112 專技高考高等考試 結構工程技師 結構動力分析與耐震設計 考古題詳解

112 年・專技高考・高等考試・結構工程技師
試題代碼 結構動力分析與耐震設計

第 一 題25 分

長度為 LL 的均質等斷面簡支梁如圖。假設其斷面慣性矩為 II、彈性模數為 EE、單位長度質量為 mm。在梁中點受鉛垂向下的集中力 P(t)P(t) 作用。回答下列問題：

(一) 推導運動方程式。

(二) 證明第 nn 個模態之模態頻率為

ωn=n2π2L2EIm,\omega_n=\frac{n^2\pi^2}{L^2}\sqrt{\frac{EI}{m}},

且模態函數為

ϕn(x)=sin⁡(nπxL)。\phi_n(x)=\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)。

(三) 求第 nn 個模態的模態載重函數。

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核心觀念

本題考查 Euler–Bernoulli 梁的自由振動模態，以及集中力作用下的模態投影。均質簡支梁的橫向振動控制方程為

m∂2w∂t2+EI∂4w∂x4=p(x,t),m\frac{\partial^2 w}{\partial t^2} +EI\frac{\partial^4 w}{\partial x^4} =p(x,t),

其中 w(x,t)w(x,t) 為梁的鉛直位移，p(x,t)p(x,t) 為沿梁長分布的外力。中點集中力可寫成

p(x,t)=P(t)δ(x−L2),p(x,t)=P(t)\delta\left(x-\frac{L}{2}\right),

δ(⋅)\delta(\cdot) 為 Dirac delta 函數。簡支端的邊界條件為位移為零、彎矩為零。

解題方法

先由梁的力平衡寫出偏微分方程，再以模態展開將位移表示為各模態的線性組合。將展開式代回控制方程，利用模態正交性，可得到各模態的單自由度運動方程。模態載重由外力分布與模態函數相乘後沿梁長積分。

（一）運動方程式

取向下為位移正方向。均質梁的運動方程為

m∂2w(x,t)∂t2+EI∂4w(x,t)∂x4=P(t)δ(x−L2),0<x<L.m\frac{\partial^2 w(x,t)}{\partial t^2} +EI\frac{\partial^4 w(x,t)}{\partial x^4} =P(t)\delta\left(x-\frac{L}{2}\right), \qquad 0<x<L.

簡支梁兩端的邊界條件為

w(0,t)=w(L,t)=0,∂2w∂x2(0,t)=∂2w∂x2(L,t)=0.w(0,t)=w(L,t)=0, \qquad \frac{\partial^2 w}{\partial x^2}(0,t) = \frac{\partial^2 w}{\partial x^2}(L,t)=0.

令位移以模態函數展開：

w(x,t)=∑n=1∞ϕn(x)qn(t),w(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\phi_n(x)q_n(t),

其中 qn(t)q_n(t) 為第 nn 模態的時間座標。將模態展開代入偏微分方程，乘以 ϕr(x)\phi_r(x) 並對 xx 從 00 積分至 LL，利用模態正交性，可得第 rr 模態運動方程：

Mrq¨r(t)+Krqr(t)=Qr(t),M_r\ddot q_r(t)+K_rq_r(t)=Q_r(t),

其中

Mr=∫0Lmϕr2(x) dx,Kr=∫0LEI[ϕr′′(x)]2dx,M_r=\int_0^L m\phi_r^2(x)\,dx, \qquad K_r=\int_0^L EI\left[\phi_r''(x)\right]^2dx,

而 Qr(t)Q_r(t) 為第 rr 模態的廣義載重。

（二）模態頻率與模態函數

求自由振動模態時令外力為零，並設

w(x,t)=ϕ(x)eiωt.w(x,t)=\phi(x)e^{i\omega t}.

代入自由振動方程後，得到特徵方程：

EIϕ′′′′(x)−mω2ϕ(x)=0.EI\phi''''(x)-m\omega^2\phi(x)=0.

令

β4=mω2EI,\beta^4=\frac{m\omega^2}{EI},

則空間方程為

ϕ′′′′−β4ϕ=0.\phi''''-\beta^4\phi=0.

其通解可寫為

ϕ(x)=Acosh⁡(βx)+Bsinh⁡(βx)+Ccos⁡(βx)+Dsin⁡(βx).\phi(x)=A\cosh(\beta x)+B\sinh(\beta x) +C\cos(\beta x)+D\sin(\beta x).
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第 二 題25 分

二層樓之剪力建築（shear building），已知各樓層質量為 1000010000 公斤，且 1、2 樓層間勁度分別是 200000 N/m200000\ \mathrm{N/m} 及 180000 N/m180000\ \mathrm{N/m}。回答下列問題：

(一) 求質量矩陣、勁度矩陣、各振態頻率、振態向量、振態質量、振態勁度、振態參與因子。

(二) 假設依工程設計規範規定，自然頻率為 1 Hz1\ \mathrm{Hz} 和 5 Hz5\ \mathrm{Hz} 時的阻尼比應該是 0.030.03 及 0.050.05，又規定採用 Rayleigh Damping：

C=αM+βK。C=\alpha M+\beta K。

試求其係數 α\alpha 及 β\beta，並求本結構第一振態的阻尼比。注意，公式中的頻率單位應該轉換為角頻率，而非 Hz。

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核心觀念

二層剪力建築的自由振動方程式為

Mu¨+Ku=0。M\ddot{\mathbf u}+K\mathbf u=\mathbf 0。

各樓層質量相同，故質量矩陣為對角矩陣；勁度矩陣則由樓層間勁度組成。振態由廣義特徵值問題

(K−ωn2M)ϕn=0(K-\omega_n^2M)\boldsymbol\phi_n=\mathbf 0

求得，其中 ωn\omega_n 為第 nn 振態的角頻率，頻率 fn=ωn/(2π)f_n=\omega_n/(2\pi)。

振態向量的尺度可任意選擇。本解採用「第一樓層分量為 1」的正規化方式。振態質量、振態勁度與振態參與因子分別為

Mn=ϕnTMϕn,Kn=ϕnTKϕn,Γn=ϕnTM1ϕnTMϕn,M_n=\boldsymbol\phi_n^T M\boldsymbol\phi_n,\qquad K_n=\boldsymbol\phi_n^T K\boldsymbol\phi_n,\qquad \Gamma_n=\frac{\boldsymbol\phi_n^T M\mathbf 1}{\boldsymbol\phi_n^T M\boldsymbol\phi_n},

其中 1=[1  1]T\mathbf 1=[1\ \ 1]^T 為影響向量。

Rayleigh 阻尼矩陣為 C=αM+βKC=\alpha M+\beta K，第 nn 振態的阻尼比為

ζn=12(αωn+βωn)。\zeta_n=\frac{1}{2}\left(\frac{\alpha}{\omega_n}+\beta\omega_n\right)。

阻尼比公式中的頻率必須使用角頻率，單位為 rad/s\mathrm{rad/s}。

解題方法

（一）質量矩陣與勁度矩陣

兩樓層質量皆為 10000 kg10000\ \mathrm{kg}，因此

M=[100000010000] kg。M= \begin{bmatrix} 10000&0\\ 0&10000 \end{bmatrix}\ \mathrm{kg}。

設第一、二樓層間勁度分別為 k1=200000 N/mk_1=200000\ \mathrm{N/m}、k2=180000 N/mk_2=180000\ \mathrm{N/m}。剪力建築勁度矩陣為

K=[k1+k2−k2−k2k2]=[380000−180000−180000180000] N/m。K= \begin{bmatrix} k_1+k_2&-k_2\\ -k_2&k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 380000&-180000\\ -180000&180000 \end{bmatrix}\ \mathrm{N/m}。

（一）各振態頻率與振態向量

由於 M=10000IM=10000I，廣義特徵值 λ=ω2\lambda=\omega^2 等於 K/10000K/10000 的特徵值：

det⁡(K−λM)=0\det(K-\lambda M)=0 ∣38−λ−18−1818−λ∣=0⟹λ2−56λ+360=0。\begin{vmatrix} 38-\lambda&-18\\ -18&18-\lambda \end{vmatrix}=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^2-56\lambda+360=0。

因此

λ1=7.40874,λ2=48.59126(s−2)。\lambda_1=7.40874,\qquad \lambda_2=48.59126\quad(\mathrm{s^{-2}})。

依頻率由低至高排列：

ω1=λ1=2.72190 rad/s,f1=ω12π=0.43320 Hz,\omega_1=\sqrt{\lambda_1}=2.72190\ \mathrm{rad/s},\qquad f_1=\frac{\omega_1}{2\pi}=0.43320\ \mathrm{Hz}, ω2=λ2=6.97074 rad/s,f2=ω22π=1.10943 Hz。\omega_2=\sqrt{\lambda_2}=6.97074\ \mathrm{rad/s},\qquad f_2=\frac{\omega_2}{2\pi}=1.10943\ \mathrm{Hz}。

由第一列特徵方程式 (38−λ)ϕ1−18ϕ2=0(38-\lambda)\phi_1-18\phi_2=0，並令第一分量為 1，可得

ϕ1=[11.69951],ϕ2=[1−0.58840]。\boldsymbol\phi_1= \begin{bmatrix} 1\\ 1.69951 \end{bmatrix},\qquad \boldsymbol\phi_2= \begin{bmatrix} 1\\ -0.58840 \end{bmatrix}。

第一振態兩樓層同向振動；第二振態兩樓層反向振動。

（一）振態質量、振態勁度與振態參與因子

第一振態：

M1=10000(12+1.699512)=38883.49 kg,M_1=10000(1^2+1.69951^2)=38883.49\ \mathrm{kg},
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第 三 題25 分

有關隔震建築設計，請回答下列問題：

(一) 隔震裝置為何必須具備足夠消能能力？試舉出至少兩種具備消能能力的隔震裝置。

(二) 隔震設計採用靜力分析法的適用條件為何？至少列舉 3 項。

(三) 已知一隔震系統上結構總靜載重為 5000 kN5000\ \mathrm{kN}，在設計位移為 0.4 m0.4\ \mathrm{m} 下之有效勁度為 1000 kN/m1000\ \mathrm{kN/m}，且其在設計位移下之遲滯迴圈面積為 50 kN⋅m50\ \mathrm{kN\cdot m}。試求在設計位移下的有效震動週期和等效阻尼比。

(四) 隔震建築設計詳細要求中，對於抗傾倒的要求方面，需考慮最大傾倒力矩為何？抗傾倒力矩為何？其理由為何？

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核心觀念

本題考查隔震系統的消能機制、靜力分析適用範圍、有效週期與等效阻尼比的計算，以及隔震系統的抗傾倒規定。法規部分以命題當年（民國 112 年）《建築物耐震設計規範及解說》第九章為準；現行規範於民國 113 年 3 月 1 日修正部分規定。

（一）隔震裝置的消能能力

**為何需要消能：**隔震系統透過延長結構週期降低傳入上部結構的地震力，但這也可能造成隔震層位移增大。隔震裝置須能消耗地震輸入能量，以控制隔震層位移與結構反應，降低隔震裝置及周邊構件超出變形或受力能力的風險。

具消能能力的裝置例子：

  • 鉛心橡膠支承（LRB）：鉛心在反覆剪切下產生塑性變形並耗散能量。
  • 高阻尼橡膠支承（HDRB）：利用橡膠材料的黏彈性滯回耗能。
  • 摩擦型滑動支承：利用滑動面摩擦耗散能量。

（二）靜力分析法的適用條件

依命題當年規範第 9.2.1 節，隔震建築符合下列條件時，得採靜力分析法：

  1. 隔震系統及其上方結構均屬規則性配置。
  2. 隔震後有效週期 Te≤2.5 sT_e \leq 2.5\ \mathrm{s}。
  3. 建築物位於第一或第二類地盤，且距第一類活動斷層有適當距離。
  4. 隔震系統具備側向回復力，且在任何垂直力與水平力作用下，勁度為正值。
  5. 隔震系統的力與位移特性明顯不受加載率影響。

題目要求至少列舉三項，作答時宜寫出完整條件；適用條件不符合時，應採規範所定的動力分析方法。

（三）有效震動週期與等效阻尼比

已知上部結構總靜載重 W=5000 kNW=5000\ \mathrm{kN}、設計位移 D=0.4 mD=0.4\ \mathrm{m}、有效勁度 Ke=1000 kN/mK_e=1000\ \mathrm{kN/m}，遲滯迴圈面積 ED=50 kN⋅mE_D=50\ \mathrm{kN\cdot m}。

有效震動週期

隔震系統等效質量為 m=W/gm=W/g，故有效週期為：

Te=2πmKe=2πWgKeT_e=2\pi\sqrt{\frac{m}{K_e}} =2\pi\sqrt{\frac{W}{gK_e}}

取 g=9.81 m/s2g=9.81\ \mathrm{m/s^2}：

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第 四 題25 分

已知單自由度動力系統之質量 m=1 kgm=1\ \mathrm{kg}，勁度 k=16 N/mk=16\ \mathrm{N/m}。

(一) 試求如下圖 a～c 所表現的三種遲滯迴圈特性的消能器，分別在外力頻率為 2π rad/sec2\pi\ \mathrm{rad/sec}、4π rad/sec4\pi\ \mathrm{rad/sec} 作用下，振幅分別為 0.01 m0.01\ \mathrm{m}、0.02 m0.02\ \mathrm{m} 時的等值線性黏滯阻尼比（共計十二種組合）。

圖 a 及圖 b 為橢圓形遲滯迴圈，圖 c 為矩形遲滯迴圈，且圖 a 中的符號 ω\omega 表示振動頻率。所有力量單位為 N\mathrm{N}，質量單位為 kg\mathrm{kg}，長度單位為 m\mathrm{m}。

圖示資料如下：

  • 圖 a：橢圓形遲滯迴圈，縱軸最大值為 55、最小值為 −5-5；橫軸標示為 −ω-\omega 至 ω\omega。
  • 圖 b：橢圓形遲滯迴圈，縱軸最大值為 2020、最小值為 −20-20；橫軸標示為 −ω-\omega 至 ω\omega。
  • 圖 c：矩形遲滯迴圈，縱軸最大值為 0.40.4、最小值為 −0.4-0.4；橫軸標示為 −ω-\omega 至 ω\omega。

(二) 詳細說明最新建築物耐震設計規範中，建築物使用消能減震技術的數量以及安裝位置及消能器所能承受力量與位移之規定，並說明其規定用意。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念與題目數值

本題用力－位移遲滯迴圈的面積求每一循環耗散能量，再換算成等值線性黏滯阻尼比。依原頁掃描，題目數值為 m=1 kgm=1\ \mathrm{kg}、k=16π2 N/mk=16\pi^2\ \mathrm{N/m}；圖 a、b、c 的力上限分別為 5ρω5\rho\omega、20πρ20\pi\rho、0.4π0.4\pi。題目轉錄的 k=16 N/mk=16\ \mathrm{N/m} 與圖形標註均和原頁不符，以下依掃描作答。

振幅為 ρ\rho 時，最大應變能為

Es=12kρ2E_s=\frac12 k\rho^2

若遲滯迴圈每週期耗散能為 ΔE\Delta E，則等值線性黏滯阻尼比為

ξeq=ΔE4πEs=ΔE2πkρ2\xi_{\mathrm{eq}}=\frac{\Delta E}{4\pi E_s} =\frac{\Delta E}{2\pi k\rho^2}

（一）三種消能器的等值線性黏滯阻尼比

圖 a、b 是橢圓形迴圈，若橢圓半軸分別為 ρ\rho 與 Fmax⁡F_{\max}，其面積為 πρFmax⁡\pi\rho F_{\max}；圖 c 是矩形迴圈，面積為 4ρFmax⁡4\rho F_{\max}。

圖 a：橢圓形迴圈，Fmax⁡=5ρωF_{\max}=5\rho\omega

ΔEa=πρ(5ρω)=5πωρ2\Delta E_a=\pi\rho(5\rho\omega)=5\pi\omega\rho^2 ξa=5πωρ22πkρ2=5ω2k=5ω32π2\xi_a=\frac{5\pi\omega\rho^2}{2\pi k\rho^2} =\frac{5\omega}{2k} =\frac{5\omega}{32\pi^2}

因此，外力頻率為 2π rad/sec2\pi\ \mathrm{rad/sec} 時，ξa=5/(16π)≈0.0995\xi_a=5/(16\pi)\approx0.0995；頻率為 4π rad/sec4\pi\ \mathrm{rad/sec} 時，ξa=5/(8π)≈0.1989\xi_a=5/(8\pi)\approx0.1989。結果與振幅無關。

圖 b：橢圓形迴圈，Fmax⁡=20πρF_{\max}=20\pi\rho

ΔEb=πρ(20πρ)=20π2ρ2\Delta E_b=\pi\rho(20\pi\rho)=20\pi^2\rho^2 ξb=20π2ρ22πkρ2=58π≈0.1989\xi_b=\frac{20\pi^2\rho^2}{2\pi k\rho^2} =\frac{5}{8\pi}\approx0.1989

結果與外力頻率及振幅均無關。

圖 c：矩形迴圈，Fmax⁡=0.4πF_{\max}=0.4\pi

ΔEc=4ρ(0.4π)=1.6πρ\Delta E_c=4\rho(0.4\pi)=1.6\pi\rho ξc=1.6πρ2πkρ2=0.05π2ρ\xi_c=\frac{1.6\pi\rho}{2\pi k\rho^2} =\frac{0.05}{\pi^2\rho}

結果與外力頻率無關，但與振幅成反比。

十二種組合結果

消能器頻率（rad/sec）振幅 0.01 m0.01\ \mathrm{m}振幅 0.02 m0.02\ \mathrm{m}
圖 a2π2\pi5/(16π)≈0.09955/(16\pi)\approx0.09955/(16π)≈0.09955/(16\pi)\approx0.0995
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