111 專技高考高等考試 結構工程技師 結構動力分析與耐震設計 考古題詳解

核心觀念

本題考查平面剛構架的直接勁度法、以靜態濃縮消去轉角自由度，以及二自由度系統的模態分析與簡諧受迫穩態反應。

依圖示，忽略軸向變形後，柱頂 $A$ 的垂直位移與梁端 $B$ 的水平位移均為零；保留的平移自由度為 $1$、$2$，待濃縮的轉角自由度為 $3$、$4$。以下以圖示箭頭方向作為轉角正向。題目所列 $EI=2000\ \mathrm{N/m^2}$ 的量綱與撓曲剛度不符，以下依數值 $2000$ 計算，並採慣用單位 $\mathrm{N\cdot m^2}$。

解題方法

柱底固定、梁長與柱長皆為 $L=3\ \mathrm m$。令自由度向量為

直接勁度法先分別建立柱、梁的彎曲剛度，再依自由度編號組裝。令

柱對自由度 $1$、$3$ 的無因次勁度子矩陣為

梁端 $A$ 的垂直位移為零，梁對自由度 $2$、$3$、$4$ 的勁度子矩陣為

其中自由度順序為 $2,3,4$。組裝後的四自由度勁度矩陣為

集中質量分別位於自由度 $1$、$2$，且忽略轉動慣量，因此

將保留自由度記為 $c=(1,2)$，消去自由度記為 $r=(3,4)$。靜態濃縮公式為

代入矩陣得

因轉角自由度沒有質量，而兩個平移質量都在保留自由度上，濃縮後質量矩陣為

（一）四自由度與濃縮後矩陣

四自由度勁度矩陣、質量矩陣分別為

靜態濃縮至自由度 $1,2$ 後：

核心觀念

本題評量重點為耐震特別抗彎矩構架（SMF）中「撓曲構材（梁）」的耐震細則規定與力學機制。核心精神在於落實容量設計法（Capacity Design）與確保梁端塑性鉸（Plastic Hinge）的旋轉延展能力，防止發生脆性破壞（如剪力破壞、握裹滑移劈裂破壞、受壓混凝土崩碎及縱筋受壓挫屈）。

法源依據以命題當年（民國 111 年）法規為準，依據內政部《混凝土結構設計規範》（民國 100 年版）第十五章「耐震設計之特別規定」第 15.3 節「撓曲構材」之規定。（註：現行法已於民國 112 年通盤修正為與 ACI 318-19 調和之章節架構，但相關幾何、配筋上限與閉合箍筋之間距等力學要求精神完全一致，解題仍以命題當年規範為準）。

解題方法

本題為純規範條文與耐震力學機制的申論題。解題切入點採「法規量化規定（What）」結合「結構力學與破壞機制理由（Why）」之雙軌架構作答：

1. 子題 (一)：從梁柱接頭之幾何幾何傳力邊界切入，推導梁寬與柱寬、柱深之關係，並以剪力傳遞與錨定說明理由。
2. 子題 (二)：分別就「最大鋼筋比」與「縱向鋼筋搭接」之規定與力學理由分項條列，強調延展性、施工性及握裹劈裂保護。
3. 子題 (三)：剖析閉合箍筋的三大力學目的（圍束、防挫、抗剪），再對應寫出塑性鉸區之保護長度與間距上限制約。

選項分析

本題為專技高考結構工程技師之申論題，非選擇題，故無各選項之正誤分析。以下針對各小題題旨進行嚴謹的條文化與力學化解析。

各小題詳解

(一) 計算梁寬最大值的規定與理由

1. 梁寬最大值之規定

依《混凝土結構設計規範》第 15.3.1 節，梁之截面寬度 $b_w$ 不得大於柱（支承構材）在垂直於梁軸方向之寬度 $c_2$，加上其兩側各向外延伸之寬度；各側延伸寬度不得超過柱深 $c_1$ 與 $0.75c_2$ 之較小值。

當梁對稱置中於柱時，梁之最大寬度為： $b_{w,\max} = c_2 + 2 \times \min(c_1,\, 0.75c_2)$

若梁偏心設置，梁外緣突出柱外側之距離，於各側均不得大於 $\min(c_1,\, 0.75c_2)$。

2. 此規定的理由

• 確保梁縱向鋼筋有效錨定與應力傳遞：若梁寬過大，位於柱寬範圍外的縱向鋼筋無法直接貫穿或錨定於柱之圍束核心內，其受拉與受壓合力無法有效傳遞至接頭區，會造成嚴重之局部應力集中與接頭受力不均。
• 避免顯著的剪力遲滯（Shear Lag）：限制梁寬可確保全斷面梁混凝土與鋼筋均能均勻且有效地參與抗彎矩機制，避免外側突出的梁翼受力延遲或無法有效發揮強度。

(二) 縱向鋼筋最大鋼筋比與搭接的規定及理由

1. 縱向鋼筋最大鋼筋比之規定與理由

• 規定： 梁之頂層與底層縱向鋼筋，其鋼筋比 $\rho$ 及 $\rho'$ 皆不得大於 0.025（即 $2.5\%$）。
• 理由：

1. 確保梁斷面具備足夠的曲率延展性（Curvature Ductility）：限制受拉鋼筋量可控制中性軸深度，確保鋼筋降伏後能產生大量非彈性拉伸應變，防止受壓側混凝土在鋼筋發揮充分延展性前過早脆性壓碎。
2. 避免鋼筋過度擁擠（Congestion）：確保梁端塑性鉸區之粗骨材與混凝土漿體容易澆置並充分搗實，保障核心混凝土之圍束品質。
3. 限制梁端抗彎超強容量：避免梁端因鋼筋配置過多而產生過大的標稱抗彎強度，以符合「強柱弱梁」原則，防止塑性鉸先形成於柱端。

2. 縱向鋼筋搭接之規定與理由

• 規定：

1. 搭接位置限制：不得在下列區域內進行搭接：

• 梁柱接頭之內部。
• 距離柱面（支承面）兩倍梁深（$2h$）之範圍內。
• 經結構分析顯示，因非彈性側位移而可能產生撓曲降伏之區域內。

2. 圍束要求：在允許搭接的長度範圍內，必須沿全長配置閉合箍筋或螺箍筋圍束，其間距不得大於 $d/4$（$d$ 為梁有效深度）且不得大於 $10\text{ cm}$。
3. 搭接等級：受拉鋼筋搭接長度應符合乙級搭接之長度規定。

• 理由：

1. 避免搭接處於高應變塑性鉸區而失效：梁端 $2h$ 範圍內在強震下會反覆出現正負交替之大曲率塑性轉動，混凝土表面將產生嚴重交叉裂縫且保護層易於剝落。若在此區搭接，混凝土對鋼筋之握裹力急劇衰退，極易引發搭接劈裂或滑移破壞。

核心觀念

1. 耐震設計規範之動力分析適用門檻： 依據命題當年（民國 111 年）適用之《建築物耐震設計規範與解說》第 2.8 節「動力分析之適用範圍」，結構物是否必須採用動力分析，取決於其規則性、建築物高度與樓層數。規則性結構在達到特定高度或樓層數以上時，因高振態效應及側向變形行為較複雜，規範強制規定不得僅採用等效靜力分析法，必須進行動力分析。
2. 多自由度系統特徵值問題（Eigenvalue Problem）： 剪力屋架自由度為各樓層側向相對位移，由無阻尼自由振動運動方程式推導特徵方程式 $\det(K - \omega^2 M) = 0$，藉此求得各振態之自然頻率 $\omega_n$ 與振型向量 $\phi_n$。
3. 反應譜振態疊加分析（Response Spectrum Analysis）：

• 計算振態參與係數 $\Gamma_n = \frac{\phi_n^T M \{1\}}{\phi_n^T M \phi_n}$。
• 由結構振動週期 $T_n = \frac{2\pi}{\omega_n}$ 對應設計加速度反應譜 $S_{a,n}$，進而求得譜位移 $S_{d,n} = \frac{S_{a,n}}{\omega_n^2}$。
• 計算各振態頂樓最大位移 $u_{2,n} = \Gamma_n \phi_{2n} S_{d,n}$。

4. 平方和開根號法（SRSS 法, Square Root of the Sum of the Squares）： 各振態週期相差足夠大時，各振態最大反應發生之時間點彼此獨立，最大總反應以各振態峰值平方和開根號估算： $u_{\max} = \sqrt{\sum u_n^2}$

解題方法

(一) 規則性結構必須進行動力分析之高度與樓層數條件

依據命題當年（民國 111 年）適用之《建築物耐震設計規範與解說》第 2.8 節「動力分析之適用範圍」規定，結構物符合下列條件之一者，應進行動力分析：

1. 高度條件：建築物高度在 50 公尺以上（$h \ge 50\text{ m}$）。
2. 樓層數條件：建築物地上超過 15 樓（或地上樓層數在 16 樓以上）。

法規備註：現行最新《建築物耐震設計規範與解說》對於規則性結構之高度（50 公尺以上）及樓層數（超過 15 樓）門檻維持一致規定。

(二) 剪力屋架頂樓最大側向位移計算

設系統之側向位移自由度向量為 $u = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix}$，其中 $u_1$ 為 1 樓側向位移，$u_2$ 為 2 樓（頂樓）側向位移。

質量矩陣與勁度矩陣分別為：

步驟 1：求解自然頻率與週期

令特徵方程式 $\det(K - \omega^2 M) = 0$：

同除以 $100$：

展開行列式：

求解 $\omega^2$：

取 $\sqrt{5} \approx 2.2361$：

• 第一振態：

• 第二振態：

步驟 2：求解振態振型向量（Mode Shapes）

由方程式 $(K - \omega_n^2 M)\phi_n = 0$ 之第二列得：

若正規化令 $\phi_{1n} = 1$：

• 第一振態：

• 第二振態：

核心觀念

本題考查結構耐震評估中「非線性靜力推垮分析（Nonlinear Static Pushover Analysis）」的側向加載模式（Lateral Load Patterns）。 非線性靜力推垮分析是透過在結構上施加一組預設且比例固定的側向力，逐步遞增（Monotonically increasing）推至目標位移（Target displacement），藉此評估結構的強度折減、韌性容量、塑性鉸分布及破壞機制。 其側力的豎向分配（Vertical distribution）實質上反映了對結構慣性力分布形狀的假定。側力豎向分配之精確度直接決定了結構各樓層之層剪力（Story shear）、翻覆力矩（Overturning moment）以及各構件屈服先後順序的預測合理性。

命題涉及之規範與學理依據包含：

1. 建築物耐震設計規範及解說（以命題當年民國 111 年法規為準）：等效靜力分析方法與側向力豎向分配規定（第 2.7 節）。
2. ASCE 41-17 / FEMA 356 / FEMA 440：非線性靜力分析建議採用之側向載重型態，要求分析時應至少涵蓋兩種以上不同的側力分布型態（例如一組高振態/均勻分布、一組第一振態/倒三角分布），以包絡結構彈塑性行為的不確定性。

解題方法

(一) 各種水平側向力分布之計算方法與 3 層平面結構計算例

1. 計算方法說明

設建築物總樓層數為 $N$，第 $i$ 層之重量為 $w_i$（質量為 $m_i$），自基底算起之樓層高度為 $h_i$，施加之總基底剪力為 $V_b$。

1. 均勻分布（Uniform Distribution）： 假定結構沿高度具有均勻的加速度響應，各層側力與該層重量（或質量）成正比： $F_i = V_b \frac{w_i}{\sum_{j=1}^N w_j}$

2. 倒三角分布（Inverted Triangular Distribution）： 假定結構之第一振態形狀為隨高度呈直線遞增之線性側移（即加速度隨高度線性增加），側力與重量及高度之乘積成正比： $F_i = V_b \frac{w_i h_i}{\sum_{j=1}^N w_j h_j}$

3. 指數分布（Exponential Distribution / Power-law Distribution）： 引入指數 $k$ 修正高度項，藉此反映中長週期建築因高振態效應引起的側力向上集中現象： $F_i = V_b \frac{w_i h_i^k}{\sum_{j=1}^N w_j h_j^k}$ 依耐震設計規範，指數 $k$ 取決於結構基本自振週期 $T$：

• 當 $T \le 0.5\text{ s}$ 時，$k = 1$（退化為倒三角分布）。
• 當 $T \ge 2.5\text{ s}$ 時，$k = 2$（拋物線分布）。
• 當 $0.5\text{ s} < T < 2.5\text{ s}$ 時，採線性內插：$k = 1 + \frac{T - 0.5}{2}$。

4. 經驗分布（Empirical / Code Distribution）： 依我國《建築物耐震設計規範》（民國 111 年版）之等效靜力法規定，當基本週期 $T > 0.7\text{ s}$ 時，頂層需加計集中側力 $F_t$（鞭鞘效應），以反映高振態影響： $F_t = 0.07 T V_b \le 0.25 V_b \quad (\text{當 } T \le 0.7\text{ s} \text{ 時，} F_t = 0)$ 扣除 $F_t$ 後之剩餘基底剪力 $(V_b - F_t)$ 則按倒三角線性分配至各樓層： $F_i = (V_b - F_t) \frac{w_i h_i}{\sum_{j=1}^N w_j h_j} \quad (i = 1, 2, \dots, N-1)$ $F_N = (V_b - F_t) \frac{w_N h_N}{\sum_{j=1}^N w_j h_j} + F_t$

5. 振態組合法（Modal Combination - SRSS 法）： 利用彈性反應譜分析，考量前 $m$ 個主要振態，各振態之樓層慣性力為 $F_{in} = \Gamma_n \phi_{in} m_i S_a(T_n)$。 為滿足靜力平衡（層剪力總和等於基底剪力），標準作法為：

• 計算各振態在各樓層之層剪力：$V_{i,n} = \sum_{j=i}^N F_{j,n}$。
• 對各樓層層剪力進行平方和開根號（SRSS）組合：$V_i = \sqrt{\sum_{n=1}^m V_{i,n}^2}$。
• 由組合後之層剪力差值反推各層側向力：$F_i' = V_i - V_{i+1}$（其中頂層 $V_{N+1} = 0$）。
• 最後依總基底剪力 $V_b$ 進行正規化縮放：$F_i = F_i' \times \frac{V_b}{V_1}$。

2. 3 層平面結構數值計算例

結構條件假設：

• 樓層數 $N = 3$。
• 各層重量相等：$w_1 = w_2 = w_3 = 100\text{ tf}$（總重量 $W = 300\text{ tf}$）。
• 各層距基底高度：$h_1 = 3\text{ m}$、$h_2 = 6\text{ m}$、$h_3 = 9\text{ m}$。
• 設計基底剪力：$V_b = 60\text{ tf}$。
• 結構基本自振週期：$T = 1.0\text{ s}$。

(1) 均勻分布計算：

$\sum_{j=1}^3 w_j = 100 + 100 + 100 = 300\text{ tf}$ $F_1 = 60 \times \frac{100}{300} = 20.00\text{ tf}$ $F_2 = 60 \times \frac{100}{300} = 20.00\text{ tf}$ $F_3 = 60 \times \frac{100}{300} = 20.00\text{ tf}$ 檢算：$\sum F_i = 20 + 20 + 20 = 60.00\text{ tf}$。

(2) 倒三角分布計算：

$\sum_{j=1}^3 w_j h_j = 100(3) + 100(6) + 100(9) = 300 + 600 + 900 = 1800\text{ tf}\cdot\text{m}$ $F_1 = 60 \times \frac{100 \times 3}{1800} = 60 \times \frac{1}{6} = 10.00\text{ tf}$ $F_2 = 60 \times \frac{100 \times 6}{1800} = 60 \times \frac{2}{6} = 20.00\text{ tf}$ $F_3 = 60 \times \frac{100 \times 9}{1800} = 60 \times \frac{3}{6} = 30.00\text{ tf}$ 檢算：$\sum F_i = 10 + 20 + 30 = 60.00\text{ tf}$。

(3) 指數分布計算：

當 $T = 1.0\text{ s}$ 時： $k = 1 + \frac{1.0 - 0.5}{2} = 1.25$ 各高度項計算：

• $h_1^{1.25} = 3^{1.25} \approx 3.9482$
• $h_2^{1.25} = 6^{1.25} \approx 9.3894$
• $h_3^{1.25} = 9^{1.25} \approx 15.5885$

$\sum_{j=1}^3 w_j h_j^{1.25} = 100 \times (3.9482 + 9.3894 + 15.5885) = 2892.61\text{ tf}\cdot\text{m}^{1.25}$

各層側力： $F_1 = 60 \times \frac{100 \times 3.9482}{2892.61} = 8.19\text{ tf}$ $F_2 = 60 \times \frac{100 \times 9.3894}{2892.61} = 19.47\text{ tf}$ $F_3 = 60 \times \frac{100 \times 15.5885}{2892.61} = 32.34\text{ tf}$ 檢算：$\sum F_i = 8.19 + 19.47 + 32.34 = 60.00\text{ tf}$。

(4) 經驗分布計算：

基本週期 $T = 1.0\text{ s} > 0.7\text{ s}$，故頂層計入集中力 $F_t$： $F_t = 0.07 T V_b = 0.07 \times 1.0 \times 60 = 4.20\text{ tf}$ 檢核上限：$F_t \le 0.25 V_b = 0.25 \times 60 = 15.00\text{ tf}$（符合）。 剩餘基底剪力： $V_b - F_t = 60 - 4.20 = 55.80\text{ tf}$