渠道（Wide Channel）假設： 渠道寬度 B=80 mB = 80\ \mathrm{m}，水深 y=3 my = 3\ \mathrm{m}，寬深比 B/y≈26.7≥10B/y \approx 26.7 \ge 10。依水力學定義，濕周 P=B+2y≈BP = B + 2y \approx B，水力半徑可簡化為： R=AP≈yR = \frac{A}{P} \approx y
  2. 曼寧均勻流公式（Manning's Formula）： 正常水深（Normal Depth）y0y_0 下之通水流速與單位寬度流量（Unit Discharge）： V0=1nR02/3S01/2V_0 = \frac{1}{n} R_0^{2/3} S_0^{1/2} q=V0y0q = V_0 y_0
  3. 臨界水深與渠道坡度分類（Critical Depth & Slope Classification）： 矩形渠道臨界水深： yc=q2g3y_c = \sqrt[3]{\frac{q^2}{g}}
  • 若 y0>ycy_0 > y_c（即 S0<ScS_0 < S_c），為緩坡（Mild slope, M 型）。
  • 若 y0<ycy_0 < y_c（即 S0>ScS_0 > S_c），為陡坡（Steep slope, S 型）。
  1. 漸變流水面線動態微分方程式與型態： dydx=S0−Sf1−Fr2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{S_0 - S_f}{1 - Fr^2} 依水深 yy 落在正常水深線（NDL）與臨界水深線（CDL）之相對分區（Zone 1、Zone 2、Zone 3）判斷其水面線代號。
  2. 直接步階法（Direct Step Method）： 適用於棱柱形渠道的水面線數值計算，推估兩斷面間距 Δx\Delta x： Δx=ΔES0−Sˉf=E2−E1S0−Sˉf\Delta x = \frac{\Delta E}{S_0 - \bar{S}_f} = \frac{E_2 - E_1}{S_0 - \bar{S}_f} 其中比能 E=y+V22gE = y + \frac{V^2}{2g}，斷面摩擦坡降 Sf=n2V2R4/3S_f = \frac{n^2 V^2}{R^{4/3}}，平均摩擦坡降 Sˉf=Sf1+Sf22\bar{S}_f = \frac{S_{f1} + S_{f2}}{2}。

解題方法

步驟一：計算流速、單位寬度流量與臨界水深

題目給定寬淺渠道，取水力半徑 R0≈y0=3 mR_0 \approx y_0 = 3\ \mathrm{m}。 代入曼寧公式求正常流速 V0V_0： V0=10.035×(3)2/3×(0.0005)1/2=10.035×2.0801×0.022361≈1.3289 m/sV_0 = \frac{1}{0.035} \times (3)^{2/3} \times (0.0005)^{1/2} = \frac{1}{0.035} \times 2.0801 \times 0.022361 \approx 1.3289\ \mathrm{m/s}

單位寬度流量 qq： q=V0×y0=1.3289×3=3.9868 m2/sq = V_0 \times y_0 = 1.3289 \times 3 = 3.9868\ \mathrm{m^2/s}

總流量 QQ： Q=q×B=3.9868×80≈318.94 m3/sQ = q \times B = 3.9868 \times 80 \approx 318.94\ \mathrm{m^3/s}

計算臨界水深 ycy_c： yc=q2g3=3.986829.813=15.89469.813=1.62023≈1.1745 my_c = \sqrt[3]{\frac{q^2}{g}} = \sqrt[3]{\frac{3.9868^2}{9.81}} = \sqrt[3]{\frac{15.8946}{9.81}} = \sqrt[3]{1.6202} \approx 1.1745\ \mathrm{m}

步驟二：判斷渠道坡度與水面線型態

比較各特徵水深：

  • 正常水深 y0=3.0 my_0 = 3.0\ \mathrm{m}
  • 臨界水深 yc=1.1745 my_c = 1.1745\ \mathrm{m} 因為 y0>ycy_0 > y_c，渠道底坡屬於緩坡（Mild Slope, 記為 M）。

下游低壩抬升水位 1.5 m1.5\ \mathrm{m}，故壩前起始水深 y2y_2 為： y2=y0+1.5=3.0+1.5=4.5 my_2 = y_0 + 1.5 = 3.0 + 1.5 = 4.5\ \mathrm{m}

此時渠道水深與控制水深之關係為： y2>y0>yc(4.5 m>3.0 m>1.1745 m)y_2 > y_0 > y_c \quad (4.5\ \mathrm{m} > 3.0\ \mathrm{m} > 1.1745\ \mathrm{m}) 水流位於緩坡第 1 區（Zone 1），因此受下游低壩壅水抬升所產生之水面線型態為 M1M_1 型水面線（M1M_1 壅水曲線）。

步驟三：推估迴水長度（採直接步階法）

在漸變流動態理論中，M1M_1 曲線往上游漸近於正常水深 y0y_0。實務考試計算時，常以正常水深處作為上游控制剖面，採用直接步階法求取兩斷面之距離。

設定兩端剖面：

  • 剖面 1（上游正常水深端）：y1=3.0 my_1 = 3.0\ \mathrm{m}
  • 剖面 2（下游低壩前堰頂端）：y2=4.5 my_2 = 4.5\ \mathrm{m}
  1. 計算剖面 1 之水力要素：
  • 水深 y1=3.0 my_1 = 3.0\ \mathrm{m}
  • 流速 V1=1.3289 m/sV_1 = 1.3289\ \mathrm{m/s}
  • 速度水頭 V122g=1.328922×9.81=0.0900 m\frac{V_1^2}{2g} = \frac{1.3289^2}{2 \times 9.81} = 0.0900\ \mathrm{m}
  • 比能 E1=y1+V122g=3.0+0.0900=3.0900 mE_1 = y_1 + \frac{V_1^2}{2g} = 3.0 + 0.0900 = 3.0900\ \mathrm{m}
  • 摩擦坡降 Sf1=S0=0.0005S_{f1} = S_0 = 0.0005
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