109 專技高考高等考試 結構工程技師 結構學 考古題詳解

核心觀念

本題考平面剛架的彎曲剛度法，並以「不考慮桿件軸向變形」建立軸向位移拘束。圖中 $c$ 點為靠垂直牆面的滾支承，因此 $c$ 點只有水平反力，沒有垂直反力。

取全域向上位移為正、節點轉角逆時針為正。幾何為 $ab=4\,\mathrm m$；$bc$ 的水平、垂直投影分別為 $4\,\mathrm m$、$3\,\mathrm m$，故 $bc=5\,\mathrm m$，其方向餘弦為 $0.8$、$-0.6$。

解題方法與推導

令 $b,c$ 點的共同垂直位移為 $v$，轉角分別為 $\theta_b,\theta_c$。由 $ab$ 不伸長且 $a$ 固定，$b$ 點水平位移為零；由 $bc$ 不伸長且 $c$ 點水平位移受限，得 $b,c$ 點垂直位移相同。

將 $bc$ 的局部橫向位移記為 $w$，則兩端皆為 $w=0.8v$。以下以 $EI$ 為剛度因子；由 $bc$ 兩端橫向位移相同，其彎曲剛度不對共同位移 $v$ 產生額外剛度。

$68\,\mathrm{kN}$ 垂直力作用於 $bc$ 中點。對共同垂直位移的廣義力為 $-68\,\mathrm{kN}$；對兩端轉角的等效廣義力分別為 $-34$、$+34\,\mathrm{kN\cdot m}$。組合 $ab$、$bc$ 的彎曲剛度方程：

解得

核心觀念

本題是平面剛架的位移法（剛度法）分析。各桿件不考慮軸向變形，因此軸向位移須符合桿件長度不變的相容條件；桿件彎曲則以 Euler–Bernoulli 梁元素剛度矩陣表示。圖中上下兩個 $12\ \mathrm{kN}$ 集中力皆作用於跨中，須換算為梁元素的等效節點力與節點力矩。

以下取節點垂直位移向上為正、節點轉角逆時針為正。

解題方法

先利用不考慮軸向變形的條件整理自由度：

• 水平桿件不伸長，且兩端支承固定，所以各接頭的水平位移為零。
• 垂直柱 $bf$、$cg$ 不伸長，所以 $v_b=v_f$、$v_c=v_g$。
• 結構及載重對中央垂直軸對稱，因此 $v_b=v_c$、$v_f=v_g$。故四個接頭的垂直位移相同，記為 $v$。
• 由對稱性，$\theta_c=-\theta_b$、$\theta_g=-\theta_f$。

取自由度向量

長度 $L=4\ \mathrm{m}$ 的水平梁元素，其彎曲剛度矩陣為

跨中向下集中力 $P=12\ \mathrm{kN}$ 的等效節點力為

兩支柱的水平位移均為零，其彎曲剛度只提供端部轉動剛度。組裝各梁、柱後，得到

核心觀念

本題要求移動單位荷重作用時，支承點 $b$ 垂直反力的影響線。影響線縱距就是單位荷重位於該處時，$b$ 點反力的數值；以下以向上的反力為正。

可用力法與位移互等定理求解：解除 $b$ 點的垂直支承，取解除後的結構為基本結構。若移動單位荷重在 $x$ 點造成 $b$ 點位移 $\delta_{b x}$，而單位荷重置於 $b$ 點造成的位移為 $\delta_{b b}$，則

其中 $\eta_b(x)$ 即 $b$ 點反力影響線縱距。計算時須將 $c$ 點視為內鉸，左右桿件可有不同轉角；$cd$ 桿件的彎曲剛度為 $1.5EI$。

解題方法

以 $a$ 為座標原點，沿梁向右量距。各段長度為 $ab=2\,\text{m}$、$bc=2\,\text{m}$、$cd=3\,\text{m}$。按各桿件彎曲剛度計算基本結構的位移，再除以 $\delta_{bb}$，得到下列影響線方程。

令 $x$ 為荷重在各段內、從該段左端量起的距離：

由各段端點可得主要縱距：

【核心觀念】

本題考查梁柱構架與剪力牆的側向勁度耦合。連桿與構架桿件不計軸向變形，因此同一樓層的構架與剪力牆水平位移相同。整體勁度矩陣可由構架與剪力牆的勁度矩陣相加。

梁的 $EI$ 無限大，且構架桿件不計軸向變形，因此樓層梁柱接點轉角受限為零。每層兩根柱可視為兩端轉角為零的側移柱，單根柱的側向勁度為

【解題方法】

令 $\Delta_1$ 為二樓位移、$\Delta_2$ 為一樓位移，依題目剪力牆勁度矩陣的自由度順序排列。每層高度 $h=3.2\ \mathrm{m}$，構架每層有兩根柱，因此每層側向勁度為

以「二樓、一樓」為自由度順序，構架勁度矩陣為

剪力牆勁度矩陣為

兩層各受 $60\ \mathrm{kN}$ 水平力，故整體平衡式為

整理後：

解得

即二樓位移 $2\ \mathrm{mm}$、一樓位移 $1\ \mathrm{mm}$。

【連桿軸力與剪力牆基底剪力】

剪力牆各樓層所需的外力為