113 專技高考高等考試 結構工程技師 結構學 考古題詳解

113 年・專技高考・高等考試・結構工程技師
試題代碼 結構學

第 一 題25 分

如圖一所示之梁，假設斷面 EIEI 值為常數。不論向下之位移或是向上之位移，其最大值都不能超過梁長之 1/3001/300，也就是最大容許位移值為 40 mm40\ \mathrm{mm}。試求滿足該位移限制之最小 EIEI 值。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中梁由 AA、BB、CC、DD 四點組成，AB=BC=CD=4 mAB=BC=CD=4\ \mathrm{m}；AA 點作用 200 kN⋅m200\ \mathrm{kN\cdot m} 彎矩，BB 點作用向下 100 kN100\ \mathrm{kN} 集中力，CC 點為鉸接，DD 點為固定端。

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核心觀念

本題考梁的彈性曲線與最大撓度限制。由於 EIEI 為常數，梁的彎矩與撓度滿足

EI v′′(x)=M(x)EI\,v''(x)=M(x)

因此先依圖中 A 點逆時針 200 kN⋅m200\ \mathrm{kN\cdot m} 的外加彎矩求彎矩函數，再由彎矩積分求撓度。撓度與 1/EI1/EI 成正比，故只要找出 EI v(x)EI\,v(x) 的最大絕對值，即可求出符合限制的最小 EIEI。

解題方法

取 xx 自 A 點向右，單位為 m。由各段平衡及 C 點內鉸彎矩為零，可得 A 點反力為 75 kN75\ \mathrm{kN} 向上。彎矩函數為

M(x)={75x−200,0≤x≤4,200−25x,4≤x≤12.M(x)= \begin{cases} 75x-200, & 0\le x\le 4,\\ 200-25x, & 4\le x\le 12. \end{cases}

令 Y(x)=EI v(x)Y(x)=EI\,v(x)，則 Y′′(x)=M(x)Y''(x)=M(x)。A 點撓度為零；D 點固定，因此 vD=0v_D=0、vD′=0v'_D=0。C 點為內鉸，彎矩為零，但其兩側撓度相同、轉角可以不同。

在 CD 段令 s=x−8s=x-8，由 D 點固定條件積分得

YCD(s)=−16003+200s−256s3,0≤s≤4.Y_{CD}(s)=-\frac{1600}{3}+200s-\frac{25}{6}s^3,\qquad 0\le s\le4.

所以 C 點撓度為 YC=−1600/3Y_C=-1600/3。在 AC 段令 A 點轉角係數為 Y′(0)Y'(0)，套用 C 點撓度相同的條件，可得 Y′(0)=200/3Y'(0)=200/3。積分後，兩段撓度係數為

YAB(x)=2003x+252x3−100x2,0≤x≤4,Y_{AB}(x)=\frac{200}{3}x+\frac{25}{2}x^3-100x^2,\qquad 0\le x\le4,
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第 二 題25 分

如圖二所示之桁架，已知支承 FF 發生垂直向下沉陷 vF=12 mmv_F=12\ \mathrm{mm}，桿件 CDCD 有製造誤差 δ\delta，桿件 DEDE 有溫差 ΔT\Delta T。因此以上三個原因，造成 CC 點向下位移 4.8 mm4.8\ \mathrm{mm}、EE 點向下位移 6.4 mm6.4\ \mathrm{mm}。試求上述製造誤差 δ=? mm\delta=?\ \mathrm{mm}（註明過長或過短）及 ΔT=? ∘C\Delta T=?\ ^\circ\mathrm{C}（註明升溫或降溫）。

假設所有桁架桿件性質相同如下：

熱膨脹係數：

α=1.5×10−5/∘C\alpha=1.5\times10^{-5}/^\circ\mathrm{C}

楊氏模數：

E=100 GPaE=100\ \mathrm{GPa}

斷面積：

A=150 mm2A=150\ \mathrm{mm^2}

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中桁架上下弦桿各節點間距均為 4 m4\ \mathrm{m}，桁架高度為 3 m3\ \mathrm{m}；上弦節點依序為 HH、II、JJ、KK、LL、MM、NN，下弦節點依序為 AA、BB、CC、DD、EE、FF、GG。

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核心觀念

本題考桁架的虛功法與位移相容。桁架為靜定結構，因此支承沉陷、桿件製造誤差與溫度變化造成的位移，可用虛功法分別計算後疊加。

取向下位移為正、桿件伸長為正。對目標節點施加單位向下虛力，則

v↓=∑iniΔLi−∑sRs(v)vs(s)v_{\downarrow} =\sum_i n_i\Delta L_i -\sum_s R_s^{(v)}v_s^{(s)}

其中 nin_i 是虛力系統中第 ii 桿的軸力，ΔLi\Delta L_i 是該桿的自由長度變化；Rs(v)R_s^{(v)} 是虛力系統在支承處的反力，vs(s)v_s^{(s)} 是支承實際位移。由於 FF 向下沉陷 12 mm12\ \mathrm{mm}，而虛反力向上為正，因此沉陷項對向下位移的貢獻為 12RF(v)12R_F^{(v)}。

解題方法

1. 計算支承沉陷對 CC、EE 點位移的貢獻

圖中 BB、CC、EE、FF 的水平位置依序為 x=4、8、16、20 mx=4、8、16、20\ \mathrm{m}。分別在 CC、EE 點施加單位向下虛力，以整體平衡求虛反力：

  • 單位力作用於 CC：RF(v)=14R_F^{(v)}=\dfrac{1}{4}，故沉陷造成 CC 點向下位移
12(14)=3 mm12\left(\frac14\right)=3\ \mathrm{mm}
  • 單位力作用於 EE：RF(v)=34R_F^{(v)}=\dfrac{3}{4}，故沉陷造成 EE 點向下位移
12(34)=9 mm12\left(\frac34\right)=9\ \mathrm{mm}

2. 求虛力系統在 CDCD、DEDE 桿的軸力

以桿件截面法求得下表的虛軸力；軸力以拉力為正：

單位向下虛力位置nCDn_{CD}nDEn_{DE}
CC 點1113\dfrac13
EE 點13\dfrac1311

例如，單位力作用於 CC 時，兩支承虛反力為 RB(v)=34R_B^{(v)}=\dfrac34、RF(v)=14R_F^{(v)}=\dfrac14。截取包含 CDCD 的桁架部分，對 JJ 點取矩，可得

3nCD−4(34)=0⟹nCD=13n_{CD}-4\left(\frac34\right)=0 \quad\Longrightarrow\quad n_{CD}=1

截取包含 DEDE 的部分，對 LL 點取矩，則

3nDE−12(34)+8=0⟹nDE=133n_{DE}-12\left(\frac34\right)+8=0 \quad\Longrightarrow\quad n_{DE}=\frac13
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第 三 題25 分

如圖三所示之門型構架，梁與柱之斷面 EIEI 皆相同，但梁長大於柱長，也就是 Lb/L>1L_b/L>1。已知兩根柱最大彎矩的數值大小與梁最大彎矩的數值大小，其比為 2:12:1，試求此時 Lb/L=?L_b/L=?

本題限以傾角變位法作答，分析時可忽略軸向變形。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中，梁 BCBC 長度為 LbL_b，兩根柱 ABAB、CDCD 長度均為 LL，各構件之 EIEI 相同；BB 點受水平向右集中力 PP，AA、DD 點固定。

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核心觀念

本題考傾角變位法與側移構架的彎矩分布。分析時忽略軸向變形，因此兩柱頂端具有相同的水平側移 Δ\Delta。CC 點為鉸接，故梁端及右柱頂端彎矩皆為零。

令 r=Lb/Lr=L_b/L，並令 BB 點轉角為 θB\theta_B。以下取彎矩大小比較；轉角正負號依側移方向一致處理。

解題方法

先由 CC 點鉸接條件求梁端轉角。梁 BCBC 無相對垂直位移，其端彎矩關係為

MCB=2EILb(2θC+θB)=0⟹θC=−θB2.M_{CB}=\frac{2EI}{L_b}(2\theta_C+\theta_B)=0 \quad\Longrightarrow\quad \theta_C=-\frac{\theta_B}{2}.

代回梁端彎矩式，可得梁在 BB 端的彎矩大小：

∣MBC∣=3EILb∣θB∣.|M_{BC}|=\frac{3EI}{L_b}|\theta_B|.

右柱 CDCD 頂端為鉸接，頂端彎矩為零。由側移柱的傾角變位關係，

MC=6EIL2Δ+4EILθC,柱=0,M_C=\frac{6EI}{L^2}\Delta+\frac{4EI}{L}\theta_{C,\text{柱}}=0,

所以

θC,柱=−3Δ2L.\theta_{C,\text{柱}}=-\frac{3\Delta}{2L}.

接著在 BB 點做轉動平衡：左柱頂端彎矩與梁在 BB 端彎矩互相平衡。令 x=θBL/Δx=\theta_B L/\Delta，可寫成

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第 四 題25 分

如圖四所示之門型構架，試以結構勁度矩陣法求取側推曲線 PP-Δ\Delta 圖，直到結構到達極限承載力，其中 Δ\Delta 為受力點之側向（水平方向）位移。

假設：

EI=425,000 kN⋅m2EI=425{,}000\ \mathrm{kN\cdot m^2} L=7 mL=7\ \mathrm{m}

梁斷面塑性彎矩強度：

Mpb=300 kN⋅mM_{pb}=300\ \mathrm{kN\cdot m}

柱斷面塑性彎矩強度：

Mpc=580 kN⋅mM_{pc}=580\ \mathrm{kN\cdot m}

上述梁、柱之彎矩強度不論正彎矩或負彎矩都相同。分析時可忽略軸向變形，且當桿件之斷面到達彎矩強度前，桿件維持彈性；當桿件之斷面到達彎矩強度時，該斷面以塑鉸模擬，且斷面之彎矩維持不變（具韌性但不考慮應變硬化）。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中門型構架之梁長為 LL，兩根柱長均為 2L2L；梁之剛度為 EIEI，兩根柱之剛度為 2EI2EI；BB 點受水平向右集中力 PP，AA、DD 點固定。

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核心觀念

本題以結構勁度矩陣法追蹤構架側推時的彈性勁度與塑鉸形成順序。忽略軸向變形後，梁兩端的水平位移相同，且柱頂無豎向位移；因構架與勁度對稱，可令兩柱頂的轉角相同，記為 θ\theta。側向位移記為 Δ\Delta。

梁端塑鉸形成前，各桿件維持彈性；梁端形成塑鉸後，梁端彎矩維持在 MpbM_{pb}；柱底形成塑鉸後，柱底彎矩維持在 MpcM_{pc}。當梁端與柱底塑鉸共同形成側移機構，即達極限承載力。

解題方法

令 x=Δ/Lx=\Delta/L、k=EI/Lk=EI/L。以梁柱節點的轉角平衡及水平力平衡，逐段求取 PP 與 Δ\Delta 的關係。

柱長為 2L2L、柱勁度為 2EI2EI。由勁度矩陣可得，每根柱的柱頂彎矩、柱底彎矩及水平剪力分別為

M頂=k(4θ−3x),M底=k(2θ−3x),M_{頂}=k(4\theta-3x),\qquad M_{底}=k(2\theta-3x), V=3EIL2(x−θ).V=\frac{3EI}{L^2}(x-\theta).

梁兩端的節點彎矩為 6kθ6k\theta。在塑鉸形成前，節點彎矩平衡為

k(4θ−3x)+6kθ=0,k(4\theta-3x)+6k\theta=0,

因此

θ=0.3x.\theta=0.3x.

第一階段：全構架彈性

梁端彎矩大小為 6kθ=1.8kx6k\theta=1.8kx；柱頂彎矩大小為 1.8kx1.8kx；柱底彎矩大小為 2.4kx2.4kx。比較各斷面的彎矩強度，梁端先達到 Mpb=300 kN⋅mM_{pb}=300\ \mathrm{kN\cdot m}，且因對稱，BB、CC 兩端同時形成塑鉸。

梁端首次降伏位移為

Δ1=300L21.8EI=0.01922 m.\Delta_1 =\frac{300L^2}{1.8EI} =0.01922\ \mathrm{m}.

兩根柱的剪力合計為

P=2V=4.2EIL3Δ.P=2V=4.2\frac{EI}{L^3}\Delta.

因此第一段側推曲線為

P=4.2EIL3Δ,0≤Δ≤Δ1.P=4.2\frac{EI}{L^3}\Delta, \qquad 0\leq\Delta\leq\Delta_1.

在第一個轉折點，

P1=100.0 kN.P_1=100.0\ \mathrm{kN}.

第二階段：梁端塑鉸、柱仍彈性

梁端彎矩已達塑性強度並維持不變，因此柱頂彎矩大小固定為 300 kN⋅m300\ \mathrm{kN\cdot m}。依勁度式，

k(4θ−3x)=−300,k(4\theta-3x)=-300,

解得

θ=0.75x−75k.\theta=0.75x-\frac{75}{k}.

柱底彎矩大小隨位移增加：

∣M底∣=k(3x−2θ)=150+1.5kx.|M_{底}|=k(3x-2\theta) =150+1.5kx.
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