109 年專技高考高等考試結構工程技師考古題與詳解

Question 1

單自由度線彈性結構系統承受簡諧載重（Harmonic excitation）作用下，其穩態位移反應振幅與在相同大小靜態力作用下的位移反應之比值，稱為動力放大因子（Dynamic magnification factor）；而被動傳導率（Passive transmissibility）則是相同結構系統承受地表簡諧加速度擾動下，結構物絕對加速度振幅與地表加速度振幅的比值。

請在推導動力放大因子與被動傳導率後，畫出阻尼比 $\xi=0.01$ 、 $0.05$ 和 $0.20$ 對應的曲線，並分別用以解釋結構消能減震原理，以及基礎隔震原理和性質。

Accepted Answer

核心觀念 本題比較兩種頻率比反應： - 動力放大因子：外力直接作用於結構時，穩態位移振幅與同大小靜力所造成位移的比值。 - 被動傳導率：地表作簡諧運動時，結構絕對加速度振幅與地表加速度振幅的比值。 令質量為 $m$、勁度為 $k$、黏滯阻尼係數為 $c$，自然圓頻率 $\omegan=\sqrt{k/m}$，阻尼比 $\xi=c/(2m\omegan)$，頻率比 $r=\omega/\omegan$。兩者的曲線都以 $r$ 為橫軸、振幅比為縱軸；但其物理意義及低頻、高頻趨勢不同。 一、動力放大因子推導 結構受簡諧外力 $p(t)=P0\sin\omega t$，運動方程式為 $$ m\ddot u+c\dot u+ku=P0\sin\omega t $$ 穩態位移振幅 $U$ 為 $$ U=\frac{P0/k}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\xi r)^2}} $$ 同大小靜力 $P0$ 造成的位移為 $u{\mathrm{st}}=P0/k$，所以動力放大因子 $$ D(r,\xi)=\frac{U}{u{\mathrm{st}}} =\frac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\xi r)^2}} $$ 當 $r\ll1$，$D\approx1$，反應近似靜力反應；當 $r\approx1$，接近共振，位移放大顯著；當 $r\gg1$，$D$ 隨頻率比增加而下降。 二、被動傳導率推導 令地表位移為 $ug(t)$，結構相對地表位移為 $x=u-ug$，其中 $u$ 是質量的絕對位移。地表簡諧位移代入運動方程式，可得 $$ m\ddot x+c\dot x+kx=-m\ddot ug $$ 若 $ug(t)=Ug\sin\omega t$，則地表加速度振幅為 $\omega^2Ug$。由簡諧穩態解可得相對位移振幅 $$ X=\frac{\omega^2Ug} {\sqrt{(\omegan^2-\omega^2)^2+(2\xi\omegan\omega)^2}} $$ 質量絕對加速度為 $\ddot u=\ddot x+\ddot ug$。將其穩態振幅除以地表加速度振幅 $\omega^2Ug$，得到被動傳導率 $$ Ta(r,\xi)=\frac{|\ddot U|}{|\ddot Ug|} =\frac{\sqrt{1+(2\xi r)^2}} {\sqrt{(1-r^2)^2+(2\xi r)^2}} $$ 低頻時 $Ta	o1$，結構幾乎跟隨地表運動；在共振附近會放大；高頻時 $Ta$ 下降，結構傳至上部質量的加速度低於地表輸入。 三、曲線及物理意義 下圖依公式繪出 $\xi=0.01、0.05、0.20$ 的動力放大因子及被動傳導率；橫軸為頻率比 $r$，縱軸為振幅比。 <svg xmlns=" width="720" h…

Question 2

假設某筆地震紀錄在結構阻尼比為 $0.05$ 下之加速度反應譜如下： $$ Sa(T)= \begin{cases} 0.2+1.5T, & 0\leq T<0.2,\ 0.5, & 0.2\leq T<1,\ \dfrac{0.5}{T}, & 1\leq T<2.5, \end{cases} $$ 其中，$g=9.8\ \mathrm{m/sec^2}$。 一個三自由度平面剪力建築，已知各樓層的質量都相等，其振態參數如下表所示： | 性質 | 振態-1 | 振態-2 | 振態-3 | |---|---:|---:|---:| | 振態週期（秒） | $1.7$ | $0.5$ | $0.3$ | | 振態阻尼比 | $0.05$ | $0.05$ | $0.05$ | | 振態向量 | $\begin{bmatrix}0.46346\0.86379\1.00000\end{bmatrix}$ | $\begin{bmatrix}-1.24698\-0.55496\1.00000\end{bmatrix}$ | $\begin{bmatrix}1.80194\-2.24698\1.00000\end{bmatrix}$ | 若依某設計規範要求，估計最大反應時需考量累積有效振態質量至少為結構總質量的 $95\%$，以及低頻振態反應之貢獻合。試以最少的振態數量估算本結構頂樓的最大位移反應。其中，以 SRSS 法估算振態疊加最大反應。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查振態有效質量、規範要求的振態選取，以及以 SRSS（平方和開根號）法計算頂樓最大位移。 對各振態 $r$，有效振態質量為 $$ Mr^=\frac{(\boldsymbol\phir^{\mathsf T}\mathbf M\mathbf 1)^2} {\boldsymbol\phir^{\mathsf T}\mathbf M\boldsymbol\phir}, $$ 其占總質量比例為 $Mr^/M{\mathrm{tot}}$。題目要求納入的振態須同時符合累積有效振態質量至少為總質量的 $95\%$，並包含低頻振態反應的貢獻。此處低頻對應較長週期，故須納入第一振態。 單一振態的頂樓位移反應譜值為 $$ u{3r}=\Gammar\phi{3r}Sd(Tr), \qquad \Gammar= \frac{\boldsymbol\phir^{\mathsf T}\mathbf M\mathbf 1} {\boldsymbol\phir^{\mathsf T}\mathbf M\boldsymbol\phir}, $$ 其中 $Sd$ 為位移反應譜。若題給 $Sa$ 以 $g$ 為單位，則 $$ Sd(T)=\frac{Sa(T)g}{\omega^2} =\frac{Sa(T)gT^2}{4\pi^2}. $$ 解題方法 各樓層質量相等，令每層質量為 $m$，則質量比例計算中 $m$ 可約去。每一振態的有效質量比為 $$ \frac{Mr^}{M{\mathrm{tot}}} = \frac{\left(\sum{i=1}^3\phi{ir}\right)^2} {3\sum{i=1}^3\phi{ir}^2}. $$ 代入題目振態向量： | 振態 | $\sumi\phi{ir}$ | $\sumi\phi{ir}^2$ | 有效質量比 | |---|---:|---:|---:| | 1 | $2.32725$ | $2.21323$ | $81.55\%$ | | 2 | $-0.80194$ | $2.86097$ | $7.49\%$ | | 3 | $0.55496$ | $9.09477$ | $1.13\%$ | 依週期由長至短排序，振態 1、2、3 的累積有效質量比分別為 $81.55\%$、$89.04\%$、$90.17\%$。因此題目給定的三個振態合計仍未達 $95\%$；但題目只提供這三個振態，無法另行納入其他振態。依所給資料，能計算的最少振態數是三個，且長週期的第一振態已納入以反映低頻貢獻。 各振態的參與因子為

Question 3

有一個五自由度結構，各樓層質量均相等，各振態阻尼比都等於 $0.03$。若其振態頻率、振態向量以及地震譜位移皆為已知： 振態頻率（Hz）： | | 振態 1 | 振態 2 | 振態 3 | 振態 4 | 振態 5 | |---|---:|---:|---:|---:|---:| | 頻率 | $0.285$ | $0.831$ | $1.31$ | $1.682$ | $1.919$ | 振態向量： | 樓層 | 振態 1 | 振態 2 | 振態 3 | 振態 4 | 振態 5 | |---|---:|---:|---:|---:|---:| | 1 | $0.160$ | $-0.455$ | $0.597$ | $0.549$ | $0.326$ | | 2 | $0.326$ | $-0.597$ | $0.170$ | $-0.455$ | $-0.549$ | | 3 | $0.455$ | $-0.326$ | $-0.549$ | $-0.170$ | $0.597$ | | 4 | $0.549$ | $0.170$ | $-0.326$ | $0.597$ | $-0.455$ | | 5 | $0.597$ | $0.549$ | $0.455$ | $0.326$ | $0.170$ | 地震譜位移如下： | 頻率（Hz） | 譜位移（m） | |---|---:| | $<0.1$ | $0.01$ | | $0.1$–$0.5$ | $0.01+0.15(\omega-0.1)$ | | $0.5$–$1.5$ | $0.07$ | | $1.5$ | $\dfrac{0.105}{\omega}$ | 若設計規範要求必須考慮累積有效振態質量比達 $95\%$ 以上，則最少應採計多少個振態反應？接著請分別以 SRSS（Square Root of…

Accepted Answer

核心觀念 本題考兩個步驟：先用振態向量計算各振態的有效振態質量比，找出累積達 $95\%$ 所需的最少振態數；再以振態位移反應套用 SRSS 與 CQC 組合。 各樓層質量相等時，第 $j$ 振態的參與因數與有效振態質量比分別為 $$ \Gammaj=\frac{\boldsymbol{\phi}j^{T}\mathbf M\mathbf 1} {\boldsymbol{\phi}j^{T}\mathbf M\boldsymbol{\phi}j} =\frac{\sumi\phi{ij}}{\sumi\phi{ij}^{\,2}}, \qquad \frac{Mj^}{M{\mathrm{總}}} =\frac{\left(\sumi\phi{ij}\right)^2} {5\sumi\phi{ij}^{\,2}}. $$ 第 $j$ 振態的頂樓位移反應為 $$ Rj=\phi{5j}\Gammaj S{d,j}. $$ 題目給定各振態阻尼比均為 $0.03$。依題目列出的頻率與譜位移表，譜位移按表列頻率值代入各分段式計算。 解題方法與計算 1. 累積有效振態質量比 代入五個振態向量，可得各振態有效質量比： | 振態 | 有效振態質量比 | 累積比 | |---|---:|---:| | 1 | $87.40\%$ | $87.40\%$ | | 2 | $8.69\%$ | $96.08\%$ | | 3 | $2.41\%$ | $98.49\%$ | 第一、二振態累積僅約 $96.08\%$，已超過規定的 $95\%$，因此最少採計 2 個振態。 2. 振態頂樓位移反應 前兩個振態的頻率分別為 $0.285$ Hz、$0.831$ Hz。依題目譜位移表： $$ S{d,1}=0.01+0.15(0.285-0.1)=0.03775\ {\rm m}, \qquad S{d,2}=0.07\ {\rm m}. $$ 由振態向量計算參與因數： $$ \Gamma1=\frac{2.087}{0.996711}=2.0939, \qquad \Gamma2=\frac{-0.659}{1.000011}=-0.6590. $$

Question 4

建築結構耐震設計規範規定，規則性之建築物，不須進行動力分析者，可以靜力法進行結構分析。其中有關於地震力的規定分為設計地震、中小度地震與最大考量地震等三種。一般工址之檢核總橫力的規定如下：

設計地震水平總橫力：

V= \frac{I}{1.4\alpha_yF_u} \left( \frac{S_{aD}}{F_u} \right)_mW

中小地震水平總橫力：

V^*= \frac{I}{4.2\alpha_yF_u} \left( \frac{S_{aD}}{F_u} \right)_mW

最大考量地震水平總橫力：

V_M= \frac{I}{1.4\alpha_yF_u} \left( \frac{S_{aM}}{F_{uM}} \right)_mW

試回答下列問題：

(一) 考量建物 $50$ 年設計年限，三種地震對應的年超越機率為何？其結構分別應該達到何種性能（破壞程度）？此規定的目的為何？這三個地震力的大小次序一定是 $V_M>V>V^*$ 嗎？為什麼？（10 分）

(二) 震區、工址地盤種類、結構韌性、結構基本週期、近斷層等，如何在設計地震水平總橫力中被考慮？計算中小地震有何差異處？（儘量以公式解釋說明，公式可以不完整，重點在說明計算上的邏輯。）（15 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查《建築物耐震設計規範及解說》中的三種地震水準、對應的耐震性能目標，以及靜力分析設計地震總橫力的組成。**以下以命題當年（民國 109 年）適用規範為準。**其後規範曾修正，尤其地震參數與部分條文內容已有更新；本題仍依 109 年規範架構作答。

三種地震水準分別為：

地震水準	50 年超越機率	約當回歸期	性能目標
中小度地震	約 80%	約 30 年	結構維持彈性，主體不發生損壞
設計地震	約 10%	約 475 年	容許可修復損傷，不得有嚴重損壞或危及生命的破壞
最大考量地震	約 2%	約 2,500 年	避免崩塌，保障生命安全

其中回歸期與固定 50 年期間超越機率的近似關係為：

P_{50}=1-e^{-50/T_R}

以 $T_R=30、475、2500$ 年代入，分別約為 81%、10% 與 2%。

解題方法

（一）地震機率、性能目標與地震力大小

設計地震下，建築物可進入非線性反應並發生可修復損傷，但須維持生命安全及避免嚴重破壞。最大考量地震的目標則是防止整體崩塌；結構即使發生較大變形或損傷，仍須保有避免倒塌的能力。中小度地震發生頻率較高，因此要求結構在此水準下維持彈性、避免損壞。

三種檢核各有目的：

**中小度地震：**避免韌性良好的結構因設計地震力過低，在不大的地震下就降伏，造成使用或修復困擾。
**設計地震：**作為主要耐震設計水準，在安全與經濟性間取得平衡。
**最大考量地震：**檢核強震下不致崩塌，以保護生命安全。

三種地震力的大小不保證必然為 $V_M>V>V^*$ 。 $V^*$ 的定義是避免中小度地震降伏的檢核下限； $V_M$ 則由最大考量地震反應譜、 $F_{uM}$ 等參數計算。它們使用的譜加速度係數、韌性折減係數及修正後譜值不同，因此不能只依地震名稱判斷結果大小。實際比較應將各參數代入計算；規範要求的是分別滿足各檢核，而非保證三個數值固定排序。

（二）設計地震水平總橫力中的參數

設計地震水平總橫力的概念式可寫為：

V=\frac{I}{1.4\alpha_y} \left(\frac{S_{aD}}{F_u}\right)_m W

式中各項依序反映用途、起始降伏與韌性折減、工址地震需求及建築物重量。題目所列公式若將 $F_u$ 同時放在外部分母、又置於括號內的 $S_{aD}/F_u$ 中，會造成重複折減；依規範的修正譜值寫法，應以「外部僅除以 $1.4\alpha_y$ ，括號內使用修正後的 $(S_{aD}/F_u)_m$ 」理解。

各因素的計算邏輯如下：

震區與地震危害度 由震區及工址地震危害度決定設計地震的譜加速度參數，形成 $S_{aD}$ 的基礎值。震區危害度較高時，通常會提高設計地震反應譜及總橫力。
工址地盤種類 地盤種類透過場址放大係數影響反應譜。概念上可表示為：

S_{aD}=S_{aD}(T;\text{震區危害度、地盤種類})

不同地盤對不同週期的地震動放大程度不同，因此不是對所有建築一律乘上同一個常數。

結構基本週期 $T$ 由設計反應譜依週期取得 $S_{aD}(T)$ 。短週期結構通常落在反應譜平台或上升段；週期較長時，譜加速度依規範譜形下降。故基本週期會影響總橫力。

109 專技高考高等考試結構工程技師結構動力分析與耐震設計考古題詳解

第 1 題25 分

第 2 題25 分

第 3 題25 分

核心觀念

解題方法與計算

1. 累積有效振態質量比

2. 振態頂樓位移反應

第 4 題25 分

核心觀念

解題方法

（一）地震機率、性能目標與地震力大小

（二）設計地震水平總橫力中的參數

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（二）設計地震水平總橫力中的參數

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