113 年專技高考高等考試結構工程技師考古題與詳解

Question 1

某一左右對稱 T 形梁斷面示意圖如圖 1 所示。 若採用中強度鋼筋（$fy=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$Es=2.04	imes10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$）、混凝土（$f'c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$\varepsilonu=0.003$）時，請依規範計算該斷面之最大鋼筋量與最小鋼筋量。 若更換為高強度鋼筋（$fy=6900\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$Es=2.04	imes10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$）及較低強度混凝土（$f'c=210\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$\varepsilonu=0.004$），斷面不變，則 T 形梁斷面之平衡鋼筋量與最大鋼筋量分別為若干？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 圖 1 T 形梁斷面示意圖：翼板寬度 $80\ \mathrm{cm}$、翼板厚度 $20\ \mathrm{cm}$、腹板寬度 $40\ \mathrm{cm}$、翼板下方腹板深度 $60\ \mathrm{cm}$。

Accepted Answer

核心觀念 本題依命題指定的《混凝土工程設計規範與解說》（土木 401-112），考非預力梁最小受撓鋼筋量、以拉力應變限值決定的最大鋼筋量，以及平衡鋼筋量。計算時先由線性應變分布求中性軸深度 $c$，再用矩形應力塊計算混凝土壓力合力。 圖示鋼筋中心距翼板底面 $60\ \mathrm{cm}$，翼板厚度為 $20\ \mathrm{cm}$，所以有效深度為 $$ d=20+60=80\ \mathrm{cm}. $$ 腹板寬 $bw=40\ \mathrm{cm}$、翼板寬 $bf=80\ \mathrm{cm}$、翼板厚 $hf=20\ \mathrm{cm}$。兩種混凝土強度均適用 $\beta1=0.85$；若應力塊深度 $a=\beta1c$ 超過翼板厚度，壓力區分成翼板與腹板兩部分： $$ Ac=bfhf+bw(a-hf), \qquad C=0.85f'c Ac. $$ 解題方法 依規範第 9.6.1.2 節，最小鋼筋量為兩式計算值之大者： $$ A{s,\min}= \max\left( \frac{0.8\sqrt{f'c}}{fy}bwd,\; \frac{14}{fy}bwd ight). $$ 最大鋼筋量以斷面達到拉力控制界限計算。依第 21.2.2 節，界限淨拉應變為 $\varepsilont=\varepsilony+0.003$，其中 $\varepsilony=fy/Es$。由應變相似可得： $$ c=\frac{\varepsilonu}{\varepsilonu+\varepsilont}d, \qquad a=\beta1c, \qquad As=\frac{C}{fy}. $$ 平衡鋼筋量則是混凝土受壓應變達 $\varepsilonu$ 的同時，拉力鋼筋剛好降伏，因此： $$ cb=\frac{\varepsilonu}{\varepsilonu+\varepsilony}d, \qquad A{s,b}=\frac{0.85f'cAc}{fy}. $$ 一、中強度鋼筋：最大與最小鋼筋量 鋼筋降伏應變為 $$ \varepsilony=\frac{4200}{2.04	imes10^6}=0.002059. $$ 拉力控制界限應變為 $$ \varepsilont=0.002059+0.003=0.005059. $$ 因此： $$ c=\frac{0.003}{0.003+0.005059}(80)=29.78\ \mathrm{cm}, \qquad a=0.85(29.78)=25.31\ \mathrm{cm}hf. $$ 壓力區包含翼板及部分腹板： $$ Ac=80(20)+40(25.31-20)=1812.55\ \mathrm{cm^2}. $$ 故最大鋼筋量為 $$ A{s,\max} =\fr…

Question 2

懸臂梁斷面示意圖如圖 2a。若採用中強度鋼筋（$fy=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$Es=2.04	imes10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$）、#10（D32）與 #3（D10）鋼筋之斷面積分別為 $8.14\ \mathrm{cm^2}$、$0.71\ \mathrm{cm^2}$；混凝土性質（$f'c=210\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$\varepsilonu=0.003$）。 下方斷面為受壓力，若考慮壓力鋼筋之貢獻，請計算採斷面彎矩強度及壓力鋼筋應力大小。 若相同斷面之懸臂梁長度為 $3\ \mathrm{m}$（示意圖如圖 2b），請計算最大因數化均佈載重 $\omegau$（含自重、靜載重、活載重等）。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 圖 2a 梁斷面示意圖：矩形斷面寬度 $30\ \mathrm{cm}$，上方配置 $3$ 支 #10 鋼筋，下方配置 $2$ 支 #10 鋼筋，箍筋為 #3@25；圖示尺寸包含 $44\ \mathrm{cm}$ 與 $8\ \mathrm{cm}$。 圖 2b 懸臂梁結構示意圖：懸臂梁長度為 $3\ \mathrm{m}$，承受均佈載重 $\omegau$。

Accepted Answer

核心觀念 本題以平面保持平面假設搭配混凝土等值矩形壓力塊，依應變相容與內力平衡求中性軸深度及壓力鋼筋應力。圖示顯示梁底為受壓面；底部 2 支 #10 為壓力鋼筋，頂部 3 支 #10 為拉力鋼筋。鋼筋中心距上下表面各為 $8\ \mathrm{cm}$，兩排鋼筋中心距為 $44\ \mathrm{cm}$，因此 $d=52\ \mathrm{cm}$、$d'=8\ \mathrm{cm}$。 解題方法 混凝土強度對應等值壓力塊係數取 $\beta1=0.85$。鋼筋面積為 $$ As=3(8.14)=24.42\ \mathrm{cm^2},\qquad As'=2(8.14)=16.28\ \mathrm{cm^2} $$ 先假設拉力鋼筋降伏，則拉力為 $$ T=As fy=24.42(4200)=102{,}564\ \mathrm{kgf} $$ 設中性軸深度為 $c$，壓力鋼筋應變與應力為 $$ \varepsilons'=0.003\frac{c-d'}{c} =0.003\frac{c-8}{c},\qquad fs'=Es\varepsilons' $$ 混凝土壓力塊為 $Cc=0.85f'cba$，其中 $a=\beta1c=0.85c$。壓力鋼筋位於壓力塊範圍內，計算其淨貢獻時須扣除被鋼筋取代的混凝土壓力 $0.85f'cAs'$。內力平衡式為 $$ 0.85f'cba+As'(fs'-0.85f'c)=Asfy $$ 代入數值解得 $$ c=13.89\ \mathrm{cm},\qquad a=0.85c=11.81\ \mathrm{cm} $$ 因此壓力鋼筋應變及應力為 $$ \varepsilons'=0.003\frac{13.89-8}{13.89}=0.00127 $$ $$ fs'=2.04	imes10^6(0.00127) \approx 2{,}595\ \mathrm{kgf/cm^2}<fy $$ 故壓力鋼筋未降伏。混凝土壓力與壓力鋼筋淨壓力分別約為 $$ Cc=0.85(210)(30)(11.81)=63{,}219\ \mathrm{kgf} $$

Question 3

某一正方形（$40\ \mathrm{cm}	imes40\ \mathrm{cm}$）柱斷面如圖 3 所示。 若採用 $8$-#8（D25）主筋（$db=2.54\ \mathrm{cm}$、$Ab=5.07\ \mathrm{cm^2}$、$fy=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$Es=2.04	imes10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$）、混凝土（$f'c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$\varepsilonu=0.003$）。 此柱受軸力與單向彎矩。若柱破壞時，拉力鋼筋的應變恰為零，請計算斷面承受之軸力與破壞時承受之彎矩。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 圖 3 方形柱斷面：$8$ 支 #8（D25）主筋，鋼筋配置尺寸依圖示，邊距及鋼筋間距為 $8\ \mathrm{cm}$、$12\ \mathrm{cm}$。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查柱斷面的應變相容與軸力、彎矩強度計算。假設平面保持平面，混凝土極限壓應變為 $\varepsilonu=0.003$，混凝土壓力以 Whitney 等值矩形應力塊計算。鋼筋應力依 $fs=Es\varepsilons$ 求得，並限制在降伏強度 $fy$ 以內。 以截面頂面為壓力側，圖示最下排 3 支鋼筋為拉力鋼筋。其應變恰為零，表示中性軸通過該排鋼筋中心，故 $c=32\ \mathrm{cm}$。截面寬度為 $b=40\ \mathrm{cm}$。 解題方法 依圖示鋼筋位置，自頂面起算： - 最上排 3 支鋼筋：$y=8\ \mathrm{cm}$ - 中間兩側鋼筋：$y=20\ \mathrm{cm}$ - 最下排 3 支鋼筋：$y=32\ \mathrm{cm}$ 對混凝土強度 $f'c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，取 $\beta1=0.85$，則等值矩形應力塊深度為 $$ a=\beta1c=0.85(32)=27.2\ \mathrm{cm} $$ 混凝土壓力合力為 $$ Cc=0.85f'cba =0.85(280)(40)(27.2) =258{,}944\ \mathrm{kgf} $$ 鋼筋應變由線性應變分布求得： $$ \varepsilons=0.003\frac{c-y}{c} $$ 最上排鋼筋： $$ \varepsilon{s,8}=0.003\frac{32-8}{32}=0.00225 $$ 其降伏應變為 $$ \varepsilony=\frac{fy}{Es} =\frac{4200}{2.04	imes10^6} =0.002059 $$ 因 $\varepsilon{s,8}\varepsilony$，最上排鋼筋已降伏，$f{s,8}=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$。 中間兩側鋼筋： $$ \varepsilon{s,20}=0.003\frac{32-20}{32}=0.001125 $$ 因此 $$ f{s,20}=Es\varepsilon{s,20} =(2.04	imes10^6)(0.001125) =2295\ \mathrm{kgf/cm^2} $$

Question 4

某一後拉預力梁結構系統，一端為固定端，一端為鉸支承；梁全長為 $12\ \mathrm{m}$ ，梁全長具有統一對稱矩形斷面，斷面深度為 $60\ \mathrm{cm}$ ，寬度為 $40\ \mathrm{cm}$ 。

今配置一拋物線鋼腱，其在固定端斷面鋼腱偏心距為混凝土形心上方 $25\ \mathrm{cm}$ ，梁中央斷面偏心距為混凝土形心下方 $15\ \mathrm{cm}$ ，鉸支承端處則無偏心，如圖 4 所示。

假設鋼腱預力大小為 $120$ 噸，請繪製由該預力所產生之壓力作用線、計算由該預力引起固定端與鉸支承端之受力，以及如何調整鋼腱使其成為「同位鋼腱」。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖 4 預力梁結構與鋼腱配置示意圖：左端為固定端，右端為鉸支承端，梁長 $12\ \mathrm{m}$ ；鋼腱為拋物線配置，固定端偏心距為形心上方 $25\ \mathrm{cm}$ ，中央斷面偏心距為形心下方 $15\ \mathrm{cm}$ ，鉸支承端無偏心。

Accepted Answer

核心觀念 本題考後拉預力作用於一次靜不定梁時，如何分辨鋼腱偏心所產生的基本彎矩與支承拘束所產生的次彎矩。鋼腱偏心距令梁產生基本彎矩；固定端與鉸支承端的變形拘束則產生冗餘反力，改變梁的總彎矩與壓力作用線。 以下取向下為偏心距正方向，令 $e(x)$ 為鋼腱相對混凝土形心的有號偏心距，彎矩以正向下撓的正彎矩為正。鋼腱壓力作用線的偏心距為 $$ ep(x)=-\frac{M(x)}{P} $$ 其中 $M(x)$ 為包含次彎矩的總彎矩。 解題方法 令 $x$ 自固定端起算，單位採公尺。鋼腱為通過三個已知偏心點的拋物線： $$ e(0)=-0.25,\qquad e(6)=0.15,\qquad e(12)=0 $$ 因此 $$ e(x)=-0.25+0.1125x-0.00763889x^2\quad(\mathrm{m}) $$ 鋼腱預力造成的基本彎矩為 $M0(x)=-Pe(x)$。將鉸支承端視為冗餘支承，先移除該支承，利用固定端懸臂梁端點撓度相容求鉸支承反力 $RB$。端點撓度為零，故 $$ \int0^L (L-x)\left[M0(x)+RB(L-x)\right]\,dx=0 $$ 代入 $M0=-Pe$，並令 $L=12\ \mathrm{m}$、$P=120\ \mathrm{噸}$： $$ RB=\frac{3P}{L^3}\int0^L (L-x)e(x)\,dx $$ 其中 $$ \int0^{12}(12-x)e(x)\,dx =\frac{L^2}{6}e(0)+\frac{L^2}{3}e(6) =1.2\ \mathrm{m^3} $$ 所以 $$ RB=\frac{3(120)}{12^3}(1.2)=0.25\ \mathrm{噸} $$ 鉸支承端反力向上。全梁垂直力平衡，固定端垂直反力為 $0.25\ \mathrm{噸}$ 向下。 梁的總彎矩為 $$ M(x)=-Pe(x)+RB(L-x) $$ 故壓力作用線偏心距為 $$ ep(x)=e(x)-\frac{RB}{P}(L-x) $$ 代入數值： $$ ep(x)=-0.275+0.1145833x-0.00763889x^2\quad(\mathrm{m}) $$ 可用下列三點繪出壓力作用線，並以拋物線連接： | 位置 | 原鋼腱偏心距 $e$ | 壓力作用線偏心距 $ep$ | |---|---:|---:|

113 專技高考高等考試結構工程技師鋼筋混凝土設計與預力混凝土設計考古題詳解

第一題25 分

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第三題25 分

第四題25 分

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