112 專技高考高等考試 結構工程技師 結構學 考古題詳解

核心觀念

本題考平面構架的支承沉陷與外力作用之線性疊加。在小變形彈性分析下，分別求支承下陷及水平力 $P$ 對點 $E$ 垂直位移的貢獻，再令合位移為零。

圖一中，$B$、$D$ 相距 $8\ \mathrm{m}$，$C$ 位於兩者中點，且 $DE=2\ \mathrm{m}$。支承 $D$ 下陷 $3\ \mathrm{mm}$。水平力 $P$ 作用於距梁柱接點 $C$ 高 $4\ \mathrm{m}$ 的點 $F$。

解題方法

一、支承下陷造成的點 $E$ 位移

先只考慮支承下陷，梁上沒有外力。梁的彎曲曲率為零，因此 $B$ 至 $D$ 間的梁沿直線轉動，其斜率為

$D$ 至自由端 $E$ 間沒有外力，延續相同轉角。因此

再加上 $D$ 本身向下的 $3\ \mathrm{mm}$ 位移：

所以支承下陷使 $E$ 向下移 $3.75\ \mathrm{mm}$。

二、水平力 $P$ 造成的點 $E$ 位移

水平力對柱腳 $C$ 產生的力矩大小為

柱對梁施加方向相反的力矩；以逆時針為正，梁在 $C$ 承受的外加偶矩為 $M=-4P$。水平力及其水平反力不直接造成梁的垂直彎曲，故求垂直位移時，取此接點偶矩對梁的彎曲效應。

核心觀念

此桁架有 $j=4$ 個節點、$m=6$ 根桿件及 $r=3$ 個支承反力，因此靜不定度為

須使用一次靜不定分析。取桿件 $DC$ 的軸力為冗力，先由各節點平衡求其餘桿力，再以 $DC$ 方向的變形相容條件求冗力。

圖示座標可取 $A=(0,4)$、$D=(3,0)$、$C=(5,0)$、$B=(8,4)$，故

以下以拉力為正、壓力為負。

解題方法

令 $F_{DC}=X$。由節點 $C$ 平衡：

解得

由節點 $B$ 平衡，考慮向下 $30\ \mathrm{kN}$ 載重：

因此

再由節點 $D$ 的水平平衡：

核心觀念

本題用傾角變位法分析連續構架，關鍵是先判斷桿件軸向變形忽略後，各接點是否仍有平移自由度。由圖判讀，$AB$ 上的均佈力向左，$BC$ 中央的 $50\ \mathrm{kN}$ 集中力向上。

取桿件端彎矩順時針為正，接點轉角 $\theta$ 順時針為正。各桿件無弦轉角時，傾角變位式為

其中 $M^F$ 為固定端彎矩。

解題方法

忽略軸向變形後，$AB$ 不伸縮，故 $B$ 點垂直位移為零；$BC$ 與 $CD$ 不伸縮，且 $D$ 固定，故 $B、C$ 點水平位移為零。$C$ 點垂直位移受滾支承限制，$D$ 固定。因此各桿件弦轉角皆為零，未知量只有轉角 $\theta_A、\theta_B、\theta_C$，且 $\theta_D=0$。

令

依圖示載重，固定端彎矩為：

• $AB$：$L=6\ \mathrm{m}$，均佈載重 $20\ \mathrm{kN/m}$，故 $M_{AB}^{F}=+60$、$M_{BA}^{F}=-60\ \mathrm{kN\cdot m}$。
• $BC$：$L=4\ \mathrm{m}$，中央向上集中力 $50\ \mathrm{kN}$，故 $M_{BC}^{F}=+25$、$M_{CB}^{F}=-25\ \mathrm{kN\cdot m}$。
• $CD$：無載重，固定端彎矩為零。

各端彎矩式為

$A$ 為鉸支承，故 $M_{AB}=0$；$B、C$ 為無外加力矩的剛接點，端彎矩代數和為零：

核心觀念

把每層由柱、梁與斜撐圍成的三角形區域視為剛體，主要變形集中在跨長 $0.6\ \mathrm{m}$ 的連梁。題目要求「試推估」，可用各層層間位移估算剛性區域的轉角：

其中 $\Delta_i$ 為第 $i$ 層層間位移。再以各層側向勁度近似相同，按層剪力比例分配已知的頂端位移。

解題方法

各層水平力由下而上為 $300、450、600\ \mathrm{kN}$，所以由下而上的層剪力為：

圖中樓層力施於樓板兩端；即使按兩端各施加一次計算，各層剪力都同乘 $2$，比例不變。三層層剪力比例為 $1350:1050:600$，總和為 $3000$。將頂端側移 $6\ \mathrm{cm}$ 按此比例分配：