113 專技高考高等考試 結構工程技師 土壤力學與基礎設計 考古題詳解

核心觀念

本題考查壓密排水三軸壓縮試驗的莫爾圓、莫爾－庫侖破壞準則，以及應力轉換。壓密排水試驗未提供孔隙水壓，以下依題意將給定應力視為有效應力。

莫爾－庫侖破壞包絡線為

其中 $c=25\ \mathrm{kPa}$，$\phi$ 為土壤摩擦角。三軸壓縮中，圍壓為最小主應力 $\sigma_3$，軸差應力為 $\sigma_1-\sigma_3$。

（一）破壞時莫爾圓與摩擦角

破壞時：

因此莫爾圓圓心與半徑為

莫爾圓與破壞包絡線相切。圓心到包絡線的垂直距離等於半徑：

代入數值：

解得

示意圖如下，橫軸為正向應力 $\sigma$，縱軸為剪應力 $\tau$：

 τ
 ↑ τ = c + σ tanφ
 │ /
 │ ● 相切點
 │ .-´ `-.
 │ .' `.
 │ / \
 └─●──────●──────●────────→ σ
 100 220 340 kPa
 σ₃ σ₁

莫爾圓端點為 $\sigma_3=100\ \mathrm{kPa}$ 與 $\sigma_1=340\ \mathrm{kPa}$；圓心為 $220\ \mathrm{kPa}$，半徑為 $120\ \mathrm{kPa}$。

（二）破壞面與最大主應力面的夾角

設破壞面與最大主應力面之間的角度為 $\theta$。應力轉換在莫爾圓上的圓心角為實體角度的兩倍，因此破壞面對應點的座標可寫為

破壞時須滿足 $\tau=c+\sigma_n\tan\phi$。代入應力轉換式：

整理並乘以 $\cos\phi$：

左側為 $R\sin(2\theta-\phi)$；依莫爾圓與破壞包絡線相切條件，右側等於 $R$。因此

取破壞面相對主應力面的銳角解：

核心觀念

本題考查砂土無限邊坡的淺層滑動。砂土不計凝聚力，滑動面平行坡面時，安全係數為滑動面上的抗剪力與下滑力之比：

摩擦抗剪力由滑動面上的有效正向力決定。乾燥邊坡以土體單位重計算；完全浸水且無滲流時，土體的有效重量為浮力修正後的水下單位重。

解題方法

令滑動土體體積為 $V$，坡角為 $\beta$，摩擦角為 $\phi$。

（一）圖 1：乾砂邊坡安全係數

乾砂邊坡的重量為 $W=\gamma_dV$，分解於滑動面法向與切向：

砂土抗剪力為 $N\tan\phi$，因此：

代入 $\phi=35^\circ$、$\beta=42^\circ$：

（二）圖 2：完全浸水且無滲流的安全係數

完全浸水時，土體受到浮力作用，有效重量為：

其中 $\gamma'$ 為水下單位重。有效正向力與下滑力分別為：

因此：

本圖為水面高於坡面、且未表示坡體內有定向滲流的靜水情況；浮力同時按比例降低有效正向力與下滑力，故兩者相消，安全係數與乾砂情況相同。

（三）圖 3：自由水層滲流的水力坡降

以極限平衡求臨界水力坡降，即令 $FS=1$。滲流方向與坡面下滑方向的夾角為：

設土體飽和後的水下重量為 $W'=\gamma'V$，滲流力為：

核心觀念

本題考查地下水位下降造成的有效應力變化，以及黏土因有效應力增加而產生的壓密沉陷。基本關係為

其中 $\sigma_v$ 為總應力，$u$ 為孔隙水壓。地下水位下降後，原本飽和的土層有一部分轉為非飽和，總應力會因單位重改變而降低；同時孔隙水壓也降低，兩者共同決定有效應力的變化。

圖中各層厚度為：覆土層 $8\ \mathrm{m}$、砂土層 $12\ \mathrm{m}$、黏土層 $10\ \mathrm{m}$；$C$ 點位於深度 $20\ \mathrm{m}$，$D$ 點為黏土層中央、深度 $25\ \mathrm{m}$。以下取 $\gamma_w=9.81\ \mathrm{kN/m^3}$，並以地下水位下降後達穩定狀態計算。

（一）$C$ 點有效應力的變化

砂土層的飽和含水量為 $18\%$，故其乾單位重為

初始狀態

初始地下水位在深度 $2\ \mathrm{m}$，因此 $C$ 點上方的總應力為

$C$ 點位於初始水位下方 $18\ \mathrm{m}$，孔隙水壓為

所以

降水後狀態

地下水位降至深度 $18\ \mathrm{m}$，覆土層中有 $6\ \mathrm{m}$ 由飽和轉為非飽和，砂土層中有 $10\ \mathrm{m}$ 由飽和轉為非飽和。$C$ 點上方的總應力為

$C$ 點位於新水位下方 $2\ \mathrm{m}$，因此

故有效應力變化為

有效應力增加約 $107\ \mathrm{kPa}$。

（二）正常壓密黏土的壓密沉陷量

黏土層厚度 $H=10\ \mathrm{m}$。以黏土層中央 $D$ 點代表黏土層的應力，初始總應力為

初始孔隙水壓為

因此

地下水位下降造成的有效應力增加與 $C$ 點相同，故

正常壓密黏土使用壓縮指數公式：

核心觀念

本題比較樁在黏土與飽和砂土中的軸向極限承載力。設計時以安全係數 $FS=2.5$ 將工作載重換算為所需極限承載力：

$Q_{ult,req}=FS\times 2000=5000\ \mathrm{kN}$

極限承載力由樁尖承載力 $Q_P$ 與樁身摩擦力 $Q_s$ 組成：

$Q_{ult}=Q_P+Q_s$

黏土以不排水剪力強度 $c_u$ 計算樁尖承載力及單位樁身摩擦力；砂土則以有效應力計算樁身摩擦力，並將樁尖承載力限制在題目給定的極限值 $q_l$ 內。

解題方法

一、黏土層

樁徑 $D=1\ \mathrm{m}$，因此：

$A_P=\frac{\pi D^2}{4}=0.7854\ \mathrm{m^2},\qquad p=\pi D=3.1416\ \mathrm{m}$

依題目表格，$c_u/p_a=60/100=0.6$，故 $\alpha=0.62$。

樁尖承載力為：

樁身摩擦力為：

令總極限承載力達到 $5000\ \mathrm{kN}$：

$424.12+116.87L=5000$

二、飽和砂土層

水位在地表，採飽和土單位重 $\gamma_{sat}=17.98\ \mathrm{kN/m^3}$，水的單位重取 $9.81\ \mathrm{kN/m^3}$，故有效單位重為：

$\gamma'=\gamma_{sat}-\gamma_w=17.98-9.81=8.17\ \mathrm{kN/m^3}$

含水量 $16\%$ 不另改變題目已給的飽和單位重。砂土靜止土壓力係數取：

$K_0=1-\sin\phi=1-\sin38^\circ=0.3847$

題目給定臨界深度 $L_c=15D=15\ \mathrm{m}$。令 $z$ 為自地表向下深度，單位樁身摩擦力為：

$f_s(z)=K_0\gamma'z\tan(0.8\phi),\qquad 0\le z\le15\ \mathrm{m}$

$f_s(z)=K_0\gamma'(15)\tan(0.8\phi),\qquad z>15\ \mathrm{m}$

其中 $\tan(0.8\phi)=\tan30.4^\circ$。因此，前 $15\ \mathrm{m}$ 的樁身摩擦力為：

超過 $15\ \mathrm{m}$ 後，每增加一公尺樁長所增加的樁身摩擦力為：