110 專技高考高等考試 結構工程技師 鋼筋混凝土設計與預力混凝土設計 考古題詳解

110 年・專技高考・高等考試・結構工程技師
試題代碼 鋼筋混凝土設計與預力混凝土設計

第 一 題30 分

某一跨度 8 m8\,\mathrm{m} 之混凝土 T 型簡支梁，斷面如圖一。其鋼筋斷面重心距梁底 10 cm10\,\mathrm{cm}，混凝土 fc′=240 kgf/cm2f'_c=240\,\mathrm{kgf/cm^2}，撓曲鋼筋 fy=4200 kgf/cm2f_y=4200\,\mathrm{kgf/cm^2}，剪力鋼筋 fyt=2800 kgf/cm2f_{yt}=2800\,\mathrm{kgf/cm^2}，承受靜載重（含自重）D=1.8 tf/mD=1.8\,\mathrm{tf/m}，活載重 L=4.5 tf/mL=4.5\,\mathrm{tf/m}。

試求本梁跨度中點所需之最小撓曲鋼筋量 (As)req(A_s)_{\mathrm{req}}，並設計兩端近支承處之剪力鋼筋。採用 22 肢（2 legs）D10D10（#3\#3，Ab=0.7133 cm2A_b=0.7133\,\mathrm{cm^2}）之肋筋配置，試求肋筋最大間距 smax⁡s_{\max}。

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核心觀念

本題分成兩個設計：跨中正彎矩下的撓曲鋼筋，以及近支承處的剪力肋筋。依題目指定，採民國 110 年版《混凝土結構設計規範》計算；該規範於民國 112 年修正，並自民國 113 年起改稱《建築物混凝土結構設計規範》。

圖示斷面總深度為 70 cm70\ \mathrm{cm}，鋼筋重心距梁底 10 cm10\ \mathrm{cm}，所以有效深度為

d=70−10=60 cmd=70-10=60\ \mathrm{cm}

正彎矩時翼板受壓，翼板寬 bf=100 cmb_f=100\ \mathrm{cm}、厚 hf=10 cmh_f=10\ \mathrm{cm}，腹板寬 bw=40 cmb_w=40\ \mathrm{cm}。撓曲設計須同時滿足強度需求與規範最小鋼筋量；剪力設計則以距支承面 dd 處作為控制斷面。

解題方法

一、跨中最小撓曲鋼筋量

簡支梁承受均布載重，採用因數化載重：

wu=1.2D+1.6L=1.2(1.8)+1.6(4.5)=9.36 tf/mw_u=1.2D+1.6L =1.2(1.8)+1.6(4.5) =9.36\ \mathrm{tf/m}

跨中因數化彎矩為

Mu=wuL28=9.36(8)28=74.88 tf⋅m=7,488,000 kgf⋅cmM_u=\frac{w_uL^2}{8} =\frac{9.36(8)^2}{8} =74.88\ \mathrm{tf\cdot m} =7{,}488{,}000\ \mathrm{kgf\cdot cm}

先用 bf=100 cmb_f=100\ \mathrm{cm} 依矩形受壓區求撓曲鋼筋。因採用撓曲強度折減因數 ϕ=0.90\phi=0.90，所需標稱彎矩為

Mn≥Muϕ=7,488,0000.90=8,320,000 kgf⋅cmM_n\geq\frac{M_u}{\phi} =\frac{7{,}488{,}000}{0.90} =8{,}320{,}000\ \mathrm{kgf\cdot cm}

矩形壓力塊深度及標稱彎矩為

a=Asfy0.85fc′bf,Mn=Asfy(d−a2)a=\frac{A_sf_y}{0.85f'_cb_f}, \qquad M_n=A_sf_y\left(d-\frac a2\right)

代入 fc′=240 kgf/cm2f'_c=240\ \mathrm{kgf/cm^2}、fy=4200 kgf/cm2f_y=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}、bf=100 cmb_f=100\ \mathrm{cm}、d=60 cmd=60\ \mathrm{cm}，解得強度所需鋼筋量

As=35.13 cm2A_s=35.13\ \mathrm{cm^2}

相應壓力塊深度為

a=35.13(4200)0.85(240)(100)=7.23 cm<hf=10 cma=\frac{35.13(4200)}{0.85(240)(100)} =7.23\ \mathrm{cm}<h_f=10\ \mathrm{cm}

因此受壓區確實位於翼板內，採用翼板寬度計算成立。此斷面為拉力控制斷面，採 ϕ=0.90\phi=0.90 符合規範。

再檢核規範最小撓曲鋼筋量，依 kgf、cm 單位形式計算：

(As)min⁡=max⁡(0.8fc′fybwd, 14fybwd)(A_s)_{\min} = \max\left( \frac{0.8\sqrt{f'_c}}{f_y}b_wd,\, \frac{14}{f_y}b_wd \right) (As)min⁡=max⁡(0.82404200(40)(60), 144200(40)(60))=max⁡(7.08,8.00)=8.00 cm2(A_s)_{\min} = \max\left( \frac{0.8\sqrt{240}}{4200}(40)(60),\, \frac{14}{4200}(40)(60) \right) =\max(7.08,8.00) =8.00\ \mathrm{cm^2}
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第 二 題25 分

已知一方形柱採用如圖二所示斷面，配置有 88 根 D25D25（#8\#8，Ab=5.067 cm2A_b=5.067\,\mathrm{cm^2}）縱向鋼筋，承受偏心軸壓力。所使用混凝土 fc′=280 kgf/cm2f'_c=280\,\mathrm{kgf/cm^2}，Ec=12000fc′E_c=12000\sqrt{f'_c}，鋼筋 fy=4200 kgf/cm2f_y=4200\,\mathrm{kgf/cm^2}，Es=2.04×106 kgf/cm2E_s=2.04\times10^6\,\mathrm{kgf/cm^2}。

若該斷面破壞時，中性軸與最大混凝土壓應變處之距離為 14.5 cm14.5\,\mathrm{cm}，試求該柱破壞時之軸壓力偏心距 exe_x。

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核心觀念

本題以應變相容求各排鋼筋的應力，再用斷面軸力平衡與對形心的力矩平衡求偏心距：

ex=MPe_x=\frac{M}{P}

依圖示，受壓側在斷面右側。中性軸至最外側混凝土壓應變位置的距離為 c=14.5 cmc=14.5\,\mathrm{cm}。採用極限混凝土壓應變 εcu=0.003\varepsilon_{cu}=0.003，等值矩形壓力塊取 α1=β1=0.85\alpha_1=\beta_1=0.85。

解題方法

以斷面形心為原點，鋼筋的水平位置為 x=±18.5 cmx=\pm18.5\,\mathrm{cm} 或 x=0x=0；最外側鋼筋中心距側面 6.5 cm6.5\,\mathrm{cm}。

1. 求各排鋼筋應力

右側三根鋼筋距受壓面 6.5 cm6.5\,\mathrm{cm}，其應變為

εs=0.00314.5−6.514.5=0.001655\varepsilon_s=0.003\frac{14.5-6.5}{14.5}=0.001655

故其壓應力為

fs=Esεs=2.04×106(0.001655)=3376.6 kgf/cm2f_s=E_s\varepsilon_s =2.04\times10^6(0.001655) =3376.6\,\mathrm{kgf/cm^2}

這三根鋼筋尚未降伏。由於混凝土壓力塊已計入鋼筋所在位置的混凝土，鋼筋力採淨值，扣除被鋼筋取代的混凝土壓力 0.85fc′0.85f'_c：

Cs=3Ab(fs−0.85fc′)=3(5.067)(3376.6−238)=47,709 kgfC_s=3A_b(f_s-0.85f'_c) =3(5.067)(3376.6-238) =47,709\,\mathrm{kgf}

其餘五根鋼筋位於中性軸拉力側，應變均達降伏，故

T=5Abfy=5(5.067)(4200)=106,407 kgfT=5A_bf_y=5(5.067)(4200)=106,407\,\mathrm{kgf}

2. 求混凝土壓力與軸力

等值矩形壓力塊深度為

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第 三 題20 分

單柱基礎之樁帽平面尺寸為 260×260 cm260\times260\,\mathrm{cm}，樁帽厚度 D=55 cmD=55\,\mathrm{cm}，柱斷面為 50×50 cm50\times50\,\mathrm{cm}，基礎直徑 30 cm30\,\mathrm{cm}，如圖三之一。柱承受偏心載重，軸向力為 Pu=100 tfP_u=100\,\mathrm{tf}，偏心距為 exe_x，如圖三之二。基礎最大承壓軸力 Pc=40 tfP_c=40\,\mathrm{tf}，基礎最大承拉軸力 Pt=−10 tfP_t=-10\,\mathrm{tf}。

且設計樁帽時，混凝土 fc′=280 kgf/cm2f'_c=280\,\mathrm{kgf/cm^2}，不設置剪力鋼筋，忽略樁帽自重，則柱載重最大容許偏心距 exe_x 為何？

【提示】

計算基礎軸力時，可假設樁帽為剛性體。

檢核雙向作用：

Vcfc′b0d={0.265(2+4βc)0.265(2+αsdb0)1.06\frac{V_c}{\sqrt{f'_c b_0d}}= \begin{cases} 0.265\left(2+\frac{4}{\beta_c}\right)\\ 0.265\left(2+\frac{\alpha_sd}{b_0}\right)\\ 1.06 \end{cases}

其中，βc\beta_c 為柱長邊／柱短邊；檢核雙向作用時，αs\alpha_s 取 4040；檢核角隅基礎穿孔剪力強度時，αs\alpha_s 取 2020。

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核心觀念

本題先把樁帽視為剛體，以柱軸力及偏心矩求四支樁的軸力分配，再檢核樁的承壓、承拉容量。樁帽另須檢核柱周圍的雙向剪力，以及角隅基樁周圍的穿孔剪力。

圖示樁中心距樁帽邊緣 40 cm40\,\mathrm{cm}，四樁中心間距為 180 cm180\,\mathrm{cm}，因此各樁相對樁帽中心的座標為 x=±90 cmx=\pm90\,\mathrm{cm}、y=±90 cmy=\pm90\,\mathrm{cm}。樁帽厚度為 55 cm55\,\mathrm{cm}，圖示鋼筋至底面距離為 10 cm10\,\mathrm{cm}，故有效深度取

d=55−10=45 cm.d=55-10=45\,\mathrm{cm}.

解題方法

設偏心距沿 xx 方向，四樁位置的軸力依剛體分配為

Pi=Pu4+Puexxi∑xj2.P_i=\frac{P_u}{4}+\frac{P_u e_x x_i}{\sum x_j^2}.

其中

∑xj2=4(90)2=32,400 cm2,Pu4=25 tf.\sum x_j^2=4(90)^2=32{,}400\,\mathrm{cm^2}, \qquad \frac{P_u}{4}=25\,\mathrm{tf}.

因此，偏心方向一側的最大承壓樁力為

Pmax⁡=25+100ex(90)32,400=25+0.2778ex(tf),P_{\max}=25+\frac{100e_x(90)}{32{,}400} =25+0.2778e_x\quad(\mathrm{tf}),

其中 exe_x 以 cm\mathrm{cm} 計。另一側樁力為 25−0.2778ex tf25-0.2778e_x\,\mathrm{tf}。

承壓限制給出

25+0.2778ex≤40⟹ex≤54 cm.25+0.2778e_x\le40 \quad\Longrightarrow\quad e_x\le54\,\mathrm{cm}.

承拉限制為

25−0.2778ex≥−10⟹ex≤126 cm.25-0.2778e_x\ge-10 \quad\Longrightarrow\quad e_x\le126\,\mathrm{cm}.

所以樁軸力限制由最大承壓樁控制，得到 ex≤54 cme_x\le54\,\mathrm{cm}。

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第 四 題25 分

圖四之一簡支梁結構由後拉法預鑄預力矩形梁與場鑄板組合而成，梁與板間設置足夠之剪力筋連結，梁跨度 12 m12\,\mathrm{m}，矩形梁斷面 30 cm×50 cm30\,\mathrm{cm}\times50\,\mathrm{cm}，每支預力梁間之中心距離為 250 cm250\,\mathrm{cm}，預力鋼腱採拋物線配置如圖四之二所示，場鑄板之厚度為 12 cm12\,\mathrm{cm}。

預力梁與場鑄板混凝土均採用 fc′=350 kgf/cm2f'_c=350\,\mathrm{kgf/cm^2}，容許壓應力為 0.6fc′0.6f'_c，容許拉應力為 1.6fc′1.6\sqrt{f'_c}。每支梁施預力時之油壓預力 Fi=300 tfF_i=300\,\mathrm{tf}，梁中點處之有效預力 Fe=0.7FiF_e=0.7F_i。

假設簡支梁之靜載重（含自重）為 1.6 tf/m1.6\,\mathrm{tf/m}，試計算該簡支梁可承載之最大均布活載重。計算斷面性質時可忽略預力鋼腱之貢獻。

【提示】

T 型梁翼板之有效板寬不得超過該梁跨度之 1/41/4；梁腹每側懸出之有效翼板寬度不得超過翼板厚之 88 倍或該梁與鄰梁間淨距之 1/21/2。

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核心觀念

本題考查預力混凝土梁與場鑄翼板組成的 T 型梁：先依規定求有效翼板寬度及組合斷面性質，再以梁中點的有效預力與均布荷重造成的彎矩，檢核使用階段上下緣應力。

以壓應力為正，使用應力公式為：

σ上=FeA−Feec上I+Mc上I\sigma_{\text{上}}=\frac{F_e}{A}-\frac{F_e e c_{\text{上}}}{I}+\frac{M c_{\text{上}}}{I} σ下=FeA+Feec下I−Mc下I\sigma_{\text{下}}=\frac{F_e}{A}+\frac{F_e e c_{\text{下}}}{I}-\frac{M c_{\text{下}}}{I}

其中預力偏心距 ee 向下量；均布荷重造成正彎矩，使上緣受壓、下緣受拉。

解題方法

  1. 求 T 型梁有效翼板寬度

跨度四分之一為 12/4=3.0 m=300 cm12/4=3.0\,\mathrm{m}=300\,\mathrm{cm}。腹板每側懸出寬度上限為：

min⁡(8×12,250−302)=min⁡(96,110)=96 cm\min\left(8\times12,\frac{250-30}{2}\right) =\min(96,110)=96\,\mathrm{cm}

因此有效翼板寬度：

bf=30+2(96)=222 cmb_f=30+2(96)=222\,\mathrm{cm}
  1. 計算組合斷面性質

取梁底為基準，翼板面積為 222×12222\times12，腹板面積為 30×5030\times50：

A=222(12)+30(50)=4164 cm2A=222(12)+30(50)=4164\,\mathrm{cm^2}

形心距梁底：

yˉ=222(12)(56)+30(50)(25)4164=44.83 cm\bar y= \frac{222(12)(56)+30(50)(25)}{4164} =44.83\,\mathrm{cm}

由平行軸定理計算斷面慣性矩：

I=1.267×106 cm4I=1.267\times10^6\,\mathrm{cm^4}

上下緣至形心距離為：

c下=44.83 cm,c上=62−44.83=17.17 cmc_{\text{下}}=44.83\,\mathrm{cm},\qquad c_{\text{上}}=62-44.83=17.17\,\mathrm{cm}

圖示鋼腱在梁中點距梁底 10 cm10\,\mathrm{cm}，故相對組合斷面形心的向下偏心距為：

e=44.83−10=34.83 cme=44.83-10=34.83\,\mathrm{cm}

中點有效預力：

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