108 年專技高考高等考試結構工程技師考古題與詳解

Question 1

附圖所示，為一鋼筋混凝土單筋梁斷面構造。該梁之混凝土抗壓強度為 $f'c=210\ \mathrm{kgf/cm^2}$，鋼筋之降伏應力為 $fy=4{,}200\ \mathrm{kgf/cm^2}$。如果該斷面承受一設計彎矩 $Mu=85.72\ \mathrm{tf\cdot m}$，試求所需之拉力鋼筋量 $As$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 圖示尺寸：梁寬 $50\ \mathrm{cm}$；梁頂至拉力鋼筋重心 $63\ \mathrm{cm}$；拉力鋼筋重心至梁底 $7\ \mathrm{cm}$；拉力鋼筋採單層配置。長度單位為 $\mathrm{cm}$。 提示：本命題之強度折減因數 $\phi$ 界於 $0.65$ 與 $0.9$ 之間。

Accepted Answer

核心觀念 本題考單筋矩形梁的彎矩強度設計。先由平衡關係求名義彎矩 $Mn$，再依拉力鋼筋應變決定強度折減因數 $\phi$，使設計強度符合 $\phi Mn=Mu$。 依命題採用的《混凝土工程設計規範與解說》（土木 401-100），矩形等值壓力塊深度為 $$ a=\frac{As fy}{0.85f'c b} $$ 中性軸深度為 $c=a/\beta1$，名義彎矩為 $$ Mn=As fy\left(d-\frac{a}{2}ight) $$ 其中梁寬 $b=50\ \mathrm{cm}$，有效深度 $d=63\ \mathrm{cm}$，$\beta1=0.85$。 解題方法 將設計彎矩換算為一致的單位： $$ Mu=85.72\ \mathrm{tf\cdot m} =8{,}572{,}000\ \mathrm{kgf\cdot cm} $$ 先把 $a$ 與 $c$ 寫成 $As$ 的函數： $$ a=\frac{As(4{,}200)}{0.85(210)(50)} =0.470588As $$ $$ c=\frac{a}{0.85}=0.553633As $$ 依平截面假設，混凝土極限壓應變取 $0.003$，拉力鋼筋應變為 $$ \varepsilont=0.003\frac{d-c}{c} =0.003\left(\frac{113.79375}{As}-1ight) $$ 取鋼筋彈性模數 $Es=2.04	imes10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$，降伏應變為

Question 2

附圖所示，為一鋼筋混凝土柱斷面構造。該柱之混凝土抗壓強度為 $f'c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，鋼筋之降伏應力為 $fy=4{,}200\ \mathrm{kgf/cm^2}$。柱內縱向鋼筋量為每側 $5	ext{-}\#8$。如果該柱斷面承受一個設計軸力 $Pu=291\ \mathrm{tf}$，試求該柱斷面所能承受之最大設計彎矩 $M{u,\max}$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 圖示尺寸：柱斷面寬度 $70\ \mathrm{cm}$，深度 $50\ \mathrm{cm}$；兩側縱向鋼筋中心距柱側各 $7\ \mathrm{cm}$，兩側鋼筋中心距為 $56\ \mathrm{cm}$；每側配置 $5	ext{-}\#8$ 鋼筋。 提示： 1. 本命題之斷面屬於「壓力控制斷面」。 2. 一根 $\#8$ 筋之斷面積為 $Ab^{\#8}=5.07\ \mathrm{cm^2}$。

Accepted Answer

核心觀念 本題考鋼筋混凝土柱的軸力—彎矩互制，以應變相容與斷面內力平衡求出指定軸力下的彎矩強度。依題目提示，斷面屬壓力控制，採強度折減係數 $\phi=0.65$。 圖示彎曲方向沿 $70\ \mathrm{cm}$ 寬度，故壓力面至另一側鋼筋中心的距離為 $d=70-7=63\ \mathrm{cm}$；壓力側鋼筋中心距壓力面 $d'=7\ \mathrm{cm}$。使用 Whitney 等值矩形應力塊，取 $\beta1=0.85$，混凝土等值壓應力為 $0.85f'c$。 解題方法 每側有 $5$ 根 #8 鋼筋，因此每側鋼筋面積為 $$ As=A's=5(5.07)=25.35\ \mathrm{cm^2} $$ 設中性軸深度為 $c$，壓力應力塊深度為 $a=\beta1c$。因題目給的是設計軸力，先換算成所需計算軸力： $$ Pn=\frac{Pu}{\phi} =\frac{291}{0.65} =447.69\ \mathrm{tf} =447{,}692\ \mathrm{kgf} $$ 由平截面假設，混凝土極限壓應變取 $0.003$。兩側鋼筋的應變為 $$ \varepsilon's=0.003\frac{c-7}{c}, \qquad \varepsilons=0.003\frac{63-c}{c} $$ 鋼筋降伏應變為 $$ \varepsilony=\frac{fy}{Es} =\frac{4{,}200}{2.04	imes10^6} =0.00206 $$ 以軸力平衡試算可得 $c=32.04\ \mathrm{cm}$，此時兩側鋼筋應變均達降伏，故壓力側鋼筋受壓降伏，另一側鋼筋受拉降伏；且 $a=0.85c=27.23\ \mathrm{cm}$，壓力側鋼筋位於應力塊內。 混凝土壓力為 $$ Cc=0.85f'cba =0.85(280)(70)(27.23) =453{,}726\ \mathrm{kgf} $$

Question 3

附圖所示，為一片自建築結構所撷取出來的橫隔版。橫隔版之混凝土抗壓強度為 $f'c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，鋼筋之降伏應力為 $fy=2{,}800\ \mathrm{kgf/cm^2}$。 在 $$ U=1.2D+1.0L+1.0E $$ 的載重組合下，版內所需之「撓曲鋼筋」量，先行依據設計載重 $$ 1.2WD+1.0WL $$ 完成設計，並採用 $\#4@25$「雙層、雙向及等間距」的方式來配置。 若 $X$ 向與 $Y$ 向地震力對於該橫隔版所產生的設計剪力分別為 $V{u,X}=100\ \mathrm{tf}$ 與 $V{u,Y}=100\ \mathrm{tf}$，試計算該橫隔版內所需之「抗剪鋼筋」量。如果該橫隔版內鋼筋仍然採用 $\#4$ 鋼筋，且其配置方式仍然採用「雙層、雙向及等間距」的型態，試求該橫隔版於最終設計所需之鋼筋間距 $s$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 圖示尺寸：橫隔版長、寬均為 $500\ \mathrm{cm}$，厚度為 $18\ \mathrm{cm}$。 提示： 1. 橫隔版的計算剪力強度為 $$ Vn=\left(0.53\sqrt{f'c}+\rhot fy\right)A{cv} $$ 其剪力設計之強度折減因數可以保守採用 $\phi=0.6$。 2. 一根 $\#4$ 筋之斷面積為 $Ab^{\#4}=1.27\ \mathrm{cm^2}$。

Accepted Answer

核心觀念 本題以橫隔版的面內剪力強度檢核抗剪鋼筋。依題目提示，剪力強度為 $$ Vn=\left(0.53\sqrt{f'c}+hot fyight)A{cv} $$ 其中 $A{cv}$ 為混凝土剪力面積，$hot$ 為垂直於該方向剪力的分布鋼筋比。已有的撓曲鋼筋若方向正確、能跨越剪力裂縫，也可計入抗剪鋼筋量；因此要比較的是「所需總鋼筋量」與既有配置量，不必把剪力所需量再額外加在既有鋼筋上。 解題方法 橫隔版長、寬皆為 $500\ \mathrm{cm}$，厚度 $t=18\ \mathrm{cm}$，故任一方向的剪力面積為 $$ A{cv}=500(18)=9{,}000\ \mathrm{cm^2} $$ 題目給定兩方向設計剪力皆為 $100\ \mathrm{tf}=100{,}000\ \mathrm{kgf}$，且剪力強度折減因數取 $\phi=0.6$。由 $\phi Vn\ge Vu$，所需總分布鋼筋比為 $$ ho{t,\mathrm{req}} =\frac{Vu/(\phi A{cv})-0.53\sqrt{f'c}}{fy} $$ 代入 $f'c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$fy=2{,}800\ \mathrm{kgf/cm^2}$： $$ ho{t,\mathrm{req}} =\frac{100{,}000/(0.6	imes9{,}000)-0.53\sqrt{280}}{2{,}800} =0.00345 $$ 因此，每一剪力方向所需的分布鋼筋總面積為

Question 4

附圖所示，為一簡支預力混凝土大梁細部構造。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示尺寸：大梁跨距為 $3500\ \mathrm{cm}$ ，兩端端錨距支承線各 $50\ \mathrm{cm}$ ；梁寬為 $40\ \mathrm{cm}$ ，梁深為 $180\ \mathrm{cm}$ 。預力鋼腱 $1$ 與 $2$ 均採拋物線型態布設。中央跨距處，預力鋼腱 $1$ 、 $2$ 距梁底分別為 $15\ \mathrm{cm}$ 、 $30\ \mathrm{cm}$ ；梁兩端端錨處，預力鋼腱 $1$ 、 $2$ 距梁底分別為 $45\ \mathrm{cm}$ 、 $135\ \mathrm{cm}$ 。長度單位為 $\mathrm{cm}$ 。

預力大梁混凝土抗壓強度為 $f'_c=350\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 。預力鋼腱之彈性模數為

E_{ps}=1{,}970{,}000\ \mathrm{kgf/cm^2}

預力鋼腱 $1$ 與 $2$ 以拋物線型態布設，其截面積分別為 $A_{ps}^{(1)}$ 與 $A_{ps}^{(2)}$ ，且

A_{ps}^{(1)}=A_{ps}^{(2)}=30.0\ \mathrm{cm^2}

預力大梁採用「後拉式工法」來施作。預力鋼腱單位長度之皺摺摩擦係數為

K=0.0049/\mathrm{m}

曲率摩擦係數為

\mu_p=0.25/\mathrm{rad}

預力大梁於混凝土第 28 天齡期時，首先將預力鋼腱 1 由其兩端同步施拉至預應力

f_{pj}=12{,}300\ \mathrm{kgf/cm^2}

然後錨碇之。隨後，再將預力鋼腱 2 由其兩端同步施拉至預應力

f_{pj}=12{,}300\ \mathrm{kgf/cm^2}

並錨碇之。本題不考慮「端錨滑動」對於預力鋼腱所造成的預應力損失。試求：

預力鋼腱 1 與 2 在中央跨距處之起始預力 $P_{i,\mathrm{Cen}}^{(1)}$ 與 $P_{i,\mathrm{Cen}}^{(2)}$ 。
預力鋼腱 1 與 2 在梁兩端端錨處之起始預力 $P_{i,\mathrm{End}}^{(1)}$ 與 $P_{i,\mathrm{End}}^{(2)}$ 。

提示：

P_{px}=P_{pj}e^{-\omega}

其中

\omega=Kl_{px}+\mu_p\alpha_{px}

混凝土之彈性模數為

E_c=15{,}000\sqrt{f'_c}

Accepted Answer

核心觀念

本題計算後拉式預力鋼腱的摩擦損失，以及分次施拉時，先施拉的鋼腱因後施拉鋼腱造成混凝土縮短而產生的彈性縮短損失。

摩擦損失依題示公式計算：

P_{px}=P_{pj}e^{-\omega}, \qquad \omega=Kl_{px}+\mu_p\alpha_{px}

第一支鋼腱施拉後，第二支鋼腱施拉會使混凝土縮短。第一支鋼腱的應力損失為

\Delta f_{ps}^{(1)} =\frac{E_{ps}}{E_c}\sigma_{c,2}

其中 $\sigma_{c,2}$ 是第二支鋼腱在第一支鋼腱位置造成的混凝土壓應力。第二支鋼腱是後施拉者，因此不計由後續施拉造成的彈性縮短損失。

解題方法

原圖尺寸顯示支承線間距為 $3500\ \mathrm{cm}$ ，兩端端錨各在支承線外 $50\ \mathrm{cm}$ 。所以端錨至跨中距離為

l_{px}=\frac{3500+50+50}{2}=1800\ \mathrm{cm}=18\ \mathrm{m}

每支鋼腱的端部施拉力為

P_{pj}=A_{ps}f_{pj} =30(12{,}300) =369{,}000\ \mathrm{kgf}

拋物線對稱布置，跨中切線水平，因此端部至跨中的角度變化可由端部斜率求得：

\alpha=\tan^{-1}\left(\frac{2\Delta y}{18\ \mathrm{m}}\right)

1. 先計算兩支鋼腱的摩擦損失

鋼腱 1 的高程差為 $45-15=30\ \mathrm{cm}=0.30\ \mathrm{m}$ ：

\alpha_1=\tan^{-1}\left(\frac{2(0.30)}{18}\right) =0.033321\ \mathrm{rad}

\omega_1=0.0049(18)+0.25(0.033321)=0.096530

鋼腱 2 的高程差為 $135-30=105\ \mathrm{cm}=1.05\ \mathrm{m}$ ：

\alpha_2=\tan^{-1}\left(\frac{2(1.05)}{18}\right) =0.116142\ \mathrm{rad}

\omega_2=0.0049(18)+0.25(0.116142)=0.117235

兩端同步施拉且布置對稱，因此跨中到任一端的摩擦路徑相同。跨中摩擦損失後的力為

P_{\mathrm{Cen}}^{(1)} =369{,}000e^{-0.096530} =335{,}046\ \mathrm{kgf}

P_{\mathrm{Cen}}^{(2)} =369{,}000e^{-0.117235} =328{,}180\ \mathrm{kgf}

2. 計算鋼腱 1 的彈性縮短損失

混凝土彈性模數為

E_c=15{,}000\sqrt{350} =280{,}624\ \mathrm{kgf/cm^2}

梁截面面積及慣性矩為

A_c=40(180)=7{,}200\ \mathrm{cm^2}

I_c=\frac{40(180)^3}{12} =19{,}440{,}000\ \mathrm{cm^4}

108 專技高考高等考試結構工程技師鋼筋混凝土設計與預力混凝土設計考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

第三題25 分

第四題25 分

核心觀念

解題方法

1. 先計算兩支鋼腱的摩擦損失

2. 計算鋼腱 1 的彈性縮短損失

其他考古題

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108 專技高考高等考試 結構工程技師 鋼筋混凝土設計與預力混凝土設計 考古題詳解

第 一 題25 分

第 二 題25 分

第 三 題25 分

第 四 題25 分

核心觀念

解題方法

1. 先計算兩支鋼腱的摩擦損失

2. 計算鋼腱 1 的彈性縮短損失

其他考古題

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