111 年專技高考高等考試結構工程技師考古題與詳解

Question 1

下圖所示梁斷面之拉力筋為 $3$-D25 和 $2$-D22，壓力筋為 $2$-D19。混凝土抗壓強度 $f'c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，鋼筋降伏強度 $fy=5600\ \mathrm{kgf/cm^2}$，淨保護層 $c=4\ \mathrm{cm}$，試求該斷面之設計彎矩強度 $\phi Mn$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 圖示資料：梁寬 $30\ \mathrm{cm}$、梁深 $60\ \mathrm{cm}$，箍筋採用 D13；上層鋼筋為 $2$-D19，下層鋼筋為 $3$-D25，另配置 $2$-D22。

Accepted Answer

核心觀念

本題考雙筋梁的極限強度分析：用等值矩形壓力塊計算混凝土壓力，配合平截面假設求鋼筋應變與應力，再由軸力平衡求中性軸深度 $c_n$ ，最後計算名義彎矩 $M_n$ ，並依最外層拉力筋應變決定強度折減係數 $\phi$ 。

採用 $f'_c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 時， $\beta_1=0.85$ ；鋼筋彈性模數取 $E_s=2.04\times10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 。

解題方法

取梁頂為壓力側，斷面尺寸為 $b=30\ \mathrm{cm}$ 、 $h=60\ \mathrm{cm}$ 。D13 箍筋直徑為 $1.27\ \mathrm{cm}$ ，依圖示配置與淨保護層 $4\ \mathrm{cm}$ ，各層鋼筋中心深度如下：

上層壓力筋 $2$ -D19： $d'=4+1.27+\frac{1.905}{2}=6.22\ \mathrm{cm}$
下層拉力筋 $3$ -D25： $d_1=60-\left(4+1.27+\frac{2.54}{2}\right)=53.46\ \mathrm{cm}$
上一層拉力筋 $2$ -D22：圖示 $2.5\ \mathrm{cm}$ 為兩層鋼筋間的淨距，因此兩層中心距為 $2.5+\frac{2.54+2.22}{2}=4.88\ \mathrm{cm}$ $d_2=53.46-4.88=48.58\ \mathrm{cm}$

採用鋼筋標稱面積：D25 為 $5.07\ \mathrm{cm^2}$ 、D22 為 $3.87\ \mathrm{cm^2}$ 、D19 為 $2.87\ \mathrm{cm^2}$ 。因此

A_{s1}=3(5.07)=15.21\ \mathrm{cm^2},\quad A_{s2}=2(3.87)=7.74\ \mathrm{cm^2},\quad A'_s=2(2.87)=5.74\ \mathrm{cm^2}

先假設兩層拉力筋均降伏，拉力合計為 $T=(15.21+7.74)(5600)=128{,}520\ \mathrm{kgf}$

令中性軸深度為 $c_n$ ，壓力塊深度 $a=\beta_1c_n=0.85c_n$ 。壓力筋位於壓力塊內，故鋼筋力須扣除其位置原有的混凝土壓力。由應變相容：

Question 2

混凝土斷面寬度 $30\ \mathrm{cm}$，深度 $50\ \mathrm{cm}$，承受設計彎矩 $Mu=19.5\ \mathrm{tf\cdot m}$。假設有效深度 $d=43.5\ \mathrm{cm}$，可選用之混凝土強度分別為 $f'c=210、280\ \mathrm{kgf/cm^2}$；鋼筋降伏強度分別為 $fy=4200、5600\ \mathrm{kgf/cm^2}$。若拉力鋼限用 D25 鋼筋，請設計所需最經濟之材料強度與拉力鋼筋支數，及對應之材料強度，並請評論材料強度對拉力鋼筋用量之影響。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題是矩形單筋梁的彎矩設計，重點是由設計彎矩 $Mu$ 求所需拉力鋼筋面積 $As$，再依 D25 單支鋼筋面積換算支數。比較材料強度時，要同時檢核混凝土強度 $f'c$ 與鋼筋降伏強度 $fy$ 對所需鋼筋量的影響。 採用矩形壓力塊： $$ a=\frac{As fy}{0.85f'c b},\qquad Mn=As fy\left(d-\frac a2ight) $$ 並以強度折減係數 $\phi=0.90$ 設計，檢核 $\phi Mn\ge Mu$。本題鋼筋應變大於張力控制界限，故可採 $\phi=0.90$。 解題方法 已知： $$ b=30	ext{ cm},\quad d=43.5	ext{ cm},\quad Mu=19.5	ext{ tf}\cdot	ext{m}=1{,}950{,}000	ext{ kgf}\cdot	ext{cm} $$ 將 $Mu=\phi Mn$ 代入壓力塊公式，可整理為： $$ \phi As fy\left(d-\frac{As fy}{2(0.85f'c b)}ight)=Mu $$ 各材料強度組合的計算結果如下。D25 單支鋼筋面積取 $5.07	ext{ cm}^2$，支數採足以滿足所需面積的整數。 | $f'c$（kgf/cm²） | $fy$（kgf/cm²） | 所需 $As$（cm²） | D25 支數 | |---:|---:|---:|---:| | 210 | 4200 | 13.50 | 3 | | 280 | 4200 | 13.00 | 3 | | 210 | 5600 | 10.13 | 2 | | 280 | 5600 | 9.75 | 2 | 其中，2-D25 的實際鋼筋面積為： $$ As=2(5.07)=10.14	ext{ cm}^2 $$ 選用 $f'c=210	ext{ kgf/cm}^2$、$fy=5600	ext{ kgf/cm}^2$ 時： $$ a=\frac{10.14(5600)}{0.85(210)(30)} =10.61	ext{ cm} $$

Question 3

如下圖所示之簡支預力混凝土梁跨徑 $L=20\ \mathrm{m}$，鋼筋混凝土之單位重 $\gamma=2.4\ \mathrm{tf/m^3}$，混凝土強度 $f'c=420\ \mathrm{kgf/cm^2}$，主筋降伏強度 $fy=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$，肋筋降伏強度 $f{yt}=2800\ \mathrm{kgf/cm^2}$，有效預力 $Fe=200\ \mathrm{tf}$。 今於地震後發現距離梁端支承約一倍有效深度處出現腹剪裂縫，經查原設計階段所採用之垂直肋筋為 D10@15 cm，使用載重包括：自重 $WG$、均布靜載重 $WD=1.1\ \mathrm{tf/m}$、集中活載重 $PL=25\ \mathrm{tf}$，但未考慮垂直向地震力。 今擬重新檢討，假設垂直向地震力為均佈載重，其值為自重 $WG$ 與均布靜載重 $WD$ 兩者相加後的 $25\%$，且仍使用 D10 當作垂直肋筋，請問肋筋間距 $s$ 宜如何配置以避免產生腹剪破壞？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 圖示資料：預力簡支 PCI 形梁，梁跨徑為 $L$；剖面總深度 $90\ \mathrm{cm}$，上翼板寬 $45\ \mathrm{cm}$、厚 $20\ \mathrm{cm}$，腹板寬 $17.5\ \mathrm{cm}$、高 $50\ \mathrm{cm}$，下翼板厚 $20\ \mathrm{cm}$；下層鋼筋位置距底部 $12\ \mathrm{cm}$。

Accepted Answer

核心觀念 本題考預力混凝土梁的腹剪強度與垂直肋筋設計。預力梁剪力設計須考慮混凝土剪力強度與肋筋剪力強度，並以強度折減係數 $\phi$ 檢核： $$ \phi(Vc+Vs)\ge Vu $$ 題目指定支承附近出現腹剪裂縫，因此以腹剪強度 $V{cw}$ 檢核。依命題當年適用的民國110年版《混凝土結構設計規範》計算；現行規範已於民國112年修正，解題仍依命題年度版本。 解題方法 先依圖算梁自重，再依載重組合求距支承一倍有效深度處的設計剪力；接著計算預力梁腹剪強度，求肋筋所需剪力與間距。 1. 計算梁自重與有效深度 截面面積為 $$ Ag=2(45)(20)+(17.5)(50)=2675\ \mathrm{cm^2} =0.2675\ \mathrm{m^2} $$ 因此自重為 $$ WG=0.2675(2.4)=0.642\ \mathrm{tf/m} $$ 依圖示，下層鋼筋距梁底 $12\ \mathrm{cm}$，故由梁頂量至鋼筋重心的有效深度為 $$ d=90-12=78\ \mathrm{cm}=0.78\ \mathrm{m} $$ 2. 計算地震載重與設計剪力 垂直向地震均布載重為 $$ WE=0.25(WG+WD) =0.25(0.642+1.1) =0.4355\ \mathrm{tf/m} $$ 採用地震載重組合 $1.2D+1.0L+1.0E$，均布設計載重為 $$ wu=1.2(WG+WD)+WE =1.2(1.742)+0.4355 =2.526\ \mathrm{tf/m} $$ 圖中有兩個 $PL=25\ \mathrm{tf}$ 集中活載重，分別距兩端支承 $L/3$。由對稱性，支承反力為 $$ Ru=\frac{wuL}{2}+25 =\frac{2.526(20)}{2}+25 =50.26\ \mathrm{tf} $$ 在支承內側 $x=d=0.78\ \mathrm{m}$ 處尚未遇到集中載重，因此 $$ Vu=Ru-wud =50.26-2.526(0.78) =48.29\ \mathrm{tf} $$ 3. 計算預力梁腹剪強度 腹板寬度 $bw=17.5\ \mathrm{cm}$。有效預力在混凝土全截面上的平均壓應力為 $$ f{pc}=\frac{Fe}{Ag} =\frac{200\,000}{2675} =74.77\ \mathrm{kgf/cm^2} =7.33\ \mathrm{MPa} $$ 混凝土強度換算為

Question 4

某鋼筋混凝土柱之斷面尺寸 $80	imes80\ \mathrm{cm}$、淨高度 $6.4\ \mathrm{m}$，混凝土強度 $f'c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，鋼筋降伏強度 $fy=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$，縱向主筋使用 D32 鋼筋。 已知該柱於軸壓力分別為 $P=180\ \mathrm{tf}$ 及 $P=360\ \mathrm{tf}$ 作用時，柱底彎矩塑鉸性質分別如表 3 所示，皆為雙線性曲線。該柱底今承受軸壓力 $P=270\ \mathrm{tf}$、彎矩 $M=232.5\ \mathrm{tf\cdot m}$，假設其彎矩塑鉸性質可由表 3 數值作線性內插，且反曲點位於淨高度一半位置。請根據民國 109 年 12 月交通部頒「公路橋梁耐震評估與補強設計規範」所列公式如下，以撓曲變形為主，評估反曲點下方柱視作單曲率柱時之曲率韌性需求 $\mu\phi$、轉角韌性需求 $\mu	heta$，與位移韌性需求 $\mu$。 $$ \deltay=\frac{\phiyL^2}{3},\qquad 	hetay=\frac{\deltay}{L} $$ $$ \deltau=\frac{Mu}{My}\deltay+(\phiu-\phiy)LP	imes(L-0.5LP),\qquad 	hetau=\frac{\deltau}{L} $$ $$ LP=0.08L+0.0022dbfy\geq0.0044dbfy $$ 表 3 彎矩塑鉸參數表： | 狀態 | 軸力 $P=180\ \mathrm{tf}$ 曲率 $\phi$（rad/m） | 軸力 $P=180\ \mathrm{tf}$ 彎矩 $M$（tf-m） | 軸力 $P=360\ \mathrm{tf}$ 曲率 $\phi$（rad/m）…

Accepted Answer

核心觀念

本題以命題所附的民國 109 年 12 月《公路橋梁耐震評估與補強設計規範》公式，計算柱在指定軸力與彎矩需求下的曲率、轉角及位移韌性需求；法規依命題當年（民國 111 年）題目所列內容為準。

三種韌性需求分別為：

\mu_\phi=\frac{\phi_u}{\phi_y},\qquad \mu_\theta=\frac{\theta_u}{\theta_y},\qquad \mu=\frac{\delta_u}{\delta_y}

其中 $\phi_u$ 與 $\delta_u$ 對應指定的彎矩需求 $M_u=232.5\ \mathrm{tf\cdot m}$ 。

解題方法

先依軸力 $P=270\ \mathrm{tf}$ ，對表 3 中 $P=180$ 與 $360\ \mathrm{tf}$ 的塑鉸數值作線性內插。因 $270\ \mathrm{tf}$ 位於兩者正中間：

\phi_y=\frac{0.004+0.006}{2}=0.005\ \mathrm{rad/m}

M_y=\frac{200+240}{2}=220\ \mathrm{tf\cdot m}

\phi_{\mathrm{lim}}=\frac{0.03+0.01}{2}=0.02\ \mathrm{rad/m}, \qquad M_{\mathrm{lim}}=\frac{230+260}{2}=245\ \mathrm{tf\cdot m}

指定彎矩 $232.5\ \mathrm{tf\cdot m}$ 位於降伏點與極限點彎矩的正中間。依雙線性曲線的第二段線性內插：

\phi_u =0.005+ \frac{232.5-220}{245-220}(0.02-0.005) =0.0125\ \mathrm{rad/m}

因此曲率韌性需求為：

\mu_\phi=\frac{0.0125}{0.005}=\boxed{2.50}

接著計算塑鉸長度。D32 鋼筋直徑取 $d_b=3.2\ \mathrm{cm}$ ；套用題列公式時，以 $L$ 、 $d_b$ 為公分計算塑鉸長度：

L=6.4\ \mathrm{m}=640\ \mathrm{cm}

狀態	軸力 $P=180\ \mathrm{tf}$ 曲率 $\phi$ （rad/m）	軸力 $P=180\ \mathrm{tf}$ 彎矩 $M$ （tf-m）	軸力 $P=360\ \mathrm{tf}$ 曲率 $\phi$ （rad/m）	軸力 $P=360\ \mathrm{tf}$ 彎矩 $M$ （tf-m）
原點	$0$	$0$	$0$	$0$
降伏點	$0.004$	$200$	$0.006$	$240$
極限點	$0.03$	$230$	$0.01$	$260$

111 專技高考高等考試結構工程技師鋼筋混凝土設計與預力混凝土設計考古題詳解

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