110 年專技高考高等考試水利工程技師考古題與詳解

Question 1

有一個對稱三角形渠道，底部夾角 $	heta=120^\circ$，如圖 1 所示。當渠道流量 $Q=2.0\ \mathrm{m^3/s}$ 時，試求此渠流的臨界水深（Critical depth）$yc$，並計算在臨界流條件下的水力深度（Hydraulic depth）$Dc$、水力半徑（Hydraulic radius）$Rc$ 及比能（Specific energy）$Ec$。假設能量修正係數 $\alpha=1.15$。 圖 1：三角形渠道斷面示意圖

Accepted Answer

核心觀念 本題考查三角形渠道的斷面幾何，以及非矩形渠道的臨界流條件。臨界水深由比能對水深的變化率為零求得： $$ E=y+\frac{\alpha Q^2}{2gA^2}, \qquad \frac{dE}{dy}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\alpha Q^2T}{gA^3}=1 $$ 其中 $A$ 為通水面積，$T$ 為水面寬，$\alpha$ 為能量修正係數。水力深度與水力半徑分別為 $D=A/T$、$R=A/P$，其中 $P$ 為濕周。 解題方法 圖示的對稱三角形渠道底角為 $120^\circ$，兩側各與垂直方向夾 $60^\circ$。圖中的邊坡係數 $m$ 定義為水平距離與垂直距離之比，因此： $$ m=	an 60^\circ=\sqrt{3} $$ 水深為 $y$ 時，水面寬 $T=2my$，通水面積為 $A=my^2$。每側斜邊長為 $y\sqrt{1+m^2}$，因此濕周為 $P=2y\sqrt{1+m^2}$。 代入臨界流條件： $$ \frac{\alpha Q^2(2myc)}{g(myc^2)^3}=1 \quad\Longrightarrow\quad yc^5=\frac{2\alpha Q^2}{gm^2} $$ 取 $Q=2.0\ \mathrm{m^3/s}$、$\alpha=1.15$、$g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$、$m^2=3$：

Question 2

試按照均勻流及最佳水力斷面理論，設計一條對稱梯形斷面渠道，如圖 2 所示。渠道邊坡係數 $m=\frac{1}{3}$ ，曼寧糙度係數 $n=0.014$ ，渠床坡降 $S_0=0.0004$ 。當設計流量 $Q=12\ \mathrm{m^3/s}$ 時，試求此渠底寬度 $B$ 、正常水深（Normal depth） $y_0$ ，及其對應之水力半徑（Hydraulic radius） $R_0$ 、水流福祿數（Froude number） $Fr$ 、渠床平均剪應力（Shear stress） $\tau_0$ 。

圖 2：梯形渠道斷面示意圖

Accepted Answer

核心觀念 本題以「最佳水力斷面」條件決定梯形渠道的幾何比例，再用曼寧公式求均勻流正常水深。對稱梯形的邊坡係數 $m=1/3$，表示水平與垂直比為 $m:1$。 設渠底寬度為 $B$、水深為 $y$，邊坡斜長係數為 $$ s=\sqrt{1+m^2}. $$ 梯形斷面面積、濕周與水面寬分別為 $$ A=y(B+my),\qquad P=B+2sy,\qquad T=B+2my. $$ 均勻流採曼寧公式： $$ Q=\frac{1}{n}AR^{2/3}S0^{1/2}, \qquad R=\frac{A}{P}. $$ 解題方法 最佳水力斷面是在給定面積下使濕周最小。由 $A=y(B+my)$ 得 $$ B=\frac{A}{y}-my. $$ 代入濕周： $$ P=\frac{A}{y}+(2s-m)y. $$ 固定面積 $A$，令濕周對水深的變化率為零： $$ \frac{dP}{dy}=-\frac{A}{y^2}+(2s-m)=0. $$ 因此最佳斷面滿足 $$ A=(2s-m)y^2,\qquad B=2(s-m)y,\qquad R=\frac{A}{P}=\frac{y}{2}. $$ 本題 $m=1/3$，故 $$ s=\sqrt{1+\left(\frac13\right)^2}=1.05409, $$ $$ A=1.77485y^2,\qquad B=1.44152y,\qquad R=\frac{y}{2}. $$ 將 $R=y/2$ 與面積式代入曼寧公式，並使用 $Q=12\ \mathrm{m^3/s}$、$n=0.014$、$S0=0.0004$：

Question 3

有一水平矩形渠道，渠寬 $B1=10\ \mathrm{m}$，流量 $Q=10\ \mathrm{m^3/s}$，水深 $y1=1.2\ \mathrm{m}$。 現擬將渠道下游寬度縮減，如圖 3 所示。下游段渠寬有 $B2=5\ \mathrm{m}$ 及 $B2=4\ \mathrm{m}$ 兩種縮減方案。若不考慮能量損失，渠道流量仍為 $10\ \mathrm{m^3/s}$ 的情況下，試分別分析此兩種寬度縮減方案下渠道縮減段的水深 $y2$，並說明渠道上游水深 $y1$ 的可能變化。 圖 3：矩形渠道寬度束縮示意圖

Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩形渠道束縮時的比能守恆與束縮控制。渠道水平且不計能量損失，故束縮前後比能相等： $$ E=y+\frac{V^2}{2g} =y+\frac{Q^2}{2gB^2y^2} =y+\frac{q^2}{2gy^2} $$ 其中 $q=Q/B$ 為單位寬流量。矩形渠道的臨界水深及最小比能為： $$ yc=\left(\frac{q^2}{g}\right)^{1/3}, \qquad E{\min}=\frac{3}{2}yc $$ 束縮後若可用比能大於最小比能，水流可維持亞臨界；若小於最小比能，便無法在原上游水位下通過束縮段並維持指定流量，須由上游水位上升提供所需比能。 解題方法 束縮前 $B1=10\ \mathrm{m}$、$Q=10\ \mathrm{m^3/s}$，所以 $q1=1\ \mathrm{m^2/s}$。原水深 $y1=1.2\ \mathrm{m}$ 時，比能為： $$ E1=1.2+\frac{1^2}{2(9.81)(1.2)^2} =1.2354\ \mathrm{m} $$ 原流況為亞臨界，因為 $y1y{c1}=(1/9.81)^{1/3}\approx0.467\ \mathrm{m}$。因此，束縮後應先檢查能否通過，再採用亞臨界水深解。 方案一：$B2=5\ \mathrm{m}$ 束縮段單位寬流量為 $q2=10/5=2\ \mathrm{m^2/s}$，臨界水深及最小比能為： $$ y{c2}=\left(\frac{2^2}{9.81}\right)^{1/3} \approx0.742\ \mathrm{m} $$ $$ E{\min,2}=\frac{3}{2}y{c2}\approx1.113\ \mathrm{m} $$ 因 $E1=1.2354\ \mathrm{m}E{\min,2}$，束縮段可以維持流量 $10\ \mathrm{m^3/s}$。令束縮段比能等於上游比能： $$ y2+\frac{2^2}{2(9.81)y2^2}=1.2354 $$ 選取大於臨界水深的亞臨界根，得： $$ \boxed{y2\approx1.051\ \mathrm{m}} $$

Question 4

有一矩形渠道，渠寬 $B=6\ \mathrm{m}$，渠床坡降 $S0=0.0004$，曼寧係數 $n=0.014$。渠道右岸設有一段側堰（Side weir），水流可由側堰溢流到分流渠道，如圖 4 所示。 假設側堰段上游主流渠道的流量 $Qu=12.0\ \mathrm{m^3/s}$，側堰段下游主流渠道的流量 $Qd=6.0\ \mathrm{m^3/s}$，由側堰分流量 $Qs=6.0\ \mathrm{m^3/s}$，試求： 1. 側堰段上游主渠道的正常水深（Normal depth）$y{0u}$ 及臨界水深（Critical depth）$y{cu}$。 2. 側堰段下游主渠道的正常水深（Normal depth）$y{0d}$ 及臨界水深（Critical depth）$y{cd}$。 3. 據此判斷及繪製側堰段上游、側堰段及側堰段下游主渠道的水面線示意圖，並註明水面線型態。 圖 4：矩形渠道右岸設置側堰示意圖

Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩形渠道的正常水深、臨界水深，以及側堰分流造成的空間變量流。 正常水深由曼寧公式求得： $$ Q=\frac{1}{n}A R^{2/3}S0^{1/2}, \qquad A=By,\quad R=\frac{By}{B+2y} $$ 臨界水深由矩形渠道的臨界流條件求得： $$ yc=\left(\frac{q^2}{g}\right)^{1/3}, \qquad q=\frac{Q}{B} $$ 比較正常水深與臨界水深，可判斷渠道坡度型態及流況：$y0yc$ 為緩坡渠道，正常流為次臨界流。 解題方法 渠寬 $B=6\ \mathrm{m}$，渠床坡降 $S0=0.0004$，曼寧係數 $n=0.014$，重力加速度取 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$。分別代入側堰段上、下游的流量計算。 上游流量 $Qu=12\ \mathrm{m^3/s}$。正常水深須解下式： $$ 12=\frac{1}{0.014}(6y{0u}) \left(\frac{6y{0u}}{6+2y{0u}}\right)^{2/3} (0.0004)^{1/2} $$ 數值解為： $$ y{0u}\approx 1.430\ \mathrm{m} $$ 上游單寬流量 $qu=12/6=2\ \mathrm{m^2/s}$，故： $$ y{cu}=\left(\frac{2^2}{9.81}\right)^{1/3} \approx 0.742\ \mathrm{m} $$ 下游流量 $Qd=6\ \mathrm{m^3/s}$。正常水深須解： $$ 6=\frac{1}{0.014}(6y{0d}) \left(\frac{6y{0d}}{6+2y{0d}}\right)^{2/3} (0.0004)^{1/2} $$ 數值解為： $$ y{0d}\approx 0.896\ \mathrm{m} $$ 下游單寬流量 $qd=6/6=1\ \mathrm{m^2/s}$，故： $$ y{cd}=\left(\frac{1^2}{9.81}\right)^{1/3} \approx 0.467\ \mathrm{m} $$ 水面線判斷與示意

110 專技高考高等考試水利工程技師渠道水力學考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

第三題25 分

核心觀念

解題方法

方案一： $B_2=5\ \mathrm{m}$

第四題25 分

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第 二 題25 分

第 三 題25 分