109 專技高考高等考試 水利工程技師 水文學 考古題詳解

核心觀念

本題考查年最大流量的頻率分析。重現期 $T$ 年代表某一流量在任一年被超越的機率為 $1/T$；若流量年與年之間相互獨立，設計壽命 $n$ 年內至少發生一次超越的風險率為

$$R=1-\left(1-\frac{1}{T}\right)^n$$

因此，風險率 $R$ 與設計壽命 $n$ 已知時，可反求設計重現期：

$$T=\frac{1}{1-(1-R)^{1/n}}$$

流量頻率分析常以

$$Q_T=\bar Q+K_Ts$$

計算重現期 $T$ 的流量，其中 $\bar Q=1000\ \mathrm{cms}$、$s=500\ \mathrm{cms}$，$K_T$ 為頻率因子。常態分佈使用題目所附頻率因子；甘保（Gumbel）分佈則使用題目提供的 $K_T$ 公式。

解題方法

一、重現期 100 年流量

常態分佈

題目給定 $T=100$ 時常態頻率因子 $K_{100}=2.33$，故

$$Q_{100}=1000+2.33(500)=2165\ \mathrm{cms}$$

甘保分佈

將 $T=100$ 代入題目公式：

$$K_{100} =-\frac{\sqrt{6}}{\pi} \left\{0.5772+\ln\left[\ln\left(\frac{100}{99}\right)\right]\right\} \approx 3.137$$

因此

$$Q_{100}=1000+3.137(500) \approx 2568\ \mathrm{cms}$$

二、設計壽命 100 年、風險率 10% 的設計流量

先由風險率公式反求設計重現期：

$$0.10=1-\left(1-\frac{1}{T}\right)^{100}$$ $$T=\frac{1}{1-0.90^{1/100}} \approx 949.1\ \text{年}$$

此重現期接近 1000 年，計算設計流量時以 $T\approx949.1$ 代入各分佈的頻率因子。

常態分佈

核心觀念

本題考查地下水資源的永續利用，以及影響地下水補注量的自然與人為因素。

安全出水量是指在不致使地下水位持續下降、不造成海水入侵或地層下陷等不良影響，並能維持地下水資源長期利用的條件下，可持續抽取的地下水量。傳統上常以地下水的平均年補注量作為安全出水量的估算基準；更完整的管理概念則須一併考慮地下水流出、抽水對河川與生態的影響，以及水質與地層穩定等限制。因此，安全出水量不宜直接等同於地下水總補注量。

解題方法

先說明安全出水量的目的與判斷原則，再依「降水與地表條件、地質與含水層條件、地下水流動、人為活動」整理補注因子，並交代各因子如何增加或減少入滲與補注。

安全出水量的意義

地下水補注是水分進入含水層、補充地下水儲量的過程。若抽水長期超過可持續補注及可容許的地下水流入量，地下水位便會下降，進而可能導致井水枯竭、地層下陷、海水入侵，或減少河川基流與濕地水源。

因此，安全出水量的核心不是「把所有補注水量都抽出」，而是在維持地下水系統與相關環境功能的前提下，確定可長期抽取的水量。實務上須以地下水位與水量收支監測，配合地層下陷、海水入侵及生態需求調整抽水量。

影響地下水補注的重要因子

1. 降水量與降水型態 降水是許多地區地下水補注的主要來源。降水量增加通常有利於補注；但短時間強降雨容易形成地表逕流，未必能有效入滲。持續性降雨較有機會使水分下滲至地下。

2. 地表覆蓋與土地利用 森林、草地及農地等透水地表通常較利於入滲；都市道路、建築物與鋪面會減少透水面積，增加逕流，降低自然補注。灌溉與滯洪設施則可能增加局部入滲，但效果視地形、土壤與管理方式而定。

核心觀念

本題考查有效降雨、$\phi$ 指數與單位歷線的比例疊加。

單位歷線是集水區在指定延時內，接受單位有效降雨深度後所產生的直接逕流歷線。本題採 $1\ \text{cm}$ 有效降雨作為單位，先由總雨量扣除入滲損失，求出各小時有效雨量，再用直接逕流歷線除以有效雨量總深度，得到 3 小時單位歷線。

解題方法

1. 求各時段有效雨量

$\phi$ 指數為 $0.5\ \text{cm/hr}$，每小時有效雨量為該小時雨量減去 $\phi$ 指數所代表的入滲量；若結果小於零，則以零計。

時段（hr）	雨量（cm）	入滲量（cm）	有效雨量（cm）
第 1 小時	0.9	0.5	0.4
第 2 小時	2.0	0.5	1.5
第 3 小時	1.3	0.5	0.8
合計	4.2	1.5	2.7

因此，這場 3 小時暴雨的有效雨量總深度為

$$P_e=0.4+1.5+0.8=2.7\ \text{cm}$$

2. 求 3 小時單位歷線

題目所列直接逕流歷線是 $2.7\ \text{cm}$ 有效降雨所造成。在線性比例假設下，$1\ \text{cm}$ 有效降雨所對應的 3 小時單位歷線為

$$U(t)=\frac{Q(t)}{2.7}$$

時間 $t$（hr）	直接逕流 $Q$（cms）	3 小時單位歷線 $U$（cms/cm）
0	0	0
1	20	7.41
2	195	72.22
3	650	240.74
4	920	340.74
5	640	237.04
6	235	87.04
7	40	14.81

核心觀念

馬斯金更法（Muskingum method）以河段蓄水量 $S$ 與入流量 $I$、出流量 $O$ 的關係，描述洪水波在河道中的演進：

$$S=K\left[XI+(1-X)O\right]$$

其中 $K$ 為河段蓄水時間常數，$X$ 為權重係數，通常介於 $0$ 至 $0.5$。另依河段連續方程式：

$$\frac{dS}{dt}=I-O$$

本題給定 $K=2$ 日、$X=0.2$、$\Delta t=1$ 日，先由連續方程式與蓄水量關係式推導逐時段出流量公式，再依序演算各日出流量。

解題方法與公式推導

對相鄰兩個時點，以梯形法近似連續方程式：

$$S_2-S_1=\frac{\Delta t}{2}\left[(I_1+I_2)-(O_1+O_2)\right]$$

由 $S=K[XI+(1-X)O]$，可得：

$$KX(I_2-I_1)+K(1-X)(O_2-O_1) =\frac{\Delta t}{2}\left[(I_1+I_2)-(O_1+O_2)\right]$$

整理後得到馬斯金更遞迴式：

$$O_2=C_0I_2+C_1I_1+C_2O_1$$

其中：

$$C_0=\frac{\Delta t-2KX}{2K(1-X)+\Delta t},\qquad C_1=\frac{\Delta t+2KX}{2K(1-X)+\Delta t},\qquad C_2=\frac{2K(1-X)-\Delta t}{2K(1-X)+\Delta t}$$

代入題目數值：

$$C_0=\frac{1-2(2)(0.2)}{2(2)(0.8)+1}=\frac{1}{21}=0.047619$$ $$C_1=\frac{1+2(2)(0.2)}{2(2)(0.8)+1}=\frac{9}{21}=0.428571$$ $$C_2=\frac{2(2)(0.8)-1}{2(2)(0.8)+1}=\frac{11}{21}=0.523810$$

且 $C_0+C_1+C_2=1$。題目未另給初始出流量，採常用假設：起算時河段處於穩定狀態，故 8 月 15 日 $O_1=I_1=54$ cms。

以 8 月 16 日為例：

$$O_{\text{8/16}} =0.047619(80)+0.428571(54)+0.523810(54) =55.238\ \text{cms}$$

其餘日期依相同遞迴式逐日計算，結果如下（流量取至小數第三位）：

核心觀念

本題在比較兩種降雨－逕流預測途徑：一種根據流域的水文機制描述降雨如何轉變成逕流；另一種從既有雨量與流量資料中學習輸入與輸出的關係。兩者都可用於預測河川流量，但所需資料、模型解釋能力及適用條件不同。

降雨－逕流模式的基本輸入包括流域降雨、前期流量或土壤含水狀態等，輸出則為指定控制點的流量歷線 $Q(t)$。預測時須考慮降雨的時間分布、流域反應時間，以及降雨損失、蓄滯和逕流匯流等因素。

解題方法：物理或概念機制模式

以單位歷線法為例，單位歷線是流域在特定歷線歷時內，受到單位有效降雨深度作用所產生的直接逕流歷線。它假設在一定條件下，流域反應具有線性及時不變特性。

預測流程如下：

1. 估算有效降雨：由總降雨扣除截留、入滲等損失，取得有效降雨。若降雨分成多個時段，得到各時段有效降雨量 $P_e$。
2. 取得單位歷線：利用歷史雨量與流量資料推求，或由流域特性建立合適的單位歷線。
3. 疊加各時段逕流反應：將每個時段的有效降雨量乘上相應的單位歷線，再依時間平移後相加，得到直接逕流歷線： $Q_d(t)=\sum_{j=1}^{m} P_{e,j}\,U(t-j\Delta t)$ 其中 $U$ 為單位歷線，$\Delta t$ 為計算時段。
4. 加上基流：將直接逕流歷線與基流相加，得到預測總流量歷線： $Q(t)=Q_d(t)+Q_b(t)$

此法的優點是計算架構清楚，能表達降雨的時間分布、流域集流特性及逕流歷線形狀；在資料足以推求單位歷線且流域條件相對穩定時，具有明確的水文意義，也便於檢查與解釋預測結果。

限制是單位歷線的線性、時不變假設在大型暴雨、土壤含水狀態顯著改變或流域調節設施操作時未必成立。模式也需要可靠的降雨、流量與基流資料來推求或校正參數；流域特性改變時，原有單位歷線可能不再適用。

解題方法：數據驅動模式

以類神經網路為例，可將過去若干時段的流域雨量、上游流量、前期河川流量，或其他相關水文資料作為輸入，並以預測時刻的流量作為輸出。網路透過訓練資料調整權重，學習輸入與流量之間的非線性關係；完成訓練後，輸入最新觀測資料，即可預測未來流量。