114 年專技高考高等考試結構工程技師考古題與詳解

Question 1

如圖 1 所示之一層樓單跨度剛構架（Rigid-jointed frame），梁及柱皆為垂直剛接，兩柱底為固定支承。梁柱之撓曲剛度均為 $EI$ ，長度均為 $L$ 。

若忽略所有桿件之軸向變形，請推導對應側向作用力 $P$ 之側向勁度。

提示：請先寫出結構之勁度矩陣。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查剛構架的位移法與勁度矩陣。忽略桿件軸向變形後，兩根柱頂的垂直位移為零，左右柱頂的水平位移相同，記為 $\Delta$。未知自由度為側移 $\Delta$ 與兩端轉角 $	heta1,	heta2$。側向勁度定義為 $k=P/\Delta$。 解題方法 取廣義位移向量 $$ \mathbf q= \begin{bmatrix} \Delta&	heta1&	heta2 \end{bmatrix}^{T}. $$ 每根柱的柱底固定，柱頂保留水平位移與轉角，其縮減勁度矩陣為 $$ \frac{EI}{L^3} \begin{bmatrix} 12&-6L\ -6L&4L^2 \end{bmatrix}. $$ 梁兩端垂直位移皆為零，只保留兩端轉角，其勁度矩陣為 $$ \frac{EI}{L^3} \begin{bmatrix} 4L^2&2L^2\ 2L^2&4L^2 \end{bmatrix}. $$

Question 2

請畫出圖 2 梁之 $A$ 點反力（$RA$）、$C$ 點反力（$RC$）、$E$ 點反力（$RE$）、$A$ 點彎矩（$MA$）及 $F$ 點剪力（$VF$）之影響線圖。 其中 $A$ 為固定支承、$C$ 及 $E$ 為滾支承（Roller），$B$ 及 $D$ 為內鉸接（Internal pin）。 圖 2 所示梁之各跨距為 $4$ m，共 $4@4$ m；$F$ 點與 $C$ 點相距 $2$ m。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念

本題考查有內鉸梁的靜力影響線。令向下移動的單位荷重位於距 A 點 $x$ 公尺處，依各梁段平衡與整體平衡，求各反應值；荷重位置改變時，將各控制點的影響線縱距以直線連接。

取 $A=0,\ B=4,\ F=6,\ C=8,\ D=12,\ E=16$ 公尺。反力向上為正， $M_A$ 以逆時針為正。剪力採左側自由體切面向下為正。

解題方法

1. 求 $R_A,\ R_C,\ R_E,\ M_A$

由右側 $DE$ 梁段對 D 點取矩：

R_E= \begin{cases} 0,&0\le x\le12,\\[2mm] \dfrac{x-12}{4},&12\le x\le16. \end{cases}

對左側 $AB$ 梁段以 B 點取矩，並考慮荷重在 AB 上時的力矩：

M_A-4R_A+ \begin{cases} 4-x,&0\le x\le4,\\ 0,&4\le x\le16 \end{cases} =0.

整體豎向力平衡與對 A 點取矩為：

R_A+R_C+R_E=1,

M_A+12R_C+16R_E-x=0.

聯立可得：

R_A= \begin{cases} 1,&0\le x\le4,\\[1mm] \dfrac{12-x}{8},&4\le x\le12,\\[2mm] 0,&12\le x\le16, \end{cases}

R_C= \begin{cases} 0,&0\le x\le4,\\[1mm] \dfrac{x-4}{8},&4\le x\le12,\\[2mm] \dfrac{16-x}{4},&12\le x\le16, \end{cases}

M_A= \begin{cases} x,&0\le x\le4,\\[1mm] \dfrac{12-x}{2},&4\le x\le12,\\[2mm] 0,&12\le x\le16. \end{cases}

2. 求 F 點剪力 $V_F$

以 A 至 F 的梁段作豎向力平衡。若 $H_B$ 表示鉸接 B 對左側梁段的豎向作用力，則：

Question 3

一非均勻斷面之桿件 $AB$，跨度中央承受集中載重 $P$，桿件各段之長度及撓曲剛度如圖 3 所示。 請推導使用傾角變位法（Slope-deflection method）時，$AB$ 桿件兩端彎矩 $M{AB}$ 及 $M{BA}$ 之傾角變位公式。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念

本題考非均勻斷面梁的傾角變位式。桿件沿長度的 $EI$ 不同，不能直接套用均勻梁的 $4EI/L$ 與 $2EI/L$ ；須先由曲率關係 $M/EI$ 積分，求出端彎矩與端轉角的關係，再換成傾角變位式。

採一般傾角變位法符號：端彎矩與端轉角依桿件端慣例取正，無支承沉陷，因此弦轉角為零。

解題方法與推導

令 $t=x/L$ ，並以 $EI$ 表示外側三分之一桿段的撓曲剛度，則

\frac{EI(x)}{EI}= \begin{cases} 1,&0\le t\le \frac13,\\[2pt] 2,&\frac13\le t\le \frac23,\\[2pt] 1,&\frac23\le t\le 1. \end{cases}

由曲率積分求端轉角時，所需的無因次積分為

\int_0^1\frac{dt}{EI(x)/EI}=\frac56,\qquad \int_0^1\frac{t\,dt}{EI(x)/EI}=\frac5{12},

\int_0^1\frac{t^2\,dt}{EI(x)/EI}=\frac{47}{162},\qquad \int_0^1\frac{t(1-t)\,dt}{EI(x)/EI}=\frac{41}{324}.

因此，端彎矩與端轉角的剛度係數矩陣，其對角項為 $1128/265$ ，非對角項為 $492/265$ 。這些係數已將中段 $2EI$ 的影響納入。

Question 4

圖 4 所示 $abcd$ 為一位於 $xy$ 平面上的構架，$a$ 及 $d$ 為固定端，$ab$ 及 $bc$ 桿垂直剛接於 $b$ 點，$bc$ 及 $cd$ 桿垂直剛接於 $c$ 點。 $ab$、$bc$ 及 $cd$ 三根桿件皆為長度 $L$ 的實心圓桿，其彈性模數為 $E$，剪力模數為 $G$，慣性矩為 $I$。 已知 $bc$ 桿件受到負 $z$ 軸方向的均布載重 $w$。若不考慮桿件的軸向變形，請以勁度法求所有自由度之變位（含位移及轉角），及 $a$、$d$ 兩支承之反力。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查三維構架的勁度法：各桿保留彎曲與扭轉勁度，忽略軸向變形。實心圓桿的扭轉常數為 $J=2I$，故以 $$ t=\frac{GJ}{EI}=\frac{2G}{E} $$ 表示扭轉勁度與彎曲勁度的比值。採一般結構學的 Euler–Bernoulli 梁桿件勁度式。 解題方法 依圖示取全域 $x$ 軸由 $d$ 指向 $a$、全域 $y$ 軸由 $d$ 指向 $c$，$z$ 軸向上。為便於組裝，另取局部平面座標 $x'$ 沿 $ab$、$y'$ 沿 $bc$，則 $x'=y,\ y'=-x$。 固定端 $a,d$ 的變位為零。忽略桿件軸向變形後，$ab$、$bc$、$cd$ 的軸向相容條件限制節點 $b,c$ 的平面內位移；平面內未受載的子系統解為零。因此非零自由度只有 $b,c$ 的 $z$ 向位移與繞 $x',y'$ 軸轉角。 定義無因次自由度向量 $$ \hat{\boldsymbol d}= \frac{EI}{wL^3} \begin{bmatrix} zb/L\ zc/L\ 	heta{x'b}\ 	heta{y'b}\ 	heta{x'c}\ 	heta{y'c} \end{bmatrix}. $$ 將三根桿件的彎曲勁度及扭轉勁度組裝後，得到 $$ \left[ \begin{array}{rrrrrr} 24&-12&6&6&6&0\ -12&24&-6&0&-6&6\ 6&-6&4+t&0&2&0\ 6&0&0&4+t&0&-t\ 6&-6&2&0&4+t&0\ 0&6&0&-t&0&4+t \end{array} ight]\hat{\boldsymbol d} = \begin{bmatrix} -\frac12\ -\frac12\ -\frac1{12}\ 0\ \frac1{12}\ 0 \end{bmatrix}. $$ 右側為 $bc$ 桿受向下均布載重的等效節點力。解得

114 專技高考高等考試結構工程技師結構學考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

核心觀念

解題方法

1. 求 $R_A,\ R_C,\ R_E,\ M_A$

2. 求 F 點剪力 $V_F$

第三題25 分

核心觀念

解題方法與推導

第四題25 分

其他考古題

114 年結構工程技師的其他科目

結構工程技師《結構學》其他年度

114 專技高考高等考試 結構工程技師 結構學 考古題詳解

第 一 題25 分

第 二 題25 分

核心觀念

解題方法

1. 求 RA, RC, RE, MAR_A,\ R_C,\ R_E,\ M_ARA​, RC​, RE​, MA​

2. 求 F 點剪力 VFV_FVF​

第 三 題25 分

核心觀念

解題方法與推導

第 四 題25 分

其他考古題

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結構工程技師《結構學》其他年度

114 專技高考高等考試結構工程技師結構學考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

1. 求 $R_A,\ R_C,\ R_E,\ M_A$

2. 求 F 點剪力 $V_F$

第三題25 分

第四題25 分