113 年專技高考高等考試結構工程技師考古題與詳解

Question 1

如圖所示平面桁架結構，桿件 $EH$ 為可抵抗彎矩的剛體構件，$H$ 點承受 $20\ \mathrm{kN}$ 外力作用。若 $FH$ 圓桿的容許正交應力為 $120\ \mathrm{MPa}$，試求 $FH$ 桿所需的最小直徑（$\mathrm{mm}$）。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 $EH$ 是可抵抗彎矩的剛體構件；$FH$ 則是兩力桿，桿力沿 $FH$ 軸線作用。先對剛體 $EH$ 作力矩平衡，可求出 $FH$ 的軸力，再用容許正應力公式求最小直徑： $$ \sigma=\frac{P}{A},\qquad A=\frac{\pi d^2}{4} $$ 解題方法 由圖得 $GH=4\ \mathrm{m}$，而 $FH$ 的水平、垂直投影分別為 $4\ \mathrm{m}$、$8\ \mathrm{m}$，因此 $$ FH=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{m} $$ 以 $G$ 點取矩。$FG$ 的作用線通過 $G$；$E$ 點的水平連桿力作用線也通過 $G$，兩者均不產生力矩。故 $H$ 點的向下外力與 $FH$ 桿力的垂直分量須互相平衡： $$ 20-\!P{FH}\frac{8}{4\sqrt{5}}=0 $$

Question 2

圖示為一長為 $L$、面積為 $A$ 的柱子，被夾在兩面剛性且滑溜的牆間。若該柱受 $x$ 向的軸力 $P$ 作用，其彈性模數及帕桑比（Poisson’s ratio）分別為 $E$ 及 $
u$，試求其軸向變形量。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 柱子受軸向壓力時，若側向可以自由膨脹，軸向應變為 $-P/(AE)$。本題有一方向被剛性牆限制，該方向的側向應變為零，因此牆會提供側向反力；須用三維廣義虎克定律求軸向應變。 解題方法 取拉應力為正，令 $x$ 為柱軸方向、$y$ 為兩牆夾持方向、$z$ 為未受限制的側向。柱子受壓，故 $$ \sigmax=-\frac{P}{A}. $$ 牆面光滑，不會提供切向力；牆限制 $y$ 向變形，因此 $\varepsilony=0$。$z$ 向可自由變形，故 $\sigmaz=0$。 廣義虎克定律為 $$ \varepsilony=\frac{1}{E}\left[\sigmay-
u(\sigmax+\sigmaz)ight]. $$ 代入 $\varepsilony=0$、$\sigmaz=0$，得 $$ \sigmay=
u\sigmax. $$ 再由 $x$ 向廣義虎克定律：

Question 3

以鋼板加勁之矩型木梁的斷面尺寸如圖所示，已知鋼板、木材之 $E$ 值分別為 $200\ \mathrm{GPa}$ 、 $24\ \mathrm{GPa}$ ，此斷面對 $z$ 軸之彎曲剛度（ $EI$ ）為何？

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Accepted Answer

核心觀念 複合材料梁對 $z$ 軸的彎曲剛度為各材料彎曲剛度的總和： $$ (EI)z=\sumi Ei I{z,i} $$ 圖中木材與鋼板皆沿梁高方向配置，且斷面關於 $z$ 軸對稱，各部分形心都在同一水平軸上，因此不需使用平行軸定理。矩形截面對形心水平軸的慣性矩為： $$ Iz=\frac{b h^3}{12} $$ 解題方法 梁高 $h=150\ \mathrm{mm}$。圖示木材由兩段各 $50\ \mathrm{mm}$ 寬組成，因此木材總寬為 $100\ \mathrm{mm}$；鋼板共三片，每片厚 $12\ \mathrm{mm}$，鋼板總寬為 $36\ \mathrm{mm}$。 木材與鋼板的慣性矩分別為： $$ I{	ext{木}}=\frac{100(150)^3}{12} =28{,}125{,}000\ \mathrm{mm^4} $$ $$ I{	ext{鋼}}=\frac{36(150)^3}{12} =10{,}125{,}000\ \mathrm{mm^4} $$ 代入 $E{	ext{木}}=24{,}000\ \mathrm{N/mm^2}$、$E{	ext{鋼}}=200{,}000\ \mathrm{N/mm^2}$： $$ (EI)z =24{,}000(28{,}125{,}000) +200{,}000(10{,}125{,}000) $$

Question 4

圖示 I 型梁，計算斷面模數 $S$（section modulus）。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $1.268	imes10^6\ \mathrm{mm^3}$ (B) $1.11	imes10^6\ \mathrm{mm^3}$ (C) $0.563	imes10^6\ \mathrm{mm^3}$ (D) $0.705	imes10^6\ \mathrm{mm^3}$

Accepted Answer

核心觀念 斷面模數定義為 $S=I/c$，其中 $I$ 是通過截面形心的中性軸二次矩，$c$ 是中性軸到最外側纖維的距離。此 I 型梁上下翼板寬度不同，形心不在截面高度中央，因此上下兩側的斷面模數不同；控制值取兩者較小者。 解題方法 依圖取上翼板 $125	imes25\ \mathrm{mm}$、腹板 $25	imes200\ \mathrm{mm}$、下翼板 $75	imes25\ \mathrm{mm}$。總高度為 $250\ \mathrm{mm}$。以截面底部為基準，各部分面積與形心位置為： | 部分 | 面積 $A$（$\mathrm{mm^2}$） | 形心位置 $y$（$\mathrm{mm}$） | |---|---:|---:| | 下翼板 | $75(25)=1875$ | $12.5$ | | 腹板 | $25(200)=5000$ | $125$ | | 上翼板 | $125(25)=3125$ | $237.5$ | 截面形心位置為 $$ \bar y=\frac{\sum Ay}{\sum A} =\frac{1875(12.5)+5000(125)+3125(237.5)}{10000} =139.0625\ \mathrm{mm} $$ 因此，中性軸至底部與頂部的距離分別為 $$ c{	ext{底}}=139.0625\ \mathrm{mm},\qquad c{	ext{頂}}=250-139.0625=110.9375\ \mathrm{mm} $$ 利用平行軸定理計算中性軸二次矩：

Question 5

已知材料楊氏模數 $E=70\ \mathrm{GPa}$，帕桑比（Poisson’s ratio）$
u=0.33$，三個主應變分別為 $2.42	imes10^{-3}$、$-1.0	imes10^{-3}$、$-2.52	imes10^{-3}$，則絕對對最大剪應力的大小為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $66.3\ \mathrm{MPa}$ (B) $90.0\ \mathrm{MPa}$ (C) $130\ \mathrm{MPa}$ (D) $176\ \mathrm{MPa}$

Accepted Answer

核心觀念 題目給的是三個主應變，要先利用材料的線彈性關係求「絕對最大剪應力」。對均質、等向性材料，主應力差與主應變差的關係為 $$ \sigmai-\sigmaj=2G(\varepsiloni-\varepsilonj), \qquad G=\frac{E}{2(1+
u)} $$ 絕對最大剪應力等於最大主應力與最小主應力差的一半，因此可直接寫成 $$ 	au{\max,\mathrm{abs}} =\frac{\sigma{\max}-\sigma{\min}}{2} =G(\varepsilon{\max}-\varepsilon{\min}) $$ 解題方法 三個主應變由大至小為 $$ \varepsilon{\max}=2.42	imes10^{-3}, \qquad \varepsilon{\min}=-2.52	imes10^{-3} $$ 先計算剪變模數： $$ G=\frac{70\ \mathrm{GPa}}{2(1+0.33)} =26.32\ \mathrm{GPa} $$ 主應變差為

Question 6

延展性極佳之細長試體，經軸拉試驗量測之「工程應變（engineering strain or nominal strain）」為 $0.5$ ，請問此試體之「真實應變（true strain）」最接近下列何者？

Accepted Answer

核心觀念 本題旨在測驗材料在軸向受力變形時，工程應變（Engineering Strain）與真實應變（True Strain）之定義與轉換關係。 1. 工程應變（$\varepsilon$）：亦稱名義應變（Nominal Strain），以試體「初始長度（原長）$L0$」為基準計算之伸長比率： $$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L0} = \frac{L - L0}{L0} = \frac{L}{L0} - 1$$ 由此可得變形後長度與原長之比值（伸長比）： $$\frac{L}{L0} = 1 + \varepsilon$$ 2. 真實應變（$\varepsilont$）：亦稱對數應變（Logarithmic Strain）或自然應變（Natural Strain），考慮變形過程中隨時變化的「瞬間長度（Instantaneous Length）$L$」，將微量應變累積積分而得： $$\varepsilont = \int{L0}^{L} \frac{\mathrm{d}L}{L} = \ln\left(\frac{L}{L0}\right)$$ 3. 兩者之互換公式：在試體均勻伸長、未發生局部頸縮（Necking）前： $$\varepsilont = \ln(1 + \varepsilon)$$ --- 解題方法 1. 代入已知條件： 題目給定軸拉試驗之工程應變 $\varepsilon = 0.5$。 變形後瞬時長度與原長之比值為： $$\frac{L}{L0} = 1 + \varepsilon = 1 + 0.5 = 1.5$$ 2. 計算真實應變： 將伸長比代入真實應變之對數定義式： $$\varepsilont = \ln(1.5) = \ln\left(\frac{3}{2}\right) = \ln(3) - \ln(2)$$ 3. 數值估算： 帶入常用自然對數數值 $\ln(3) \approx 1.0986$、$\ln(2) \approx 0.6931$： $$\varepsilont \approx 1.0986 - 0.6931 = 0.4055$$ 4. 判定結果： 所得數值約為 $0.4055$，與各選項比對，最接近 $0.4$。 --- 選項分析

Question 7

如圖之三維應力狀態，計算此狀態下之絕對最大剪應力（absolute maximum shear stress）的大小。

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Accepted Answer

核心觀念 三維應力狀態的絕對最大剪應力，由最大與最小主應力決定： $$ 	au{\max,\mathrm{abs}}=\frac{\sigma1-\sigma3}{2} $$ 其中 $\sigma1\ge \sigma2\ge \sigma3$。本題的 $4\ \mathrm{ksi}$ 是剪應力；圖示的 $2\ \mathrm{ksi}$ 沿 $z$ 方向指向材料內部，因此為壓應力，$\sigmaz=-2\ \mathrm{ksi}$。 解題方法 先取圖中的 $x$、$y$ 平面應力狀態： $$ \sigmax=16,\qquad \sigmay=8,\qquad 	au{xy}=4\quad(\mathrm{ksi}) $$ 該平面的兩個主應力為 $$ \sigma{1,2} =\frac{\sigmax+\sigmay}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigmax-\sigmay}{2}ight)^2+	au{xy}^2} $$ 代入數值： $$ \sigma{1,2} =12\pm\sqrt{4^2+4^2} =12\pm5.657 $$ 所以平面內主應力為 $17.657\ \mathrm{ksi}$ 與 $6.343\ \mathrm{ksi}$。第三個主應力為 $\sigmaz=-2\ \mathrm{ksi}$，故排序為 $$ \sigma1=17.657,\qquad \sigma2=6.343,\qquad \sigma3=-2 \quad(\mathrm{ksi}) $$ 因此絕對最大剪應力為

Question 8

圖示懸臂等截面桿件受到軸向分布外力 $w=500x^{1/3}\ \mathrm{N/m}$ 作用， $A$ 點為自由端，截面積 $5000\ \mathrm{mm^2}$ ，計算此外力作用下，桿件最大正向應力（normal stress）值。

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Accepted Answer

核心觀念 軸向分布力會沿桿長累積成軸力。任一截面的軸力等於該截面一側分布力的合力；等截面桿件的正向應力大小為 $$ \sigma=\frac{|N|}{A} $$ 本題桿長為 $1\ \mathrm{m}$，截面積為 $5000\ \mathrm{mm^2}$。由於分布力朝固定端方向，桿件受壓；題目問最大應力值，因此取應力大小。 解題方法 令 $x$ 自自由端 $A$ 起算，取距自由端 $x$ 的截面。截面左側分布力的合力為該段的軸力： $$ |N(x)|=\int0^x 500s^{1/3}\,ds =500\left[\frac{3}{4}s^{4/3}ight]0^x =375x^{4/3}\ \mathrm{N} $$ 軸力隨 $x$ 增加，最大值出現在固定端 $x=1\ \mathrm{m}$： $$ |N{\max}|=375(1)^{4/3}=375\ \mathrm{N} $$ 將截面積換算為平方公尺： $$ 5000\ \mathrm{mm^2}=5000	imes10^{-6}\ \mathrm{m^2} =0.005\ \mathrm{m^2} $$ 因此最大正向應力為

Question 9

圖示長度 $2.4\ \mathrm{m}$ 之 A304 不鏽鋼管，$A$、$B$ 兩端皆固定，室溫裝設完成時，全管斷面皆未受力。假設輸送液體後，造成管 $AB$ 段間溫差以 $$ \Delta T=(30x+20)^\circ\mathrm{C} $$ 呈線性分布，$x$ 為自 $A$ 算起之位置。已知熱膨脹係數 $\alpha=17	imes10^{-6}/^\circ\mathrm{C}$，楊氏模數 $E=200\ \mathrm{GPa}$，管銷面平均正向應力（normal stress）為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $134.4\ \mathrm{MPa}$ (B) $91.2\ \mathrm{MPa}$ (C) $34.4\ \mathrm{MPa}$ (D) $190.4\ \mathrm{MPa}$

Accepted Answer

核心觀念 兩端固定的管件受熱後，不能自由伸長，因此產生軸向壓應力。利用軸向總變形為零的相容條件： $$ \int0^L\left(\frac{\sigma}{E}+\alpha\Delta T(x)\right)dx=0 $$ 其中 $\sigma$ 為均勻軸向應力，$\alpha\Delta T(x)$ 為各位置的熱應變。 解題方法 管長 $L=2.4\ \mathrm{m}$，溫差分布為 $\Delta T(x)=30x+20$。先求全管的平均溫差： $$ \overline{\Delta T} =\frac{1}{L}\int0^L(30x+20)\,dx =\frac{1}{2.4}\left[15x^2+20x\right]0^{2.4} =56^\circ\mathrm{C} $$ 由總變形為零，管件的均勻軸向應變需抵銷平均熱應變： $$ \frac{\sigma}{E}+\alpha\overline{\Delta T}=0 $$ 因此

Question 10

圖示軸力構件為均勻材質，但左右不等直徑的圓形斷面，假設彈性－完全塑性行為，降伏應力 $\sigma_y=250\ \mathrm{MPa}$ 、 $L=1000\ \mathrm{mm}$ ，構件之塑性載重 $P_p$ 與初始降伏載重 $P_y$ 之比值（ $P_p/P_y$ ）為何？

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Accepted Answer

核心觀念 本題考固定端階梯桿受軸力時的初始降伏載重與塑性載重。材料為彈性－完全塑性，降伏後應力維持在 $\sigmay$。關鍵是比較兩段的應變：兩段長度相等，且接點 $C$ 位移相同，因此兩段應變大小相等；材料相同，故兩段應力大小也相等。 解題方法 設 $C$ 向右位移為 $\delta$，左、右段長度皆為 $L/2$。左段受拉、右段受壓，兩段應變大小為 $$ \varepsilonL=\varepsilonR=\frac{\delta}{L/2} $$ 因此兩段應力大小相同： $$ |\sigmaL|=|\sigmaR|=E\frac{\delta}{L/2} $$ 兩段會同時達到降伏。令左、右截面積分別為 $AL$、$AR$，外力 $P$ 平衡兩段軸力之和，故初始降伏載重為 $$ Py=\sigmay AL+\sigmay AR =\sigmay(AL+AR) $$ 進入完全塑性後，兩段可承受的軸力上限分別為 $\sigmayAL$ 與 $\sigmayAR$，所以塑性載重為

Question 11

圖示為兩根相同材質但長度分別為 $2\ \mathrm{m}$ 與 $3\ \mathrm{m}$ 的纜繩，纜繩斷面積為 $2\ \mathrm{mm^2}$ 。兩纜在 $C$ 處先以扣件相連，此時起始張力為 $50\ \mathrm{N}$ ，之後再施加外力 $P$ （向右）。已知纜繩的張應力允許值為 $37\ \mathrm{MPa}$ ，請問此增加外力 $P$ 的最大值為何？

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Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩段纜繩的軸向彈性變形與節點平衡。節點 $C$ 向右移動時，左側纜繩伸長、張力增加；右側纜繩縮短、張力減少。兩段纜繩的軸向剛度為 $$ k=\frac{EA}{L} $$ 兩纜材質與斷面積相同，因此剛度與長度成反比。 解題方法 設節點 $C$ 向右移動 $\delta$。左纜長 $2\ \mathrm{m}$，右纜長 $3\ \mathrm{m}$，其剛度分別為 $$ kL=\frac{EA}{2},\qquad kR=\frac{EA}{3} $$ 張力變化量為 $$ \Delta TL=kL\delta,\qquad \Delta TR=-kR\delta $$ 節點平衡表示外力 $P$ 等於兩纜張力差的增加量： $$ P=\Delta TL-\Delta TR=(kL+kR)\delta $$ 因此外力分配到左纜張力增加量的比例為 $$ \frac{\Delta TL}{P} =\frac{kL}{kL+kR} =\frac{1/2}{1/2+1/3} =\frac{3}{5} $$ 故左纜張力為 $$ TL=50+\frac{3}{5}P $$ 允許張力由允許應力乘斷面積求得： $$ T{\mathrm{allow}}=37\ \mathrm{N/mm^2}	imes2\ \mathrm{mm^2}=74\ \mathrm{N} $$ 左纜達到允許張力時，

Question 12

圖示為圓形基樁打入土中，基樁上方載重 $P=1500\ \mathrm{kN}$ 由側邊摩擦力 $f$ 與基底反力 $F$ 平衡。設單位長度之摩擦力 $f=90\ \mathrm{kN/m}$ 均佈在基樁表面。已知基樁長 $L=12\ \mathrm{m}$ 、直徑 $0.3\ \mathrm{m}$ 、楊氏模數 $E=29\ \mathrm{GPa}$ ，此樁的彈性縮短量為何？

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Accepted Answer

核心觀念 樁身的軸力會隨位置改變，因均佈側摩擦力沿樁長逐漸抵銷上方載重。彈性縮短量須將各微小樁段的軸向變形加總： $$ \delta=\int0^L \frac{N(y)}{AE}\,dy $$ 其中 $N(y)$ 為樁身軸力，$A$ 為樁身截面積，$E$ 為楊氏模數。 解題方法 先由整根樁的軸向力平衡求基底反力。側摩擦力總和為 $$ fL=(90\ \mathrm{kN/m})(12\ \mathrm{m})=1080\ \mathrm{kN} $$ 因此基底反力為 $$ F=P-fL=1500-1080=420\ \mathrm{kN} $$ 令 $y$ 自樁底向上量。距樁底 $y$ 處的截面，上方樁段長度為 $L-y$；該段側摩擦力向上，故截面軸力為 $$ N(y)=P-f(L-y) $$ 樁底處 $N(0)=420\ \mathrm{kN}$，樁頂處 $N(L)=1500\ \mathrm{kN}$。軸力沿樁長線性變化，平均軸力為 $$ N{\mathrm{avg}}=\frac{420+1500}{2}=960\ \mathrm{kN} $$ 圓形樁截面積為 $$ A=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(0.3)^2}{4} =0.07069\ \mathrm{m^2} $$ 因此彈性縮短量為

Question 13

圖（a）與圖（b）為材質、尺寸相同的斷面，有相同容許應力 $\sigma{\mathrm{allow}}$，但不同彎曲軸計算的容許彎矩分別標示為 $M1$ 與 $M2$，則此值 $\left(M1/M2\right)$ 為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $0.5$ (B) $0.707$ (C) $1.414$ (D) $2.0$

Accepted Answer

核心觀念 彎曲時，最外緣的正應力為 $\sigma{\max}=Mc/I$。容許彎矩因此為 $$ M{\mathrm{allow}}=\sigma{\mathrm{allow}}\frac{I}{c} =\sigma{\mathrm{allow}}S $$ 其中 $S=I/c$ 是斷面模數。兩圖的材質、尺寸及容許應力相同，彎矩比值只由各自彎曲軸的斷面模數決定。 解題方法 圖（a）的正方形邊長為 $a$，彎曲軸通過形心且平行於正方形邊。其形心慣性矩與最外緣距離為 $$ I1=\frac{a^4}{12},\qquad c1=\frac{a}{2} $$ 所以 $$ S1=\frac{I1}{c1} =\frac{a^4/12}{a/2} =\frac{a^3}{6} $$ 圖（b）的彎曲軸通過形心且沿正方形對角線方向。正方形的形心慣性矩對此軸仍為 $I2=a^4/12$；最外緣是頂點，至對角線彎曲軸的距離為 $c2=a/\sqrt{2}$。因此 $$ S2=\frac{I2}{c2} =\frac{a^4/12}{a/\sqrt{2}} =\frac{a^3}{6\sqrt{2}} $$

Question 14

圖示 L 外型之梁的兩端皆受到集中荷重作用（一水平、一垂直），則在 $AB$ 跨度中點位置斷面的彎矩大小為何？

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🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像；題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查剛體靜力平衡與梁的截面彎矩。水平力作用在梁上方 $1.0\ \mathrm{m}$ 處，對 $A$ 點形成力矩；求截面彎矩時，可在 $AB$ 中點切開，取切面一側的自由體圖，利用力矩平衡求內力矩。

解題方法

以逆時針為正。 $9\ \mathrm{kN}$ 水平力向左，作用點在 $A$ 上方 $1.0\ \mathrm{m}$ ，所以對 $A$ 點產生逆時針力矩：

M_A^{(9)}=9(1.0)=9\ \mathrm{kN\cdot m}

先對整根梁取 $A$ 點力矩平衡。 $B$ 點距 $A$ 為 $5.0\ \mathrm{m}$ ， $C$ 點距 $A$ 為 $6.0\ \mathrm{m}$ ：

9+5B_y-4.5(6)=0 \quad\Rightarrow\quad B_y=3.6\ \mathrm{kN}

再由垂直力平衡：

A_y+B_y-4.5=0 \quad\Rightarrow\quad A_y=0.9\ \mathrm{kN}

Question 15

圖示為一矩形斷面之尺寸及應變分布情形，$AA$ 與 $BB$ 分別為斷面的上、下緣位置。已知 $h=24\ \mathrm{cm}$、$b=18\ \mathrm{cm}$，在 $AA$ 處之應變 $\varepsilon{AA}=0.0006$、在 $BB$ 處之應變 $\varepsilon{BB}=0$，而降伏應變 $\varepsilony=0.001$。此斷面之軸向合力為 $P$（張力），合力作用高度與 $BB$ 距離 $yR$，計算 $yR=$？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $12\ \mathrm{cm}$ (B) $0\ \mathrm{cm}$ (C) $8\ \mathrm{cm}$ (D) $4\ \mathrm{cm}$

Accepted Answer

核心觀念 軸向合力可由截面上的正應力分布合成，其作用位置為應力分布圖的形心。題目給定降伏應變 $\varepsilony=0.001$，而最大應變為 $\varepsilon{AA}=0.0006<\varepsilony$，因此全截面皆在彈性範圍內，應力與應變成正比： $$ \sigma=E\varepsilon $$ 應變由 $BB$ 處的 $0$ 線性增加至 $AA$ 處的 $0.0006$，故應力分布為三角形。 解題方法 三角形應力分布的合力作用點，距離應力較大的一端為高度的 $1/3$。依官方答案採用的量法： $$ yR=\frac{h}{3}=\frac{24}{3}=8\ \mathrm{cm} $$ 因此官方答案為 (C)。 選項分析 - (A) $12\ \mathrm{cm}$：錯誤。 這是半高 $h/2$，相當於把合力作用點放在矩形的中點，未依三角形應力分布取形心。 - (B) $0\ \mathrm{cm}$：錯誤。

Question 16

圖示為一均質矩形斷面（圖（a）），在某載重作用下之彎曲應力分布（圖（b））。假設材料為彈性－完全塑性，而斷面彎矩 $M$ 介於初始降伏彎矩 $M_y$ 及全塑化彎矩 $M_p$ 之間，因此斷面僅中性軸上下各距離 $e$ 的範圍維持彈性性質。已知斷面剪力為 $V$ ，則中性軸位置之平均橫剪應力（transverse shear stress） $\tau_{xy}$ 大小為何？

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Accepted Answer

核心觀念 本題考查彈性－完全塑性矩形斷面在部分塑化時的剪應力。塑性區的正應力已達降伏應力，隨彎矩變化不再增加；只有中性軸上下各距離 $e$ 的彈性核心，其正應力會隨彎矩改變。中性軸處的剪應力須由縱向力平衡求得，不能直接套用全斷面保持彈性的矩形梁公式。 解題方法 設材料降伏應力為 $\sigmay$。上半斷面的正應力分布為：從中性軸至 $e$ 呈線性變化，從 $e$ 至外緣則維持 $\sigmay$。因此，上半部的縱向正應力合力為 $$ N{	ext{上}} =b\left(\int0^e \frac{\sigmay y}{e}\,dy +\inte^{h/2}\sigmay\,dyight) =b\sigmay\left(\frac{h}{2}-\frac{e}{2}ight). $$ 全斷面的彎矩為 $$ M=2b\left(\int0^e \frac{\sigmay y}{e}y\,dy +\inte^{h/2}\sigmay y\,dyight) =b\sigmay\left(\frac{h^2}{4}-\frac{e^2}{3}ight). $$ 沿梁長方向取微小區段。彎矩變化率為 $dM/dx=V$，而中性軸處的剪應力合力須平衡上半斷面縱向正應力合力的變化，因此 $$ 	au{xy}b=\left|\frac{dN{	ext{上}}}{dx}ight| =\left|\frac{dN{	ext{上}}}{de}\frac{de}{dM}\frac{dM}{dx}ight|. $$ 由上式可得

Question 17

圖示鋼梁 $E=210\ \mathrm{GPa}$、$I=119	imes10^6\ \mathrm{mm^4}$、$L=3.5\ \mathrm{m}$，承載均佈荷重 $q=9.5\ \mathrm{kN/m}$，$A$ 處為滑動支承（sliding support），$B$ 處為彈力常數 $$ k=\frac{24EI}{L^3} $$ 之垂直支撐彈簧。此梁的最大撓度（deflection）為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $2.38\ \mathrm{mm}$ (B) $13.07\ \mathrm{mm}$ (C) $10.69\ \mathrm{mm}$ (D) $14.28\ \mathrm{mm}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「滑動支承」與「端點彈簧」共同作用下的梁撓度。圖中 $A$ 處可沿垂直方向滑動，但梁端轉角受限制；因此 $A$ 不提供垂直反力，梁的垂直支承力由 $B$ 處彈簧承受。計算時須把梁的彎曲撓度與支承端的整體垂直位移一併考慮。 解題方法 先由整體垂直力平衡，求得彈簧反力： $$ RB=qL $$ 故彈簧壓縮量為 $$ \deltaB=\frac{RB}{k} =\frac{qL}{24EI/L^3} =\frac{qL^4}{24EI} $$ 接著以 $A$ 為基準，計算 $B$ 相對於 $A$ 的梁撓度。均佈載重造成的自由端撓度為 $qL^4/(8EI)$；$B$ 處向上的彈簧反力造成的撓度方向相反，大小為 $RBL^3/(3EI)$。因此： $$ \delta{B/A} =\frac{qL^4}{8EI}-\frac{RBL^3}{3EI} =\frac{qL^4}{8EI}-\frac{qL^4}{3EI} =-\frac{5qL^4}{24EI} $$ 負號表示 $B$ 相對 $A$ 向上。故 $A$ 的向下位移大小為 $$ \deltaA=\deltaB+\left|\delta{B/A}\right| =\frac{qL^4}{24EI}+\frac{5qL^4}{24EI} =\frac{qL^4}{4EI} $$ 沿梁長度的相對撓度幅值由 $A$ 往 $B$ 增加，因此梁的最大向下撓度出現在 $A$。 代入單位一致的數值：

Question 18

圖示（a）之簡支梁中跨 $L/3$ 區段承載均佈載重 $q$，在跨距中點撓度標示為 $\Delta1$。若將載重簡化為作用於跨距中點的集中載重 $$ P=\frac{qL}{3} $$ 此簡化的跨距中點撓度標示為 $\Delta0$（圖（b））。兩個撓度的比值 $\Delta1/\Delta0$ 最接近下列何者？（本題 $a=L/3$。） 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $\frac{205}{216}$ (B) $\frac{23}{27}$ (C) $\frac{18}{17}$ (D) $1$

Accepted Answer

核心觀念 本題考簡支梁跨中撓度，以及單位載重法。跨中撓度可寫成 $$ \Delta=\int0^L\frac{M(x)m(x)}{EI}\,dx $$ 其中 $M(x)$ 是實際載重造成的彎矩，$m(x)$ 是在跨中施加單位載重造成的彎矩。圖（a）的均佈載重對稱分布於跨距中間的 $L/3$，因此可只積分左半跨，再乘以 $2$。 解題方法 令 $x$ 自左支承起算，並以 $\xi=x/L$ 無因次化。均佈載重區段從 $x=L/3$ 延伸至 $x=2L/3$，總載重為 $qL/3$。由對稱性，左右支承反力皆為 $qL/6$。 在左半跨 $0\le x\le L/2$，實際彎矩為 $$ M(x)= \begin{cases} \dfrac{qL}{6}x, & 0\le x\le \dfrac{L}{3}\[6pt] \dfrac{qL}{6}x-\dfrac{q}{2}\left(x-\dfrac{L}{3}\right)^2, & \dfrac{L}{3}\le x\le \dfrac{L}{2} \end{cases} $$ 在跨中施加單位載重時，左半跨的單位載重彎矩為 $m(x)=x/2$。利用對稱性： $$ \Delta1 =2\int0^{L/2}\frac{M(x)(x/2)}{EI}\,dx =\frac{1}{EI}\int0^{L/2}M(x)x\,dx $$ 代入彎矩式，並令 $\xi=x/L$，得

Question 19

圖示靜不定梁受集中荷重 $P$ 作用，$A$ 點固端彎矩 $$ MA=xPL $$ （逆時針為正），$B$ 點反力 $$ RB=yP $$ （向上為正），則 $(x,y)=$？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $\left(-\frac{1}{2},1\right)$ (B) $\left(-\frac{1}{4},\frac{5}{4}\right)$ (C) $\left(1,\frac{5}{2}\right)$ (D) $\left(\frac{1}{4},\frac{7}{4}\right)$

Accepted Answer

核心觀念 這題考懸臂梁的相容條件與靜力平衡。把 $B$ 點反力 $RB$ 當作冗餘力，先以 $A$ 固定、$B$ 不支承的懸臂梁計算 $B$ 點撓度，再令加入 $RB$ 後的 $B$ 點總撓度為零。 解題方法 梁的全長為 $3L/2$，集中荷重 $P$ 作用於自由端；$B$ 點距 $A$ 為 $L$。設梁的彎曲剛度 $EI$ 為常數。 自由端向下集中荷重 $P$ 在 $B$ 點造成的撓度為 $$ \deltaB^{(P)} =\frac{P L^2\left[3(3L/2)-Light]}{6EI} =\frac{7PL^3}{12EI} \quad	ext{（向下）}. $$ $B$ 點向上反力 $RB$ 在其作用點造成的撓度為 $$ \deltaB^{(RB)} =\frac{RB L^3}{3EI} \quad	ext{（向上）}. $$ 因為 $B$ 點有支承，總撓度為零： $$ \frac{RB L^3}{3EI} =\frac{7PL^3}{12EI} \quad\Longrightarrow\quad RB=\frac{7}{4}P. $$ 再由荷重對 $A$ 點取矩。依題目採用的梁端截面彎矩符號，$A$ 點彎矩為

Question 20

圖示剛性桿件 $ABC$ 與彈簧組合之系統，線彈簧勁度為 $\beta$，旋轉彈簧勁度 $$ \betaR=\frac{3}{4}\beta L^2 $$ 則此系統之臨界挫屈載重 $P{cr}$ 為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $\frac{\beta L}{4}$ (B) $\frac{\beta L}{2}$ (C) $\beta L$ (D) $\frac{5\beta L}{4}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考剛體微小轉動下的彈性支承挫屈。臨界載重可由總位能的二次項係數為零求得：彈簧提供穩定效果，壓縮力 $P$ 則因桿件轉動而提供不穩定效果。 解題方法 令剛性桿 $ABC$ 以 $A$ 點為中心轉動小角度 $	heta$。由圖可知 $AB=L$、$BC=L/2$，因此 $C$ 點距 $A$ 的水平偏距為 $L/2$。小轉角時，$C$ 點的垂直位移量為 $$ \deltaC \simeq \frac{L}{2}	heta. $$ 線彈簧的應變能為 $$ Us=\frac12\beta(\deltaC)^2 =\frac12\beta\left(\frac{L}{2}	hetaight)^2. $$ 旋轉彈簧的應變能為 $$ UR=\frac12\betaR	heta^2. $$ $P$ 作用於 $B$ 點。桿件轉動後，$B$ 點向下位移 $L(1-\cos	heta)$，故載重的位能為 $$ VP=-PL(1-\cos	heta) \simeq-\frac12PL	heta^2. $$ 總位能的二次項為 $$ \Pi \simeq \frac12\left(\betaR+\frac{\beta L^2}{4}-PLight)	heta^2. $$ 臨界挫屈時，二次項係數為零：

Question 21

圖示之水平剛性梁由編號①與②的兩根柱支撐，兩柱長度相同，但②號柱剛性為①號柱之 $3$ 倍。兩柱的頂部皆與梁鉸接，但底部分別為固接（A）與鉸接（B）。載重 $Q_{cr}$ 之作用位置如圖。欲使兩柱同時發生挫屈，比例 $a/L$ 為何？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查柱的歐拉挫屈載重，以及剛性梁的靜力反力分配。兩柱要同時發生挫屈，各柱所受軸力必須分別等於各自的臨界挫屈載重。 歐拉挫屈載重為 $$ P{cr}=\frac{\pi^2 EI}{(Kh)^2} $$ 其中 $K$ 為有效長度係數，$h$ 為柱長。底部固接、頂部鉸接的柱取 $K\approx0.7$；兩端鉸接的柱取 $K=1$。 解題方法 左柱①的彎曲剛性為 $EI$，底部固接、頂部鉸接，因此 $$ P{cr,1}=\frac{\pi^2 EI}{(0.7h)^2} \approx 2.041\frac{\pi^2EI}{h^2} $$ 右柱②的彎曲剛性為 $3EI$，兩端皆為鉸接，因此 $$ P{cr,2}=\frac{\pi^2(3EI)}{h^2} =3\frac{\pi^2EI}{h^2} $$ 由剛性梁的平衡，左、右柱的軸力分別為 $$ N1=Q{cr}\frac{L-a}{L}, \qquad N2=Q{cr}\frac{a}{L} $$ 兩柱同時挫屈時，$N1=P{cr,1}$、$N2=P{cr,2}$，所以

113 專技高考高等考試結構工程技師材料力學考古題詳解

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