112 專技高考高等考試 結構工程技師 鋼筋混凝土設計與預力混凝土設計 考古題詳解

核心觀念

斷面延展比採曲率延展比定義：

$$\mu_\phi=\frac{\phi_u}{\phi_y}$$

其中 $\phi_y$ 為拉力鋼筋初始降伏時的曲率，$\phi_u$ 為極限狀態曲率。本題依單筋矩形梁分析；題目未給鋼筋等級，採常用 SD420 鋼筋，$f_y=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$E_s=2.04\times10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$。D13 箍筋不影響本題採用的梁彎曲曲率計算。

解題方法

先由極限狀態的力平衡求中性軸深度 $c$，再分別計算 $\phi_u$、$\phi_y$。拉力鋼筋面積取 D25 每支 $5.07\ \mathrm{cm^2}$，故

$$A_s=4(5.07)=20.28\ \mathrm{cm^2}, \qquad \varepsilon_y=\frac{f_y}{E_s} =\frac{4200}{2.04\times10^6}=0.002059$$

兩個混凝土強度下 $\beta_1=0.85$。極限時拉力鋼筋降伏，依斷面力平衡：

$$A_sf_y=0.85f'_c\,b\,a, \qquad a=\beta_1c$$

因此

$$c=\frac{A_sf_y}{0.85f'_c\,b\,\beta_1}$$

• 當 $f'_c=210\ \mathrm{kgf/cm^2}$：

$$c=\frac{20.28(4200)}{0.85(210)(40)(0.85)} =14.11\ \mathrm{cm}$$

• 當 $f'_c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$：

$$c=\frac{20.28(4200)}{0.85(280)(40)(0.85)} =10.58\ \mathrm{cm}$$

核心觀念

本題考查 T 型雙筋梁的正彎矩強度：先由鋼筋配置求受拉鋼筋合力位置與有效深度，再依等值矩形應力塊計算混凝土壓力與鋼筋力，最後以應變判定強度折減係數 $\phi$。

命題年度適用的法規為民國 110 年版《混凝土結構設計規範》。民國 112 年發布的新版自民國 113 年 1 月 1 日起生效。以下規範取值以命題當年為準。

題目資訊與採用假設

題目未說明梁的暴露環境、壓力鋼筋直徑與位置，也未給混凝土粗粒料最大粒徑；這些資料會影響保護層、鋼筋間距及壓力鋼筋有效深度。以下依一般室內現場澆置梁，取梁箍筋外側保護層 $4.0$ cm；壓力鋼筋假設位於頂層，並取至鋼筋中心深度 $d'=5.5$ cm。另採 D32 直徑 $d_b=3.18$ cm、D10 直徑 $d_{bt}=0.95$ cm。

須注意：按上述梁腹寬、保護層及箍筋尺寸，每排放 4 根 D32 時，鋼筋淨間距小於 $d_b$，不符合最小間距規定。因此題目所給配置若依此保護層解讀，實際上無法在 $b_w=30$ cm 梁腹內按規範配置。以下仍按題目指定的雙排配置計算其截面名義強度；數值是理想化截面分析結果，不能取代可施工且符合間距規定的配筋設計。

解題方法

8 根 D32 分成兩排、每排 4 根。假定兩排的水平位置對稱，且上下排淨距取最小值 $d_b$，則兩排鋼筋中心的垂直距離為

$$s_v=d_b+d_b=2d_b=6.36\text{ cm}$$

下排鋼筋中心距梁底為

$$y_1=4.0+0.95+1.59=6.54\text{ cm}$$

上排鋼筋中心距梁底為

$$y_2=y_1+s_v=12.90\text{ cm}$$

兩排各 4 根，故受拉鋼筋合力位置距梁底為

$$\bar y_t=\frac{y_1+y_2}{2}=9.72\text{ cm}$$

有效深度為

$$d=h-\bar y_t=70-9.72=60.28\text{ cm}$$

受拉鋼筋總面積取 D32 每根 $A_b=7.94\text{ cm}^2$：

$$A_s=8(7.94)=63.52\text{ cm}^2$$

壓力鋼筋面積為 $A'_s=18\text{ cm}^2$，採用假設 $d'=5.5$ cm。

求中性軸及內力

假設受拉鋼筋降伏，則

$$T=A_sf_y=63.52(4200)=266\,784\text{ kgf}$$

取 $\beta_1=0.85$，混凝土應力塊深度為 $a=0.85c$。壓力鋼筋應變為

$$\varepsilon'_s=0.003\frac{c-d'}{c}$$

以 $E_s=2.04\times10^6\text{ kgf/cm}^2$ 計算壓力鋼筋應力，並限制其不超過 $f_y$。由軸力平衡

$$0.85f'_c\left[b_w a+(b_e-b_w)h_f\right]+A'_sf'_s=A_sf_y$$

解得約

$$c=17.6\text{ cm},\qquad a=0.85c=14.9\text{ cm}$$

因 $a<h_f=15$ cm，壓力區完全位於翼緣內，混凝土壓力可直接按翼緣寬 $b_e=90$ cm 計算。由相容應變，壓力鋼筋應力約為

$$f'_s=4\,210\text{ kgf/cm}^2$$

故壓力鋼筋已達降伏，計算時取 $f'_s=f_y=4\,200\text{ kgf/cm}^2$。以此降伏應力代回軸力平衡，得

核心觀念

本題考查懸臂梁的臨界斷面剪力強度，以及扭力可忽略的門檻。解題時先依剪力設計規定求出斷面可承受的最大設計剪力 $V_u$，再用扭力門檻求出對應的最大偏心量 $e$。

以命題當年（民國 112 年）法規為準。非預力構材可忽略扭力的條件為：

$$T_u\leq \phi T_{\mathrm{th}} \qquad T_{\mathrm{th}}=0.083\lambda\sqrt{f'_c}\frac{A_{cp}^2}{P_{cp}}$$

本題為普通重混凝土，取 $\lambda=1$。矩形斷面的 $A_{cp}$ 為外包面積，$P_{cp}$ 為外包周長。

解題方法

一、求最大設計剪力 $V_u$

矩形梁的剪力強度為：

$$V_n=V_c+V_s$$

混凝土剪力強度：

$$V_c=0.53\sqrt{f'_c}\,b_wd$$

閉合箍筋的兩肢均跨越斷面，故 $A_v=2A_{D13}$。題目未指定箍筋間距，求最大可承受剪力時，採用規範容許的最大箍筋間距 $s=d/2$；箍筋剪力強度另受上限限制：

$$V_s\leq 0.66\sqrt{f'_c}\,b_wd$$

D13 鋼筋面積取 $1.267\ \mathrm{cm^2}$。先計算混凝土及箍筋強度：

$$V_c=0.53\sqrt{280}(35)(53) =16{,}427\ \mathrm{kgf} =16.43\ \mathrm{tf}$$ $$V_s=\frac{A_vf_yd}{s} =\frac{2(1.267)(4200)(53)}{53/2} =21{,}286\ \mathrm{kgf}$$

但箍筋強度上限為：

$$V_{s,\max}=0.66\sqrt{280}(35)(53) =20{,}462\ \mathrm{kgf} =20.46\ \mathrm{tf}$$

因此採用 $V_{s,\max}$，並乘上剪力強度折減因子 $\phi=0.75$：

核心觀念

本題考無握裹預力鋼絞線的撓曲強度計算。無握裹鋼絞線的應力 $f_{ps}$，須依題目提供的經驗式計算；再以受壓混凝土合力與預力鋼材、普通鋼筋的拉力平衡，求中性軸深度 $a$，最後計算內力偶矩得到 $M_n$。

但題目未提供普通鋼筋的單根面積或鋼筋號數，也未明確說明其有效深度。因此無法唯一決定普通鋼筋拉力及整體撓曲強度。以下先列出可確定的鋼絞線計算，並說明在忽略普通鋼筋拉力時的條件式結果。

解題方法

以每 $1\ \mathrm{m}$ 板寬計算。鋼絞線間距為 $20\ \mathrm{cm}$，每米配置 $5$ 根，因此

$$A_{ps}=5(1.47)=7.35\ \mathrm{cm^2/m}$$

題目給定有效深度 $d=22\ \mathrm{cm}$，以下暫以鋼絞線有效深度 $d_p=22\ \mathrm{cm}$ 計算。鋼絞線比為

$$\rho_p=\frac{A_{ps}}{bd_p} =\frac{7.35}{100(22)} =0.003341$$

由題目提供的無握裹預力鋼材應力式：

$$f_{ps}=f_{se}+700+\frac{f'_c}{300\rho_p}$$

代入數值：

$$f_{ps}=11000+700+\frac{420}{300(0.003341)} \approx 12119\ \mathrm{kgf/cm^2}$$

並檢核不超過鋼絞線降伏強度：

$$f_{py}=0.85f_{pu}=0.85(19000)=16150\ \mathrm{kgf/cm^2}$$

故 $f_{ps}<f_{py}$，採用 $f_{ps}\approx12119\ \mathrm{kgf/cm^2}$。

若僅計鋼絞線拉力，受壓區深度由力平衡求得：

$$0.85f'_cba=A_{ps}f_{ps}$$