114 年專技高考高等考試結構工程技師考古題與詳解

Question 1

有一 ABC 水平桿件如下圖所示，$AB$ 段由銅組成，其彈性係數 $Ec=120\ \mathrm{GPa}$、熱膨脹係數 $\alphac=16	imes10^{-6}/^\circ\mathrm{C}$，橫斷面面積 $Ac=10	imes10^{-4}\ \mathrm{m^2}$。$BC$ 段由鋼組成，其彈性係數 $Es=200\ \mathrm{GPa}$、熱膨脹係數 $\alphas=12	imes10^{-6}/^\circ\mathrm{C}$，橫斷面面積 $As=8	imes10^{-4}\ \mathrm{m^2}$。$ABC$ 桿件之 $A$ 點為固定端，$C$ 點與牆面有一間隙 $\delta=3	imes10^{-4}\ \mathrm{m}$。設 $L=2\ \mathrm{m}$，當 $ABC$ 桿件溫度均勻上升 $10^\circ\mathrm{C}$ 時，試求： (一) $ABC$ 桿件所受之水平軸力。 (二) $AB$ 銅桿件中之正向應力及 $BC$ 鋼桿件中之正向應力，請註明應力為張力或壓力。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 此題考查兩段不同材料串聯桿件受均勻升溫，且端部間隙閉合後所產生的熱應力。兩段桿件串聯，軸力相同；接觸牆面後，桿件的總伸長量受間隙限制。 桿件受軸力 $N$ 時的彈性變形為 $\dfrac{NL}{EA}$，自由熱伸長為 $\alpha L\Delta T$。本題兩段桿件接觸牆面後，適用相容條件： $$ \sum \alphai Li\Delta T-\sum\frac{NLi}{EiAi}=\delta $$ 解題方法 先計算兩段桿件若不受約束時的總熱伸長： $$ \Delta L{	ext{熱}} =\alphacL\Delta T+\alphasL\Delta T $$ $$ =(16	imes10^{-6})(2)(10)+(12	imes10^{-6})(2)(10) =5.6	imes10^{-4}\ \mathrm{m} $$ 因為 $5.6	imes10^{-4}\ \mathrm{m}\delta=3	imes10^{-4}\ \mathrm{m}$，桿件會碰到牆面；超過間隙的伸長由壓縮軸力造成的彈性縮短抵銷。因此： $$ \sum\frac{NLi}{EiAi} =\Delta L{	ext{熱}}-\delta =2.6	imes10^{-4}\ \mathrm{m} $$ 兩段桿件串聯，軸力大小相同，故： $$ N\left(\frac{L}{EcAc}+\frac{L}{EsAs}ight) =2.6	imes10^{-4} $$

Question 2

有一簡支梁斷面如下圖所示，此梁受一集中載重 $P$。如此梁之最大容許剪應力 $	au{\mathrm{allow}}$ 為 $1\ \mathrm{MPa}$，最大容許正向應力 $\sigma{\mathrm{allow}}$ 為 $8\ \mathrm{MPa}$，則 $P$ 之最大值為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題要檢核簡支梁受中央集中載重時的最大彎曲正應力與最大剪應力，分別使用： $$ \sigma{\max}=\frac{M{\max}c}{I},\qquad 	au{\max}=\frac{V{\max}Q}{Ib} $$ 斷面為外邊長 $24\ \mathrm{cm}$、內孔邊長 $12\ \mathrm{cm}$ 的中空正方形。圖示跨距為 $4\ \mathrm{m}$，載重 $P$ 作用於跨距中央。 解題方法 先由外正方形扣除內孔，求斷面二次矩。中性軸通過斷面中心，至最外纖維距離為 $c=0.12\ \mathrm{m}$： $$ I=\frac{0.24^4-0.12^4}{12} =2.592	imes10^{-4}\ \mathrm{m^4} $$ 簡支梁承受跨中集中力時，兩端反力均為 $P/2$，最大剪力為 $V{\max}=P/2$；最大彎矩位於跨中： $$ M{\max}=\frac{PL}{4}=\frac{P(4)}{4}=P $$ 其中若 $P$ 以 $\mathrm{kN}$ 計，$M{\max}$ 即為 $P\ \mathrm{kN\cdot m}$。 彎曲正應力限制 容許彎矩為：

Question 3

有一平面應力元素受應力如下圖所示，如此元素逆鐘向旋轉 $30^\circ$ 時，其正向應力為壓應力 $53.3\ \mathrm{MPa}$ ，請計算 $\sigma_x$ 、最大主軸應力 $\sigma_1$ 及最小主軸應力 $\sigma_2$ 。

提示：

$\sigma_{x1}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\theta+\tau_{xy}\sin2\theta$

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 平面應力轉換時，拉應力取正、壓應力取負。依圖示，$y$ 面受 $160\ \mathrm{MPa}$ 壓應力，因此 $\sigmay=-160\ \mathrm{MPa}$；右側 $+x$ 面的剪力向下，依題示公式的符號慣例，$	au{xy}=-50\ \mathrm{MPa}$。 元素逆鐘向旋轉 $	heta=30^\circ$ 後，其正向應力為 $$ \sigma{x1} =\frac{\sigmax+\sigmay}{2} +\frac{\sigmax-\sigmay}{2}\cos 2	heta +	au{xy}\sin 2	heta $$ 題目所稱壓應力 $53.3\ \mathrm{MPa}$，故代入時 $\sigma{x1}=-53.3\ \mathrm{MPa}$。 解題方法 代入 $\sigmay=-160\ \mathrm{MPa}$、$	au{xy}=-50\ \mathrm{MPa}$、$	heta=30^\circ$： $$ -53.3 =\frac{\sigmax-160}{2} +\frac{\sigmax+160}{2}\cos 60^\circ -50\sin 60^\circ $$ 利用 $\cos 60^\circ=0.5$、$\sin 60^\circ=\sqrt{3}/2$： $$ -53.3 =0.75\sigmax-40-43.3 $$

Question 4

實心圓桿受軸向拉力 $P=50\ \mathrm{kN}$（如圖所示），其斷面為實心圓形。已知該材料的楊氏模數 $E=210\ \mathrm{GPa}$，求此桿件在該拉力作用下之軸向伸長量。 $d1=20\ \mathrm{mm}$，$L1=1.2\ \mathrm{m}$；$d2=15\ \mathrm{mm}$，$L2=1.2\ \mathrm{m}$。 (A) $0.91\ \mathrm{mm}$ (B) $1.62\ \mathrm{mm}$ (C) $1.82\ \mathrm{mm}$ (D) $2.53\ \mathrm{mm}$ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 桿件在軸向拉力作用下的伸長量為 $$ \delta=\frac{PL}{AE} $$ 若桿件由不同直徑、長度的區段組成，且各段承受相同軸力，總伸長量為各段伸長量相加： $$ \delta{	ext{總}}=\sumi\frac{PLi}{AiE} $$ 本題兩段都是實心圓桿，截面積分別為 $Ai=\frac{\pi di^2}{4}$。 解題方法 全程使用一致的單位：$P=50{,}000\ \mathrm{N}$、$E=210{,}000\ \mathrm{N/mm^2}$，以及 $L1=L2=1{,}200\ \mathrm{mm}$。 兩段的截面積為 $$ A1=\frac{\pi(20)^2}{4}=100\pi\ \mathrm{mm^2} $$ $$ A2=\frac{\pi(15)^2}{4}=56.25\pi\ \mathrm{mm^2} $$ 因此，

Question 5

如圖所示之均質等斷面桿件受軸力 $P$ 作用。假設材料之應力與應變呈完全彈性行為。求桿件 $AC$ 與 $CB$ 段之正向應力（normal stress） $\sigma_{AC}$ 及 $\sigma_{CB}$ 之比值 $\sigma_{AC}/\sigma_{CB}$ 。

$AC=0.4\ \mathrm{m}$ ， $CB=0.6\ \mathrm{m}$ 。

Accepted Answer

核心觀念 桿件兩端固定，故總軸向變形為零。材料均質、等斷面且完全彈性，兩段的彈性模數 $E$ 與截面積 $A$ 相同，可用軸向變形公式 $$ \delta=\frac{NL}{EA} $$ 其中拉力為正、壓力為負。由於截面積相同，正向應力比 $\sigma{AC}/\sigma{CB}$ 等於軸力比 $N{AC}/N{CB}$。 解題方法 圖中外力 $P$ 在 $C$ 點向左。$C$ 點向左位移時，$AC$ 段縮短，受壓；$CB$ 段伸長，受拉。因此 $N{AC}<0$、$N{CB}0$。 兩端固定，$A$、$B$ 的位移皆為零。相容條件為兩段變形量相加為零： $$ \delta{AC}+\delta{CB}=0 $$ 代入軸向變形公式： $$ \frac{N{AC}(0.4)}{EA}+\frac{N{CB}(0.6)}{EA}=0 $$ 消去共同的 $EA$： $$ \frac{N{AC}}{N{CB}}=-\frac{0.6}{0.4}=-\frac{3}{2} $$ 又因兩段截面積相同，

Question 6

承上題，軸力桿件為圓形斷面，直徑 $40\ \mathrm{mm}$，假設材料為線彈性—完全塑性行為（Elastic-perfectly plastic）。如圖所示，$P=350\ \mathrm{kN}$ 時，$A$ 與 $B$ 兩端反力大小之比值 $\left(RA/RB\right)$ 為何？ 應力—應變關係之降伏應力為 $160\ \mathrm{MPa}$，降伏應變為 $0.0015$。 (A) $1.35$ (B) $0.85$ (C) $2.35$ (D) $1.55$ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考「線彈性—完全塑性材料」的軸向降伏力與靜力平衡。材料降伏後，應力維持在降伏應力 $\sigmay=160\ \mathrm{MPa}$，因此直徑 $40\ \mathrm{mm}$ 的桿件，其軸力達降伏時為 $$ Ny=\sigmay A $$ 其中截面積 $A=\frac{\pi d^2}{4}$。本頁未附承上題的桿件配置圖，以下依承上題中 A 側桿段先達降伏 的條件計算。 解題方法 桿件截面積為 $$ A=\frac{\pi(40)^2}{4}=400\pi\ \mathrm{mm^2} $$ 因為 $1\ \mathrm{MPa}=1\ \mathrm{N/mm^2}$，A 側達降伏時的軸力為 $$ RA=Ny=160(400\pi)=201{,}062\ \mathrm{N}\approx201.1\ \mathrm{kN} $$ 由節點的軸力平衡， $$ RA+RB=P=350\ \mathrm{kN} $$ 所以 $$ RB=350-201.1=148.9\ \mathrm{kN} $$ 反力比為

Question 7

如圖所示應變計以量測結構表面 $O$ 點之應變。若已測得於 $O$ 點處 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三方向之應變分別為：

$\varepsilon_A=500\times10^{-6},\qquad \varepsilon_B=300\times10^{-6},\qquad \varepsilon_C=-100\times10^{-6}$

則 $O$ 點之剪應變 $\gamma_{xy}$ 為何？

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Accepted Answer

核心觀念 應變計量得的是沿其量測方向的正向應變。平面應變轉換公式為 $$ \varepsilon	heta =\varepsilonx\cos^2	heta+\varepsilony\sin^2	heta +\frac{\gamma{xy}}{2}\sin 2	heta $$ 其中 $\gamma{xy}$ 是工程剪應變，因此公式中的剪應變項含有 $\frac{1}{2}$。 解題方法 由圖可知，$A$ 沿 $x$ 方向、$C$ 沿 $y$ 方向，$B$ 與 $x$ 軸夾角為 $45^\circ$。因此： $$ \varepsilonx=\varepsilonA=500	imes10^{-6},\qquad \varepsilony=\varepsilonC=-100	imes10^{-6} $$ 將 $B$ 方向的量測值 $\varepsilonB=300	imes10^{-6}$ 代入應變轉換公式： $$ 300	imes10^{-6} =(500	imes10^{-6})\cos^2 45^\circ +(-100	imes10^{-6})\sin^2 45^\circ +\frac{\gamma{xy}}{2}\sin 90^\circ $$ 因為 $\cos^2 45^\circ=\sin^2 45^\circ=\frac12$，且 $\sin90^\circ=1$： $$ 300	imes10^{-6} =250	imes10^{-6}-50	imes10^{-6} +\frac{\gamma{xy}}{2} $$

Question 8

一彈性體（Elastomer）之頂部緊密黏結一剛性塊體（Rigid block），如下圖所示，其中彈性體之尺寸為 $a=150\ \mathrm{mm}$ 、 $b=150\ \mathrm{mm}$ 、 $t=50\ \mathrm{mm}$ 。當剛性塊體受水平側向力 $P=20\ \mathrm{kN}$ 作用時，彈性體頂部產生之橫向位移為 $2.5\ \mathrm{mm}$ 。假設此為微小剪應變之情況，試求此彈性體之剪力模數 $G$ （Shear modulus）。

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Accepted Answer

核心觀念

彈性體受水平力時，黏結面承受剪力。微小剪應變下，剪應力與剪應變符合

\tau=G\gamma

其中剪應力 $\tau=P/A$ ，剪應變 $\gamma=\delta/t$ ； $A$ 為受剪面積， $\delta$ 為頂部橫向位移， $t$ 為彈性體厚度。

解題方法

彈性體的受剪面積為頂面積：

A=ab=(150\ \mathrm{mm})(150\ \mathrm{mm}) =22{,}500\ \mathrm{mm^2}

因此剪應力為

\tau=\frac{P}{A} =\frac{20{,}000\ \mathrm{N}}{22{,}500\ \mathrm{mm^2}} =0.8889\ \mathrm{N/mm^2} =0.8889\ \mathrm{MPa}

頂部位移為 $2.5\ \mathrm{mm}$ ，彈性體厚度為 $50\ \mathrm{mm}$ ，所以

\gamma=\frac{\delta}{t} =\frac{2.5}{50} =0.05

代入 $\tau=G\gamma$ ：

Question 9

如圖所示之平面應力元素，其所受應力為：水平方向之壓應力為 $36\ \mathrm{MPa}$ 、垂直方向之拉應力為 $8\ \mathrm{MPa}$ ，以及指向圖示方向之剪應力為 $16\ \mathrm{MPa}$ 。請試算該應力元素之最大剪應力 $\tau_{\max}$ 以及伴隨之正向應力 $\sigma$ 。

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Accepted Answer

核心觀念 本題考平面應力元素的最大剪應力與其伴隨正向應力。圓形莫耳圓的半徑為最大面內剪應力，圓心則是剪應力面上的正向應力： $$ 	au{\max}=\sqrt{\left(\frac{\sigmax-\sigmay}{2}ight)^2+	au{xy}^2}, \qquad \sigma{	ext{伴隨}}=\frac{\sigmax+\sigmay}{2} $$ 以拉應力為正、壓應力為負，圖示應力為 $\sigmax=-36\ \mathrm{MPa}$、$\sigmay=8\ \mathrm{MPa}$、剪應力大小 $|	au{xy}|=16\ \mathrm{MPa}$。剪應力方向決定莫耳圓上的位置，但不影響最大剪應力的大小。 解題方法 先求莫耳圓半徑： $$ 	au{\max} =\sqrt{\left(\frac{-36-8}{2}ight)^2+16^2} =\sqrt{22^2+16^2} =\sqrt{740} \approx 27.2\ \mathrm{MPa} $$ 再求莫耳圓圓心，也就是最大剪應力面上伴隨的正向應力： $$ \sigma{	ext{伴隨}} =\frac{-36+8}{2} =-14\ \mathrm{MPa} $$ 因此最大剪應力為 $27.2\ \mathrm{MPa}$，伴隨正向應力為 $-14\ \mathrm{MPa}$，表示壓應力。

Question 10

如圖所示，由不同材質之 $AB$ 段與 $BC$ 段組合而成之彈性桿件。兩桿件之斷面積均為 $15\ \mathrm{cm^2}$ 。在連接點 $B$ 與端點 $C$ 處，分別施加一對大小為 $120\ \mathrm{kN}$ 且方向相反之軸向力。求 $AB$ 段之正向應力（normal stress）。

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Accepted Answer

核心觀念 本題考軸力桿件的靜力平衡與正向應力。不同材料會影響變形，但本題要求的 $AB$ 段軸力可直接由受力平衡求得；正向應力公式為 $$ \sigma=\frac{N}{A} $$ 其中 $N$ 是該段的軸力，$A$ 是截面積。拉力造成張應力，壓力造成壓應力。 解題方法 先看整根桿件：$B$ 點的 $120\ \mathrm{kN}$ 向右，$C$ 點的 $120\ \mathrm{kN}$ 向左，兩力大小相等、方向相反，因此合力為零。由整體平衡可知，固定端 $A$ 的反力為零。 再於 $AB$ 段任意位置剖開，取左側桿段作受力分析。左側只有固定端反力與截面軸力；由於固定端反力為零，截面軸力也必須為零： $$ N{AB}=0 $$ 因此 $$ \sigma{AB}=\frac{N{AB}}{A} =\frac{0}{15\ \mathrm{cm^2}} =0\ \mathrm{MPa} $$ 截面積雖已提供，但因 $AB$ 段軸力為零，計算應力時不影響結果。 選項分析

Question 11

一長度 $L=4\ \mathrm{m}$ 之均質簡支梁，其斷面寬度 $b=250\ \mathrm{mm}$ 、高 $h=400\ \mathrm{mm}$ 。當受到如下圖所示之分布載重作用時，其中性面（neutral surface）上之最大剪應力為何？

分布載重由左端之 $50\ \mathrm{kN/m}$ ，線性遞減至右端之 $25\ \mathrm{kN/m}$ 。

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Accepted Answer

核心觀念 本題考簡支梁受線性變化分布載重時的支承反力、最大剪力，以及矩形斷面中性軸上的最大剪應力。 矩形斷面中性軸上的最大剪應力為： $$ 	au{\max}=\frac{3V{\max}}{2A}, \qquad A=bh $$ 其中 $V{\max}$ 是梁內最大剪力的絕對值，$A$ 是斷面積。 解題方法 先求分布載重合力與支承反力。梯形載重可拆成全跨均布載重 $25\ \mathrm{kN/m}$，以及左端為 $25\ \mathrm{kN/m}$、右端為零的三角形載重： $$ W=25(4)+\frac{1}{2}(25)(4)=150\ \mathrm{kN} $$ 均布載重合力作用於距 A 點 $2\ \mathrm{m}$ 處；三角形載重合力作用於距 A 點 $4/3\ \mathrm{m}$ 處。對 A 點取力矩： $$ RB(4)=100(2)+50\left(\frac{4}{3}ight) $$ 因此 $RB=66.67\ \mathrm{kN}$，由垂直力平衡得： $$ RA=150-66.67=83.33\ \mathrm{kN} $$ 全跨載重皆向下，因此剪力沿梁長遞減；左右端剪力分別為 $+83.33\ \mathrm{kN}$ 與 $-66.67\ \mathrm{kN}$，故最大剪力絕對值為： $$ V{\max}=83.33\ \mathrm{kN} $$ 矩形斷面面積為：

Question 12

下圖之圓管桿件，其內徑 $r1=70\ \mathrm{mm}$、外徑 $r2=80\ \mathrm{mm}$，承受大小為 $T=2.0\ \mathrm{kN\cdot m}$ 之扭矩。求該桿件所受之最大剪應力。 (A) $5.3\ \mathrm{MPa}$ (B) $6.0\ \mathrm{MPa}$ (C) $10.6\ \mathrm{MPa}$ (D) $12\ \mathrm{MPa}$ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 圓管受扭時，截面上的剪應力隨半徑增加，外表面剪應力最大： $$ 	au{\max}=\frac{T ro}{J} $$ 其中 $T$ 為扭矩、$ro$ 為外半徑，圓管的極慣性矩為： $$ J=\frac{\pi}{2}\left(ro^4-ri^4ight) $$ 解題方法 依圖中由圓心指向內、外圓周的標示，$r1=70\ \mathrm{mm}$ 與 $r2=80\ \mathrm{mm}$ 是內、外半徑。先將扭矩換成 $\mathrm{N\cdot mm}$： $$ T=2.0\ \mathrm{kN\cdot m} =2.0	imes10^6\ \mathrm{N\cdot mm} $$ 圓管的極慣性矩為： $$ J=\frac{\pi}{2}\left(80^4-70^4ight) =2.6625	imes10^7\ \mathrm{mm^4} $$ 因此最大剪應力發生在外表面：

Question 13

如圖所示之桿件 $ABC$，兩端固定，$AB$ 段與 $BC$ 段有相同的楊氏模數 $E$ 與熱膨脹係數 $\alpha$。已知 $AB$ 段的橫斷面積為 $A0$，而 $BC$ 段的橫斷面積為 $1.5A0$。當桿件因整體均勻升溫 $\Delta T$ 時，則 $BC$ 段之壓應力可表示為： (A) $\dfrac{6}{5}E\alpha(\Delta T)$ (B) $\dfrac{12}{15}E\alpha(\Delta T)$ (C) $\dfrac{13}{15}E\alpha(\Delta T)$ (D) $\dfrac{5}{6}E\alpha(\Delta T)$ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 兩端固定的桿件受均勻升溫時，若沒有固定端限制，桿件會自由膨脹；固定端使總長度變化為零，因此產生軸向壓力。兩段桿件串聯，軸力相同，但因截面積不同，應力不同。 解題方法 設兩段共同承受的壓力大小為 $N$。圖中 $AB$ 與 $BC$ 長度皆為 $L/2$。總伸長量必須為零： $$ \underbrace{\alpha\Delta T\,L}{	ext{自由熱膨脹}} - \underbrace{\frac{N}{E}\left(\frac{L/2}{A0}+\frac{L/2}{1.5A0}ight)}{	ext{軸力造成的縮短}} =0 $$ 因為 $1.5A0=\frac{3}{2}A0$，所以 $$ \frac{L/2}{A0}+\frac{L/2}{1.5A0} =\frac{L}{2A0}+\frac{L}{3A0} =\frac{5L}{6A0} $$ 代回相容條件： $$ N=\frac{E\alpha\Delta T\,L}{5L/(6A0)} =\frac{6}{5}EA0\alpha\Delta T $$ $BC$ 段的壓應力大小為

Question 14

一實心圓形斷面之金屬桿件進行抗拉強度試驗，桿件之直徑 $d=12\ \mathrm{mm}$ ，標距長度（Gage length）為 $50\ \mathrm{mm}$ 。當拉伸力 $P$ 達到 $25\ \mathrm{kN}$ 時，標距之間的距離增加 $0.145\ \mathrm{mm}$ ，試求此金屬桿件之楊氏模數 $E$ 。

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Accepted Answer

核心觀念 材料在彈性範圍內受拉時，楊氏模數為正應力除以軸向應變： $$ E=\frac{\sigma}{\varepsilon} =\frac{P/A}{\Delta L/L0} $$ 其中，$A$ 為桿件截面積，$L0$ 為標距長度，$\Delta L$ 為標距伸長量。 解題方法 實心圓形截面面積為： $$ A=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(12\ \mathrm{mm})^2}{4} =36\pi\ \mathrm{mm^2} \approx113.10\ \mathrm{mm^2} $$ 軸向應力為： $$ \sigma=\frac{P}{A} =\frac{25{,}000\ \mathrm{N}}{113.10\ \mathrm{mm^2}} \approx221.0\ \mathrm{N/mm^2} =221.0\ \mathrm{MPa} $$ 軸向應變為： $$ \varepsilon=\frac{\Delta L}{L0} =\frac{0.145\ \mathrm{mm}}{50\ \mathrm{mm}} =0.0029 $$ 因此楊氏模數為： $$ E=\frac{221.0\ \mathrm{MPa}}{0.0029} \approx76{,}200\ \mathrm{MPa} =76.2\ \mathrm{GPa} $$ 選項分析

Question 15

下圖中桁架 $ABC$ 是由二支斷面積均為 $2000\ \mathrm{mm^2}$ 、楊氏模數均為 $200\ \mathrm{GPa}$ 之鋼質桿件所組成，其跨度 $L=4\ \mathrm{m}$ 、 $\theta=45^\circ$ 。若桁架頂端受水平力 $P=120\ \mathrm{kN}$ 之作用，則 $B$ 點之水平位移為：

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Accepted Answer

核心觀念 本題考桁架桿件的軸力與軸向變形，以及如何由桿件變形求接點位移。桿件軸向變形公式為 $$ \Delta l=\frac{Nl}{EA} $$ 其中 $N$ 為軸力（拉力為正、壓力為負），$l$ 為桿長，$E$ 為楊氏模數，$A$ 為斷面積。 解題方法 令 $c=\cos	heta$、$s=\sin	heta$，並取桿件拉力為正。在 $B$ 點作力平衡： $$ P+c(N{BC}-N{AB})=0,\qquad -s(N{AB}+N{BC})=0 $$ 因此 $$ N{AB}=\frac{P}{2c},\qquad N{BC}=-\frac{P}{2c} $$ 故 $AB$ 受拉、$BC$ 受壓，兩桿軸力大小相等。 兩桿的水平投影均為 $L/2$，所以桿長為 $$ l=\frac{L}{2c} $$ 設 $B$ 點位移為 $(u,v)$。沿兩桿軸線的位移投影分別為 $$ \Delta l{AB}=uc+vs,\qquad \Delta l{BC}=-uc+vs $$ 因兩桿軸力大小相等、符號相反，軸向變形也大小相等、符號相反。令 $\Delta l{AB}=d$、$\Delta l{BC}=-d$，相減可得 $$ 2uc=2d,\qquad u=\frac{d}{c} $$ 其中 $$ d=\frac{Pl}{2cEA} $$ 因此 $B$ 點水平位移為 $$ u=\frac{Pl}{2Ec^2A} =\frac{PL}{4EA\cos^3	heta} $$

Question 16

如圖所示，三支材質相同且均質的桿件 $A$、$B$、$C$ 以對稱配置懸掛一剛體。在外力 $P$ 的作用下，各桿件的軸向剛度 $EA$ 均相等。試求桿件 $A$ 所承受的內力大小： (A) $P/6$ (B) $P/4$ (C) $P/3$ (D) $P/2$ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查軸向變形的相容條件與剛體平衡。桿件的軸向剛度為 $k=\dfrac{EA}{L{	ext{桿}}}$；同一剛體作對稱的垂直位移時，三支桿件的伸長量相同。桿長越短，軸向剛度越大，分擔的內力也越大。 解題方法 由圖可知，桿件 $A$、$C$ 的長度均為 $L$，桿件 $B$ 的長度為 $L/4$，且三桿的 $EA$ 相等。外力 $P$ 作用於對稱位置，因此剛體只作垂直平移，不發生轉動。設剛體向下位移 $\delta$，三桿的伸長量皆為 $\delta$。 各桿軸力為： $$ NA=\frac{EA}{L}\delta,\qquad NC=\frac{EA}{L}\delta,\qquad NB=\frac{EA}{L/4}\delta=4\frac{EA}{L}\delta $$ 對剛體作垂直力平衡： $$ NA+NB+NC=P $$ 代入各桿軸力： $$ \left(1+4+1ight)\frac{EA}{L}\delta=P $$

Question 17

如圖所示，一根剛性桿件以鉸接方式垂直懸掛於天花板，並在點 $B$ 使用一軸力繫桿固定至牆壁。該繫桿的斷面積 $A=120\ \mathrm{mm^2}$ ，楊氏模數 $E=200\ \mathrm{GPa}$ 。於剛性桿底部的自由端施加一水平集中力 $P=5\ \mathrm{kN}$ 。試求點 $C$ 的水平位移量，其最接近下列何值？

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Accepted Answer

核心觀念

本題考查剛性桿的力矩平衡、繫桿軸向變形，以及剛體轉動時各點位移的比例關係。繫桿水平，因此其軸向伸長量等於點 $B$ 的水平位移；剛性桿轉動時，點 $B$ 與點 $C$ 的水平位移則依各自到鉸點 $A$ 的距離成正比。

解題方法

由圖可知， $AB=90\ \mathrm{cm}$ 、 $BC=60\ \mathrm{cm}$ ，所以 $AC=150\ \mathrm{cm}$ 。對鉸點 $A$ 取力矩平衡，繫桿拉力記為 $T$ ：

T(0.90)=P(1.50)

T=\frac{5(1.50)}{0.90}=8.33\ \mathrm{kN}

繫桿長度為 $120\ \mathrm{cm}=1200\ \mathrm{mm}$ ，其軸向伸長量為

\delta_B=\frac{TL}{AE} =\frac{(8.33\times10^3)(1200)} {(120)(200\times10^3)} =0.417\ \mathrm{mm}

這就是點 $B$ 的水平位移。因為桿件為剛體，且轉角很小，水平位移與鉸點距離成正比：

\frac{\delta_C}{\delta_B}=\frac{AC}{AB} =\frac{150}{90}

Question 18

下圖之簡支梁受到如圖所示之載重。$C$ 點位於距 $B$ 端 $3\ \mathrm{m}$ 處，並緊鄰集中載重之右側；斷面尺寸寬度為 $400\ \mathrm{mm}$、高度為 $600\ \mathrm{mm}$。求 $C$ 點斷面上之最大撓曲應力 $\sigmaC$。 梁長 $9\ \mathrm{m}$，全跨作用均佈載重 $2\ \mathrm{kN/m}$，另有一集中載重 $20\ \mathrm{kN}$，以及作用於 $A$ 端之 $25\ \mathrm{kN\cdot m}$ 力矩。 (A) $1.47\ \mathrm{MPa}$ (B) $2.77\ \mathrm{MPa}$ (C) $4.16\ \mathrm{MPa}$ (D) $5.54\ \mathrm{MPa}$ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考簡支梁的支承反力、指定斷面彎矩，以及矩形斷面的最大彎曲應力。使用彎曲公式 $$ \sigma{\max}=\frac{|M|c}{I}=\frac{|M|}{S} $$ 其中 $I=\frac{bh^3}{12}$、$c=\frac{h}{2}$，矩形斷面的斷面模數為 $S=\frac{bh^2}{6}$。 解題方法 令 $A$ 為 $x=0$、$B$ 為 $x=9\ \mathrm{m}$。集中載重位於 $C$，距 $A$ 為 $6\ \mathrm{m}$。依圖示，$A$ 端的 $25\ \mathrm{kN\cdot m}$ 力矩為順時針。 先由整根梁的平衡求支承反力。以 $A$ 點取力矩，逆時針為正： $$ RB(9)-(2	imes9)(4.5)-(20)(6)-25=0 $$ $$ RB=25.111\ \mathrm{kN} $$ 再由垂直力平衡： $$ RA+RB-(2	imes9)-20=0 $$ $$ RA=12.889\ \mathrm{kN} $$ 求 $C$ 點斷面彎矩時，取 $C$ 右側梁段。該段包含 $B$ 點反力，以及長度 $3\ \mathrm{m}$ 的均佈載重；均佈載重合力為 $6\ \mathrm{kN}$，作用位置距 $C$ 為 $1.5\ \mathrm{m}$。因此： $$ |MC|=RB(3)-(2	imes3)(1.5) =25.111(3)-9 =66.333\ \mathrm{kN\cdot m} $$ 斷面模數為：

Question 19

T 型梁斷面之幾何尺寸如下圖所示：上翼板寬度 $b=80\ \mathrm{mm}$ 、厚度 $t=20\ \mathrm{mm}$ 、整體高度 $h=100\ \mathrm{mm}$ ，以及腹板高度 $h_1=80\ \mathrm{mm}$ 。該梁的跨度為 $L=4.0\ \mathrm{m}$ ，集中載重作用於距 $B$ 端 $d=1\ \mathrm{m}$ 處。求 $z$ 軸（中性面）之慣性矩 $I_z$ ：

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Accepted Answer

核心觀念 本題考查複合截面的形心位置與平行軸定理。中性面通過 T 型截面的形心，對該軸的慣性矩為各矩形部分對自身形心軸的慣性矩，加上平行軸項： $$ Iz=\sumi\left(I{i,c}+Ai di^2ight) $$ 梁的跨度與載重位置不影響截面幾何慣性矩，因此本題不需使用 $L$ 或 $d$。 解題方法 將 T 型截面分成上翼板與腹板，並以截面底部為基準量測形心位置： - 腹板：寬 $20\ \mathrm{mm}$、高 $80\ \mathrm{mm}$，面積 $Aw=20	imes80=1{,}600\ \mathrm{mm^2}$，形心距底部 $40\ \mathrm{mm}$。 - 上翼板：寬 $80\ \mathrm{mm}$、厚 $20\ \mathrm{mm}$，面積 $Af=80	imes20=1{,}600\ \mathrm{mm^2}$，形心距底部 $80+10=90\ \mathrm{mm}$。 形心距底部為： $$ \bar y=\frac{Aw(40)+Af(90)}{Aw+Af} =\frac{1{,}600(40)+1{,}600(90)}{3{,}200} =65\ \mathrm{mm} $$ 因此，腹板與翼板形心到中性面的距離都為 $25\ \mathrm{mm}$。套用平行軸定理：

Question 20

【題組共用題幹】 承上題，桿件「T 型梁」$AB$ 在集中載重 $P=10.0\ \mathrm{kN}$ 作用下之最大撓曲（拉）應力 $\sigmat$ 為： (A) $120.4\ \mathrm{MPa}$ (B) $62.0\ \mathrm{MPa}$ (C) $90.3\ \mathrm{MPa}$ (D) $167.7\ \mathrm{MPa}$ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考簡支梁的最大彎矩與彎曲正應力。彎曲應力由 $$ \sigma=\frac{My}{Iz} $$ 計算，其中 $M$ 為截面彎矩、$y$ 為中性軸至欲求應力位置的距離，$Iz$ 為 T 型截面對中性軸的慣性矩。此題要求最大拉應力，因此須使用受拉側最外緣至中性軸的距離。 解題方法 由第 16 題圖示，梁跨距 $L=4.0\ \mathrm{m}$，集中載重 $P=10.0\ \mathrm{kN}$ 距 B 端 $d=1.0\ \mathrm{m}$，所以距 A 端 $3.0\ \mathrm{m}$。以 A 點取力矩，得 $$ RB(4)-10(3)=0 \quad\Longrightarrow\quad RB=7.5\ \mathrm{kN} $$ $$ RA=10-7.5=2.5\ \mathrm{kN} $$ 集中載重所在截面的彎矩為 $$ M{\max}=RA(3)=2.5(3)=7.5\ \mathrm{kN\cdot m} $$ 簡支梁受向下集中載重時，跨內彎矩為正彎矩，梁底受拉、梁頂受壓。因此最大拉應力要取 T 型截面的底部距離。 截面尺寸為翼板 $80	imes20\ \mathrm{mm}$、腹板 $20	imes80\ \mathrm{mm}$。由截面底部量起的形心位置為 $$ \bar y =\frac{(20\cdot80)(40)+(80\cdot20)(90)} {20\cdot80+80\cdot20} =65\ \mathrm{mm} $$ 所以底部受拉緣距中性軸 $yt=65\ \mathrm{mm}$。對中性軸的慣性矩為

Question 21

如圖所示之懸臂梁分別於跨度中央受一集中載重 $P$ 作用，及自由端受集中載重 $2P$ 作用，梁之跨度為 $L$ 。假設梁桿件之楊氏模數 $E$ 及慣性矩 $I$ 均為常數，試求自由端之垂直變位：

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Accepted Answer

核心觀念 本題考懸臂梁在多個集中載重作用下的自由端垂直變位，使用梁的彈性曲線關係與線性疊加原理。由於 $E$、$I$ 為常數，兩個載重造成的自由端變位可分別計算後相加。 解題方法 令固定端為 $x=0$、自由端為 $x=L$。取向下變位為正，利用單位力法計算各載重對自由端的變位。 先在自由端施加向下單位力，其彎矩為 $m(x)=-(L-x)$。 跨度中央的集中力 $P$ 作用於 $a=L/2$。它造成的彎矩只分布在 $0\le x\le a$，為 $MP(x)=-P(a-x)$，所以自由端變位為 $$ \deltaP =\int0^a \frac{MP(x)m(x)}{EI}\,dx =\frac{P}{EI}\int0^a(a-x)(L-x)\,dx =\frac{Pa^2(3L-a)}{6EI}. $$ 代入 $a=L/2$： $$ \deltaP =\frac{P(L/2)^2\left(3L-L/2\right)}{6EI} =\frac{5PL^3}{48EI}. $$ 自由端的集中力為 $2P$。懸臂梁自由端受端點集中力 $Q$ 時，端點變位為 $QL^3/(3EI)$，因此 $$ \delta{2P}=\frac{2PL^3}{3EI} =\frac{32PL^3}{48EI}. $$ 兩力皆向下，變位同方向相加：

Question 22

一根擋土樁自地面突出，高度為 $H$，其撓曲剛度（Flexural Rigidity）為 $EI$。在受到如圖所示之側向土壓力 $w$ 作用下，試求擋土樁頂部 $A$ 點自自由端產生之轉角： (A) $\dfrac{wH^4}{18EI}$ (B) $\dfrac{wH^3}{24EI}$ (C) $\dfrac{wH^3}{30EI}$ (D) $\dfrac{wH^4}{36EI}$ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 擋土樁露出地面部分可視為長度 $H$ 的懸臂梁，地面處 $B$ 為固定端，頂部 $A$ 為自由端。圖示側向分布荷載呈三角形：在自由端為零，在地面處達最大值 $w$。 求自由端轉角可由曲率關係 $EI\,v''=M$ 積分求得，也可用單位荷重法。以下以單位荷重法推導轉角大小。 解題方法 令座標 $x$ 自固定端 $B$ 向上量至自由端 $A$，則三角形分布荷載強度為 $$ q(x)=w\left(1-\frac{x}{H}ight),\qquad 0\le x\le H. $$ 在自由端施加單位力矩，梁上各截面的虛彎矩均為 $1$。因此，依單位荷重法，自由端轉角為 $$ 	hetaA=\int0^H\frac{M(x)\cdot 1}{EI}\,dx. $$ 將截面彎矩寫成外側分布荷載的積分，交換積分次序後可得 $$ 	hetaA =\frac{1}{2EI}\int0^H q(s)s^2\,ds =\frac{w}{2EI}\int0^H\left(1-\frac{s}{H}ight)s^2\,ds. $$ 計算積分：

Question 23

如圖所示之桿件 $AB$ 與桿件 $CD$，兩根桿件之撓曲剛度（Flexural Rigidity）$EI$ 均相同。已知桿件 $AB$ 的長度為 $L0$，而桿件 $CD$ 的長度為 $1.25L0$，求此兩根桿件最小臨界（挫屈）載重之比值： $$\frac{(P{\mathrm{cr}}){CD}}{(P{\mathrm{cr}}){AB}}$$ (A) $0.64$ (B) $1.56$ (C) $2.78$ (D) $3.13$ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考歐拉柱的最小挫屈臨界載重。兩桿的撓曲剛度 $EI$ 相同，臨界載重由桿長與端部支承條件決定： $$ P{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI}{(KL)^2} $$ 其中 $K$ 為有效長度因數。圖中兩桿的底端皆為鉸支承，頂端皆由靠牆滾輪限制側向位移、但可自由轉動，因此兩桿均按兩端鉸支承處理，$K=1$。 解題方法 桿件 $AB$ 的長度為 $L0$，桿件 $CD$ 的長度為 $1.25L0$。代入歐拉公式： $$ (P{\mathrm{cr}}){AB} =\frac{\pi^2EI}{L0^2} $$ $$ (P{\mathrm{cr}}){CD} =\frac{\pi^2EI}{(1.25L0)^2} $$ 因此：

Question 24

有一等斷面桿件，長度為 $150\ \mathrm{mm}$，斷面面積為 $500\ \mathrm{mm^2}$。若該桿件材料為線彈性材料，當其受到 $60\ \mathrm{kN}$ 的軸向力時，伸長了 $0.075\ \mathrm{mm}$，則該桿件材料的楊氏模數（Young’s Modulus）為何？ (A) $250\ \mathrm{GPa}$ (B) $240\ \mathrm{GPa}$ (C) $230\ \mathrm{GPa}$ (D) $220\ \mathrm{GPa}$ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 線彈性材料受軸向力時，楊氏模數為正向應力與正向應變之比： $$ E=\frac{\sigma}{\varepsilon} $$ 其中 $\sigma=P/A$，$\varepsilon=\delta/L$。因此也可直接寫成： $$ E=\frac{PL}{A\delta} $$ 解題方法 將題目數值代入，並以 $\mathrm{N}$、$\mathrm{mm}$ 為單位計算： $$ E=\frac{(60\,000\ \mathrm{N})(150\ \mathrm{mm})} {(500\ \mathrm{mm^2})(0.075\ \mathrm{mm})} =\frac{9\,000\,000}{37.5}\ \mathrm{N/mm^2} =240\,000\ \mathrm{N/mm^2} $$ 由 $1\ \mathrm{N/mm^2}=1\ \mathrm{MPa}$，且 $1\,000\ \mathrm{MPa}=1\ \mathrm{GPa}$，得

Question 25

有一鋼棒長度為 $50\ \mathrm{cm}$，其鋼材的單軸拉伸應力—應變曲線如圖所示。若此鋼棒受拉力伸長 $2\ \mathrm{mm}$ 後將力量釋放，則鋼棒的永久變形量為何？ 應力—應變曲線之降伏應力約為 $250\ \mathrm{MPa}$。 (A) $1.375\ \mathrm{mm}$ (B) $1.425\ \mathrm{mm}$ (C) $1.575\ \mathrm{mm}$ (D) $1.625\ \mathrm{mm}$ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念

卸載時，鋼棒沿著應力—應變曲線的線彈性斜率恢復。卸載後留下的永久變形，等於總伸長量扣除可恢復的彈性伸長量。

彈性模數為應力—應變曲線線彈性段的斜率：

$E=\frac{\sigma}{\varepsilon}$

解題方法

由圖可讀出線彈性段在應變 $\varepsilon=0.001$ 時，應力約為 $200\ \mathrm{MPa}$ ，因此

$E=\frac{200\ \mathrm{MPa}}{0.001}=200{,}000\ \mathrm{MPa}=200\ \mathrm{GPa}$

鋼棒受拉伸長 $2\ \mathrm{mm}$ ，長度為 $500\ \mathrm{mm}$ ，總應變為

$\varepsilon_{\text{總}}=\frac{2}{500}=0.004$

由圖可知，應變達 $0.004$ 時，應力約為降伏後的平台應力 $250\ \mathrm{MPa}$ 。卸載時的彈性應變恢復量為

\varepsilon_{\text{彈性恢復}}=\frac{\sigma}{E} =\frac{250}{200{,}000}=0.00125

因此彈性恢復的伸長量為

$\delta_{\text{彈性恢復}}=0.00125(500)=0.625\ \mathrm{mm}$

永久變形量為

Question 26

有一組件由兩支外柱 $AB$ 和 $CD$ 以及一支中央柱 $EF$ 所組成，其中 $AB$ 柱與 $CD$ 柱由材料 1 製成，其楊氏模數為 $E_1$ 、斷面積為 $A_1$ ； $EF$ 柱由材料 2 製成，其楊氏模數為 $E_2$ 、斷面積為 $A_2$ 。若要將 $AB$ 和 $CD$ 柱同時更換為由材料 2 製成，且更換前後的組件，其受相同軸力 $P$ 時具有相同的變形量。求更換後的 $AB$ 柱與 $CD$ 柱斷面積為何？

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Accepted Answer

核心觀念 三支柱上下端都接在剛體板上，因此受力時三支柱的軸向變形量相同，屬於並聯受力。每支柱的軸向剛度為 $\dfrac{EA}{L}$；並聯柱的總剛度等於各柱剛度相加。 解題方法 設更換後每支外柱的斷面積為 $A'$。柱長皆為 $L$，相同軸力 $P$ 下，組件變形量為「總力除以總剛度」。 更換前的總軸向剛度為 $$ k{	ext{前}} =2\frac{E1A1}{L}+\frac{E2A2}{L}. $$ 更換後，三支柱皆為材料 2，總軸向剛度為 $$ k{	ext{後}} =2\frac{E2A'}{L}+\frac{E2A2}{L}. $$ 題目要求相同軸力 $P$ 下變形量相同，因此前後總剛度相同： $$ k{	ext{前}}=k{	ext{後}}. $$ 代入並消去兩邊相同的中央柱剛度 $\dfrac{E2A2}{L}$： $$ 2\frac{E1A1}{L}=2\frac{E2A'}{L}, \qquad A'=\frac{E1}{E2}A1. $$

114 專技高考高等考試結構工程技師材料力學考古題詳解

第一題15 分

第二題20 分

第三題15 分

第 1 題1 分

第 2 題1 分

第 3 題1 分

第 4 題1 分

第 5 題1 分

核心觀念

解題方法

第 6 題1 分

第 7 題1 分

第 8 題1 分

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第 10 題1 分

第 11 題1 分

第 12 題1 分

第 13 題1 分

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核心觀念

解題方法

第 15 題1 分

第 16 題1 分

第 17 題1 分

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第 21 題1 分

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核心觀念

解題方法

第 23 題1 分

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