109 專技高考高等考試 水利工程技師 流體力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查靜水壓力隨深度增加的關係：

其中 $p$ 為錶壓力，$\gamma$ 為液體比重量，$h$ 為自自由液面向下量取的深度。油水介面處壓力連續；往下跨越不同液層時，分別加上各液層造成的壓力增量。

解題方法

圖示中，開口處的自由液面高於油水介面 $5.2\ \mathrm{m}$，油水介面高於桶底 $0.9\ \mathrm{m}$。開口與大氣相通，因此自由液面的錶壓力為零。

汽油比重量為：

(一) 汽油與水的介面處壓力

由自由液面向下經過 $5.2\ \mathrm{m}$ 汽油：

核心觀念

本題為流體運動學（Fluid Kinematics）的經典題型，評量考生對流場基礎特性的物理定義、數學描述及運算推導能力。核心觀念涵蓋以下四項：

1. 不可壓縮流（Incompressible Flow）： 依據連續方程式（Continuity Equation），當流體密度 $\rho$ 為常數時，速度向量場的散度（Divergence）必為零，即體積擴張率（Volumetric Dilatation Rate）為零： $\nabla \cdot \vec{V} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$

2. 穩態流場（Steady Flow）： 流場中任一固定空間位置之流體性質（如速度、壓力、密度）不隨時間改變，即局部時變率（Local Time Rate of Change）為零： $\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} = \vec{0} \quad \implies \quad \frac{\partial u}{\partial t} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial t} = 0$

3. 非旋轉流（Irrotational Flow）： 流體微元的旋轉角速度向量 $\vec{\Omega}$ 或渦度向量 $\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V} = 2\vec{\Omega}$ 處處為零。在二維 $xy$ 平面流場中，旋轉分量僅存在於 $z$ 軸垂直方向： $\omega_z = (\nabla \times \vec{V})_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = 0$

4. 流場之加速度向量（Acceleration Vector）： 由實質導數（Material Derivative）描述，包含「局部加速度（Local Acceleration）」與「對流加速度（Convective Acceleration）」： $\vec{a} = \frac{D\vec{V}}{Dt} = \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + (\vec{V} \cdot \nabla)\vec{V} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j}$ 分量形式分別為： $a_x = \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y}$ $a_y = \frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y}$

解題方法

給定二維速度場： $u = 2.3x + 0.6y$ $v = -2.1x - 2.3y$

各速度分量對空間座標的偏微分如下： $\frac{\partial u}{\partial x} = 2.3, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 0.6$ $\frac{\partial v}{\partial x} = -2.1, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -2.3$

(一) 檢驗此流場是否為不可壓縮流

計算二維速度場的散度： $\nabla \cdot \vec{V} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 2.3 + (-2.3) = 0$ 因速度散度處處為零，滿足不可壓縮流的連續方程式，故此流場為不可壓縮流。

(二) 檢驗此流場是否為穩態流場

檢視速度分量 $u(x,y)$ 與 $v(x,y)$，兩者均僅為空間座標 $x$ 與 $y$ 的線性函數，不顯含時間變數 $t$： $\frac{\partial u}{\partial t} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial t} = 0 \quad \implies \quad \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} = \vec{0}$

核心觀念

二維不可壓縮流的流線函數 $\psi$ 定義為

速度勢 $\phi$ 則定義為

流線函數存在的條件是流場滿足連續方程；速度勢存在的條件是流場無旋，即 $\partial v/\partial x=\partial u/\partial y$。

解題方法

題給速度場為

（一）流線函數

由 $u=\partial\psi/\partial y$，對 $y$ 積分：

再由 $v=-\partial\psi/\partial x=0$，得 $f'(x)=0$，所以 $f(x)$ 為常數。故

其中 $C$ 是任意加法常數。

（二）速度勢

核心觀念

本題考查穩態控制體的線動量方程式。水柱經葉片轉向時，速度向量改變，因此葉片會對水柱施力；水柱也會對葉片產生大小相等、方向相反的作用力。維持葉片固定所需的支撐力，則須抵銷水柱對葉片的作用力。

依題意忽略重力與黏滯效應，並假設水柱離開葉片時速率仍為 $V_1=4\ \mathrm{m/s}$。水的密度取 $\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3}$。

解題方法

取流經葉片的水柱為控制體，令 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上。入口速度為

出口方向向上偏轉 $\theta=30^\circ$，故出口速度為

質量流率為

穩態線動量方程式給出葉片作用於水柱的力：

核心觀念

水躍前後的能量損失，等於水躍前後的比能差。矩形渠道每單位寬度流量為 $q$，水深為 $y$ 時，平均流速為 $V=q/y$，比能為

本題渠道底床水平，因此前後斷面的底床高程相同，能量損失為 $H_L=E_1-E_2$。

解題方法

水躍前的水深 $y_1=0.50\ \mathrm{m}$，水躍後的水深 $y_2=4.75\ \mathrm{m}$。由單位寬度流量 $q=8.0\ \mathrm{m^2/s}$，兩處流速為

取 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$，分別計算比能：