108 專技高考高等考試 結構工程技師 結構學 考古題詳解

108 年・專技高考・高等考試・結構工程技師
試題代碼 結構學

第 一 題25 分

如圖一所示之桁架，各桿件都有相同之楊氏模數 EE 及斷面積 AA。已知對角桿件長 15 m15\,\mathrm{m}，水平桿件長 12 m12\,\mathrm{m}，垂直桿件長 9 m9\,\mathrm{m}。

若各桿件之軸拉強度都為 1250 kN1250\,\mathrm{kN}，而軸壓強度如下：對角桿件 144 kN144\,\mathrm{kN}、水平桿件 225 kN225\,\mathrm{kN}、垂直桿件 400 kN400\,\mathrm{kN}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

今考慮 BB 點受一向右之力 PP。若 PP 由 00 逐漸加大，則 BB 點之向右位移 UBU_B 也會逐漸加大，直至最後桁架會形成破壞機構。

試求出破壞機構形成時對應之極限外力，並且以 PP 為縱軸、UBU_B 為橫軸，試繪出加載至破壞機構過程中 PP 對 UBU_B 的定性（大致）關係圖。

假設各桿件強度達到之前都是線彈性，而強度達到後，張桿內力可以維持其強度但壓桿內力變為零；此亦不論張或壓桿，強度達到後勁度都為零。

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核心觀念

本題考查桁架的超靜定內力分配，以及桿件達到強度後，依題目指定的張、壓桿行為逐階分析破壞過程。

先以線彈性分析求初始內力。某桿達到強度後，張桿維持定值軸力、勁度為零；壓桿則失去軸力與勁度。每次有桿件失效後，都要重新判斷內力分配及下一個達到強度的桿件。

解題方法

設桿件拉力為正，令對角桿 DADA 的軸力為 qq。由節點平衡，可將各桿軸力表示為：

NDA=q,NDB=−45q,NDC=−35q,NCA=−45q,NCB=q+54P,NBA=−35(q+54P).\begin{aligned} N_{DA}&=q, & N_{DB}&=-\frac45q, & N_{DC}&=-\frac35q,\\ N_{CA}&=-\frac45q, & N_{CB}&=q+\frac54P, & N_{BA}&=-\frac35\left(q+\frac54P\right). \end{aligned}

此桁架有一度靜不定。各桿採相同 EAEA，由超靜定相容條件，沿自應力組合的桿件變形總和為零：

∑isiNiLi=0,\sum_i s_iN_iL_i=0,

其中 sis_i 是各桿軸力式中 qq 的係數。代入桿長後：

51.6q+22.8P=0⟹q=−1943P.51.6q+22.8P=0 \quad\Longrightarrow\quad q=-\frac{19}{43}P.

因此，初始線彈性階段的桿力為：

NDA=−1943P（壓）,NDB=NCA=76215P（拉）,NDC=57215P（拉）,NCB=139172P（拉）,NBA=−417860P（壓）.\begin{aligned} N_{DA}&=-\frac{19}{43}P &&\text{（壓）},\\ N_{DB}=N_{CA}&=\frac{76}{215}P &&\text{（拉）},\\ N_{DC}&=\frac{57}{215}P &&\text{（拉）},\\ N_{CB}&=\frac{139}{172}P &&\text{（拉）},\\ N_{BA}&=-\frac{417}{860}P &&\text{（壓）}. \end{aligned}

比較各桿強度，先達到強度的是受壓對角桿 DADA：

1943P1=144⟹P1=619219≈325.9 kN.\frac{19}{43}P_1=144 \quad\Longrightarrow\quad P_1=\frac{6192}{19}\approx325.9\ \mathrm{kN}.

此時 BABA 的壓力約為 158.0 kN158.0\ \mathrm{kN}，尚未達到 225 kN225\ \mathrm{kN}；其他受拉桿也未達拉力強度。故 DADA 先失效。

DADA 失效後，其軸力及勁度皆為零。由節點平衡，剩餘桿件內力為：

NCB=54P,NBA=−34P,NDB=NDC=NCA=0.N_{CB}=\frac54P,\qquad N_{BA}=-\frac34P,\qquad N_{DB}=N_{DC}=N_{CA}=0.

此階段下一個達到強度的是受壓垂直桿 BABA：

34P2=225⟹P2=300 kN.\frac34P_2=225 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{P_2=300\ \mathrm{kN}}.
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第 二 題25 分

范倫迪爾桁架（Vierendeel Truss）實際上受力行為像是構架，因為構件彼此接合為剛接。

考慮圖二之范倫迪爾桁架，其受力後各構件受彎矩之變形為一雙曲率變形，採近似分析時可假設反曲點位於各構件之中點。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

據此假設，分析該桁架，並繪出上下弦桿之彎矩圖、軸力圖及腹桿之彎矩圖、軸力圖。

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核心觀念

范倫迪爾桁架的桿件在節點處為剛接，桿件會同時承受彎矩與軸力。題目指定各桿件的反曲點在中點，因此每一桿件兩端彎矩等值、反號，中點彎矩為零。

圖二各跨長 4 m4\,\mathrm{m}、桁架高度 6 m6\,\mathrm{m}。由對稱性及整體平衡，支承反力為

RAy=REy=150 kN,RAx=0R_{Ay}=R_{Ey}=150\,\mathrm{kN},\qquad R_{Ax}=0

各跨的整體剪力依序為 150、50、−50、−150 kN150、50、-50、-150\,\mathrm{kN}；跨中彎矩依序為 300、700、700、300 kN⋅m300、700、700、300\,\mathrm{kN\cdot m}。

解題方法

弦桿軸力

在各跨中點切開桁架。該處上下弦桿的彎矩為零，截面彎矩由上下弦桿的軸力偶承受。若以壓力為上弦正值的大小、拉力為下弦正值的大小，則

N弦=M整體h,h=6 mN_{\text{弦}}=\frac{M_{\text{整體}}}{h},\qquad h=6\,\mathrm{m}

故上下弦桿的軸力如下：

跨別跨中整體彎矩（kN·m）上弦軸力下弦軸力
AB／FG300壓力 50 kN50\,\mathrm{kN}拉力 50 kN50\,\mathrm{kN}
BC／GH700壓力 116.7 kN116.7\,\mathrm{kN}拉力 116.7 kN116.7\,\mathrm{kN}
CD／HI700壓力 116.7 kN116.7\,\mathrm{kN}拉力 116.7 kN116.7\,\mathrm{kN}
DE／IJ300壓力 50 kN50\,\mathrm{kN}拉力 50 kN50\,\mathrm{kN}

每一弦桿跨內軸力為常數；跨與跨之間在柱線處改變。

弦桿彎矩

以 VV 表示該跨的整體剪力。跨中切面上，上、下弦桿各分擔一半剪力，因此每支弦桿的端彎矩大小為

Mc=V2L2=VL4,L=4 mM_c=\frac{V}{2}\frac{L}{2}=\frac{VL}{4},\qquad L=4\,\mathrm{m}

四跨的弦桿端彎矩大小依序為

150,50,50,150 kN⋅m150,\quad 50,\quad 50,\quad 150\ \mathrm{kN\cdot m}
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第 三 題25 分

如圖三所示受均布載重 ww 之三跨連續梁，考慮支承 BB 及支承 CC 都向下沉陷，且沉陷量相同。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

當沉陷量增加時，支承 AA 及 DD 垂直反力會增加，而支承 BB 及 CC 垂直反力會減少。

試問當沉陷量為多少時，支承 AA 垂直反力會增加 0.1wL0.1wL？試以傾角變位法求解。以其他方法作答者一律不予以計分。

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核心觀念

本題考傾角變位法中「支承沉陷造成的弦轉角」如何影響連續梁端彎矩與支承反力。圖中三跨長度均為 LL、彎曲剛度均為 EIEI；支承 B、CB、C 各向下沉陷 δ\delta，A、DA、D 不沉陷。

只計算沉陷增加所造成的反力增量。均布載重 ww 對原有反力的影響不必重算，因為線性結構可將載重效應與沉陷效應分開計算。

解題方法

取支承沉陷引起的反力增量向上為正。各跨弦轉角為

ψAB=−δL,ψBC=0,ψCD=δL.\psi_{AB}=-\frac{\delta}{L},\qquad \psi_{BC}=0,\qquad \psi_{CD}=\frac{\delta}{L}.

採用傾角變位公式，並以各跨端點的轉角 θ\theta 表示：

Mij=2EIL(2θi+θj−3ψij),Mji=2EIL(θi+2θj−3ψij).M_{ij}=\frac{2EI}{L}(2\theta_i+\theta_j-3\psi_{ij}),\qquad M_{ji}=\frac{2EI}{L}(\theta_i+2\theta_j-3\psi_{ij}).

因本次只考慮沉陷效應，各跨沒有新增分布載重。支承處沒有外加力矩，因此各節點的端彎矩平衡式為

A:MAB=0,B:MBA+MBC=0,C:MCB+MCD=0,D:MDC=0.\begin{aligned} A:&\quad M_{AB}=0,\\ B:&\quad M_{BA}+M_{BC}=0,\\ C:&\quad M_{CB}+M_{CD}=0,\\ D:&\quad M_{DC}=0. \end{aligned}

代入弦轉角，解得各節點轉角：

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第 四 題25 分

考慮圖四之構架，假設各構件之軸向變形很小可以忽略，各桿件之楊氏模數都為 EE、斷面二次矩都為 II，且長度都為 LL；外力 PP 及 QQ 作用於柱之中點。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

如圖四所示，梁 BDBD 接到柱 ABAB 採半剛性接頭，以旋轉彈簧模擬之（可當作零長度），旋轉彈簧勁度假設為 10EI/L10EI/L（EIEI、LL 為梁、柱構件性質）。

若以勁度法表示該構架平衡方程式，可寫為 [K]{D}={P}[K]\{D\}=\{P\}，其中 {D}\{D\} 為位移向量，依序包括水平位移 d1d_1、BB 點左側旋轉角 d2d_2、BB 點右側旋轉角 d3d_3 及 DD 點旋轉角 d4d_4，共四個自由度；[K][K] 為結構勁度矩陣；{P}\{P\} 為外力向量。

試求 [K][K] 及 {P}\{P\}；求 [K][K] 前，先寫出每個元素之勁度矩陣，再組合得到 [K][K]，旋轉彈簧視為一個元素。

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核心觀念

本題以勁度法組合各構件的彎曲勁度，並以位移向量

{D}={d1d2d3d4}T\{D\}=\begin{Bmatrix}d_1&d_2&d_3&d_4\end{Bmatrix}^{T}

表示整體自由度。柱底 A、C 固定；忽略構件軸向變形後，B、D 的垂直位移為零，E 的垂直位移也受滾支承限制。B 點梁、柱採兩個獨立轉角 d2,d3d_2,d_3，由旋轉彈簧連接。

以下採水平向右為正、轉角逆時針為正，並將構件的已約束自由度消去後再組合。

解題方法

令 k0=EI/L3k_0=EI/L^3。各矩陣係數依其自由度的量綱排列；例如平移—轉角項的量綱為 EI/L2EI/L^2，轉角—轉角項的量綱為 EI/LEI/L。

  1. 柱 AB

A 端固定，B 端自由度為水平位移 d1d_1、柱側轉角 d2d_2。柱為直立構件，水平位移與局部橫向位移方向相反；代入後，其勁度矩陣為

[K]AB=k0[126L6L4L2],{D}AB={d1d2}.[K]_{AB} =k_0 \begin{bmatrix} 12&6L\\ 6L&4L^2 \end{bmatrix}, \qquad \{D\}_{AB}= \begin{Bmatrix}d_1\\d_2\end{Bmatrix}.
  1. 柱 CD

C 端固定，D 端自由度為 d1,d4d_1,d_4，因此

[K]CD=k0[126L6L4L2],{D}CD={d1d4}.[K]_{CD} =k_0 \begin{bmatrix} 12&6L\\ 6L&4L^2 \end{bmatrix}, \qquad \{D\}_{CD}= \begin{Bmatrix}d_1\\d_4\end{Bmatrix}.
  1. 梁 BD

B、D 兩端的垂直位移均為零，保留梁側轉角 d3d_3 與 d4d_4：

[K]BD=EIL[4224],{D}BD={d3d4}.[K]_{BD} =\frac{EI}{L} \begin{bmatrix} 4&2\\ 2&4 \end{bmatrix}, \qquad \{D\}_{BD}= \begin{Bmatrix}d_3\\d_4\end{Bmatrix}.
  1. 梁 DE

D 端轉角為 d4d_4；E 端垂直位移為零，而端轉角未列入整體自由度，故將 E 端轉角靜力凝縮。梁的轉角子矩陣為

EIL[4224].\frac{EI}{L} \begin{bmatrix} 4&2\\ 2&4 \end{bmatrix}.

凝縮 E 端轉角後，D 端等效勁度為

[K]DE=EIL(4−2(2)4)=3EIL.[K]_{DE} =\frac{EI}{L}\left(4-\frac{2(2)}{4}\right) =\frac{3EI}{L}.
  1. B 點旋轉彈簧

彈簧勁度為 10EI/L10EI/L，連接柱側轉角 d2d_2 與梁側轉角 d3d_3，故

[K]s=10EIL[1−1−11],{D}s={d2d3}.[K]_{s} =\frac{10EI}{L} \begin{bmatrix} 1&-1\\ -1&1 \end{bmatrix}, \qquad \{D\}_{s}= \begin{Bmatrix}d_2\\d_3\end{Bmatrix}.
  1. 組合整體勁度矩陣
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