113 年專技高考高等考試結構工程技師考古題與詳解

Question 1

有一棟三層樓剪力屋架，如圖所示。

【圖示：三層樓剪力屋架（原卷圖）】

(一) 請推導運動方程式，並以圖中的符號表示。

(二) 請求出對應三個模態之模態頻率。

(三) 分別求出對 $3F$ 正規化及對模態質量正規化之模態向量，並說明其差異。

(四) 請求出三個模態之模態參與質量，除了討論其參與百分比，並驗證其總和與三個自由度的總質量一致。

Accepted Answer

核心觀念與模型

本題考查剪力屋架的質量、勁度矩陣，以及特徵值、模態正規化與有效模態質量。依圖示，三層樓質量依序為 $m,\ m,\ m/2$ ；各層柱高為 $h$ ，每根柱的彎曲剛度為 $EI$ 。依三自由度剪力屋架模型，樓板只作水平平移，每層兩根柱的側向勁度合計為

k_s=2\left(\frac{12EI}{h^3}\right)=\frac{24EI}{h^3}.

令各樓層水平位移為 $\mathbf u=[u_1,u_2,u_3]^T$ ，外力為 $\mathbf p(t)=[p_1(t),p_2(t),p_3(t)]^T$ 。

(一) 運動方程式

質量矩陣為

\mathbf M =m\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&\frac12 \end{bmatrix}.

各樓層的側向勁度由相鄰樓層柱的勁度組成，因此

\mathbf K =k_s\begin{bmatrix} 2&-1&0\\ -1&2&-1\\ 0&-1&1 \end{bmatrix} =\frac{24EI}{h^3} \begin{bmatrix} 2&-1&0\\ -1&2&-1\\ 0&-1&1 \end{bmatrix}.

運動方程式為

\boxed{\mathbf M\ddot{\mathbf u}+\mathbf K\mathbf u=\mathbf p(t)}.

(二) 三個模態頻率

自由振動時令 $\mathbf u=\boldsymbol\phi e^{i\omega t}$ ，得特徵方程式

\left(\mathbf K-\omega^2\mathbf M\right)\boldsymbol\phi=\mathbf 0.

定義無因次特徵值 $\mu=\omega^2m/k_s$ ，則

\det\begin{bmatrix} 2-\mu&-1&0\\ -1&2-\mu&-1\\ 0&-1&1-\frac{\mu}{2} \end{bmatrix}=0,

整理得

\mu^3-6\mu^2+9\mu-2=0 =(\mu-2)(\mu^2-4\mu+1)=0.

依頻率由低至高排列：

\mu_1=2-\sqrt3,\qquad \mu_2=2,\qquad \mu_3=2+\sqrt3.

故三個圓頻率為

\boxed{ \omega_1=\sqrt{\frac{24EI}{mh^3}(2-\sqrt3)},\quad \omega_2=\sqrt{\frac{48EI}{mh^3}},\quad \omega_3=\sqrt{\frac{24EI}{mh^3}(2+\sqrt3)} }.

若以 Hz 表示， $f_i=\omega_i/(2\pi)$ 。

(三) 模態向量正規化

由第一列方程可得 $\phi_2=(2-\mu)\phi_1$ ；代入第二列，可取未正規化模態向量如下：

\boldsymbol\phi_1=\begin{bmatrix}1\\ \sqrt3\\2\end{bmatrix},\qquad \boldsymbol\phi_2=\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix},\qquad \boldsymbol\phi_3=\begin{bmatrix}1\\-\sqrt3\\2\end{bmatrix}.

以 3F 位移正規化：令第三層分量均為 $1$ 。模態向量的正負號不影響物理結果，因此第二模態取下列方向：

\boxed{ \boldsymbol\psi_1= \begin{bmatrix}\frac12\\\frac{\sqrt3}{2}\\1\end{bmatrix},\qquad \boldsymbol\psi_2= \begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix},\qquad \boldsymbol\psi_3= \begin{bmatrix}\frac12\\-\frac{\sqrt3}{2}\\1\end{bmatrix} }.

Question 2

如下圖所示為一大型吊橋，主航道橋為加勁鋼箱梁吊橋，橋面寬 30 公尺，為雙向六車道設計。某日出現明顯的波浪形抖動現象，隨後大橋雙向車道及通航水域被封閉通行。

【圖示：大型吊橋波浪形抖動報導與橋梁斷面簡化模型（原卷圖）】

(一) 請論述主要原因為何？

(二) 根據風工程與結構動力理論，該吊橋的振動是屬於自由振動還是強迫振動？

(三) 通常此類橋梁設計前會進行橋梁斷面模型風洞試驗，其基本振動行為可根據圖示簡化模型進行探討，請推導其運動方程式。圖中， $u_1$ 及 $u_2$ 為定義之自由度， $p_t$ 及 $p_\theta$ 為外力。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查吊橋的風致振動與氣動彈性不穩定，以及剛性橋面在豎向與扭轉兩自由度下的運動方程式。 吊橋橋面受到風力作用時，風力與橋面運動會互相影響。若氣動力對橋面做正功，並使結構的等效阻尼降低，振幅便可能持續增大，形成氣動彈性顫振（flutter）。這與單純由固定頻率外力引起的共振不同。 （一）波浪形抖動的主要原因 主要原因是風與橋面產生氣動彈性耦合作用，引發橋面豎向振動與扭轉振動的耦合不穩定。橋面振動會改變周圍氣流與氣動力；氣動力再反過來對橋面輸入能量，降低等效阻尼，造成振幅逐漸增大，呈現波浪形抖動。 因此，答案應以氣動彈性顫振為主。渦流可能參與氣流與橋面的互動，但本題所描述的橋面大幅波浪形抖動，重點在風致氣動力與橋梁振動的耦合，而非僅以「風大」或「發生共振」作答。 （二）自由振動或強迫振動 以橋梁結構本身為分析對象，風持續作用時，橋面受到外部氣動力，因此屬於風致強迫振動。 更精確地說，若振動由氣動彈性顫振主導，氣動力會隨橋面的位移與速度改變，並可能提供負阻尼，使振幅自行增長；這類顫振也可視為自激振動。在結構動力的自由振動與強迫振動二分法中，本題有持續風力作用，應答為強迫振動；其顫振機制則是自激的氣動彈性不穩定。 （三）推導運動方程式 1. 定義自由度與轉角 令左、右端向上位移分別為 $u1$、$u2$，橋面為長度 $L$ 的剛性桿。取橋面中心豎向位移為 $y$，並以逆時針為正扭轉角 $	heta$，則 $$ y=\frac{u1+u2}{2}, \qquad 	heta=\frac{u2-u1}{L}. $$ 圖中的 $pt$ 為作用於橋面中心的豎向外力，$p	heta$ 為作用於橋面中心的外力矩。 2. 以 $y,	heta$ 建立方程式 設橋面質量為 $m$，對質心的質量慣性矩為 $IG$。動能為 $$ T=\frac{1}{2}m\dot y^2+\frac{1}{2}IG\dot	heta^2. $$ 兩端彈簧的位能為 $$ V=\frac{1}{2}k1\left(y-\frac{L}{2}	hetaight)^2 +\frac{1}{2}k2\left(y+\frac{L}{2}	hetaight)^2. $$ 依拉格朗日方程式，可得 $$ m\ddot y+(k1+k2)y+\frac{L}{2}(k2-k1)	heta=pt, $$ $$ IG\ddot	heta+\frac{L}{2}(k2-k1)y +\frac{L^2}{4}(k1+k2)	heta=p	heta. $$ 矩陣形式為 $$ \begin{bmatrix} m&0\ 0&IG \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ddot y\ \ddot	heta \end{bmatrix} + \begin{bmatr…

Question 3

根據最新建築物耐震設計規範，於靜力分析法中規定之水平總橫力如下：

最小設計水平總橫力：

V=\frac{I}{1.4\alpha_y}\left(\frac{S_{aD}}{F_u}\right)_m W

中小度地震設計地震力：

V^*= \begin{cases} \displaystyle \frac{I F_u}{4.2\alpha_y}\left(\frac{S_{aD}}{F_u}\right)_m W,\\[6pt] \displaystyle \frac{I F_u}{3.5\alpha_y}\left(\frac{S_{aD}}{F_u}\right)_m W. \end{cases}

最大考量地震設計地震力：

V_M=\frac{I}{1.4\alpha_y^M}\left(\frac{S_{aM}}{F_u^M}\right)_m W

(一) 請問規範耐震設計之基本原則為何？與上述三種設計地震力規定邏輯之相關性為何？為何建築物耐震規範分母取 $1.4$ ，而橋梁耐震設計規範分母取 $1.2$ ？請詳細論述。

(二) 針對中小度地震設計公式的分母為何又不同？請詳細論述。

(三) 請就地震發生年超越機率之危害度（回歸期）、彈塑性設計假設、韌性需求等面向，就上述公式各符號定義進行詳細論述說明。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查《建築物耐震設計規範及解說》第 1.2、2.2、2.10 節所採用的三種地震水準、結構性能目標，以及靜力法水平總橫力公式中「地震需求、韌性折減與超強度」的關係。以下以命題當年（民國 113 年）法規為準。

規範耐震設計的基本原則為：

中小度地震：結構體保持在彈性限度內，避免損傷。
設計地震：容許結構產生塑性變形，但韌性需求不得超過規定的韌性容量；目標是避免嚴重損壞。
最大考量地震：容許使用至規定的韌性容量，但須避免倒塌及重大生命安全危害。

三種地震力不是同一個性能目標下的三個數值，而是分別對應不同危害水準與性能要求。地震力的大小也不保證固定排序，因為公式中的地震譜值、修正因子與適用工址條件可能不同。

解題方法

解題時先把公式拆成「彈性地震需求」與「折減或放大項」：

V=\frac{I}{1.4\alpha_y} \left(\frac{S_{aD}}{F_u}\right)_m W

設計地震力以設計地震譜加速度 $S_{aD}$ 為基礎，再透過 $F_u$ 反映結構韌性折減、以 $\alpha_y$ 及係數 $1.4$ 反映結構由設計強度至實際起始降伏強度的放大關係。中小度地震力則由設計地震力的基準譜值按規範比例換算，並要求在該地震水準下保持彈性。

（一）基本原則、三種地震力與 1.4、1.2 的差異

設計地震的彈性反應需求經韌性折減後，形成設計用地震力；結構進入塑性後，須靠延性與超強度承受超出設計力的地震作用。最大考量地震則採用較高的地震危害水準，並檢核結構使用韌性容量時仍不致倒塌。

建築物公式中的 $1.4$ 與橋梁規範中的 $1.2$ ，可視為兩類結構由名義設計強度到實際起始降伏強度的不同放大假設。建築物具有較多構件與較高靜不定度，結構整體的降伏後強度及超強度可較高，規範以 $1.4$ 表示其設計系統的強度放大；橋梁則依橋柱等構件的受力及降伏特性，以 $1.2$ 作為 $P_u/P_y$ 的合理、保守取值。兩者反映不同結構系統與規範校準，不能只視為任意選取的安全係數。

其中 $P_y$ 為起始降伏強度， $P_u$ 為降伏後可達的強度；橋梁規範以 $1.2$ 描述兩者的強度比。建築物公式中的 $\alpha_y$ 則另行反映設計方法及載重組合所造成的起始降伏地震力放大，應與 $1.4$ 的系統超強度係數分開理解。

（二）中小度地震公式的分母

一般工址與近斷層工址採用 $4.2$ ，臺北盆地採用 $3.5$ 。將公式改寫，可看出分母對應設計地震與中小度地震的譜值比例：

一般工址與近斷層工址：

V^*= \frac{I F_u}{4.2\alpha_y} \left(\frac{S_{aD}}{F_u}\right)_m W = \frac{I}{4.2\alpha_y}(S_{aD})_mW

與設計地震力比較，在其他條件相同時：

\frac{V^*}{V} = \frac{1.4}{4.2} = \frac{1}{3}

故一般工址與近斷層工址的中小度地震力，按規範公式相當於設計地震力基準的三分之一。

臺北盆地則有：

\frac{V^*}{V} = \frac{1.4}{3.5} = 0.4 = \frac{1}{2.5}

因此其對應比例為 $1/2.5$ 。不同分母反映規範對不同工址條件及中小度地震需求的規定；解題時不可把 $4.2$ 與 $3.5$ 混用，也不可未考慮工址類別就直接認定 $V^*=V/3$ 。

Question 4

根據公路橋梁耐震設計規範，橋梁設計總橫力之地震力計算，提供規範（2-6）式橋梁所考慮方向之基本振動週期計算公式。請根據該公式先推導下圖均質簡支梁沿垂直方向之變位函數 $u(t)$ ，再求得規範建議公式之基本振動週期，並與圖示之理論解比較，同時說明其合理性。

【圖示：均質簡支梁基本振動理論頻率與規範建議公式（原卷圖）】

(一) 推導均質簡支梁沿垂直方向之變位函數 $u(t)$ 。

(二) 求得規範建議公式之基本振動週期，並與圖示之理論解比較，同時說明其合理性。

Accepted Answer

核心觀念

本題考公路橋梁耐震設計規範（2-6）式的靜力法週期估算。規範以沿所考慮方向施加的單位靜載重 $w(x)$ ，及該載重造成的位移 $u(x)$ ，計算基本振動週期：

T=2\pi\sqrt{\frac{\zeta}{\beta g}},\qquad \beta=\int_0^L w(x)u(x)\,dx,\qquad \zeta=\int_0^L w(x)u^2(x)\,dx

其中 $g$ 為重力加速度。原圖標示的位移函數是 $u(x)$ ， $x$ 為梁長座標；以下依圖示記號推導。

解題方法與位移函數

均質簡支梁受均布靜載重 $q$ ，梁長為 $L$ 、彈性模數為 $E$ 、慣性矩為 $I$ 。依 Euler–Bernoulli 梁理論，撓曲線滿足

EI\frac{d^4u}{dx^4}=q

簡支端的邊界條件為兩端位移與彎矩皆為零：

u(0)=u(L)=0,\qquad u''(0)=u''(L)=0

解微分方程並套用邊界條件，得

u(x)=\frac{q}{24EI}\left(L^3x-2Lx^3+x^4\right) =\frac{qL^4}{24EI}\,f\!\left(\frac{x}{L}\right)

其中

f(\xi)=\xi-2\xi^3+\xi^4,\qquad \xi=\frac{x}{L}

這是均布載重下的簡支梁靜力撓曲線，形狀關於跨中對稱，且兩端位移為零。

代入規範式求週期

令 $w(x)=q$ 為均布載重，代入規範定義：

\beta=\int_0^L q\,u(x)\,dx =\frac{q^2L^5}{24EI}\int_0^1f(\xi)\,d\xi

\int_0^1f(\xi)\,d\xi =\int_0^1(\xi-2\xi^3+\xi^4)\,d\xi =\frac{1}{5}

因此

\beta=\frac{q^2L^5}{120EI}

同理，

\zeta=\int_0^L q\,u^2(x)\,dx =\frac{q^3L^9}{(24EI)^2}\int_0^1f^2(\xi)\,d\xi

展開並積分：

f^2(\xi)=\xi^2-4\xi^4+2\xi^5+4\xi^6-4\xi^7+\xi^8

\int_0^1f^2(\xi)\,d\xi=\frac{31}{630}

故

113 專技高考高等考試結構工程技師結構動力分析與耐震設計考古題詳解

第一題25 分

核心觀念與模型

(一) 運動方程式

(二) 三個模態頻率

(三) 模態向量正規化

第二題25 分

核心觀念

（一）波浪形抖動的主要原因

（二）自由振動或強迫振動

（三）推導運動方程式

1. 定義自由度與轉角

2. 以 $y,\theta$ 建立方程式

3. 改寫為題目所定義的 $u_1,u_2$

第三題25 分

核心觀念

解題方法

（一）基本原則、三種地震力與 1.4、1.2 的差異

（二）中小度地震公式的分母

第四題25 分

核心觀念

解題方法與位移函數

代入規範式求週期

其他考古題

113 年結構工程技師的其他科目

結構工程技師《結構動力分析與耐震設計》其他年度

113 專技高考高等考試 結構工程技師 結構動力分析與耐震設計 考古題詳解

第 一 題25 分

核心觀念與模型

(一) 運動方程式

(二) 三個模態頻率

(三) 模態向量正規化

第 二 題25 分

核心觀念

（一）波浪形抖動的主要原因

（二）自由振動或強迫振動

（三）推導運動方程式

1. 定義自由度與轉角

2. 以 y,θy,\thetay,θ 建立方程式

3. 改寫為題目所定義的 u1,u2u_1,u_2u1​,u2​

第 三 題25 分

核心觀念

解題方法

（一）基本原則、三種地震力與 1.4、1.2 的差異

（二）中小度地震公式的分母

第 四 題25 分

核心觀念

解題方法與位移函數

代入規範式求週期

其他考古題

113 年結構工程技師的其他科目

結構工程技師《結構動力分析與耐震設計》其他年度

113 專技高考高等考試結構工程技師結構動力分析與耐震設計考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

2. 以 $y,\theta$ 建立方程式

3. 改寫為題目所定義的 $u_1,u_2$

第三題25 分

第四題25 分