114 年專技高考高等考試結構工程技師考古題與詳解

Question 1

一方形柱 $40\ \mathrm{cm}	imes40\ \mathrm{cm}$，承受靜載重 $80\ \mathrm{tf}$ 及活載重 $75\ \mathrm{tf}$，其下由一位於地表下 $1.5\ \mathrm{m}$ 處之正方形獨立基腳支持。 該基腳為 $3\ \mathrm{m}	imes3\ \mathrm{m}$，有效深度 $50\ \mathrm{cm}$，基腳內二向之鋼筋量均為 $50\ \mathrm{cm}^2$。試檢核該基腳承受彎矩與穿孔剪力之適當性。 已知： - $fy=4200\ \mathrm{kgf/cm}^2$ - 鋼筋混凝土單位重為 $2.4\ \mathrm{tf/m}^3$ - 土壤單位重為 $2\ \mathrm{tf/m}^3$ - 土壤承載力為 $25\ \mathrm{tf/m}^2$

Accepted Answer

核心觀念 本題檢核正方形獨立基腳的兩項強度：彎矩與穿孔剪力。採用極限強度設計，先以事實載重計算基底反力，再乘載重因數求需求強度 $Mu$、$Vu$，並與設計強度 $\phi Mn$、$\phi Vc$ 比較。 題目未指定土壤承載力是淨承載力或總承載力；以下按一般基腳設計慣例，視為容許淨土壤承載力，由柱載重估算基底反力，基腳與覆土自重在彎矩及剪力檢核中互相抵銷。穿孔剪力以柱周邊距柱面 $d/2$ 的臨界周長檢核。 解題方法 取柱中心與基腳中心重合，柱載重為： $$ D=80\ \mathrm{tf},\qquad L=75\ \mathrm{tf} $$ 基腳面積： $$ Af=3(3)=9\ \mathrm{m^2} $$ 服務載重下的平均基底反力為： $$ qs=\frac{D+L}{Af} =\frac{80+75}{9} =17.22\ \mathrm{tf/m^2} $$ 此值小於土壤容許承載力 $25\ \mathrm{tf/m^2}$，服務載重承載力符合。 強度設計採 $1.2D+1.6L$： $$ Pu=1.2(80)+1.6(75)=216\ \mathrm{tf} $$ $$ qu=\frac{Pu}{Af} =\frac{216}{9} =24.0\ \mathrm{tf/m^2} $$ 基腳每側自柱面至邊緣的懸臂長度為： $$ \ell=\frac{3-0.4}{2}=1.3\ \mathrm{m} $$ 彎矩檢核 每公尺寬基腳由均佈土壤反力產生的柱面彎矩為： $$ Mu=qu\frac{\ell^2}{2} =24.0\frac{(1.3)^2}{2} =20.28\ \mathrm{tf\cdot m/m} $$ 基腳每方向鋼筋量 $As=50\ \mathrm{cm^2}$，有效深度 $d=50\ \mathrm{cm}$。取混凝土抗壓強度 $f'c=210\ \mathrm{kgf/cm^2}$，採 $\phi=0.9$；以每公尺寬度 $b=100\ \mathrm{cm}$ 計算： $$ a=\frac{As fy}{0.85f'c b} =\frac{50(4200)}{0.85(210)(100)} =11.76\ \mathrm{cm} $$

Question 2

一連接於兩內柱間之耐震梁，其淨跨距為 $9\ \mathrm{m}$，斷面如圖 1 所示。 此梁跨距內承受重力均布載重 $Wu=2\ \mathrm{tf/m}$，並於柱面處配置 $8$-D32 頂層鋼筋及 $6$-D32 底層鋼筋。 試依耐震設計規範，採用 D13，設計此梁於靠近柱端所需之剪力筋。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考耐震梁端的「容量設計剪力」與閉合箍筋設計。依命題當年（民國 114 年）適用的《混凝土工程設計規範與解說》（土木 401-112）第 18.3.4、18.3.5 節，梁端剪力須由兩端可能彎矩強度 $M{pr}$ 與跨內重力載重共同決定；梁端塑鉸區符合規定條件時，剪力設計取 $Vc=0$。 圖示可讀得有效深度 $d=76\ \mathrm{cm}$、壓力側鋼筋中心距斷面邊緣 $d'=9\ \mathrm{cm}$，故梁深 $h=85\ \mathrm{cm}$。試題材料表列 D32 主筋 $fy=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$，D13 箍筋 $f{yt}=2800\ \mathrm{kgf/cm^2}$。 解題方法 先以主筋預期拉應力 $1.25fy$ 計算兩種彎曲方向的 $M{pr}$；再由兩端彎矩與重力載重求最大梁端剪力。重力載重依題意採用已給定的因數化載重 $Wu=2\ \mathrm{tf/m}$。 每根 D32 面積為 $8.14\ \mathrm{cm^2}$，所以： $$ A{s,\mathrm{上}}=8(8.14)=65.12\ \mathrm{cm^2},\qquad A{s,\mathrm{下}}=6(8.14)=48.84\ \mathrm{cm^2} $$ 主筋預期拉應力為： $$ 1.25fy=1.25(4200)=5250\ \mathrm{kgf/cm^2} $$ 以混凝土等值矩形壓力塊與鋼筋應變相容計算，取 $\beta1=0.85$、$\varepsilon{cu}=0.003$、$Es=2.04	imes10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$。鋼筋在壓力區內的混凝土置換量以淨壓力計入。 - 上層 8-D32 受拉、下層 6-D32 受壓：平衡中性軸深度為 $c\approx17.31\ \mathrm{cm}$，$a=0.85c\approx14.71\ \mathrm{cm}$。拉力 $T=65.12(5250)/1000=341.88\ \mathrm{tf}$；混凝土壓力 $Cc\approx210.05\ \mathrm{tf}$，下層鋼筋淨壓力 $Cs'\approx131.83\ \mathrm{tf}$。因此： $$ M{pr,-} =\frac{Cc(d-a/2)+Cs'(d-d')}{100} \approx232.5\ \mathrm{tf\cdot m} $$ - 下層 6-D32 受拉、上層 8-D32 受壓：平衡中性軸深度為 $c\approx12.75\ \mathrm{cm}$，$a\approx10.84\ \mathrm{cm}$。拉力 $T=48.84(5250)/1000=256.41\ \mathrm{tf}$；

Question 3

一鋼筋混凝土矩形梁斷面（如圖 2），配置下層 $4$ 支 D32 拉力筋，上層 $2$ 支 D29 壓力筋，閉合箍筋使用 D13，間距 $15\ \mathrm{cm}$ ，淨保護層為 $4\ \mathrm{cm}$ 。

若箍筋僅使用於抵抗扭矩，試求此斷面之扭矩強度 $T_n$ （ $\mathrm{tf\cdot m}$ ）。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考矩形梁的扭矩桁架模型。依命題年（民國 114 年）適用的《建築物混凝土結構設計規範》，扭矩標稱強度由閉合箍筋及縱向扭力鋼筋共同提供，取兩種鋼筋強度計算值的較小者： $$ Tn=\min\left( 2Ao\frac{At f{yt}}{s}\cot	heta,\; \frac{2Ao A\ell fy}{ph}	an	heta ight) $$ 其中 $Ao$ 可採 $0.85A{oh}$；$A{oh}$ 是最外層閉合箍筋中心線所圍面積，$ph$ 是該中心線周長。此為非預力梁，取 $	heta=45^\circ$。 題目未標示鋼筋降伏強度，以下依常用 SD420 假設 $fy=f{yt}=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$。 解題方法 圖示斷面為 $40	imes70\ \mathrm{cm}$，淨保護層為 $4\ \mathrm{cm}$。D13 箍筋直徑取 $1.27\ \mathrm{cm}$，故其中心線至混凝土表面的距離為 $4+1.27/2=4.635\ \mathrm{cm}$。 $$ bo=40-2(4.635)=30.73\ \mathrm{cm} $$ $$ ho=70-2(4.635)=60.73\ \mathrm{cm} $$ 因此： $$ A{oh}=boho=30.73(60.73)=1866.23\ \mathrm{cm^2} $$ $$ Ao=0.85A{oh}=1586.30\ \mathrm{cm^2},\qquad ph=2(bo+ho)=182.92\ \mathrm{cm} $$

Question 4

一簡支預力混凝土梁之跨度 $l=12\ \mathrm{m}$，斷面 $b=40\ \mathrm{cm}$、$h=120\ \mathrm{cm}$，鋼腱有效預力比 $\frac{f{pe}}{f{pi}}=0.85$，初始預力 $Pi=200\ \mathrm{tf}$。 混凝土的初、終強度分別為 $f'{ci}=320\ \mathrm{kgf/cm}^2$、$f'c=420\ \mathrm{kgf/cm}^2$，此梁承受均布活載重 $Wl=1.5\ \mathrm{tf/m}$。 試求梁中央點鋼腱配置之偏心距限制。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查預力梁在跨中因鋼腱偏心與外加彎矩所產生的混凝土應力，並以混凝土容許應力反求鋼腱偏心距 $e$。偏心距以「鋼腱位於斷面形心下方」為正。 題目未指定採用的混凝土應力限值，也未明示梁自重是否計入。以下採常見考試假設：混凝土單位重為 $2.5\ \mathrm{tf/m^3}$、計入梁自重；初期與使用階段的壓應力限值分別取 $0.60f'{ci}$、$0.45f'c$，拉應力限值分別取 $3\sqrt{f'{ci}}$、$6\sqrt{f'c}$。各階段跨中上下緣應力須落在容許範圍內。 解題方法 先計算斷面性質與各階段彎矩，再將跨中上下緣應力寫成 $e$ 的函數，代入初期及使用階段的容許應力，求出偏心距區間。 矩形斷面之面積、慣性矩與斷面模數為 $$ A=bh=40(120)=4800\ \mathrm{cm^2} $$ $$ I=\frac{bh^3}{12} =\frac{40(120)^3}{12} =5{,}760{,}000\ \mathrm{cm^4} $$ $$ S=\frac{I}{h/2} =96{,}000\ \mathrm{cm^3} $$ 梁自重為 $$ wD=0.40(1.20)(2.5)=1.2\ \mathrm{tf/m} $$ 簡支梁承受均布載重時，跨中彎矩為 $w l^2/8$。因此初期只計自重： $$ MD=\frac{1.2(12)^2}{8}=21.6\ \mathrm{tf\cdot m} $$ 使用階段另計活載重 $Wl=1.5\ \mathrm{tf/m}$： $$ M{D+L}=\frac{(1.2+1.5)(12)^2}{8} =48.6\ \mathrm{tf\cdot m} $$ 鋼腱有效預力為 $$ Pe=0.85Pi=0.85(200)=170\ \mathrm{tf} $$ 以壓應力為正，跨中上、下緣應力可寫為 $$ ft=\frac{P}{A}-\frac{Pe}{S}+\frac{M}{S}, \qquad fb=\frac{P}{A}+\frac{Pe}{S}-\frac{M}{S} $$ 式中 $e$ 以公尺表示，$M$ 以 $\mathrm{tf\cdot m}$ 表示；換算後，$P/A$ 的單位為 $\mathrm{kgf/cm^2}$，而 $Pe/S$、$M/S$ 亦須換算成相同單位。 初期應力限制

114 專技高考高等考試結構工程技師鋼筋混凝土設計與預力混凝土設計考古題詳解

第一題25 分

核心觀念

解題方法

彎矩檢核

第二題30 分

第三題25 分

第四題20 分

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