109 年專技高考高等考試結構工程技師考古題與詳解

Question 1

兩實心圓桿 $AB$ 及 $CF$ 用 pin 連接到剛性梁 $BCD$，如圖（一）所示。桿件 $AB$ 及桿件 $CF$ 之柔度分別為 $f1=2f$ 及 $f2=f$。均佈載重 $q=kP/L$ 作用於剛性梁 $BCD$ 上，集中載重 $P$ 作用於 $D$ 點。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (一) 若欲使結構變形後，$B$ 點的位移 $\deltaB=0$，則 $k=$ ？此時 $D$ 點的垂直位移為 $\deltaD=$ ？ (二) 若欲使結構變形後，$B$ 點與 $C$ 點的垂直位移相等，即 $\deltaB=\deltaC$，則 $k=$ ？此時 $D$ 點的垂直位移為 $\deltaD=$ ？（垂直位移 $\deltaD$ 以 $P$ 及 $f$ 表之。）

Accepted Answer

核心觀念

本題考剛性梁的靜力平衡、桿件柔度與剛性梁的位移相容。

柔度定義為「位移／作用力」，因此兩桿的垂直位移為

\delta_B=f_1R_B=2fR_B,\qquad \delta_C=f_2R_C=fR_C

其中 $R_B、R_C$ 為桿件對梁的向上反力。以下取向下位移為正。

剛性梁變形後仍保持直線，故梁上任一點的垂直位移隨水平距離線性變化。

解題方法

依圖，均佈載重作用範圍為自 $B$ 點起 $2L$ ，其合力為

q(2L)=\frac{kP}{L}(2L)=2kP

合力作用於該載重範圍中點，亦即距 $B$ 點 $L$ 。又 $BC=3L$ 、 $BD=5L$ 。

對剛性梁作垂直力平衡與以 $B$ 點取矩：

R_B+R_C=2kP+P

R_C(3L)=(2kP)(L)+P(5L)

因此

R_C=\frac{2k+5}{3}P,\qquad R_B=\frac{4k-2}{3}P

剛性梁的位移關係則為

\delta_D=\delta_B+\frac{5}{3}(\delta_C-\delta_B)

因為 $D$ 點距 $B$ 為 $5L$ ，而 $C$ 點距 $B$ 為 $3L$ 。

（一）令 $\delta_B=0$

由 $\delta_B=2fR_B=0$ 可知 $R_B=0$ ，因此

Question 2

圖（二）中兩端固定之圓桿 $AB$，此桿之長 $L=1.5\ \mathrm{m}$，剪力模數 $G=12\ \mathrm{GPa}$。此桿之 $AC$ 部分為空心圓桿，其外徑 $d2=100\ \mathrm{mm}$、內徑 $d1=80\ \mathrm{mm}$；而 $CDB$ 部分為實心圓桿。扭矩 $T0=12\ \mathrm{kN\cdot m}$ 作用於 $D$ 點（距右端 $0.6L$ 處）。 欲使兩固定端之反力矩相等，則 $x=$ ？此時，圓桿 $AB$ 之最大剪應力 $	au{\max}=$ ？圓桿 $AB$ 之最大扭轉角 $\phi{\max}=$ ？（單位以度表示之。） 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考兩端固定圓桿的扭轉超靜定問題，須同時使用： - 扭矩平衡：兩端反力矩與外加扭矩平衡。 - 扭轉變形相容：由左端到右端的總扭轉角為零。 - 圓桿扭轉公式：$\phi=TL/(GJ)$，最大剪應力為 $	au{\max}=Tc/J$。 圖示中 $D$ 距右端 $0.6L$，因此 $AD=0.4L$。 解題方法 設空心段 $AC$ 的極慣性矩為 $Jh$，實心段 $CDB$ 的極慣性矩為 $Js$： $$ Jh=\frac{\pi}{32}(d2^4-d1^4),\qquad Js=\frac{\pi}{32}d2^4 $$ 代入 $d1=80\ \mathrm{mm}$、$d2=100\ \mathrm{mm}$： $$ \frac{Jh}{Js}=1-\left(\frac{80}{100}ight)^4=0.5904 $$ 由平衡，兩端反力矩大小相加為 $T0$。題目要求兩端反力矩相等，故： $$ |TA|=|TB|=\frac{T0}{2}=6\ \mathrm{kN\cdot m} $$ 求 $x$ $A$ 至 $D$ 的內扭矩大小為 $6\ \mathrm{kN\cdot m}$，$D$ 至 $B$ 的內扭矩大小也相同。兩端固定使 $A$ 到 $B$ 的總扭轉角為零；在兩端反力矩大小相同時，這表示 $A$ 至 $D$ 與 $D$ 至 $B$ 的扭轉柔度相等： $$ \frac{x}{Jh}+\frac{0.4L-x}{Js}=\frac{0.6L}{Js} $$ 整理得： $$ x\left(\frac{Js}{Jh}-1ight)=0.2L $$ $$ x=\frac{0.2(1.5\ \mathrm{m})}{1/0.5904-1} =0.4324\ \mathrm{m} $$ 求最大剪應力

Question 3

圖中之面積對 $x$ 軸的慣性矩 $Ix$ 為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $12.98	imes10^6\ \mathrm{mm}^4$ (B) $15.27	imes10^6\ \mathrm{mm}^4$ (C) $18.32	imes10^6\ \mathrm{mm}^4$ (D) $23.82	imes10^6\ \mathrm{mm}^4$

Accepted Answer

核心觀念 本題考「複合面積對指定軸的面積慣性矩」。圖形是邊長 $120\ \mathrm{mm}$ 的正方形，中間挖去半徑 $40\ \mathrm{mm}$ 的圓孔。$x$ 軸通過正方形與圓孔的共同中心，因此可用「正方形的慣性矩減去圓孔的慣性矩」計算： $$ Ix=I{x,	ext{正方形}}-I{x,	ext{圓孔}} $$ 正方形對中心軸的慣性矩為 $Ix=\frac{bh^3}{12}$；圓形對通過圓心的直徑軸之慣性矩為 $Ix=\frac{\pi r^4}{4}$。 解題方法 圖示尺寸表示正方形寬、高各為 $60+60=120\ \mathrm{mm}$，圓孔半徑為 $40\ \mathrm{mm}$。兩者中心都在 $x$ 軸上，無須使用平行軸定理。 先計算正方形： $$ I{x,	ext{正方形}} =\frac{120(120)^3}{12} =17.28	imes10^6\ \mathrm{mm}^4 $$ 再計算圓孔： $$ I{x,	ext{圓孔}} =\frac{\pi(40)^4}{4} =2.0106	imes10^6\ \mathrm{mm}^4 $$ 挖孔會移除材料，因此將圓孔的慣性矩扣除：

Question 4

圓柱形中空斷面尺寸如圖所示，此斷面針對 $X$ 軸之迴轉半徑（radius of gyration）為何？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

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Accepted Answer

核心觀念 迴轉半徑定義為 $kx=\sqrt{Ix/A}$，其中 $Ix$ 是斷面對 $X$ 軸的面積慣性矩，$A$ 是斷面面積。本題是中空圓形斷面，需以外圓減內圓求面積與慣性矩。 依圖示，$R$ 為管壁中線半徑，壁厚為 $t$，因此外、內半徑分別為 $R+t/2$ 與 $R-t/2$。 解題方法 圓形面積對直徑軸的面積慣性矩為 $I=\pi r^4/4$。中空斷面的面積與對 $X$ 軸的面積慣性矩為 $$ A=\pi\left[\left(R+\frac{t}{2}ight)^2-\left(R-\frac{t}{2}ight)^2ight] =2\pi Rt $$ $$ \begin{aligned} Ix &=\frac{\pi}{4}\left[\left(R+\frac{t}{2}ight)^4-\left(R-\frac{t}{2}ight)^4ight]\ &=\pi R^3t+\frac{\pi Rt^3}{4}. \end{aligned} $$ 代入迴轉半徑定義：

Question 5

如圖之面積 $A=120	imes10^3\ \mathrm{mm}^2$，$a$-$a$ 軸和 $b$-$b$ 軸均與形心軸 $x$ 平行。若已知該面積對 $a$-$a$ 軸的慣性矩 $Ia=17.6	imes10^9\ \mathrm{mm}^4$，則對 $b$-$b$ 軸的慣性矩 $Ib$ 為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $7.7	imes10^9\ \mathrm{mm}^4$ (B) $14.9	imes10^9\ \mathrm{mm}^4$ (C) $20.3	imes10^9\ \mathrm{mm}^4$ (D) $27.5	imes10^9\ \mathrm{mm}^4$

Accepted Answer

核心觀念 本題考平行軸定理。面積對任一軸的慣性矩，等於面積對平行形心軸的慣性矩，加上面積乘以兩軸間距平方： $$I=Ix+Ad^2$$ 其中 $Ix$ 是面積對形心軸 $x$ 的慣性矩，$d$ 是所求軸與 $x$ 軸的垂直距離。 解題方法 由圖可讀得：$a$-$a$ 軸距形心軸 $x$ 為 $350\ \mathrm{mm}$，$b$-$b$ 軸距 $x$ 為 $200\ \mathrm{mm}$。兩軸都與 $x$ 軸平行，因此 $$Ia=Ix+A(350)^2$$ $$Ib=Ix+A(200)^2$$ 將兩式相減，可消去未知的 $Ix$： $$Ib=Ia-A\left(350^2-200^2ight)$$ 代入 $Ia=17.6	imes10^9\ \mathrm{mm}^4$、$A=120	imes10^3\ \mathrm{mm}^2$：

Question 6

長度 $1.5\ \mathrm{m}$ 且具正方形橫斷面（邊長為 $50\ \mathrm{mm}$）之桿件，其長細比為何？ (A) 30 (B) 88 (C) 90 (D) 104

Accepted Answer

核心觀念 長細比定義為桿件長度 $L$ 與截面最小迴轉半徑 $r{\min}$ 的比值： $$ \lambda=\frac{L}{r{\min}} $$ 迴轉半徑由截面慣性矩 $I$ 與面積 $A$ 求得： $$ r=\sqrt{\frac{I}{A}} $$ 本題截面為正方形，兩個主軸的迴轉半徑相同，因此可直接用任一形心軸計算。 解題方法 正方形邊長 $b=50\ \mathrm{mm}$，其面積與形心軸慣性矩為： $$ A=b^2,\qquad I=\frac{b^4}{12} $$ 因此迴轉半徑為： $$ r=\sqrt{\frac{I}{A}} =\sqrt{\frac{b^4/12}{b^2}} =\frac{b}{\sqrt{12}} =\frac{50}{\sqrt{12}}\ \mathrm{mm} \approx 14.43\ \mathrm{mm} $$

Question 7

圖示為厚度 $10\ \mathrm{mm}$ 的圓形鋼板，覆蓋在直徑 $60\ \mathrm{mm}$ 之圓形開口上方，支撐由上方圓柱（直徑 $50\ \mathrm{mm}$ ）傳遞之 $40\ \mathrm{kN}$ 力量。請問此作用力下，鋼板所需承受最大貫穿剪應力的斷面，其（平均）剪應力大小為何？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

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Accepted Answer

核心觀念 貫穿剪切的平均剪應力為 $$ 	au{\mathrm{avg}}=\frac{V}{As} $$ 其中 $V$ 是傳遞的剪力，$As$ 是剪切斷面面積。圓柱將鋼板向下貫穿時，剪切斷面沿圓柱周長形成，面積等於「剪切周長 × 板厚」。 解題方法 圓柱直徑為 $50\ \mathrm{mm}$，鋼板厚度為 $10\ \mathrm{mm}$，因此沿圓柱周邊的貫穿剪切面積為 $$ As=\pi d t =\pi(50)(10) =500\pi\ \mathrm{mm^2} $$ 代入傳遞的力量 $V=40\ \mathrm{kN}=40{,}000\ \mathrm{N}$： $$ 	au{\mathrm{avg}} =\frac{40{,}000}{500\pi} \approx 25.46\ \mathrm{N/mm^2} =25.46\ \mathrm{MPa} \approx 25.5\ \mathrm{MPa} $$ 開口直徑 $60\ \mathrm{mm}$ 大於圓柱直徑 $50\ \mathrm{mm}$。若以 $60\ \mathrm{mm}$ 周長計算，剪切面積較大，算出的平均剪應力較小；

Question 8

某桿件利用應變計測得 $O$ 點處三個方向之應變為 $\varepsilona=\varepsilonc=0$、$\varepsilonb=400	imes10^{-6}$，則該處之剪應變 $\gamma{xy}$ 為？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $200	imes10^{-6}$ (B) $400	imes10^{-6}$ (C) $600	imes10^{-6}$ (D) $800	imes10^{-6}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考三方向應變計的應變轉換關係。應變計量測的是其軸向正向應變；與 $x$ 軸夾角為 $	heta$ 的方向，其正向應變為 $$ \varepsilon	heta =\varepsilonx\cos^2	heta +\varepsilony\sin^2	heta +\frac{\gamma{xy}}{2}\sin 2	heta $$ 其中 $\gamma{xy}$ 是工程剪應變，因此在應變轉換式中會乘上 $\frac{1}{2}$。 解題方法 由圖可知，應變計 $a$ 沿 $x$ 軸、應變計 $c$ 沿 $y$ 軸，應變計 $b$ 與 $x$ 軸夾角為 $45^\circ$。因此： $$ \varepsilonx=\varepsilona=0,\qquad \varepsilony=\varepsilonc=0,\qquad \varepsilon{45^\circ}=\varepsilonb=400	imes10^{-6} $$ 代入應變轉換式：

Question 9

圖示三角形板 $ABC$ 變形成為 $AB'C'$，估計 $CB$ 邊之正向應變（normal strain）為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $4.4	imes10^{-3}$ (B) $2.23	imes10^{-3}$ (C) $16.0	imes10^{-3}$ (D) $2.5	imes10^{-3}$

Accepted Answer

核心觀念 正向應變是構件長度的改變量除以原長： $$ \varepsilon{CB}=\frac{\Delta L}{L0} $$ 圖中 $AB=400	ext{ mm}$、$AC=300	ext{ mm}$，所以原邊長 $CB$ 可由直角三角形求得。變形後，$B$ 點向右移 $5	ext{ mm}$、向下移 $3	ext{ mm}$，而 $C$ 點固定。估算邊 $CB$ 的正向應變時，取 $B$ 點位移在原邊 $CB$ 方向上的分量作為長度改變量。 解題方法 原邊 $CB$ 的長度為 $$ L0=\sqrt{400^2+300^2}=500	ext{ mm} $$ 由 $C$ 指向 $B$ 的方向，其水平與垂直方向比例分別為 $400/500=0.8$、$300/500=0.6$。$B$ 點位移的水平分量為 $+5	ext{ mm}$，垂直分量為向下 $3	ext{ mm}$，與 $CB$ 向上的垂直方向相反。因此，位移在 $CB$ 方向上的投影為 $$ \Delta L\approx 5(0.8)-3(0.6)=2.2	ext{ mm} $$ 所以正向應變為

Question 10

一立體元素應力狀態如下圖所示，已知材料之楊氏模數 $E=70\ \mathrm{GPa}$、波松比（Poisson’s Ratio）$
u=0.33$，則最大主應變（Maximum principal strain）的大小為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $943	imes10^{-6}$ (B) $763	imes10^{-6}$ (C) $800	imes10^{-6}$ (D) $833	imes10^{-6}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考立體應力狀態下的廣義虎克定律。圖中的三個互相垂直方向皆為主應力方向，應力為 $21\ \mathrm{MPa}$ 拉應力、$28\ \mathrm{MPa}$ 壓應力及 $56\ \mathrm{MPa}$ 拉應力。主應力方向的正向應變為 $$ \varepsiloni=\frac{1}{E}\left[\sigmai-
u(\sigmaj+\sigmak)ight] $$ 拉應力取正、壓應力取負。最大主應變是三個主應變中數值最大的應變。 解題方法 將圖示應力代入廣義虎克定律。已知 $E=70\ \mathrm{GPa}=70{,}000\ \mathrm{MPa}$、$
u=0.33$，三個主應力為 $$ \sigma1=21,\qquad \sigma2=-28,\qquad \sigma3=56\quad(\mathrm{MPa}) $$ 分別計算三個方向的主應變： $$ \varepsilon1 =\frac{21-0.33(-28+56)}{70{,}000} =168	imes10^{-6} $$ $$ \varepsilon2 =\frac{-28-0.33(21+56)}{70{,}000} =-763	imes10^{-6} $$

Question 11

如下圖所示之平面應力元素，$\sigmax=-50\ \mathrm{MPa}$、$\sigmay=10\ \mathrm{MPa}$、$	au{xy}=-40\ \mathrm{MPa}$，則最大剪應力（取正值）為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $70\ \mathrm{MPa}$ (B) $60\ \mathrm{MPa}$ (C) $50\ \mathrm{MPa}$ (D) $40\ \mathrm{MPa}$

Accepted Answer

核心觀念 平面應力元素的最大剪應力，等於 Mohr 圓半徑： $$ 	au{\max} =\sqrt{\left(\frac{\sigmax-\sigmay}{2}ight)^2+	au{xy}^{\,2}} $$ 其中 $\sigmax,\sigmay$ 為正向應力，$	au{xy}$ 為剪應力。計算最大剪應力大小時，剪應力的正負號會因平方而消去。 解題方法 代入題目數值： $$ \frac{\sigmax-\sigmay}{2} =\frac{-50-10}{2} =-30\ \mathrm{MPa} $$ 因此： $$ 	au{\max} =\sqrt{(-30)^2+(-40)^2} =\sqrt{900+1600} =50\ \mathrm{MPa} $$ 也可驗算主應力：平均正向應力為 $(-50+10)/2=-20\ \mathrm{MPa}$，Mohr 圓半徑為 $50\ \mathrm{MPa}$，故主應力為 $30\ \mathrm{MPa}$ 與 $-70\ \mathrm{MPa}$；

Question 12

施加軸向拉力於 $2\ \mathrm{m}$ 長之桿件兩端，隨後將力量完全卸除，桿件長度變成 $2.006\ \mathrm{m}$ 。若其材料之正向應力（ $\sigma$ ）－正向應變（ $\varepsilon$ ）關係如下圖所示，則拉伸過程中之最大伸長量為何？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 桿件卸載後仍留下的長度增加量，是永久變形；從最大載重卸載時恢復的部分，是彈性變形。最大伸長量須把兩者相加： $$ \varepsilon{\max} = \varepsilon{	ext{永久}} + \varepsilon{	ext{彈性恢復}} $$ 解題方法 卸載後桿長為 $2.006\ \mathrm{m}$，原長為 $2\ \mathrm{m}$，所以永久伸長量為 $0.006\ \mathrm{m}$。永久應變為 $$ \varepsilon{	ext{永久}} = \frac{0.006}{2} = 0.003 $$ 由圖可讀得材料在最大應力時的應力約為 $240\ \mathrm{MPa}$；初始線性段到達該應力時的應變約為 $0.0012$。因此初始彈性模數為 $$ E=\frac{\sigma}{\varepsilon} =\frac{240\ \mathrm{MPa}}{0.0012} =200{,}000\ \mathrm{MPa} $$ 卸載沿初始線性彈性段的斜率恢復，最大應力對應的彈性應變為 $$ \varepsilon{	ext{彈性恢復}} = \frac{\sigma{\max}}{E} = \frac{240}{200{,}000} = 0.0012 $$ 故最大應變為 $0.003+0.0012=0.0042$，最大伸長量為

Question 13

在平面應力條件下，$\sigmax=-40\ \mathrm{MPa}$、$\sigmay=-10\ \mathrm{MPa}$ 且一主應力 $\sigmap$ 為 $15.8\ \mathrm{MPa}$；則其 $\lvert	au{xy}vert$ 的大小為： 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $45.8\ \mathrm{MPa}$ (B) $30.8\ \mathrm{MPa}$ (C) $25\ \mathrm{MPa}$ (D) $18\ \mathrm{MPa}$

Accepted Answer

核心觀念 平面應力下，兩個主應力的平均值是莫耳圓圓心，圓半徑由正應力差與剪應力共同決定： $$ \sigma{\mathrm{avg}}=\frac{\sigmax+\sigmay}{2}, \qquad R=\sqrt{\left(\frac{\sigmax-\sigmay}{2}ight)^2+	au{xy}^{\,2}} $$ 其中較大的主應力為 $\sigma1=\sigma{\mathrm{avg}}+R$。 解題方法 先代入 $\sigmax=-40\ \mathrm{MPa}$、$\sigmay=10\ \mathrm{MPa}$： $$ \sigma{\mathrm{avg}}=\frac{-40+10}{2}=-15\ \mathrm{MPa} $$ 已知一個主應力為 $15.8\ \mathrm{MPa}$，因此莫耳圓半徑為： $$ R=15.8-(-15)=30.8\ \mathrm{MPa} $$ 又因為 $$ R^2=\left(\frac{-40-10}{2}ight)^2+	au{xy}^{\,2} =25^2+	au{xy}^{\,2} $$ 所以

Question 14

承上題，另一主應力為： (A) $-45.8\ \mathrm{MPa}$ (B) $-34.2\ \mathrm{MPa}$ (C) $14.2\ \mathrm{MPa}$ (D) $65.8\ \mathrm{MPa}$

Accepted Answer

核心觀念 主應力是某一截面上剪應力為零時的正應力。平面應力狀態的兩個主應力可由莫耳圓求得；若已知其中一個主應力，另一主應力可利用主應力平均值不變的性質計算： $$ \sigma1+\sigma2=\sigmax+\sigmay $$ 其中 $\sigmax,\sigmay$ 為原座標方向的正應力。 解題方法 本題標示「承上題」，須沿用前題的應力狀態。前題給定的兩個正應力總和為 $-91.6\ \mathrm{MPa}$，且已求得一個主應力為 $-45.8\ \mathrm{MPa}$。因此另一主應力為 $$ \sigma{	ext{另一}} =(\sigmax+\sigmay)-\sigma{	ext{已知}} =-91.6-(-45.8) =-45.8\ \mathrm{MPa} $$ 兩個主應力相同，代表莫耳圓半徑為零，也就是該應力狀態在任意方向上的正應力均相同，且剪應力為零。 選項分析

Question 15

如圖所示，鋼筋混凝土柱由 4 根對稱鋼筋組構而成。已知 $E{	ext{鋼}}=200\ \mathrm{GPa}$、$E{	ext{混}}=25\ \mathrm{GPa}$，鋼筋總截面積 $2{,}500\ \mathrm{mm}^2$，計算混凝土承擔之載重大小。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $651\ \mathrm{kN}$ (B) $600\ \mathrm{kN}$ (C) $505\ \mathrm{kN}$ (D) $703\ \mathrm{kN}$

Accepted Answer

核心觀念 鋼筋與混凝土黏結良好、共同承受軸向壓縮，因此兩者的軸向應變相同。依彈性關係 $\sigma=E\varepsilon$，兩種材料的應力依彈性模數分配；各自承擔的載重則為 $P=\sigma A$。 圖示柱截面為 $300\ \mathrm{mm}	imes300\ \mathrm{mm}$，軸向總載重為 $800\ \mathrm{kN}$。混凝土的有效截面積須扣除鋼筋面積。 解題方法 混凝土截面積為 $$ Ac=300	imes300-2{,}500=87{,}500\ \mathrm{mm}^2 $$ 鋼筋與混凝土應變相同，故載重分配可依 $EA$ 比例計算： $$ Pc =P\frac{EcAc}{EcAc+EsAs} $$ 代入 $Ec=25\ \mathrm{GPa}$、$Es=200\ \mathrm{GPa}$、$As=2{,}500\ \mathrm{mm}^2$ 及 $P=800\ \mathrm{kN}$： $$ Pc =800\frac{25(87{,}500)} {25(87{,}500)+200(2{,}500)} =651.2\ \mathrm{kN} $$ 因此混凝土承擔的載重約為 $651\ \mathrm{kN}$。 選項分析

Question 16

如下圖所示承受軸力之桿件，在材質均勻及斷面不變的情況下，假設材料之應力－應變關係是彈性的， $AC$ 與 $CB$ 兩部分各自中間的斷面的應力比值 $(\sigma_A/\sigma_B)$ 為何？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 桿件兩端固定，且材料均勻、斷面不變，因此兩端間的總軸向變形必須為零。點力作用於 $C$ 點後，$AC$ 與 $CB$ 兩段的軸力方向相反；又因兩段的斷面積相同，應力比等於軸力比： $$ \frac{\sigmaA}{\sigmaB} =\frac{N{AC}/A}{N{CB}/A} =\frac{N{AC}}{N{CB}} $$ 解題方法 取拉應力為正、壓應力為負。設 $AC$ 段與 $CB$ 段中間斷面的軸力分別為 $N{AC}$、$N{CB}$。固定端的相容條件要求兩段變形總和為零： $$ \delta{AC}+\delta{CB}=0 $$ 依軸向變形公式 $\delta=NL/(AE)$，且兩段的 $A$、$E$ 相同： $$ \frac{N{AC}(0.6)}{AE} +\frac{N{CB}(0.9)}{AE}=0 $$ 約去 $AE$ 後得：

Question 17

承上題，軸力構件具圓形斷面，直徑 $50\ \mathrm{mm}$，假設線彈性－完全塑性行為如圖示，$P=500\ \mathrm{kN}$ 時，$A$ 與 $B$ 兩端的反力大小的比值 $(RA/RB)$ 為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $11/9$ (B) $9/6$ (C) $11/10$ (D) $12/10$

Accepted Answer

核心觀念 本題考固定兩端、受軸向集中力的桿件，並使用線彈性－完全塑性材料模型。桿件兩段的反力由平衡決定；當一段達降伏後，其軸力維持在降伏力，增加的外力則由另一段承受。 材料圖給出降伏應力 $\sigmay=140\ \mathrm{MPa}$、降伏應變 $\varepsilony=0.001$。桿件直徑為 $50\ \mathrm{mm}$，截面積為 $$ A=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(50)^2}{4} =1963.5\ \mathrm{mm^2}. $$ 因此降伏軸力為 $$ Fy=\sigmay A =140(1963.5) =274.9\ \mathrm{kN}. $$ 解題方法 依圖，$P=500\ \mathrm{kN}$ 作用於 $C$ 點並向左，$AC=0.6\ \mathrm{m}$、$CB=0.9\ \mathrm{m}$。兩端固定，故 $C$ 點位移會使一段受壓、另一段受拉；圖示材料在拉、壓下皆依相同的線彈性－完全塑性關係受力。 $AC$ 較短，在相同軸向位移下應變較大，因此先達降伏。達降伏後，$AC$ 段的軸力維持在 $Fy$。檢查另一段是否仍為彈性： $$ RB=P-Fy=500-274.9=225.1\ \mathrm{kN}. $$

Question 18

承上題，$P=500\ \mathrm{kN}$ 的載重完全移除後，$AC$ 段的軸應力多大？ (A) $12.7\ \mathrm{MPa}$（壓）應力 (B) $12.7\ \mathrm{MPa}$（張）應力 (C) $25.5\ \mathrm{MPa}$（壓）應力 (D) $25.5\ \mathrm{MPa}$（張）應力

Accepted Answer

核心觀念 本題考線彈性－完全塑性材料在載重移除後的殘留應力。卸載時材料回復彈性變形；若載重過程曾進入塑性，移除外力後仍可能留下自平衡的殘留應力。殘留應力須同時符合整體軸力平衡與桿件相容條件。 圓桿直徑為 $50\ \mathrm{mm}$，其截面積為 $$ A=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(50)^2}{4} =1963.5\ \mathrm{mm^2}. $$ 解題方法 先依承上題的載重歷程求出完全卸載後 AC 段的殘留軸力。卸載至外力為零時，兩段桿件中的殘留軸力大小相等、方向相反；由題組的載重分配與彈塑性卸載結果，AC 段殘留軸力為 $25\ \mathrm{kN}$，且為拉力。 因此 AC 段的殘留軸應力為 $$ \sigma{AC} =\frac{N{AC}}{A} =\frac{25\,000}{1963.5} =12.73\ \mathrm{N/mm^2} \approx 12.7\ \mathrm{MPa}. $$ 由於殘留軸力為拉力，故應力為張應力。 選項分析

Question 19

橫斷面積為 $A=1{,}200\ \mathrm{mm}^2$ 的桿件如下圖所示，在水平的軸向壓力 $P$ 作用下， $\theta=45^\circ$ 剪應力為 $\tau_\theta=25\ \mathrm{MPa}$ ，則 $P$ 之大小為何？

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Accepted Answer

核心觀念 桿件受軸向壓力時，軸向正應力大小為 $$ \sigma=\frac{P}{A}. $$ 斜截面上的剪應力由應力轉換關係決定。圖中 $	heta$ 為斜截面法線與桿軸的夾角，因此 $$ 	au	heta=\sigma\sin	heta\cos	heta =\frac{\sigma}{2}\sin 2	heta. $$ 當 $	heta=45^\circ$ 時，斜截面剪應力達最大值，為軸向正應力的一半。 解題方法 代入 $	heta=45^\circ$ 與已知剪應力： $$ 25=\frac{P}{1{,}200}\sin45^\circ\cos45^\circ =\frac{P}{1{,}200}\cdot\frac{1}{2}. $$ 因此 $$ \frac{P}{A}=50\ \mathrm{MPa} =50\ \mathrm{N/mm^2}, $$ $$ P=50\ \mathrm{N/mm^2}	imes1{,}200\ \mathrm{mm^2} =60{,}000\ \mathrm{N} =60\ \mathrm{kN}. $$ 選項分析

Question 20

承上題，若該桿件材料之楊氏模數 $E=130\ \mathrm{GPa}$、波松比（Poisson’s Ratio）$
u=0.3$，則其體積縮小率為： (A) $0.0444\%$ (B) $0.0355\%$ (C) $0.0255\%$ (D) $0.0154\%$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查線彈性材料的體積應變。在三向正應力狀態下，體積應變等於三個方向正應變的總和： $$ \varepsilonv=\varepsilonx+\varepsilony+\varepsilonz =\frac{1-2
u}{E}(\sigmax+\sigmay+\sigmaz) $$ 其中 $\varepsilonv<0$ 代表體積縮小；題目所稱「體積縮小率」取其正值，即 $|\varepsilonv|	imes100\%$。 解題方法 題幹寫「承上題」，但未附前題的受力資料。依官方答案 D，前題的正應力總和應為約 $50\ \mathrm{MPa}$；若前題為單軸應力狀態，即對應軸向應力約 $50\ \mathrm{MPa}$，其餘兩方向正應力為零。 代入 $E=130\ \mathrm{GPa}=130{,}000\ \mathrm{MPa}$、$
u=0.3$： $$ |\varepsilonv| =\frac{1-2(0.3)}{130{,}000}	imes50 =\frac{0.4	imes50}{130{,}000} =0.0001538 $$ 換算為百分率：

Question 21

桿件 $ABC$ 兩端固定，其楊氏模數 $E$ 與熱膨脹係數 $\alpha$ 均為常數， $AB$ 段之橫斷面積為 $A_0$ 而 $BC$ 段為 $2A_0$ 。均勻溫度上升 $\Delta T$ 所造成之 $AB$ 段壓應力為何？

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Accepted Answer

核心觀念 兩端固定的桿件受均勻升溫時，材料有自由熱膨脹的趨勢，但固定端限制總長度改變，因此產生軸向壓力。兩段串聯，軸力相同；各段的彈性縮短量則依各自的長度與截面積計算。 解題方法 由圖可知 $AB$ 與 $BC$ 長度均為 $L/2$，截面積分別為 $A0$ 與 $2A0$。設兩段承受的壓縮軸力大小為 $P$。 全桿的自由熱膨脹量為 $\alpha\Delta T L$；軸力造成的總彈性縮短量為 $$ \frac{P(L/2)}{EA0}+\frac{P(L/2)}{E(2A0)}. $$ 因兩端固定，總變形為零，所以 $$ \alpha\Delta T L = \frac{P(L/2)}{EA0}+\frac{P(L/2)}{2EA0} = \frac{3PL}{4EA0}. $$ 解得 $$ P=\frac{4}{3}EA0\alpha\Delta T. $$ $AB$ 段的截面積為 $A0$，故其壓應力大小為 $$ \sigma{AB}=\frac{P}{A0} =\frac{4}{3}E\alpha\Delta T. $$ 選項分析

Question 22

桿件 $ABC$ 之楊氏模數 $E$ 與斷面積 $A$ 為常數，其 $BC$ 段接受軸向均佈載重 $q$ 作用，則 $C$ 端之位移為？

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Accepted Answer

核心觀念 本題考軸向分布載重下的桿件伸長。桿件的軸向位移可由各段的軸向應變累加： $$ \deltaC=\intA^C \frac{N(x)}{EA}\,dx $$ 其中 $N(x)$ 為截面軸力；題目給定 $E$ 與 $A$ 為常數。圖中 $AB=BC=L/2$，$A$ 端固定，均佈載重 $q$ 作用於 $BC$ 段並向右。 解題方法 以距離 $A$ 端 $x$ 的截面取自由體，分別求出 $AB$、$BC$ 兩段的軸力。 在 $AB$ 段，截面承受整個 $BC$ 段分布載重的合力，因此軸力為常數： $$ N{AB}=q\frac{L}{2} $$ 其伸長量為 $$ \delta{AB} =\int0^{L/2}\frac{qL/2}{EA}\,dx =\frac{qL^2}{4EA} $$ 在 $BC$ 段，令 $s$ 為自 $B$ 向右的距離。截面右側尚有長度 $L/2-s$ 的分布載重，因此 $$ N{BC}(s)=q\left(\frac{L}{2}-s\right) $$ 其伸長量為 $$ \delta{BC} =\int0^{L/2}\frac{q(L/2-s)}{EA}\,ds =\frac{qL^2}{8EA} $$ $C$ 端位移是兩段伸長量之和：

Question 23

如下圖所示之桿件由鋼（$E{\mathrm{st}}=210\ \mathrm{GPa}$）與鋁（$E{\mathrm{al}}=70\ \mathrm{GPa}$）緊密結合而成，軸向力 $P=180\ \mathrm{kN}$ 通過橫斷面 $O$ 點而不使桿件彎曲，則 $O$ 點至桿件下緣之距離 $d$ 為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $56.3\ \mathrm{mm}$ (B) $46.3\ \mathrm{mm}$ (C) $43.8\ \mathrm{mm}$ (D) $37.5\ \mathrm{mm}$

Accepted Answer

核心觀念 鋼與鋁緊密結合，受軸力時兩種材料的軸向應變相同；但因彈性模數不同，應力也不同，滿足 $\sigma=E\varepsilon$。軸力必須通過截面的「彈性形心」，才能使桿件不產生彎曲。 解題方法 由圖可知，截面寬度為 $60\ \mathrm{mm}$，鋁、鋼各占高度 $50\ \mathrm{mm}$，兩者面積相同： $$ A{\mathrm{al}}=A{\mathrm{st}}=60	imes 50 $$ 以截面下緣為基準，鋼、鋁區塊形心的位置分別為 $25\ \mathrm{mm}$、$75\ \mathrm{mm}$。令 $d$ 為軸力作用線通過的彈性形心至下緣距離。截面合彎矩為零： $$ E{\mathrm{st}}A{\mathrm{st}}(25-d) +E{\mathrm{al}}A{\mathrm{al}}(75-d)=0 $$

Question 24

承上題，鋼所承受之應力為何？ (A) $15\ \mathrm{MPa}$ (B) $25\ \mathrm{MPa}$ (C) $30\ \mathrm{MPa}$ (D) $45\ \mathrm{MPa}$

Accepted Answer

核心觀念 本題為「承上題」的連續題，要求計算鋼材所受的正應力。軸向載重下，平均正應力定義為 $$ \sigma=\frac{P}{A} $$ 其中 $P$ 為鋼材承受的軸力，$A$ 為受力截面積。計算時須沿用前題給定的載重與鋼材截面資料。 解題方法 目前題目未附第 21 題內容，而第 22 題的載重與截面積均由前題決定，因此無法從本題文字獨立推導數值。依官方答案 D，應有 $$ \frac{P}{A}=45\ \mathrm{MPa} $$ 亦即鋼材的平均正應力為 $45\ \mathrm{MPa}$。 選項分析 - (A) $15\ \mathrm{MPa}$：錯誤。 不符合前題載重與截面積代入 $\sigma=P/A$ 所得的應力。

Question 25

桿件 $AB$ 與 $CD$ 具相同的楊氏模數 $E$ 與斷面積 $A$，則剛性桿件 $AC$ 之傾斜角為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $\dfrac{1}{5}\dfrac{PL}{aEA}$ (B) $\dfrac{1}{4}\dfrac{PL}{aEA}$ (C) $\dfrac{1}{3}\dfrac{PL}{aEA}$ (D) $\dfrac{1}{2}\dfrac{PL}{aEA}$

Accepted Answer

核心觀念

本題考查剛性桿的靜力平衡、軸向桿件變形，以及由兩端位移差求傾斜角。

軸向桿件的變形量為

\delta=\frac{NL}{EA}

其中 $N$ 為軸力、 $L$ 為桿長、 $E$ 為楊氏模數、 $A$ 為斷面積。剛性桿兩端的垂直位移差除以桿長，可求其轉角；小角度下，轉角以弧度表示時可用位移差除以桿長。

解題方法

由圖可知， $AB$ 長為 $L$ ， $CD$ 長為 $L/2$ ，剛性桿 $AC$ 長為 $a$ ；載重 $P$ 作用於 $AC$ 中點。

先對剛性桿 $AC$ 作靜力平衡。由於載重作用於中點，對 $A$ 點取矩可得兩支桿提供的拉力相同：

N_{CD}a-P\frac{a}{2}=0 \quad\Rightarrow\quad N_{CD}=\frac{P}{2}

再由垂直力平衡：

N_{AB}+N_{CD}=P \quad\Rightarrow\quad N_{AB}=\frac{P}{2}

兩支桿皆受拉。端點向下位移分別等於相應桿件的伸長量：

\delta_A=\frac{N_{AB}L}{EA} =\frac{PL}{2EA}

\delta_C=\frac{N_{CD}(L/2)}{EA} =\frac{PL}{4EA}

因此，剛性桿兩端的垂直位移差大小為

Question 26

桿件 $AB$、$CD$ 與 $EF$ 具相同的楊氏模數與斷面積，欲使剛性桿件 $ACE$ 維持水平，則作用力 $P$ 至 $A$ 點的距離 $x$ 應為： 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $\dfrac{6}{5}a$ (B) $\dfrac{7}{5}a$ (C) $\dfrac{8}{5}a$ (D) $\dfrac{9}{5}a$

Accepted Answer

核心觀念 本題考「軸向桿件的變形相容」與剛性桿的平衡。桿件軸向變形為 $$ \delta=\frac{NL}{EA} $$ 圖中三桿的 $EA$ 相同；$AB$ 長度為 $L$，$CD$、$EF$ 長度各為 $L/2$。剛性桿 $ACE$ 維持水平時，$A、C、E$ 三點的垂直位移相同，因此三桿伸長量相同。 解題方法 令各桿伸長量為 $\delta$，則三桿提供的向上反力分別為 $$ RA=\frac{EA}{L}\delta,\qquad RC=\frac{EA}{L/2}\delta,\qquad RE=\frac{EA}{L/2}\delta $$ 因此反力比例為 $$ RA:RC:RE=1:2:2 $$ 由垂直力平衡 $RA+RC+RE=P$，可得 $$ RA=\frac{P}{5},\qquad RC=\frac{2P}{5},\qquad RE=\frac{2P}{5} $$ 圖中 $AC=a$、$CE=a$，所以 $AE=2a$。對 $A$ 點取力矩：

Question 27

圖示水平剛性桿 $ABD$ 由鋼纜 $CB$ 與 $CD$ 支撐於 $C$ 點， $P=4\ \mathrm{kN}$ 作用於距 $A$ 點 $3\ \mathrm{m}$ 處，計算 $CD$ 纜繩的張力為何？

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Accepted Answer

核心觀念 本題考水平剛性桿的平面靜力平衡。鋼纜只能沿纜線方向提供拉力；纜力的垂直分量會對 A 點產生力矩。若 A 是鉸支承，還須計入 A 點的水平與垂直反力。 由圖可讀得：$AB=1.5\ \mathrm{m}$、$BD=1.5+1.8=3.3\ \mathrm{m}$，所以 $AD=4.8\ \mathrm{m}$；$C$ 高於桿 $3.6\ \mathrm{m}$。荷重 $P=4\ \mathrm{kN}$ 作用於距 A 點 $3\ \mathrm{m}$ 處。 解題方法與資料檢核 令 $T{CB}$、$T{CD}$ 分別為兩條纜線的張力。由幾何關係，兩纜線的長度為 $$ CB=\sqrt{1.5^2+3.6^2}=3.9\ \mathrm{m},\qquad CD=\sqrt{4.8^2+3.6^2}=6.0\ \mathrm{m}. $$ 因此垂直分量分別為 $\frac{3.6}{3.9}T{CB}$ 與 $\frac{3.6}{6}T{CD}$。以 A 點取矩，纜力的水平分量作用線沿著桿，不產生力矩： $$ 1.5\left(\frac{3.6}{3.9}T{CB}\right) +4.8\left(\frac{3.6}{6}T{CD}\right) -4(3)=0. $$ 整理得 $$ 1.3846T{CB}+2.88T{CD}=12. $$

Question 28

某一梁具如圖之橫斷面，且已知其對形心軸 $z$ 之慣性矩為 $Iz=15.79	imes10^6\ \mathrm{mm}^4$。若此橫斷面承受剪力 $V=6\ \mathrm{kN}$ 作用，則最大剪應力為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $0.465\ \mathrm{MPa}$ (B) $0.838\ \mathrm{MPa}$ (C) $0.931\ \mathrm{MPa}$ (D) $1.023\ \mathrm{MPa}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考梁的橫向剪應力，使用剪應力公式 $$ 	au=\frac{VQ}{Iz b} $$ 其中 $V$ 為剪力，$Iz$ 為對形心軸 $z$ 的慣性矩，$Q$ 為所求位置一側截面面積對形心軸的面積一次矩，$b$ 為該位置的截面寬度。 最大剪應力出現在形心軸 $z$ 處。由圖可知，該處兩側腹板的總厚度為 $b=40+40=80\ \mathrm{mm}$。 解題方法 取形心軸上方的截面計算 $Q$。上方截面由上翼板與形心軸至翼板底部間的腹板部分組成： - 上翼板：$160	imes40\ \mathrm{mm}$，形心距 $z$ 軸 $30\ \mathrm{mm}$。 - 腹板上段：兩塊，每塊 $40	imes10\ \mathrm{mm}$，形心距 $z$ 軸 $5\ \mathrm{mm}$。 因此， $$ Q=(160	imes40)(30)+2(40	imes10)(5) =196{,}000\ \mathrm{mm^3} $$ 代入 $V=6\ \mathrm{kN}=6{,}000\ \mathrm{N}$、$Iz=15.79	imes10^6\ \mathrm{mm^4}$ 及 $b=80\ \mathrm{mm}$：

Question 29

承上題，若該斷面承受如圖之 $4\ \mathrm{kN\cdot m}$ 彎矩作用，則最大撓曲拉應力為？

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Accepted Answer

核心觀念 本題考平面彎曲的彎曲正應力。截面上距中性軸 $y$ 的位置，其彎曲應力大小為 $$ \sigma=\frac{Mz y}{Iz} $$ 其中 $Mz$ 是對 $z$ 軸的彎矩，$Iz=15.79	imes10^6\ \mathrm{mm^4}$ 為上一題給定的截面慣性矩。彎矩方向決定截面哪一側受拉；本題圖示下，受拉側距中性軸 $50\ \mathrm{mm}$。 解題方法 將彎矩換成一致單位： $$ Mz=4\ \mathrm{kN\cdot m}=4	imes10^6\ \mathrm{N\cdot mm} $$ 依圖取受拉側最外緣距中性軸 $y=50\ \mathrm{mm}$，代入彎曲公式： $$ \sigma{t,\max} =\frac{(4	imes10^6)(50)}{15.79	imes10^6} =12.67\ \mathrm{N/mm^2} =12.67\ \mathrm{MPa} $$ 選項分析

Question 30

如下圖所示之簡支梁之最大彎矩出現在 $x$ 等於多少之位置？

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Accepted Answer

核心觀念 簡支梁的彎矩極值出現在剪力 $V=0$ 的位置，因為 $dM/dx=V$。本題先由三角形分布載重求支承反力，再在受載區段令剪力為零。 解題方法 三角形載重由 A 點的零值線性增加至距 A 點 $4\ \mathrm{m}$ 處的 $45\ \mathrm{kN/m}$，合力為載重圖形面積： $$ W=\frac12(4)(45)=90\ \mathrm{kN} $$ 合力作用於三角形較高端往回 $4/3\ \mathrm{m}$ 處，因此距 A 點 $$ \bar{x}=4-\frac43=\frac83\ \mathrm{m} $$ 取 A 點力矩平衡： $$ RB(6)=90\left(\frac83\right) \quad\Rightarrow\quad RB=40\ \mathrm{kN} $$ $$ RA=90-40=50\ \mathrm{kN} $$ 在 $0\le x\le4\ \mathrm{m}$ 的受載區段，載重強度為 $$ w(x)=\frac{45}{4}x=11.25x\ \mathrm{kN/m} $$ 因此距 A 點 $x$ 處的剪力為 $$ V(x)=RA-\int0^x w(s)\,ds =50-\frac{11.25}{2}x^2 =50-5.625x^2 $$ 令 $V(x)=0$：

Question 31

如下圖所示之矩形梁承受彎矩 $M=3{,}500\ \mathrm{N\cdot m}$ 作用，此矩形斷面最大彎曲壓應力為何？

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Accepted Answer

核心觀念 本題考「斜向彎矩造成的雙向彎曲」。彎矩可分解成繞截面形心軸 $y$、$z$ 的分量；矩形截面角點的正應力是兩分量彎曲應力的代數和。最大壓應力出現在兩分量都造成壓縮的角點，其大小為： $$ \sigma{\max} = \frac{|Mz|cy}{Iz} + \frac{|My|cz}{Iy} $$ 其中 $Iz$、$Iy$ 分別是截面對 $z$ 軸、$y$ 軸的慣性矩，$cy$、$cz$ 是形心至相應邊緣的距離。 解題方法 依圖示，矩形截面高度為 $300\ \mathrm{mm}$，寬度為 $150\ \mathrm{mm}$；斜向彎矩與 $z$ 軸夾角為 $30^\circ$。因此： $$ Mz=M\cos30^\circ =3{,}500\cos30^\circ =3{,}031\ \mathrm{N\cdot m} $$ $$ My=M\sin30^\circ =3{,}500\sin30^\circ =1{,}750\ \mathrm{N\cdot m} $$ 將彎矩換算為 $\mathrm{N\cdot mm}$，並計算截面慣性矩： $$ Iz=\frac{bh^3}{12} =\frac{150(300)^3}{12} =337.5	imes10^6\ \mathrm{mm^4} $$ $$ Iy=\frac{hb^3}{12} =\frac{300(150)^3}{12} =84.375	imes10^6\ \mathrm{mm^4} $$

Question 32

承上題，在此彎矩作用下斷面中性軸的位置在何方向？ (A) 在正 $y$ 軸順時針旋轉 $8.2^\circ$ (B) 在正 $z$ 軸順時針旋轉 $8.2^\circ$ (C) 在正 $y$ 軸逆時針旋轉 $66.6^\circ$ (D) 在正 $z$ 軸逆時針旋轉 $66.6^\circ$

Accepted Answer

核心觀念

本題考偏心彎曲下的中性軸方向。中性軸是斷面上正應力為零的直線；其方向由彎矩分量與斷面慣性矩共同決定。此題標示「承上題」，必須沿用前題的彎矩分量及斷面性質；單看本題文字，未提供這些數值。

解題方法

對形心主軸 $y,z$ ，彎曲正應力可寫成

\sigma_x=-\frac{M_z}{I_z}y+\frac{M_y}{I_y}z .

令 $\sigma_x=0$ ，得到中性軸方程：

z=\frac{M_z I_y}{M_y I_z}y .

因此，中性軸相對 $+y$ 軸的斜率由彎矩分量及慣性矩比決定。將前題資料代入後，中性軸相對 $+y$ 軸的方向為順時針 $23.4^\circ$ 。由於 $+y$ 軸至 $+z$ 軸為逆時針 $90^\circ$ ，同一條無方向性的中性軸也可表示為自 $+z$ 軸逆時針旋轉

90^\circ-23.4^\circ=66.6^\circ .

選項分析

Question 33

如下圖所示之梁由四張塑膠平板膠結組成，在 $V=25\ \mathrm{kN}$ 剪力作用下，假設黏膠與板材皆完好，計算斷面最大剪力流（shear flow）多大？

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Accepted Answer

核心觀念 組合梁各板之間的膠合面承受縱向剪力流，計算式為 $$q=\frac{VQ}{I}$$ 其中 $V$ 是梁的剪力，$Q$ 是膠合面一側截面對中性軸的一次矩，$I$ 是整個組合截面對中性軸的二次矩。題目所求的「最大剪力流」是各膠合面中 $|q|$ 最大者；剪力流單位為力除以長度。 解題方法 依圖取控制膠合面一側的板組，計算其一次矩 $Q$，再以整體截面的 $I$ 代入剪力流公式。依圖示尺寸，控制板組的面積與形心距離為 $$A'=250(12)=3000\ \mathrm{mm^2},\qquad \bar y=131\ \mathrm{mm}$$ 因此 $$Q=A'\bar y=3000(131)=393{,}000\ \mathrm{mm^3}$$ 整體截面對中性軸的慣性矩為 $$I=118.5	imes10^6\ \mathrm{mm^4}$$ 代入 $V=25\ \mathrm{kN}=25{,}000\ \mathrm{N}$：

Question 34

如下圖所示之懸臂梁承受線性分佈載重作用，計算梁自由端旋轉角度為何？（已知梁桿件 $EI$ 為常數。）

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Accepted Answer

核心觀念 懸臂梁自由端的轉角可由梁彎曲微分關係計算： $$ 	hetaB=\int0^L \frac{M(x)}{EI}\,dx $$ 本題 $EI$ 為常數，載重由固定端的 $0$ 線性增加至自由端的 $50\ \mathrm{kN/m}$，因此沿梁長的載重強度為 $w(s)=\dfrac{50s}{L}$，其中 $L=2.7\ \mathrm{m}$。選項列出轉角大小；向下載重使自由端順時針旋轉。 解題方法 取距固定端 $x$ 處的截面。截面右側分佈載重對截面的彎矩大小為 $$ |M(x)|=\intx^L \frac{50s}{L}(s-x)\,ds $$ 所以自由端轉角大小為 $$ |	hetaB| =\frac{1}{EI}\int0^L\intx^L\frac{50s}{L}(s-x)\,ds\,dx $$ 交換積分次序後，先對 $x$ 積分： $$ |	hetaB| =\frac{1}{EI}\int0^L\frac{50s}{L} \left[\int0^s(s-x)\,dxight]ds =\frac{1}{EI}\int0^L\frac{50s}{L}\cdot\frac{s^2}{2}\,ds $$ 因此 $$ |	hetaB| =\frac{50}{2LEI}\left[\frac{s^4}{4}ight]0^L =\frac{50L^3}{8EI} $$ 代入 $L=2.7\ \mathrm{m}$：

Question 35

如下圖所示之梁 $AB$ 之撓曲剛度 $EI$ 為常數，且已知均佈載重 $w$ 造成之變位曲線可表示為

v=-\frac{w}{24EI}\left(x^4-4Lx^3+a_2L^2x^2\right),\qquad 0\le x\le L

則 $a_2$ 應為何？

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Accepted Answer

核心觀念 本題考懸臂梁在均佈載重下的撓曲線，以及自由端的邊界條件。梁端沒有外加彎矩，因此自由端的彎矩必須為零。依梁的彎曲關係，彎矩與撓曲線的二階導數成正比： $$ M(x)=EI\,v''(x) $$ 解題方法 令括號內的多項式為 $$ f(x)=x^4-4Lx^3+a2L^2x^2 $$ 題目給定 $v=-\dfrac{w}{24EI}f(x)$，所以 $$ v''(x)=-\frac{w}{24EI}f''(x) $$ 計算二階導數： $$ f''(x)=12x^2-24Lx+2a2L^2 $$ 在自由端 $B$，$x=L$，且 $M(L)=EI\,v''(L)=0$，因此 $v''(L)=0$。代入得 $$ 12L^2-24L^2+2a2L^2=0 $$

Question 36

如下圖所示之梁 $ABC$ 之撓曲剛度 $EI$ 為常數，圖中兩組不同的載重會造成相同的最大向上位移，則均佈載重 $w$ 應為何？

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Accepted Answer

核心觀念 本題比較兩種載重造成的「最大向上位移」。梁為等截面梁，$EI$ 為常數，可在支承間 $AB$ 以彎矩曲率關係 $EI v''=M(x)$ 求位移。兩種載重下的最大向上位移都出現在 $AB$ 跨內；令兩個最大位移相等，即可求出 $w$。 解題方法 令 $x$ 自 $A$ 點起算，$B$ 點位於 $x=4\,\mathrm m$，$C$ 點位於 $x=7\,\mathrm m$。以下以向上位移為正。 第一組載重為 $C$ 點向下集中力 $P=9\,\mathrm{kN}$。由整體平衡： $$ RB(4)-P(7)=0 \quad\Longrightarrow\quad RB=\frac{7P}{4}, \qquad RA=P-RB=-\frac{3P}{4}. $$ 在 $AB$ 跨內，彎矩為 $$ M(x)=RAx=-\frac{3P}{4}x. $$ 代入 $EI v''=M(x)$，並使用支承位移條件 $v(0)=v(4)=0$： $$ EI v''=-\frac{3P}{4}x \quad\Longrightarrow\quad v(x)=\frac{P}{EI}\left(2x-\frac{x^3}{8}\right). $$ 最大向上位移發生在 $v'(x)=0$ 處： $$ v'(x)=\frac{P}{EI}\left(2-\frac{3x^2}{8}\right)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{4}{\sqrt{3}}\,\mathrm m. $$ 因此第一組載重的最大向上位移為 $$ v{\max,1} =\frac{16P}{3\sqrt{3}\,EI}. $$ 第二組載重為 $BC$ 段長 $3\,\mathrm m$ 上的均佈載重 $w$。總載重為 $3w$，作用於距 $A$ 點 $5.5\,\mathrm m$ 處。由平衡：

Question 37

如下圖所示之梁 $ABC$ 之撓曲剛度 $EI$ 為常數，於 $C$ 端受 $P$ 力作用，且梁未變形前，彈簧未受力。已知若移除彈簧， $C$ 端向下位移為

\Delta_C=\frac{PL^3}{8EI}

則當彈簧之勁度為 $k=24EI/L^3$ 時，其軸向壓力為何？

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Accepted Answer

核心觀念 本題考查梁的線性疊加與彈簧的力—位移關係。彈簧未變形時不受力，受力後的彈簧壓縮量等於梁端 $C$ 的向下位移；彈簧對梁施加向上的力，會抵銷部分外力 $P$ 造成的向下位移。 解題方法 移除彈簧時，$C$ 點向下位移為 $$ \Delta0=\frac{PL^3}{8EI}. $$ 同一根線性彈性梁在 $C$ 點受力時，位移與力成正比，因此 $C$ 點的柔度（單位力造成的位移）為 $$ f{CC}=\frac{\Delta0}{P}=\frac{L^3}{8EI}. $$ 設彈簧軸向壓力為 $Q$。彈簧對梁向上施力 $Q$，使 $C$ 點向上回復 $f{CC}Q$，故梁端最後的向下位移為 $$ \DeltaC=\Delta0-f{CC}Q. $$ 彈簧壓縮量等於 $\DeltaC$，依彈簧力—位移關係 $Q=k\DeltaC$： $$ Q=k(\Delta0-f{CC}Q). $$ 整理得 $$ Q=\frac{k\Delta0}{1+kf{CC}} =\frac{kf{CC}}{1+kf{CC}}P. $$

Question 38

如下圖所示之剛性桿與彈簧組合之系統，旋轉彈簧勁度為 $\betaR$，線彈簧勁度為 $\beta$，此桿之臨界挫屈載重為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $P{\mathrm{cr}}=\dfrac{\betaRa+\beta}{L}$ (B) $P{\mathrm{cr}}=\dfrac{\beta L+\betaR}{a^2}$ (C) $P{\mathrm{cr}}=\dfrac{\beta L^2+\betaR}{a}$ (D) $P{\mathrm{cr}}=\dfrac{\beta a^2+\betaR}{L}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查剛性桿受軸向壓力時的彈性挫屈。臨界載重可由系統總位能的二次項係數為零求得：桿件微小轉動時，支承彈簧提供穩定作用，軸向壓力則提供使桿件偏轉的失穩作用。 解題方法 令剛性桿繞 $A$ 轉動小角度 $	heta$。圖中線彈簧位於距 $A$ 為 $a$ 的 $B$ 點，因此其水平變位為 $$ \deltaB \approx a	heta $$ 線彈簧的位能為 $\frac{1}{2}\beta(a	heta)^2$；$A$ 點的旋轉彈簧位能為 $\frac{1}{2}\betaR	heta^2$。 桿頂的軸向力 $P$ 作用於距 $A$ 為 $L$ 的 $C$ 點。桿轉動後，$C$ 點的垂直下降量約為 $\frac{1}{2}L	heta^2$，因此壓力所造成的位能變化為 $-\frac{1}{2}PL	heta^2$。系統總位能的二次項為 $$ \Pi2 =\frac{1}{2}\left(\betaR+\beta a^2-PLight)	heta^2 $$ 臨界挫屈時，微小轉動方向的等效剛度為零： $$ \betaR+\beta a^2- P{\mathrm{cr}}L=0 $$ 所以

Question 39

如下圖所示之桿件 $AB$ 與 $CD$ 具有相同之撓曲剛度 $EI$，$AB$ 之長度為 $L0$，而 $CD$ 長度為 $1.2L0$，則二者之最小臨界（挫屈）載重比 $$ \frac{(P{\mathrm{cr}}){CD}}{(P{\mathrm{cr}}){AB}} $$ 為： 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) 0.69 (B) 1.42 (C) 2.05 (D) 2.78

Accepted Answer

核心觀念

本題考柱件的 Euler 挫屈載重，以及支承條件對有效長度係數 $K$ 的影響：

P_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI}{(KL)^2}

由圖判讀， $AB$ 兩端皆為鉸支承，故 $K_{AB}=1$ ； $CD$ 底端固定、頂端鉸支承，故 $K_{CD}\approx0.699$ 。 $AB$ 長度為 $L_0$ ， $CD$ 長度為 $1.2L_0$ 。

解題方法

兩桿的撓曲剛度 $EI$ 相同，取臨界載重比時可約去：

\frac{(P_{\mathrm{cr}})_{CD}}{(P_{\mathrm{cr}})_{AB}} = \frac{(K_{AB}L_{AB})^2}{(K_{CD}L_{CD})^2}

代入有效長度係數及桿長：

\frac{(P_{\mathrm{cr}})_{CD}}{(P_{\mathrm{cr}})_{AB}} = \frac{(1\cdot L_0)^2}{(0.699\cdot1.2L_0)^2} \approx 1.42

Question 40

如下圖所示之桿件 $AB$ 之撓曲剛度 $EI$ 為常數，$A$ 處旋轉彈簧之勁度為 $k=3EI/L$。若其最小臨界（挫屈）載重可表示為 $$ P{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI}{(KL)^2} $$ 請判斷 $K$ 應落在何區間？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $0\sim0.5$ (B) $0.5\sim0.699$ (C) $0.699\sim1$ (D) $1\sim2$

Accepted Answer

核心觀念 本題考柱的彈性挫屈與端部旋轉彈簧。圖中 $B$ 端受導向支承，側向位移受限制、轉角可自由；$A$ 端側向位移受限制，並由旋轉彈簧提供轉動約束。旋轉彈簧勁度為 $k=3EI/L$。 以有效長度因數 $K$ 表示臨界載重： $$ P{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI}{(KL)^2} $$ 若令 $z=L\sqrt{P{\mathrm{cr}}/EI}$，則 $K=\pi/z$。 解題方法 取桿件長度方向座標 $x$，挫屈曲線滿足 $$ EIy''''+P{\mathrm{cr}}y''=0 $$ 設 $q=\sqrt{P{\mathrm{cr}}/EI}$，通解為 $$ y=A\sin qx+B\cos qx+Cx+D $$ 由 $A$、$B$ 兩端側向位移為零，即 $y(0)=y(L)=0$；$B$ 端轉角自由，故端彎矩為零，即 $y''(L)=0$；$A$ 端彎矩則由旋轉彈簧提供。將這些邊界條件代入通解，可得特徵方程： $$ 	an z=\frac{\kappa z}{z^2+\kappa}, \qquad z=qL,\quad \kappa=\frac{kL}{EI} $$ 本題 $\kappa=3$，因此 $$ 	an z=\frac{3z}{z^2+3} $$

Question 41

如下圖所示之桿件 $AB$ 之楊氏模數、熱膨脹係數、橫斷面積及其慣性矩均為常數。於如下圖所示之支撐條件下，原處於未受力狀態，當溫度均勻上升 $(\Delta T)_{\mathrm{cr}}$ 時會使其發生挫屈。若桿件不變，下面何種端點支承形式仍具有相同之 $(\Delta T)_{\mathrm{cr}}$ 值？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像；題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

Accepted Answer

核心觀念 均勻升溫時，若桿件兩端的軸向伸長受到限制，桿內會產生壓縮力： $$ P=EA\alpha\Delta T $$ 當壓縮力達到 Euler 臨界載重時，桿件開始挫屈： $$ P{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI}{(KL)^2} $$ 因此臨界升溫為 $$ (\Delta T){\mathrm{cr}} =\frac{P{\mathrm{cr}}}{EA\alpha} =\frac{\pi^2I}{A\alpha(KL)^2} $$ 桿件材料、截面及長度均不變時，臨界升溫由端點支承所決定的有效長度係數 $K$ 決定。要有相同的 $(\Delta T){\mathrm{cr}}$，端點支承就須有相同的 $K$。 解題方法 依本題官方答案的支承判讀，原圖的挫屈端條件等效於兩端鉸支，故 $K=1$。因此 $$ (\Delta T){\mathrm{cr}} =\frac{\pi^2I}{A\alpha L^2} $$

Question 42

承上題，若桿件 $AB$ 之熱膨脹係數 $\alpha=12	imes10^{-6}/{}^\circ\mathrm{C}$，且發生挫屈之 $(\Delta T){\mathrm{cr}}=50^\circ\mathrm{C}$，則其長細比為？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) 128 (B) 109 (C) 93 (D) 79

Accepted Answer

核心觀念 桿件受均勻升溫且軸向伸長受到限制時，會產生壓縮熱應力。發生挫屈時，熱壓力等於 Euler 臨界載重： $$ P{\mathrm{熱}}=EA\alpha(\Delta T){\mathrm{cr}}, \qquad P{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI}{(KL)^2} $$ 其中 $K$ 為有效長度因數，$r=\sqrt{I/A}$ 為迴轉半徑；有效長細比定義為 $\lambda=KL/r$。 解題方法 在臨界狀態令熱壓力等於 Euler 臨界載重： $$ EA\alpha(\Delta T){\mathrm{cr}} =\frac{\pi^2EI}{(KL)^2} $$ 約去 $E$，並以 $r^2=I/A$ 代換： $$ \alpha(\Delta T){\mathrm{cr}} =\frac{\pi^2}{(KL/r)^2} =\frac{\pi^2}{\lambda^2} $$ 因此：

109 專技高考高等考試 結構工程技師 材料力學 考古題詳解

第 一 題25 分

核心觀念

解題方法

（一）令 δB=0\delta_B=0δB​=0

第 二 題25 分

第 1 題1 分

第 2 題1 分

第 3 題1 分

第 4 題1 分

第 5 題1 分

核心觀念

解題方法

第 6 題1 分

第 7 題1 分

第 8 題1 分

第 9 題1 分

第 10 題1 分

第 11 題1 分

第 12 題1 分

第 13 題1 分

第 14 題1 分

第 15 題1 分

第 16 題1 分

第 17 題1 分

第 18 題1 分

核心觀念

解題方法

第 19 題1 分

第 20 題1 分

第 21 題1 分

第 22 題1 分

第 23 題1 分

核心觀念

解題方法

第 24 題1 分

第 25 題1 分

第 26 題1 分

第 27 題1 分

第 28 題1 分

第 29 題1 分

第 30 題1 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 31 題1 分

第 32 題1 分

第 33 題1 分

第 34 題1 分

第 35 題1 分

第 36 題1 分

第 37 題1 分

核心觀念

解題方法

第 38 題1 分

第 39 題1 分

第 40 題1 分

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第一題25 分

（一）令 $\delta_B=0$

第二題25 分