112 年專技高考高等考試結構工程技師考古題與詳解

Question 1

如圖一所示之圓形鋼棒，彈性模數為 $200\ \mathrm{GPa}$，其直徑為 $10\ \mathrm{mm}$。鋼棒受力前，$A$ 點固接於牆上，而 $B$ 點則與牆存在一間隙 $2\ \mathrm{mm}$（$BD$ 間之距離）。當軸力 $P=100\ \mathrm{kN}$ 加載於鋼棒 $C$ 點之斷面圓心時，鋼棒 $AC$ 段與 $BC$ 段之內力分別為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查有初始間隙的軸向桿件受力後，如何判斷端部是否接觸，以及接觸後如何聯立節點平衡與變形相容求內力。 軸力造成的軸向變形為 $$ \delta=\frac{NL}{AE} $$ 其中拉力取正、壓力取負。圓棒截面積為 $A=\frac{\pi d^2}{4}$。 解題方法 由圖可知 $AC=500\ \mathrm{mm}$、$CB=1000\ \mathrm{mm}$，鋼棒直徑 $d=10\ \mathrm{mm}$，且 $B$ 與牆面有 $2\ \mathrm{mm}$ 間隙。 先假設 $B$ 尚未碰到牆面。此時 $BC$ 段沒有軸力，外力 $P$ 只使 $AC$ 段伸長： $$ A=\frac{\pi(10)^2}{4}=78.54\ \mathrm{mm^2}, \qquad E=200\ \mathrm{GPa}=200{,}000\ \mathrm{N/mm^2} $$ $$ \delta{AC} =\frac{(100{,}000)(500)}{(78.54)(200{,}000)} =3.183\ \mathrm{mm} $$ 因為 $3.183\ \mathrm{mm}2\ \mathrm{mm}$，$B$ 會碰到牆面，故接觸後必須同時考慮兩段鋼棒的內力。 令 $N{AC}$、$N{BC}$ 均以拉力為正。對 $C$ 點作軸向力平衡： $$ N{AC}-N{BC}=P=100\ \mathrm{kN} $$

Question 2

如圖二所示之合成梁，主要由木頭與鋼材所組成，木頭之彈性模數為 $10\ \mathrm{GPa}$ ，而鋼材之彈性模數為 $200\ \mathrm{GPa}$ 。當此合成梁承受如圖所示之彎矩 $M=5\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}$ 時， $A$ 與 $C$ 點之撓曲應力各為何？

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Accepted Answer

核心觀念 合成梁各材料黏結良好，彎曲時具有相同曲率，但因彈性模數不同，應力不相同。先依彈性模數比換算截面，求中性軸與慣性矩，再用彎曲公式計算各點應力。 圖中木材截面為 $200	imes400\ \mathrm{mm}$，下方鋼材為 $200	imes20\ \mathrm{mm}$。以木材為換算材料，彈性模數比為 $$ n=\frac{Es}{Ew}=\frac{200}{10}=20 $$ 解題方法 以鋼材底面為 $y=0$。木材形心位於 $y=220\ \mathrm{mm}$，鋼材形心位於 $y=10\ \mathrm{mm}$。換算後，鋼材面積為 $20(200)(20)$，木材面積為 $(200)(400)$，故中性軸位置為 $$ \bar y =\frac{(200)(400)(220)+20(200)(20)(10)} {(200)(400)+20(200)(20)} =115\ \mathrm{mm} $$ 因此中性軸在鋼材頂面以上 $95\ \mathrm{mm}$。換算截面對中性軸的慣性矩為

Question 3

十字形柱截面尺寸如圖所示，此截面對通過形心之 $x$ 軸的迴轉半徑（radius of gyration）為何？

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Accepted Answer

核心觀念 迴轉半徑定義為截面二次矩除以面積後開根號： $$ rx=\sqrt{\frac{Ix}{A}} $$ 其中 $Ix$ 是截面對形心 $x$ 軸的二次矩，$A$ 是截面面積。圖示十字形截面上下、左右對稱，因此形心位於交叉處中心；計算時可將截面拆成直肢與橫肢，再扣除重複計入的交疊部分。 解題方法 由圖可讀出：直肢寬 $50\ \mathrm{mm}$、總高 $200+50+200=450\ \mathrm{mm}$；橫肢寬 $150+50+150=350\ \mathrm{mm}$、厚 $50\ \mathrm{mm}$。兩肢交疊的正方形尺寸為 $50	imes50\ \mathrm{mm}$。 截面面積為 $$ A=(50)(450)+(350)(50)-(50)(50) =37{,}500\ \mathrm{mm^2} $$ 以形心 $x$ 軸計算二次矩。直肢、橫肢與交疊部分的形心都在 $x$ 軸上，因此直接使用矩形形心二次矩公式 $Ix=bh^3/12$： $$ \begin{aligned} Ix &=\frac{50(450)^3}{12} +\frac{350(50)^3}{12} -\frac{50(50)^3}{12}\ &=382{,}812{,}500\ \mathrm{mm^4} \end{aligned} $$ 因此

Question 4

長 $L=420\ \mathrm{mm}$ 的鋁製圓管承受壓力負載 $P$，左端長 $L/3$ 的部分為中空，外直徑與內直徑分別為 $60\ \mathrm{mm}$ 與 $35\ \mathrm{mm}$；右端長 $2L/3$ 的部分為實心，外直徑為 $60\ \mathrm{mm}$。若中空區段外表面量測之縱向正向應變為 $\varepsilonh=470	imes10^{-6}$，鋁製圓管的整體縮短量為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $0.1973\ \mathrm{mm}$ (B) $0.1824\ \mathrm{mm}$ (C) $0.1675\ \mathrm{mm}$ (D) $0.1526\ \mathrm{mm}$

Accepted Answer

核心觀念 圓管受軸向壓力時，軸向應變由 $\varepsilon=\dfrac{P}{EA}$ 決定。兩段串接且承受同一軸力 $P$，但截面積不同，因此兩段應變不同。整體縮短量為各段軸向變形量的總和： $$ \delta=\sumi \varepsiloni Li =\frac{P}{E}\left(\frac{Lh}{Ah}+\frac{Ls}{As}ight) $$ 其中下標 $h$ 表示中空段，$s$ 表示實心段。 解題方法 中空段長度為 $Lh=L/3=140\ \mathrm{mm}$；實心段長度為 $Ls=2L/3=280\ \mathrm{mm}$。兩段外徑均為 $60\ \mathrm{mm}$，中空段內徑為 $35\ \mathrm{mm}$，故截面積比為 $$ \frac{Ah}{As} =\frac{\frac{\pi}{4}(60^2-35^2)}{\frac{\pi}{4}(60^2)} =\frac{60^2-35^2}{60^2} =\frac{2375}{3600} \approx 0.65972 $$ 已知中空段量得的應變 $\varepsilonh=470	imes10^{-6}$。由兩段軸力相同，且材料相同： $$ \varepsilons =\frac{P}{EAs} =\varepsilonh\frac{Ah}{As} \approx 470	imes10^{-6}	imes0.65972 $$ 因此整體縮短量為

Question 5

用於大型吊車的高強度鋼桿，直徑為 $50\ \mathrm{mm}$，彈性模數 $E=200\ \mathrm{GPa}$，蒲松比 $
u=0.3$。因為間隙要求，在軸向壓力下，桿件的直徑限制為 $50.025\ \mathrm{mm}$。假設材料行為是線性彈性，桿件的容許最大壓力負載 $P{\max}$ 為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $654.5\ \mathrm{kN}$ (B) $664.5\ \mathrm{kN}$ (C) $674.5\ \mathrm{kN}$ (D) $684.5\ \mathrm{kN}$

Accepted Answer

核心觀念 軸向受壓時，桿件長度縮短；依蒲松比效應，直徑會增加。線彈性範圍內，橫向應變與軸向應變的關係為 $$ \varepsilon{	ext{橫}}=-
u\varepsilon{	ext{軸}} $$ 題目給定直徑增加上限，因此先由直徑變化求橫向應變，再求軸向應變與壓應力，最後乘上截面積得到容許最大壓力。 解題方法 直徑由 $50\ \mathrm{mm}$ 增至最多 $50.025\ \mathrm{mm}$，所以最大直徑變化為 $$ \Delta d=50.025-50=0.025\ \mathrm{mm} $$ 橫向應變為 $$ \varepsilon{	ext{橫}}=\frac{\Delta d}{d} =\frac{0.025}{50}=0.0005 $$ 由蒲松比 $
u=0.3$，軸向應變的壓縮量為 $$ |\varepsilon{	ext{軸}}| =\frac{\varepsilon{	ext{橫}}}{
u} =\frac{0.0005}{0.3} =0.001667 $$ 以胡克定律計算軸向壓應力： $$ |\sigma{	ext{軸}}| =E|\varepsilon{	ext{軸}}| =(200\,000\ \mathrm{MPa})(0.001667) \approx333.33\ \mathrm{MPa} $$ 桿件截面積為

Question 6

某一金屬材料的彈性模數 $E=410\ \mathrm{GPa}$，剪力模數 $G=160\ \mathrm{GPa}$，此材料的蒲松比 $
u$ 約為： (A) $0.26$ (B) $0.28$ (C) $0.30$ (D) $0.32$

Accepted Answer

核心觀念 本題考材料的彈性常數關係。對均質、等向性線彈性材料，彈性模數 $E$、剪力模數 $G$ 與蒲松比 $
u$ 的關係為 $$ E=2G(1+
u) $$ 因此可由 $E$、$G$ 反算蒲松比。 解題方法 將已知數值代入公式，先確認兩種模數使用相同單位： $$ 
u=\frac{E}{2G}-1 =\frac{410}{2(160)}-1 =\frac{410}{320}-1 =0.28125 $$ 四捨五入至小數點後兩位，$
u\approx 0.28$，故選 (B)。 選項分析 - (A) $0.26$：錯誤。 代入 $E=2G(1+
u)$，所得彈性模數為 $2(160)(1.26)=403.2\ \mathrm{GPa}$，與題目給定的

Question 7

如圖所示，柔性接頭是用 $9\ \mathrm{mm}$ 厚的橡膠墊黏接鋼板所構成，橡膠墊長 $160\ \mathrm{mm}$ 、寬 $80\ \mathrm{mm}$ 。若力 $P=8\ \mathrm{kN}$ ，橡膠的剪力模數 $G=1250\ \mathrm{kPa}$ ，則內板與外板間的相對水平位移約為：

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Accepted Answer

核心觀念 橡膠墊受剪時，剪應變與剪應力的關係為 $\gamma=	au/G$；橡膠墊兩側的相對位移則為 $\delta=\gamma t$，其中 $t$ 是橡膠墊厚度。因此： $$ \delta=\frac{	au t}{G}=\frac{Vt}{AG} $$ 圖中內板受力 $P$，上下兩片橡膠墊共同承受剪力，兩片墊片並聯分擔荷載。 解題方法 上下兩片橡膠墊尺寸相同，受力相同，故每片橡膠墊承受的剪力為： $$ V=\frac{P}{2}=\frac{8\,000}{2}=4\,000\ \mathrm{N} $$ 每片橡膠墊的受剪面積為長乘寬： $$ A=(160)(80)=12\,800\ \mathrm{mm^2} $$ 將剪力模數換成與應力相同的單位： $$ G=1\,250\ \mathrm{kPa}=1.25\ \mathrm{N/mm^2} $$ 每片墊片的剪應力為： $$ 	au=\frac{V}{A} =\frac{4\,000}{12\,800} =0.3125\ \mathrm{N/mm^2} $$ 因此，內板與外板間的相對水平位移為：

Question 8

一實心圓桿承受拉力 $P$ 作用，桿長 $L=400\ \mathrm{mm}$ ，直徑 $d=6\ \mathrm{mm}$ ，材料為鋁合金，彈性模數 $E=42.5\ \mathrm{GPa}$ ，容許拉應力為 $\sigma_{\mathrm{allow}}=89\ \mathrm{MPa}$ ，桿件的伸長量不得超過 $0.8\ \mathrm{mm}$ ，則拉力 $P$ 的容許值為：

Accepted Answer

核心觀念

本題考查軸向拉力下的正應力與桿件伸長量。容許拉力須同時符合兩項限制：

拉應力不得超過容許拉應力。
伸長量不得超過題目規定的上限。

因此，分別求出兩項限制所容許的拉力，再取較小值。

解題方法

圓桿截面積為

A=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(6\ \mathrm{mm})^2}{4} =9\pi\ \mathrm{mm^2} \approx 28.27\ \mathrm{mm^2}

一、由容許應力求拉力

軸向正應力為 $\sigma=P/A$ ，故

P_{\sigma}=\sigma_{\mathrm{allow}}A =(89\ \mathrm{N/mm^2})(28.27\ \mathrm{mm^2}) \approx 2516\ \mathrm{N} =2.52\ \mathrm{kN}

二、由伸長量限制求拉力

均勻桿件受軸向拉力時，伸長量為 $\delta=PL/(AE)$ ，整理得

P_{\delta}=\frac{\delta_{\mathrm{allow}}AE}{L}

將 $E=42.5\ \mathrm{GPa}=42{,}500\ \mathrm{N/mm^2}$ 、 $L=400\ \mathrm{mm}$ 、 $\delta_{\mathrm{allow}}=0.8\ \mathrm{mm}$ 代入：

P_{\delta} =\frac{(0.8)(28.27)(42{,}500)}{400} \approx 2404\ \mathrm{N} =2.40\ \mathrm{kN}

Question 9

如圖所示之接頭使用兩個螺栓固定，若螺栓的破壞剪應力 $	au{\mathrm{fail}}=350\ \mathrm{MPa}$，對於剪力的安全係數取 $\mathrm{FS}=2.5$，則所需的螺栓最小直徑為： 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $13.5\ \mathrm{mm}$ (B) $18.0\ \mathrm{mm}$ (C) $22.5\ \mathrm{mm}$ (D) $27.0\ \mathrm{mm}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考接頭螺栓的平均剪應力與安全係數。允許剪應力為破壞剪應力除以安全係數： $$ 	au{\mathrm{allow}}=\frac{	au{\mathrm{fail}}}{\mathrm{FS}} =\frac{350}{2.5}=140\ \mathrm{MPa} $$ 圖示接頭的每支螺栓有兩個剪力面，屬於雙剪。兩支螺栓共同承受 $80\ \mathrm{kN}$ 拉力，因此每支螺栓承受 $40\ \mathrm{kN}$。 解題方法 令螺栓直徑為 $d$，單一剪力面的截面積為 $A=\pi d^2/4$。每支螺栓有兩個剪力面，所以平均剪應力為： $$ 	au=\frac{40\,000}{2A} =\frac{40\,000}{2(\pi d^2/4)} $$ 要求剪應力不超過允許值 $140\ \mathrm{MPa}=140\ \mathrm{N/mm^2}$：

Question 10

一水平剛性梁 $ABCD$ 由垂直鋼桿 $BE$ 及 $CF$ 支承，在 $A$ 及 $D$ 點分別受到垂直力 $P_1=400\ \mathrm{kN}$ 及 $P_2=360\ \mathrm{kN}$ 作用。已知 $BE$ 桿構截面積為 $A=11100\ \mathrm{mm}^2$ ，彈性模數 $E=200\ \mathrm{GPa}$ ， $B$ 點之垂直位移為：

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Accepted Answer

核心觀念 本題考剛性梁的靜力平衡與軸向變形。先由梁的力與力矩平衡求出 $B$ 點支承力；該支承力即為鋼桿 $BE$ 的軸力，再用軸向變形公式計算 $B$ 點位移： $$ \delta=\frac{PL}{AE} $$ 圖中 $CF=2.4\ \mathrm{m}$，且 $E$ 點比 $F$ 點低 $0.6\ \mathrm{m}$，因此 $BE=3.0\ \mathrm{m}$。 解題方法 以 $B$ 點取矩。$A$ 在 $B$ 左側 $1.5\ \mathrm{m}$，$C$ 在 $B$ 右側 $1.5\ \mathrm{m}$，$D$ 在 $B$ 右側 $3.6\ \mathrm{m}$。令兩支承反力為 $RB$、$RC$，向上為正： $$ 400(1.5)+RC(1.5)-360(3.6)=0 $$ $$ RC=464\ \mathrm{kN} $$ 由垂直力平衡： $$ RB+RC=400+360 $$ $$ RB=296\ \mathrm{kN} $$ 因此鋼桿 $BE$ 承受 $296\ \mathrm{kN}$ 軸力。將長度換成 $3000\ \mathrm{mm}$，並將彈性模數換成 $200000\ \mathrm{N/mm^2}$：

Question 11

重量 $W=3560\ \mathrm{N}$ 的剛性桿由三根等間距的線支承，線的直徑為 $4.8\ \mathrm{mm}$ ，其中外圍兩根為鋼線（彈性模數 $E_s=205\ \mathrm{GPa}$ ，線性熱膨脹係數 $\alpha_s=12\times10^{-6}/{}^\circ\mathrm{C}$ ），中間一根為鋁線（線性熱膨脹係數 $\alpha_a=24\times10^{-6}/{}^\circ\mathrm{C}$ ）。加載之前三線的長度相同。當溫度上升 $\Delta T$ 時，全部負載會僅由鋼線承擔，此溫度上升量 $\Delta T$ 約為：

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Accepted Answer

核心觀念

本題考「熱膨脹與軸向變形的相容條件」。三根線原長相同，剛性桿保持水平；當鋁線的拉力降為零時，鋁線只發生自由熱膨脹，全部重量由兩根對稱的鋼線平均承受。

軸向總應變包含熱應變與受力造成的彈性應變：

\varepsilon=\alpha\Delta T+\frac{\sigma}{E}

解題方法

鋁線拉力為零時，兩根鋼線各承受一半重量：

P_s=\frac{W}{2}=\frac{3560}{2}=1780\ \mathrm{N}

每根線的截面積為：

A=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(4.8)^2}{4} =18.10\ \mathrm{mm^2}

因此每根鋼線的拉應力為：

\sigma_s=\frac{P_s}{A} =\frac{1780}{18.10} =98.37\ \mathrm{MPa}

鋼線與鋁線連接同一剛性桿，兩者的伸長量相同。鋁線不受力，伸長量只有自由熱膨脹；鋼線則有熱膨脹與拉力造成的彈性伸長：

\alpha_s\Delta T+\frac{\sigma_s}{E_s} =\alpha_a\Delta T

整理得：

Question 12

三根等截面桿傳遞拉伸負載 $P$，外圍兩根完全一樣（$A$ 材料），中間桿（$B$ 材料）的橫截面積為任一外圍桿的 $1.5$ 倍。同時，$A$ 材料的彈性模數是 $B$ 材料的 $2$ 倍，則中間桿分擔的負載 $P$ 之比例為： 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $\frac{3}{7}$ (B) $\frac{3}{8}$ (C) $\frac{3}{10}$ (D) $\frac{3}{11}$

Accepted Answer

核心觀念 三根桿件兩端連接於共同端板，受力後具有相同的軸向伸長量，屬於並聯承載。桿件的軸向剛度為 $$ k=\frac{EA}{L} $$ 其中 $E$ 為彈性模數、$A$ 為截面積、$L$ 為桿長。伸長量相同時，各桿所分擔的軸力與軸向剛度成正比。 解題方法 令每根外圍桿的截面積為 $A$，中間桿的截面積為 $1.5A$。題目給定 $EA=2EB$，且三根桿長相同。 兩根外圍桿的合計剛度為 $$ k{	ext{外圍}} =2\left(\frac{EA A}{L}ight) =2\left(\frac{2EB A}{L}ight) =\frac{4EBA}{L} $$ 中間桿的剛度為 $$ k{	ext{中間}} =\frac{EB(1.5A)}{L} =\frac{1.5EBA}{L} $$ 因此，中間桿分擔的負載比例為

Question 13

一個直徑為 $d$ 的鋼製圓桿承受拉伸負載 $P=3590\ \mathrm{N}$ 。若拉伸和剪切時的容許應力分別為 $118\ \mathrm{MPa}$ 和 $48\ \mathrm{MPa}$ ，則鋼桿所需的最小直徑 $d_{\min}$ 為：

Accepted Answer

核心觀念 圓桿受軸向拉力時，截面上的平均正向應力為 $$ \sigma=\frac{P}{A}, $$ 其中圓形截面面積 $A=\frac{\pi d^2}{4}$。直徑須同時符合拉伸與剪切容許應力，因此分別依兩項限制求出所需直徑，再取較大的值。 解題方法 拉伸容許應力限制： $$ \frac{P}{A}\leq 118\ \mathrm{MPa} \quad\Longrightarrow\quad A\geq\frac{3590}{118} =30.42\ \mathrm{mm^2}. $$ 此處使用 $1\ \mathrm{MPa}=1\ \mathrm{N/mm^2}$，所以 $$ d\geq\sqrt{\frac{4A}{\pi}} =\sqrt{\frac{4(30.42)}{\pi}} \approx 6.22\ \mathrm{mm}. $$ 剪切容許應力限制：軸向拉力在垂直於桿軸的截面上造成正向應力，該應力狀態下最大剪應力為正向應力的一半，即 $	au{\max}=\sigma/2$。因此

Question 14

鐵軌枕木受到各為 $P=175\ \mathrm{kN}$ 的兩軌負載作用，如圖所示。假設道碴的反作用力 $q$ 均勻分布在枕木全長上， $L=1500\ \mathrm{mm}$ ，外伸長為 $a=500\ \mathrm{mm}$ ，則枕木的最大彎矩（絕對值）為：

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Accepted Answer

核心觀念 本題考均布反力與集中荷載共同作用下的剪力、彎矩，以及如何找出最大彎矩。枕木全長受均勻向上的道碴反力 $q$，兩個軌道荷載各為向下的 $P$。先用整體垂直力平衡求 $q$，再由剪力為零的位置找彎矩極值。 解題方法 枕木全長為 $$ L+2a=1500+2(500)=2500\ \mathrm{mm}=2.5\ \mathrm{m} $$ 整體垂直力平衡： $$ q(L+2a)=2P $$ $$ q=\frac{2(175)}{2.5}=140\ \mathrm{kN/m} $$ 以枕木左端為 $x=0$，兩個向下荷載分別位於 $x=a=0.5\ \mathrm{m}$ 與 $x=a+L=2.0\ \mathrm{m}$。在兩荷載之間，剪力為 $$ V(x)=qx-P $$ 令 $V(x)=0$，得 $$ x=\frac{P}{q}=\frac{175}{140}=1.25\ \mathrm{m} $$ 此位置在枕木中央，位於兩個軌道荷載之間。該處彎矩為 $$ M(x)=\frac{qx^2}{2}-P(x-a) $$ 代入 $x=1.25\ \mathrm{m}$、$a=0.5\ \mathrm{m}$： $$ M(1.25)=\frac{140(1.25)^2}{2}-175(1.25-0.5) =-21.875\ \mathrm{kN\cdot m} $$

Question 15

梁的支承與負載如圖所示。倒 $T$ 形截面的高 $h=75\ \mathrm{mm}$ ，形心與底面的距離為 $24.8\ \mathrm{mm}$ ，對通過形心之 $x'$ 軸的慣性矩 $I_{x'}=85\ \mathrm{cm}^4$ ，梁的最大彎曲拉應力為：

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Accepted Answer

核心觀念 本題考查梁的支承反力、剪力與彎矩，以及彎曲正應力公式： $$ \sigma=\frac{Mc}{I{x'}} $$ 倒 T 形截面的形心不在高度中央，因此截面上、下緣到形心的距離不同。計算最大拉應力時，必須依彎矩方向判斷受拉側，再使用該側到形心的距離。 解題方法 取左側支承為 $A$，右側支承為 $B$。$B$ 距 $A$ 為 $2.5\ \mathrm{m}$；$4.5\ \mathrm{kN}$ 集中力作用於距 $A$ $1.25\ \mathrm{m}$ 處；右側懸臂長 $1.5\ \mathrm{m}$，承受均布載重 $q=2\ \mathrm{kN/m}$。 懸臂上的均布載重合力為 $$ Wq=qL3=2(1.5)=3\ \mathrm{kN} $$ 作用點在 $B$ 右方 $0.75\ \mathrm{m}$，亦即距 $A$ $3.25\ \mathrm{m}$。由平衡條件： $$ RA+RB=4.5+3=7.5\ \mathrm{kN} $$ 對 $A$ 點取力矩： $$ RB(2.5)-4.5(1.25)-3(3.25)=0 $$ 因此 $$ RB=6.15\ \mathrm{kN},\qquad RA=1.35\ \mathrm{kN} $$ 集中力作用處剪力由正轉負，因此該處有正彎矩極值： $$ M{+,\max}=RA(1.25)=1.6875\ \mathrm{kN\cdot m} $$ 在 $B$ 支承處，彎矩為 $$ MB=RA(2.5)-4.5(2.5-1.25) =3.375-5.625 =-2.25\ \mathrm{kN\cdot m} $$ 懸臂端彎矩為零，故最大負彎矩的絕對值為 $2.25\ \mathrm{kN\cdot m}$。 截面總高為 $75\ \mathrm{mm}$，形心距底面 $24.8\ \mathrm{mm}$，所以形心至上緣的距離為

Question 16

三明治梁的塑膠核心之上下以鋼板強化，鋼表面層的厚度 $t=3\ \mathrm{mm}$ ， $E_s=200\ \mathrm{GPa}$ ，塑膠核心的高度為 $140\ \mathrm{mm}$ ， $E_p=800\ \mathrm{MPa}$ ，梁截面寬 $b=175\ \mathrm{mm}$ 。假設梁的各部分都緊密結合，在對於 $z$ 軸的彎矩 $M=5\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}$ 作用下，表面層的最大彎曲應力為：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 這題考複合材料梁的彎曲應力。鋼板與塑膠核心緊密結合，因此彎曲時各部分的縱向應變相同；但材料彈性模數不同，應力會依 $\sigma=E\varepsilon$ 分配。 可將塑膠核心作為基準材料，把鋼板換算成等效塑膠截面。模數比為 $$ n=\frac{Es}{Ep}=\frac{200\,000}{800}=250 $$ 截面上下對稱，所以中性軸位於截面中心。總高為 $140+2(3)=146\ \mathrm{mm}$，最外側鋼板表面距中性軸 $y{\max}=73\ \mathrm{mm}$。 解題方法 以塑膠為基準，換算後的截面二次矩為 $$ I{\mathrm{tr}} = \frac{b hp^3}{12} +n\cdot 2\left(\frac{b t^3}{12}+bt\left(\frac{hp+t}{2}ight)^2ight) $$ 其中 $b=175\ \mathrm{mm}$、$hp=140\ \mathrm{mm}$、$t=3\ \mathrm{mm}$，鋼板形心距中性軸為 $(140+3)/2=71.5\ \mathrm{mm}$。代入得 $$ I{\mathrm{tr}} =\frac{175(140)^3}{12} +250\cdot2\left(\frac{175(3)^3}{12}+175(3)(71.5)^2ight) \approx 1.3822	imes10^9\ \mathrm{mm^4} $$

Question 17

橫截面皆為矩形（$90\ \mathrm{mm}	imes100\ \mathrm{mm}$）的兩根木梁，膠接成一根截面為 $90\ \mathrm{mm}	imes200\ \mathrm{mm}$ 的簡支梁，跨距為 $2.5\ \mathrm{m}$。如果梁膠接處的容許剪應力為 $1.4\ \mathrm{MPa}$，木梁的重量密度為 $5.4\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3$，則施加於梁中點的最大容許集中負載 $P{\max}$ 為： 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $30157\ \mathrm{N}$ (B) $33357\ \mathrm{N}$ (C) $37557\ \mathrm{N}$ (D) $40077\ \mathrm{N}$

Accepted Answer

核心觀念

本題考查簡支梁的最大剪力，以及矩形截面在兩層木梁膠接面的剪應力。膠接面上的剪應力可用梁的剪應力公式計算：

\tau=\frac{VQ}{It}

其中 $V$ 為該截面的剪力， $Q$ 為膠接面一側截面對中性軸的一次矩， $I$ 為整個組合截面對中性軸的慣性矩， $t$ 為膠接面的寬度。

解題方法

組合梁寬 $b=90\ \mathrm{mm}$ 、總高 $h=200\ \mathrm{mm}$ 。膠接面位於截面中央，取上半部計算 $Q$ ：

Q=(90\times100)(50)=450{,}000\ \mathrm{mm^3}

整個截面的慣性矩為：

I=\frac{bh^3}{12} =\frac{90(200)^3}{12} =60{,}000{,}000\ \mathrm{mm^4}

膠接面寬度 $t=90\ \mathrm{mm}$ ，因此膠接面剪應力為：

\tau=\frac{V(450{,}000)} {(60{,}000{,}000)(90)} =\frac{V}{12{,}000}

令容許剪應力 $\tau=1.4\ \mathrm{MPa}=1.4\ \mathrm{N/mm^2}$ ，可得容許剪力：

V_{\max}=1.4(12{,}000)=16{,}800\ \mathrm{N}

梁的自重也會產生均佈載重。每單位長度的重量為：

w=(0.09)(0.20)(5.4) =0.0972\ \mathrm{kN/m} =97.2\ \mathrm{N/m}

跨距 $L=2.5\ \mathrm{m}$ ，中點集中載重與全跨自重對稱，因此支承處最大剪力為：

Question 18

一個壓力容器的器壁焊道處受到如圖所示之平面應力作用：$\sigmax=40\ \mathrm{MPa}$、$\sigmay=80\ \mathrm{MPa}$、$	au{xy}=-18\ \mathrm{MPa}$。若焊道與 $y$ 軸的夾角為 $22.5^\circ$，則與焊道垂直方向的正向應力為： 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $33.1\ \mathrm{MPa}$ (B) $41.6\ \mathrm{MPa}$ (C) $50.1\ \mathrm{MPa}$ (D) $58.6\ \mathrm{MPa}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考平面應力下的應力轉換。要求的是「與焊道垂直方向」的正向應力，也就是焊道所在截面上的法向應力。計算時要先辨認該截面的法線方向，再將 $x$、$y$ 方向的正應力與剪應力投影到法線上。 解題方法 依圖，焊道向右下傾斜，與 $y$ 軸夾角為 $22.5^\circ$；因此焊道的法線方向與 $x$ 軸正向夾角為 $	heta=22.5^\circ$。平面應力在此方向的正向應力為 $$ \sigman =\sigmax\cos^2	heta+\sigmay\sin^2	heta +2	au{xy}\sin	heta\cos	heta $$ 代入 $\sigmax=40\ \mathrm{MPa}$、$\sigmay=80\ \mathrm{MPa}$、$	au{xy}=-18\ \mathrm{MPa}$、$	heta=22.5^\circ$：

Question 19

一飛機機身的平面應力元素受到水平方向的 $42\ \mathrm{MPa}$ 壓應力、垂直方向的 $9\ \mathrm{MPa}$ 拉應力及圖示方向之剪應力 $15\ \mathrm{MPa}$ 作用，則最大剪應力 $\tau_{\max}$ 與伴隨的正向應力 $\sigma$ 為：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像；題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

Accepted Answer

核心觀念

平面應力元素的最大剪應力，可由莫耳圓半徑求得；與該剪應力面同時作用的正向應力，則等於莫耳圓圓心，也就是平均正向應力。

圖示中，水平的 $42\ \mathrm{MPa}$ 是壓應力，垂直的 $9\ \mathrm{MPa}$ 是拉應力，因此

\sigma_x=-42\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_y=9\ \mathrm{MPa}.

剪應力大小為 $15\ \mathrm{MPa}$ 。依常用正負號規約，圖示右側面上的剪力向下，故 $\tau_{xy}=-15\ \mathrm{MPa}$ ；計算最大剪應力大小時，剪應力會平方，因此其正負不影響結果。

解題方法

莫耳圓圓心為平均正向應力：

\sigma_{\mathrm{avg}} =\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} =\frac{-42+9}{2} =-16.5\ \mathrm{MPa}.

莫耳圓半徑即平面內最大剪應力：

\tau_{\max} =\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2} =\sqrt{\left(\frac{-42-9}{2}\right)^2+(-15)^2}

=\sqrt{25.5^2+15^2} =\sqrt{875.25} \approx 29.6\ \mathrm{MPa}.

Question 20

一彎曲剛度 $EI$ 為常數之懸臂梁 $AB$ 於自由端附加一延伸段 $BCD$ ，負載 $P$ 作用於延伸段的端點上。欲使 $B$ 點的垂直撓度等於零，則 $a/L$ 的比值為：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考懸臂梁自由端受集中力與端部彎矩時的撓度，以及載重偏心所產生的力矩。利用線性彈性下的疊加原理，將延伸段端點的負載 $P$ 等效為作用於 $B$ 點的向下集中力 $P$，以及大小為 $Pa$ 的逆時針力矩。 解題方法 令向上撓度為正。長度為 $L$ 的懸臂梁在自由端受向下集中力 $P$，其端點撓度為 $$ \deltaP=-\frac{PL^3}{3EI}. $$ 在自由端受逆時針力矩 $Pa$，其端點撓度為 $$ \deltaM=\frac{PaL^2}{2EI}. $$ 因此，$B$ 點的總垂直撓度為 $$ \deltaB=\deltaP+\deltaM =-\frac{PL^3}{3EI}+\frac{PaL^2}{2EI}. $$ 題目要求 $\deltaB=0$，故

Question 21

實心鋼球（$E=210\ \mathrm{GPa}$ 及 $
u=0.3$）受到靜水壓力 $p$ 作用，以致其體積減少了 $0.4\%$，則壓力 $p$ 為： (A) $500\ \mathrm{MPa}$ (B) $600\ \mathrm{MPa}$ (C) $700\ \mathrm{MPa}$ (D) $800\ \mathrm{MPa}$

Accepted Answer

核心觀念 物體承受各方向大小相同的靜水壓力時，三個主應力相同，皆為壓縮應力。體積應變為三個方向正應變的總和；對各向同性線彈性材料，靜水壓力與體積應變的關係為 $$ \varepsilonv=\frac{\Delta V}{V} =-\frac{3(1-2
u)p}{E} $$ 負號表示受壓時體積減少。 解題方法 題目給定體積減少 $0.4\%$，故體積應變為 $$ \varepsilonv=-0.4\%=-0.004 $$ 代入 $E=210\ \mathrm{GPa}$、$
u=0.3$： $$ -0.004=-\frac{3(1-2	imes0.3)p}{210} $$ 因此 $$ p=\frac{0.004	imes210}{3(1-0.6)} =\frac{0.84}{1.2} =0.70\ \mathrm{GPa} =700\ \mathrm{MPa} $$ 所以靜水壓力為 $700\ \mathrm{MPa}$。 選項分析

Question 22

如圖示由兩端接剛性桿件，及勁度為 $\betaR$ 的三個旋轉彈簧組成之結構，此結構的臨界挫屈載重 $P{\mathrm{cr}}$ 為： 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $\frac{3\betaR}{L}$ (B) $\frac{4\betaR}{L}$ (C) $\frac{5\betaR}{L}$ (D) $\frac{6\betaR}{L}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查剛性桿件組成的挫屈機構，以及旋轉彈簧的彈性位能。臨界挫屈載重可由「總位能二次項係數為零」求得：桿件發生微小側移時，旋轉彈簧提供恢復位能，軸向壓力則因桿件縮短而使位能降低。 解題方法 令每段剛性桿長度為 $l=L/2$，並令桿件偏轉角為 $	heta$。上、下兩段桿的轉角大小相同、方向相反，因此： - $A$、$C$ 兩端彈簧的轉角大小各為 $	heta$。 - $B$ 點彈簧承受兩段桿的相對轉角，大小為 $2	heta$。 三個旋轉彈簧的總彈性位能為 $$ Us=\frac{1}{2}\betaR\left[	heta^2+(2	heta)^2+	heta^2ight] =3\betaR	heta^2. $$ 桿件偏轉後，兩段桿的總垂直高度由 $2l$ 變為 $2l\cos	heta$。小角度下，軸向縮短量為 $$ \Delta=2l(1-\cos	heta)\approx l	heta^2 =\frac{L}{2}	heta^2. $$ 軸向壓力 $P$ 對應的位能變化為 $-P\Delta$，所以總位能的二次項為

Question 23

橫截面尺寸為 $b	imes h$ 的矩形柱，銷接於 $A$、$C$ 兩端，如圖所示，在柱高的中點，於圖面有側向支承，而在垂直圖面的平面上可自由撓曲。若柱兩主平面上的臨界挫屈載重相等，則 $h/b$ 的比值為： 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $\sqrt{2}$ (B) $2$ (C) $2\sqrt{2}$ (D) $4$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查柱的歐拉挫屈載重，以及側向支承對有效挫屈長度的影響。兩個主平面上的臨界載重分別為 $$ P{cr}=\frac{\pi^2EI}{Le^2} $$ 其中 $I$ 是對應挫屈方向的截面二次矩，$Le$ 是有效挫屈長度。兩端銷接時，未受中間支承的挫屈長度為 $L$；圖面內的側向支承設在柱中點，將該方向的挫屈長度限制為 $L/2$。 解題方法 依圖中截面方向，圖面內挫屈所對應的截面二次矩為 $$ I{	ext{圖面內}}=\frac{hb^3}{12} $$ 垂直圖面的挫屈所對應的截面二次矩為 $$ I{	ext{垂直圖面}}=\frac{bh^3}{12} $$ 因此兩方向的臨界載重為 $$ P{	ext{圖面內}} =\frac{\pi^2E(hb^3/12)}{(L/2)^2} =\frac{4\pi^2Ehb^3}{12L^2} $$ $$ P{	ext{垂直圖面}} =\frac{\pi^2E(bh^3/12)}{L^2} =\frac{\pi^2Ebh^3}{12L^2} $$

Question 24

長度為 $L=3\ \mathrm{m}$ 的鋁管柱（$E=70\ \mathrm{GPa}$），其內、外直徑分別為 $d1=130\ \mathrm{mm}$ 與 $d2=150\ \mathrm{mm}$，如圖所示，柱兩端的支承條件為固定－鉸接，可在任意方向挫屈，此柱的臨界挫屈載重 $P{\mathrm{cr}}$ 最接近下列何者？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $3326\ \mathrm{kN}$ (B) $2500\ \mathrm{kN}$ (C) $1700\ \mathrm{kN}$ (D) $831\ \mathrm{kN}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考歐拉柱挫屈。理想長柱的臨界挫屈載重為 $$ P{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI}{(KL)^2} $$ 其中 $K$ 是有效長度因數。圖示柱底端固定、頂端鉸接，故取固定－鉸接柱的 $K\approx0.699$。鋁管為中空圓截面，其任一通過截面中心的主軸慣性矩相同，因此可在任意方向挫屈不會改變計算結果。 解題方法 先將直徑換成公尺：$d1=0.130\ \mathrm{m}$、$d2=0.150\ \mathrm{m}$。中空圓截面的截面二次矩為 $$ I=\frac{\pi}{64}\left(d2^4-d1^4ight) =\frac{\pi}{64}\left(0.150^4-0.130^4ight) \approx1.0831	imes10^{-5}\ \mathrm{m^4} $$ 代入 $E=70	imes10^9\ \mathrm{N/m^2}$、$L=3\ \mathrm{m}$ 與 $K=0.699$：

Question 25

有一鋁合金中空管，如圖所示之內徑及外徑大小，承受一扭矩作用 $T=4.0\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}$ ，試求最大之扭矩應力：

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Accepted Answer

核心觀念 圓形中空軸受扭時，截面上的扭轉剪應力與半徑成正比： $$ 	au(r)=\frac{Tr}{J} $$ 其中 $T$ 為扭矩，$r$ 為距軸心的距離，$J$ 為截面的極慣性矩。最大應力發生在外表面，因此取 $r=c=Do/2$。中空圓管的極慣性矩為： $$ J=\frac{\pi}{32}\left(Do^4-Di^4ight) $$ 解題方法 由圖可讀得外徑 $Do=80\ \mathrm{mm}$、內徑 $Di=60\ \mathrm{mm}$；扭矩為 $T=4.0\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}=4.0	imes10^6\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}$。 先計算極慣性矩： $$ J=\frac{\pi}{32}\left(80^4-60^4ight) =\frac{\pi}{32}(28{,}000{,}000) \approx 2.749	imes10^6\ \mathrm{mm}^4 $$ 外表面半徑 $c=40\ \mathrm{mm}$，故最大扭轉剪應力為： $$ 	au{\max} =\frac{Tc}{J} =\frac{(4.0	imes10^6)(40)}{2.749	imes10^6} \approx 58.2\ \mathrm{N/mm}^2 =58.2\ \mathrm{MPa} $$

Question 26

有一矩形實心斷面之拉桿由 A-36 鋼（彈性模數為 $200\ \mathrm{GPa}$ ）製成，其尺寸如圖所示。若桿受一軸力 $P=80\ \mathrm{kN}$ 作用其桿上，試求作用後其軸向長度伸長為何？

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Accepted Answer

核心觀念 等截面直桿承受軸力時，軸向伸長量為 $$ \delta=\frac{PL}{AE} $$ 其中 $P$ 為軸力、$L$ 為桿長、$A$ 為垂直於桿軸的截面積，$E$ 為材料的彈性模數。本題桿件受拉，故計算結果為正伸長。 解題方法 由圖可讀出桿長 $L=1.5\ \mathrm{m}=1500\ \mathrm{mm}$，矩形實心截面尺寸為 $100\ \mathrm{mm}	imes 50\ \mathrm{mm}$，因此 $$ A=100	imes 50=5000\ \mathrm{mm^2} $$ 將材料彈性模數換成與毫米、牛頓相容的單位： $$ E=200\ \mathrm{GPa}=200{,}000\ \mathrm{N/mm^2} $$ 代入軸向變形公式，並將軸力換為 $80{,}000\ \mathrm{N}$： $$ \delta =\frac{(80{,}000)(1500)} {(5000)(200{,}000)} =0.12\ \mathrm{mm} $$ 因為 $1\ \mathrm{mm}=1000\ \mu\mathrm{m}$，

Question 27

如圖中的鋼桿直徑為 $5\ \mathrm{mm}$，某一端固定在牆壁 $A$ 點，且在負載之前牆壁 $B'$ 點與桿子間的間隙為 $1\ \mathrm{mm}$。若桿子受軸向力 $P=20\ \mathrm{kN}$ 作用其截面上，詳細如圖所示，試求 $A$ 端的反力。忽略軸環 $C$ 的尺寸，若鋼桿彈性模數 $E{st}=200\ \mathrm{GPa}$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $11.3\ \mathrm{kN}$ (B) $16.6\ \mathrm{kN}$ (C) $19.8\ \mathrm{kN}$ (D) $23.2\ \mathrm{kN}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考軸向桿件的平衡、變形相容與間隙接觸。桿件先伸長至右端碰到牆壁 $B'$，之後牆壁才會提供反力。接觸後： - 軸力平衡：$RA+RB=P$ - 桿件 $AC$ 受拉而伸長；桿件 $CB$ 受壓而縮短。 - 右端碰到牆壁時，$B$ 點位移恰為間隙 $1\ \mathrm{mm}$。 軸向變形公式為 $\delta=NL/(AE)$。 解題方法 鋼桿截面積為 $$ A=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(5)^2}{4} =19.635\ \mathrm{mm^2} $$ 彈性模數換算為 $E=200{,}000\ \mathrm{N/mm^2}$，因此 $$ AE=19.635(200{,}000)=3.927	imes10^6\ \mathrm{N} $$ 先確認桿件會碰到右側牆壁。接觸前只有 $AC$ 段受力，其自由伸長量為 $$ \delta{	ext{自由}} =\frac{P(400)}{AE} =\frac{20{,}000(400)}{3.927	imes10^6} =2.04\ \mathrm{mm} $$ 因為 $2.04\ \mathrm{mm}1\ \mathrm{mm}$，桿件會碰到牆壁，故須計入 $B'$ 端反力。 由軸力平衡： $$ RB=P-RA $$ 接觸後，$AC$ 段伸長，$CB$ 段受壓縮短；端點 $B$ 的淨位移等於 $1\ \mathrm{mm}$： $$ \frac{RA(400)}{AE}-\frac{RB(800)}{AE}=1 $$

Question 28

如圖所示之簡支梁，求該梁的最大彎曲應力。若材料之彈性模數 $E=206\ \mathrm{GPa}$ ：

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Accepted Answer

核心觀念 簡支梁承受集中載重時，先由靜力平衡求最大彎矩，再用彎曲正應力公式計算最大彎曲應力： $$ \sigma{\max}=\frac{M{\max}c}{I} $$ 其中 $c$ 是中性軸至最外緣的距離，$I$ 是截面對中性軸的截面二次矩。 解題方法 圖中梁長為 $1.0\ \mathrm{m}$，中央承受 $1200\ \mathrm{N}$ 集中載重。由對稱性，兩端支承反力各為 $600\ \mathrm{N}$。最大彎矩發生在跨中央： $$ M{\max}=600(0.5)=300\ \mathrm{N\cdot m} =300{,}000\ \mathrm{N\cdot mm} $$ 矩形截面寬 $b=20\ \mathrm{mm}$、高 $h=30\ \mathrm{mm}$，因此 $$ I=\frac{bh^3}{12} =\frac{20(30)^3}{12} =45{,}000\ \mathrm{mm^4} $$ 最外緣距中性軸 $c=h/2=15\ \mathrm{mm}$，代入彎曲應力公式：

Question 29

由 A-36 鋼所製成的桿子如圖所示，由 $AB$ 及 $BD$ 兩段組成，其截面積分別為 $A_{AB}=600\ \mathrm{mm}^2$ 及 $A_{BD}=1200\ \mathrm{mm}^2$ 。若受到如圖所示之負載，試求 $A$ 端的垂直位移。其中 A-36 鋼的彈性模數 $E=200\ \mathrm{GPa}$ ； $B$ 截面上受到 $2$ 個 $20\ \mathrm{kN}$ 的作用力， $C$ 凸緣上亦受到 $2$ 個 $40\ \mathrm{kN}$ 的作用力。

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Accepted Answer

核心觀念

本題考垂直階梯桿的軸向變形。每段桿件的軸力不同，應先依各段受力求軸力，再用軸向變形公式計算：

\delta=\frac{NL}{AE}

以拉力為正、壓力為負，將各段變形代數相加，即可求得 A 端相對固定端 D 的垂直位移。

解題方法

先求各段內力。A 點向上 $75\ \mathrm{kN}$ ；B 截面有兩個向下 $20\ \mathrm{kN}$ ，合計 $40\ \mathrm{kN}$ ；C 凸緣有兩個向下 $40\ \mathrm{kN}$ ，合計 $80\ \mathrm{kN}$ 。

由各段截面切開作受力平衡，可得：

$AB$ 段： $N_{AB}=+75\ \mathrm{kN}$ ，受拉。
$BC$ 段： $N_{BC}=75-40=+35\ \mathrm{kN}$ ，受拉。
$CD$ 段： $N_{CD}=75-40-80=-45\ \mathrm{kN}$ ，受壓。

其中 $BC$ 長 $0.75\ \mathrm{m}$ ， $CD$ 長 $0.5\ \mathrm{m}$ ；兩段都屬於 $BD$ ，截面積為 $1200\ \mathrm{mm}^2$ 。換算單位為 $E=200\ \mathrm{kN/mm^2}$ ，各段長度分別為 $1000$ 、 $750$ 、 $500\ \mathrm{mm}$ 。

Question 30

試求圖中梁之最大彎矩： 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $80\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}$ (B) $93\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}$ (C) $102\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}$ (D) $116\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考支承反力、剪力與彎矩的關係。梁上剪力為零的位置，以及集中力作用處，都是判斷彎矩極值的重要位置；此外，還要檢查懸臂端的支承截面彎矩。 解題方法 以 A 點為原點，令向上反力為正。全梁長 $10\ \mathrm{m}$，均布載重作用於全長，合力為 $6	imes10=60\ \mathrm{kN}$，作用於距 A 點 $5\ \mathrm{m}$ 處。由平衡方程： $$ \sum MA=0:\quad RB(8)-60(5)-28(3)=0 $$ $$ RB=48\ \mathrm{kN},\qquad \sum Fy=0:\quad RA+RB=60+28 $$ 因此 $RA=40\ \mathrm{kN}$。 在 $0<x<3\ \mathrm{m}$，剪力為 $$ V=40-6x $$ 此段剪力保持正值，彎矩隨 $x$ 增加。集中力作用點 $x=3\ \mathrm{m}$ 的彎矩為 $$ M(3)=40(3)-\frac{6(3)^2}{2} =120-27 =93\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} $$ 在 $3<x<8\ \mathrm{m}$，剪力為 $$ V=40-6x-28=12-6x $$ 此段剪力為負，彎矩由 $x=3$ 起遞減；到 B 點彎矩為 $-12\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}$。B 至 C 的懸臂段彎矩由 B 點的 $-12$ 回升至自由端 C 的 $0$。

Question 31

如圖所示之 A-36 鋼桿於 $T1=30^\circ\mathrm{C}$ 時恰好拘束於兩固定支承間。若溫度上升至 $T2=60^\circ\mathrm{C}$，試求桿中所產生的熱應力。A-36 鋼的線性熱膨脹係數為 $\alpha=12	imes10^{-6}/{}^\circ\mathrm{C}$，鋼之彈性模數為 $200\ \mathrm{GPa}$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $50\ \mathrm{MPa}$ (B) $66\ \mathrm{MPa}$ (C) $72\ \mathrm{MPa}$ (D) $89\ \mathrm{MPa}$

Accepted Answer

核心觀念 桿件受熱時會自由伸長；若兩端被固定支承拘束，實際伸長量為零，因此產生壓縮熱應力。完全拘束時，熱應力大小為 $$ \sigma{	ext{熱}}=E\alpha\Delta T $$ 其中 $\Delta T=T2-T1$。 解題方法 溫度變化為 $$ \Delta T=60-30=30^\circ\mathrm{C} $$ 完全拘束使桿件無法伸長，故熱應力為壓縮： $$ \sigma{	ext{熱}} =(200	imes10^9)(12	imes10^{-6})(30) =72	imes10^6\ \mathrm{Pa} =72\ \mathrm{MPa} $$ 圖示的桿長 $2\ \mathrm{m}$ 與截面尺寸 $10\ \mathrm{mm}	imes10\ \mathrm{mm}$ 不影響此題的熱應力計算；在完全拘束條件下，應力由 $E$、$\alpha$ 與溫度變化決定。 選項分析

112 專技高考高等考試 結構工程技師 材料力學 考古題詳解

第 一 題25 分

第 二 題25 分

第 1 題1 分

第 2 題1 分

第 3 題1 分

核心觀念

解題方法

第 4 題1 分

第 5 題1 分

第 6 題1 分

核心觀念

解題方法

第 7 題1 分

第 8 題1 分

第 9 題1 分

核心觀念

解題方法

第 10 題1 分

第 11 題1 分

第 12 題1 分

第 13 題1 分

第 14 題1 分

第 15 題1 分

核心觀念

解題方法

第 16 題1 分

第 17 題1 分

核心觀念

解題方法

第 18 題1 分

第 19 題1 分

第 20 題1 分

第 21 題1 分

第 22 題1 分

核心觀念

解題方法

第 23 題1 分

核心觀念

解題方法

第 24 題1 分

第 25 題1 分

第 26 題1 分

第 27 題1 分

核心觀念

解題方法

第 28 題1 分

第 29 題1 分

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第一題25 分

第二題25 分