109 年專技高考高等考試結構工程技師考古題與詳解

Question 1

某工址之土層剖面如下圖所示。 已知頂層厚度 $H1=2.1\ \mathrm{m}$（乾砂），比重 $Gs=2.65$，孔隙比 $e=0.5$。第二層厚度 $H2=0.9\ \mathrm{m}$（濕砂、毛細作用區），比重 $Gs=2.65$，孔隙比 $e=0.5$，飽和度 $S=50\%$。第三層厚度 $H3=1.9\ \mathrm{m}$（飽和黏土），比重 $Gs=2.71$，含水量 $w=42\%$。 土層由上而下依序為乾砂、濕砂（毛細作用區）及飽和黏土，地下水位位於乾砂與濕砂之間；A、B、C、D 點依原圖位置分別位於地表、地下水位附近、濕砂與飽和黏土交界附近及岩盤上方。 (一) 試計算 A、B、C、D 點之垂直總應力 $\sigma$、水壓力 $u$ 及垂直有效應力 $\sigma'$。 (二) 請繪出垂直總應力、水壓力 $u$ 及垂直有效應力隨深度之分布。

Accepted Answer

核心觀念

本題考垂直總應力、孔隙水壓力與有效應力的計算及其隨深度變化。採用有效應力原理：

\sigma'=\sigma-u

其中， $\sigma$ 為土層自重造成的垂直總應力， $u$ 為孔隙水壓力， $\sigma'$ 為垂直有效應力。乾砂層孔隙水壓力取零；毛細作用區水壓力為負值；地下水位以下水壓力為正值。

以下令深度 $z$ 自地表向下量，並取 $\gamma_w=9.81\ \mathrm{kN/m^3}$ 。

解題方法與計算

1. 求各層單位重

乾砂的單位重為：

\gamma_d=\frac{G_s}{1+e}\gamma_w =\frac{2.65}{1+0.5}(9.81) =17.33\ \mathrm{kN/m^3}

濕砂的單位重為：

\gamma_{\mathrm{wet}} =\frac{G_s+Se}{1+e}\gamma_w =\frac{2.65+(0.50)(0.5)}{1+0.5}(9.81) =18.97\ \mathrm{kN/m^3}

第三層為飽和黏土，飽和度 $S=100\%$ ，故由含水量關係 $w=e/G_s$ 得：

e=wG_s=(0.42)(2.71)=1.1382

其飽和單位重為：

\gamma_{\mathrm{sat}} =\frac{G_s+e}{1+e}\gamma_w =\frac{2.71+1.1382}{1+1.1382}(9.81) =17.66\ \mathrm{kN/m^3}

2. 計算各點總應力、水壓力與有效應力

依圖，A 位於地表，B 位於乾砂與濕砂交界，C 位於毛細作用區底部及地下水位，D 位於飽和黏土底部。各點深度依序為 $0$ 、 $2.1$ 、 $3.0$ 、 $4.9\ \mathrm{m}$ 。

總應力以各點上方土層自重累加。B 位於毛細作用區頂部，該區高於地下水位 $0.9\ \mathrm{m}$ ，故其水壓力為 $u_B=-\gamma_w(0.9)$ 。D 位於地下水位下方 $1.9\ \mathrm{m}$ ，故 $u_D=\gamma_w(1.9)$ 。

點位	深度 $z$ （m）	總應力 $\sigma$ （kPa）	水壓力 $u$ （kPa）	有效應力 $\sigma'=\sigma-u$ （kPa）
A	0.0	0.00	0.00	0.00
B	2.1	36.38	$-8.83$	45.21
C	3.0	53.45	0.00	53.45

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Question 2

某共同管溝工程採用明挖覆蓋工法，基地地層主要層為砂土，如下圖所示。開挖深度為 $4\ \mathrm{m}$ ，設計長度 $10\ \mathrm{m}$ 之懸臂式版樁作為開挖之擋土設施。

土層參數依原圖所示：

上部土層： $\gamma=16.0\ \mathrm{kN/m^3}$ 、 $\gamma_{\mathrm{sat}}=18.8\ \mathrm{kN/m^3}$ 、 $\phi'=26^\circ$ 。
下部土層： $\gamma_{\mathrm{sat}}=19.6\ \mathrm{kN/m^3}$ 、 $\phi'=30^\circ$ 。
擋土壁之力矩計算基準點為 $O$ 點。

(一) 請繪製作用於版樁兩側之土壓力隨深度變化圖及淨水壓力隨深度變化圖，並在相關深度標示數值。

(二) 請以簡化法（以土壓力對 $O$ 點之力矩值）估算此擋土壁之破壞安全係數。

(三) 請估算此開挖擋土設施之抗砂湧安全係數，並請依據「建築物基礎構造設計規範」之規定說明此項安全係數是否符合規範需求？

Accepted Answer

核心觀念

本題考查砂土中懸臂式版樁的側向土壓力、兩側水壓差、以版樁趾點 $O$ 作力矩平衡估算破壞安全係數，以及開挖面下砂土的砂湧安全檢核。

以地表向下為深度 $z$ ，取 $\gamma_w=9.8\ \mathrm{kN/m^3}$ 。砂土採 Rankine 土壓力係數：

K_a=\tan^2\left(45^\circ-\frac{\phi'}2\right),\qquad K_p=\tan^2\left(45^\circ+\frac{\phi'}2\right)

地下水以下以有效應力計算土壓力，再另加水壓力。圖示外側水位在地表下 $0.5\ \mathrm m$ ，開挖側水位在開挖面 $z=4\ \mathrm m$ ；土層交界也在 $z=4\ \mathrm m$ 。版樁長 $10\ \mathrm m$ ，故開挖面下貫入深度 $D=6\ \mathrm m$ 。

法規依據：以命題當年（民國 109 年）法規為準。《建築物基礎構造設計規範》於民國 112 年修正，並自民國 113 年 1 月 1 日生效；本題仍依命題當年版本檢核。

解題方法與計算

一、土壓力係數與有效應力

上層砂土 $\phi'_1=26^\circ$ ：

K_{a1}=0.391,\qquad K_{p1}=2.56

下層砂土 $\phi'_2=30^\circ$ ：

K_{a2}=\frac13,\qquad K_{p2}=3.00

上層砂土水位以上的單位重為 $16.0\ \mathrm{kN/m^3}$ ；水位以下的浮單位重為：

\gamma'_{1}=18.8-9.8=9.0\ \mathrm{kN/m^3}

下層砂土浮單位重為：

\gamma'_{2}=19.6-9.8=9.8\ \mathrm{kN/m^3}

在 $z=4\ \mathrm m$ 處，外側有效垂直應力為：

\sigma'_v(4)=16(0.5)+9.0(3.5)=39.5\ \mathrm{kPa}

在版樁趾點 $z=10\ \mathrm m$ 處：

\sigma'_v(10)=39.5+9.8(6)=98.3\ \mathrm{kPa}

二、版樁兩側土壓與淨水壓力圖

外側主動土壓力為 $K_a\sigma'_v$ ；開挖側在開挖面以下，以被動土壓力 $K_p\sigma'_v$ 計算。各深度的壓力值如下，單位為 $\mathrm{kPa}$ ：

深度 $z$	外側主動土壓	開挖側被動土壓	淨水壓力（外側減內側）
$0$ m	$0$	$0$	$0$
$0.5$ m	$3.12$	$0$	$0$
$4^-$ m，上層土側	$15.42$	$0$	$34.30$
$4^+$ m，下層土側	$13.17$	$0$	$34.30$
$10$ m， $O$ 點	$32.77$	$176.40$	$34.30$

在土層交界 $z=4\ \mathrm m$ ，有效垂直應力連續，但因土壤摩擦角不同，主動土壓力由上層的 $15.42\ \mathrm{kPa}$ 跳變為下層的 $13.17\ \mathrm{kPa}$ 。

淨水壓力的分布為：

u_{\mathrm{net}}= \begin{cases} 0, & 0\le z<0.5\\ 9.8(z-0.5), & 0.5\le z<4\\ 9.8(4-0.5)=34.3, & 4\le z\le10 \end{cases}

因此作圖時，外側主動土壓力按上述深度值連成分段直線；開挖側被動土壓力由 $z=4$ 的零值線性增加至 $z=10$ 的 $176.4\ \mathrm{kPa}$ ；淨水壓力由 $z=0.5$ 的零值線性增加至 $z=4$ 的 $34.3\ \mathrm{kPa}$ ，其後維持常值。

三、以 $O$ 點力矩估算破壞安全係數

Question 3

茲欲了解某工址現地土壤之緊密程度，故以取樣器取得 $500\ \mathrm{ml}$ 之砂土，其重量為 $900\ \mathrm{g}$ ，而此砂土於烘乾後之重量為 $850\ \mathrm{g}$ 。

若將此砂土置於夯實模內，其在最緊密狀態時之體積為 $440\ \mathrm{ml}$ ，而在最疏鬆狀態時之體積為 $640\ \mathrm{ml}$ 。若現地砂土之飽和度為 $27\%$ ，請求得此砂土之相對密度。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查砂土的相對密度 $Dr$。相對密度用來表示現地砂土在最疏鬆與最緊密兩種狀態之間的緊密程度： $$ Dr=\frac{e{\max}-e}{e{\max}-e{\min}} $$ 其中 $e$ 為現地孔隙比，$e{\max}$ 為最疏鬆狀態孔隙比，$e{\min}$ 為最緊密狀態孔隙比。 題目提供現地砂土的含水量與飽和度，可先求現地孔隙比；夯實模試驗則用來求 $e{\max}$ 與 $e{\min}$。 解題方法 1. 求現地含水量 天然含水量為水重除以乾土重。水重為 $900-850=50\ \mathrm{g}$，因此： $$ w=\frac{50}{850}=0.05882 $$ 2. 由飽和度求現地孔隙比 土壤三相關係式為： $$ Sr e=wGs $$ 其中 $Sr=0.27$，$Gs$ 為土粒比重。題目未直接給出 $Gs$，但可由現地土樣的體積與乾土重求得乾單位重： $$ \rhod=\frac{850}{500}=1.70\ \mathrm{g/ml} $$ 且 $$ \rhod=\frac{Gs\rhow}{1+e} $$ 取水的密度 $\rhow=1.00\ \mathrm{g/ml}$，得： $$ 1.70=\frac{Gs}{1+e} \quad\Longrightarrow\quad Gs=1.70(1+e) $$ 代入 $Sr e=wGs$： $$ 0.27e=0.05882\cdot1.70(1+e) $$ 解得：

Question 4

一面牆將建構在一狹長的淺基礎上（基礎長遠大於 $10$ 倍基礎寬）。此基礎寬度為 $1.25\ \mathrm{m}$ ，厚度為 $0.5\ \mathrm{m}$ ，且其底部置於地表下 $0.5\ \mathrm{m}$ 處。

現地之土壤為粉土質黏土，其無圍壓縮強度為 $100\ \mathrm{kPa}$ 。此土壤之單位重為 $18.8\ \mathrm{kN/m^3}$ ，地下水位在地表處。

請以計算說明該基礎能否安全地承載 $120\ \mathrm{kN/m}$ 之荷重？

Accepted Answer

核心觀念 本題考查黏土在不排水條件下的淺基礎承載力，以及如何將每公尺牆荷重換算為基礎底面的平均壓力。粉土質黏土的無圍壓縮強度 $qu=100\ \mathrm{kPa}$，故不排水抗剪強度為 $$ su=cu=\frac{qu}{2}=50\ \mathrm{kPa}. $$ 採 Terzaghi 條形基礎承載力公式。對不排水黏土取 $\phi=0$，承載力係數為 $Nc=5.7$、$Nq=1$、$N\gamma=0$，因此極限承載力主要由黏聚力項與基礎底面覆土壓力項構成。 解題方法 基礎長度遠大於寬度的 10 倍，可視為條形基礎。地下水位在地表，且基礎底面位於地下 $0.5\ \mathrm{m}$，因此底面以上土層的有效單位重採浮單位重： $$ \gamma'=\gamma{\mathrm{sat}}-\gammaw =18.8-9.81=8.99\ \mathrm{kN/m^3}. $$ 基礎底面的有效覆土壓力為 $$ q=\gamma'Df=8.99(0.5)=4.50\ \mathrm{kPa}. $$ 條形基礎極限承載力： $$ q{\mathrm{ult}} =cuNc+qNq+\frac{1}{2}\gamma'BN\gamma $$ $$ =50(5.7)+4.50(1)+\frac{1}{2}(8.99)(1.25)(0) =289.5\ \mathrm{kPa}. $$ 以安全係數 $FS=3$ 計算容許承載力。對淨承載力取安全係數，再加回覆土壓力，得到容許總承載力：

109 專技高考高等考試結構工程技師土壤力學與基礎設計考古題詳解

第 1 題25 分

核心觀念

解題方法與計算

1. 求各層單位重

2. 計算各點總應力、水壓力與有效應力

第 2 題25 分

核心觀念

解題方法與計算

一、土壓力係數與有效應力

二、版樁兩側土壓與淨水壓力圖

三、以 $O$ 點力矩估算破壞安全係數

第 3 題25 分

核心觀念

解題方法

第 4 題25 分

其他考古題

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結構工程技師《土壤力學與基礎設計》其他年度

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核心觀念

解題方法與計算

1. 求各層單位重

2. 計算各點總應力、水壓力與有效應力

第 2 題25 分

核心觀念

解題方法與計算

一、土壓力係數與有效應力

二、版樁兩側土壓與淨水壓力圖

三、以 OOO 點力矩估算破壞安全係數

第 3 題25 分

核心觀念

解題方法

第 4 題25 分

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