108 專技高考高等考試 結構工程技師 材料力學 考古題詳解

108 年・專技高考・高等考試・結構工程技師
試題代碼 材料力學

第 一 題25 分

有一 ZZ 字型斷面梁，一端為固定支承，另一端為鉸支承，此梁受軸壓力 PP。如梁之尺寸 L=4 mL=4\,\mathrm{m}、b=80 mmb=80\,\mathrm{mm}、h=120 mmh=120\,\mathrm{mm}、t=12 mmt=12\,\mathrm{mm}，慣性矩 Iy=3.257×106 mm4I_y=3.257\times10^6\,\mathrm{mm}^4、Iz=6.507×106 mm4I_z=6.507\times10^6\,\mathrm{mm}^4，彈性係數 E=200 GPaE=200\,\mathrm{GPa}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）試求梁斷面之慣性矩乘積 IyzI_{yz}、慣性矩極大值 Imax⁡I_{\max} 及慣性矩極小值 Imin⁡I_{\min}。

（二）如此梁在 yzyz 面任何方向均可能產生側向位移，試求此梁之等效長度 LeL_e 及臨界挫屈載重 PcrP_{\mathrm{cr}}。

提示： Iy1=Iy+Iz2+Iy−Iz2cos⁡2θ−Iyzsin⁡2θI_{y_1}=\frac{I_y+I_z}{2}+\frac{I_y-I_z}{2}\cos2\theta-I_{yz}\sin2\theta

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核心觀念

本題分成兩部分：先求非對稱斷面的慣性矩乘積與主慣性矩，再以較小主慣性矩計算柱的彈性挫屈載重。

慣性矩乘積定義為 Iyz=∫Ayz dAI_{yz}=\int_A yz\,dA。依圖示座標，yy 軸向上、zz 軸向左；上翼板位於 y>0,z>0y>0,z>0，下翼板位於 y<0,z<0y<0,z<0，兩者對 IyzI_{yz} 的貢獻同為正值。主慣性矩為

Imax⁡,min⁡=Iy+Iz2±(Iy−Iz2)2+Iyz2.I_{\max,\min} =\frac{I_y+I_z}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{I_y-I_z}{2}\right)^2+I_{yz}^2}.

梁可能沿 yzyz 平面內任一方向挫屈，因此須採用主慣性矩中的較小值 Imin⁡I_{\min}。固定端—鉸支承柱的有效長度係數取 K=0.7K=0.7，再代入 Euler 挫屈公式：

Pcr=π2EImin⁡(KL)2.P_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2 E I_{\min}}{(K L)^2}.

解題方法

（一）求 IyzI_{yz}、Imax⁡I_{\max} 與 Imin⁡I_{\min}

依圖示斷面，兩翼板面積各為

Af=bt=80(12)=960 mm2.A_f=bt=80(12)=960\ \mathrm{mm}^2.

翼板形心相對斷面形心的座標距離為

∣yf∣=h−t2=54 mm,∣zf∣=b−t2=34 mm.|y_f|=\frac{h-t}{2}=54\ \mathrm{mm}, \qquad |z_f|=\frac{b-t}{2}=34\ \mathrm{mm}.

兩翼板的 yzyz 乘積均為正；腹板位於 z=0z=0，對 IyzI_{yz} 不產生貢獻。因此

Iyz=2Af∣yf∣∣zf∣=2(960)(54)(34)=3.52512×106 mm4.I_{yz} =2A_f|y_f||z_f| =2(960)(54)(34) =3.52512\times10^6\ \mathrm{mm}^4.

代入題給 Iy=3.257×106 mm4I_y=3.257\times10^6\ \mathrm{mm}^4、Iz=6.507×106 mm4I_z=6.507\times10^6\ \mathrm{mm}^4：

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第 二 題25 分

有一斷面 300 mm×300 mm300\,\mathrm{mm}\times300\,\mathrm{mm} 之箱型梁，厚度為 25 mm25\,\mathrm{mm}，AA 點為鉸支承，BB 點為滾支承，CC 點為自由端。此梁受均布載重 qq，且梁之剪力圖已繪製於梁下方。

梁之支承間距為 2 m2\,\mathrm{m}，BB 點至自由端 CC 之距離為 1.5 m1.5\,\mathrm{m}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）求均布載重 qq 之值與 AA 點及 BB 點之反力。

（二）繪製梁之彎矩圖。

（三）計算梁內剪應力 τxy\tau_{xy} 之最大值。

（四）計算梁內正向應力 σx\sigma_x 之最大值。

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核心觀念

本題考查均布載重梁的剪力圖與彎矩圖關係，以及截面剪應力、彎曲正應力的計算：

  • 剪力圖斜率為 −q-q；支承反力會使剪力圖產生向上的跳躍。
  • 彎矩圖斜率為剪力，亦即 dM/dx=VdM/dx=V。
  • 梁的最大彎曲正應力由 σx=Mc/I\sigma_x=Mc/I 計算；最大剪應力由 τxy=VQ/(It)\tau_{xy}=VQ/(It) 計算。

解題方法

（一）均布載重與支承反力

由剪力圖可知，從 A 到剪力為零的位置，剪力由 2.1875 kN2.1875\,\mathrm{kN} 降至 00，水平距離為 0.4375 m0.4375\,\mathrm{m}。均布載重造成剪力線性下降，因此

q=2.18750.4375=5 kN/mq=\frac{2.1875}{0.4375}=5\,\mathrm{kN/m}

由剪力圖，B 左側剪力為 −7.8125 kN-7.8125\,\mathrm{kN}，B 右側剪力為 +7.5 kN+7.5\,\mathrm{kN}。B 點反力等於剪力圖在 B 點的跳躍量：

RB=7.5−(−7.8125)=15.3125 kNR_B=7.5-(-7.8125)=15.3125\,\mathrm{kN}

A 點反力為剪力圖在 A 點的起始值：

RA=2.1875 kNR_A=2.1875\,\mathrm{kN}

平衡驗算：全梁均布載重為 5(3.5)=17.5 kN5(3.5)=17.5\,\mathrm{kN}，且 RA+RB=17.5 kNR_A+R_B=17.5\,\mathrm{kN}。

（二）彎矩圖

令 xx 自 A 點向右量，單位為 m。由 dM/dx=VdM/dx=V，在 A 至 B 段：

M(x)=2.1875x−2.5x2,0≤x≤2M(x)=2.1875x-2.5x^2,\qquad 0\le x\le2

在 B 至 C 段，令 s=x−2s=x-2：

M(x)=−5.625+7.5s−2.5s2,2≤x≤3.5M(x)=-5.625+7.5s-2.5s^2,\qquad 2\le x\le3.5

彎矩圖的主要位置與數值如下：

位置彎矩
A，x=0x=000
x=0.4375 mx=0.4375\,\mathrm{m}，剪力為零+0.4785 kN⋅m+0.4785\,\mathrm{kN\cdot m}
x=0.875 mx=0.875\,\mathrm{m}00
B，x=2 mx=2\,\mathrm{m}−5.625 kN⋅m-5.625\,\mathrm{kN\cdot m}
C，x=3.5 mx=3.5\,\mathrm{m}00

因此彎矩圖由 A 的零值上升至 +0.4785 kN⋅m+0.4785\,\mathrm{kN\cdot m}，再下降、穿越零點，至 B 達 −5.625 kN⋅m-5.625\,\mathrm{kN\cdot m}，最後在 C 回到零。B 點彎矩不為零，因為 B 至 C 有懸臂段。

（三）最大剪應力 τxy\tau_{xy}

剪力絕對值最大處為 B 左側：

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第 三 題25 分

有一薄壁矩形斷面桿件 ABAB 同時受到軸力 PP 及扭矩 TT 之作用，AA 為固定端，BB 為自由端，桿件長度 L=4 mL=4\,\mathrm{m}，斷面尺寸 b=50 mmb=50\,\mathrm{mm}、h=20 mmh=20\,\mathrm{mm}，斷面厚度 tt 為常數且 t=3 mmt=3\,\mathrm{mm}。如 P=8.4 kNP=8.4\,\mathrm{kN}，且 CC 點所測得之正向應變為 εx=100×10−6\varepsilon_x=100\times10^{-6}、εy=−25×10−6\varepsilon_y=-25\times10^{-6}，剪應變為 γxy=200×10−6\gamma_{xy}=200\times10^{-6}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）求此桿件之伸長量 δ\delta、彈性模數 EE 及柏松比 ν\nu。

（二）求此桿件之剪應力 τxy\tau_{xy}、扭矩 TT 及 BB 端轉動角度 ϕ\phi。

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核心觀念

本題結合軸向應變與薄壁閉口斷面扭轉：

  • 軸向變形：εx=δ/L\varepsilon_x=\delta/L。
  • 單軸受力下，σx=P/A\sigma_x=P/A、εx=σx/E\varepsilon_x=\sigma_x/E；橫向應變則有 εy=−νεx\varepsilon_y=-\nu\varepsilon_x。
  • 剪應力與剪應變：τxy=Gγxy\tau_{xy}=G\gamma_{xy}，且 G=E/[2(1+ν)]G=E/[2(1+\nu)]。
  • 薄壁單室閉口斷面採 Bredt 公式：剪流 qs=T/(2Am)q_s=T/(2A_m)，其中 AmA_m 是斷面中線所圍面積。

解題方法

（一）求伸長量、彈性模數與柏松比

由軸向應變求伸長量：

δ=εxL=(100×10−6)(4000)=0.400 mm\delta=\varepsilon_xL =(100\times10^{-6})(4000) =0.400\ \mathrm{mm}

斷面為外尺寸 50 mm×20 mm50\ \mathrm{mm}\times20\ \mathrm{mm}、厚度 3 mm3\ \mathrm{mm} 的矩形空心斷面，面積為

A=bh−(b−2t)(h−2t)=50(20)−44(14)=384 mm2A=bh-(b-2t)(h-2t) =50(20)-44(14) =384\ \mathrm{mm^2}

圖示軸力為拉力，故

σx=PA=8400384=21.875 MPa\sigma_x=\frac{P}{A} =\frac{8400}{384} =21.875\ \mathrm{MPa}

由 σx=Eεx\sigma_x=E\varepsilon_x：

E=21.875100×10−6=218750 MPa=218.75 GPaE=\frac{21.875}{100\times10^{-6}} =218750\ \mathrm{MPa} =218.75\ \mathrm{GPa}

單軸受力下，扭轉只造成剪應變，不造成此座標方向的正向應變，因此由橫向應變求柏松比：

ν=−εyεx=−−25×10−6100×10−6=0.25\nu=-\frac{\varepsilon_y}{\varepsilon_x} =-\frac{-25\times10^{-6}}{100\times10^{-6}} =0.25

（二）求剪應力、扭矩與自由端轉角

先求剪變模數：

G=E2(1+ν)=218.752(1.25)=87.5 GPaG=\frac{E}{2(1+\nu)} =\frac{218.75}{2(1.25)} =87.5\ \mathrm{GPa}

由剪應力與剪應變關係：

τxy=Gγxy=(87.5×103)(200×10−6)=17.5 MPa\tau_{xy}=G\gamma_{xy} =(87.5\times10^3)(200\times10^{-6}) =17.5\ \mathrm{MPa}

斷面中線尺寸為

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第 四 題25 分

有一懸臂梁斷面彎矩勁度為 EIEI，此梁受到一彈簧之支撐，彈簧係數 k=EIL3k=\frac{EI}{L^3}

求彈簧之反力 RR 及梁受集中載重 PP 處之位移，並請說明反力及位移之方向。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

提示：

v(x)=−Px26EI(3a−x),0≤x≤av(x)=-\frac{Px^2}{6EI}(3a-x),\qquad 0\leq x\leq a

v(x)=−Pa26EI(3x−a),a≤x≤Lv(x)=-\frac{Pa^2}{6EI}(3x-a),\qquad a\leq x\leq L

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核心觀念

本題考懸臂梁的彈簧支承相容條件與疊加原理。以圖示向上為位移正方向；集中載重 PP 向下，因此會造成負位移。彈簧對梁的反力方向與彈簧支承處的梁位移相反，故

R=−kv(L),k=EIL3R=-kv(L),\qquad k=\frac{EI}{L^3}

圖中梁長為 2L2L，彈簧位於 x=Lx=L，集中載重 PP 作用於 x=2Lx=2L。

解題方法

先求彈簧位置 x=Lx=L 的位移。由提示公式，集中載重作用點距固定端 a=2La=2L，且 L≤aL\leq a，所以 PP 在彈簧位置造成的位移為

vP(L)=−PL26EI(3(2L)−L)=−5PL36EIv_P(L)=-\frac{P L^2}{6EI}\bigl(3(2L)-L\bigr) =-\frac{5PL^3}{6EI}

令彈簧反力 RR 向上。它作用於距固定端 LL 處，因此在彈簧位置造成向上位移

vR(L)=RL33EIv_R(L)=\frac{RL^3}{3EI}

依疊加原理，彈簧位置的總位移為

v(L)=−5PL36EI+RL33EIv(L)=-\frac{5PL^3}{6EI}+\frac{RL^3}{3EI}

套用彈簧反力關係：

R=−EIL3v(L)=5P6−R3R=-\frac{EI}{L^3}v(L) =\frac{5P}{6}-\frac{R}{3}

整理得

4R3=5P6⟹R=5P8\frac{4R}{3}=\frac{5P}{6} \quad\Longrightarrow\quad R=\frac{5P}{8}

因此彈簧反力向上。代回可得彈簧位置位移：

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