110 專技高考高等考試 結構工程技師 結構動力分析與耐震設計 考古題詳解

110 年・專技高考・高等考試・結構工程技師
試題代碼 結構動力分析與耐震設計

第 一 題25 分

有一質量為 mm 的台車利用彈簧固定在一剛性構架內，如下圖所示。當此剛性構架受到向右位移

d(t)=sin⁡(12ωt)d(t)=\sin\left(\frac{1}{2}\omega t\right)

的作用，其中 ω\omega 為此結構系統的自然振動頻率。假設此系統從靜止開始運動，試回答以下問題：

（圖示未隨文字層擷取，請參考原卷。）

（1）求出此結構系統的運動方程式。

（2）求出此結構系統的自然振動頻率 ω\omega。

（3）求出台車的絕對速度，請以符號表示。

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核心觀念

兩支彈簧各自的勁度為 kk，台車相對剛性構架位移時，兩支彈簧同時變形，合成勁度為 2k2k。因此系統的自然圓頻率為

ωn=2km.\omega_n=\sqrt{\frac{2k}{m}}.

題目以 ω\omega 表示自然圓頻率，故 ω=ωn\omega=\omega_n。以下令 x(t)x(t) 為台車相對構架的位移，d(t)d(t) 為構架位移，台車的絕對位移為 u(t)=x(t)+d(t)u(t)=x(t)+d(t)。

解題方法

以台車相對構架的位移 xx 寫運動方程式。基底加速度造成等效慣性力，因此

mx¨+2kx=−md¨.m\ddot{x}+2kx=-m\ddot{d}.

代入 ω2=2k/m\omega^2=2k/m，可寫為

x¨+ω2x=−d¨.\ddot{x}+\omega^2x=-\ddot{d}.

題給

d(t)=sin⁡(ωt2),d¨(t)=−ω24sin⁡(ωt2),d(t)=\sin\left(\frac{\omega t}{2}\right), \qquad \ddot{d}(t)=-\frac{\omega^2}{4}\sin\left(\frac{\omega t}{2}\right),

所以

x¨+ω2x=ω24sin⁡(ωt2).\ddot{x}+\omega^2x =\frac{\omega^2}{4}\sin\left(\frac{\omega t}{2}\right).

依「台車從靜止開始」取台車的初始絕對速度為零，且初始時構架與台車位移相同：

u(0)=0,u˙(0)=0.u(0)=0,\qquad \dot{u}(0)=0.

因 d(0)=0d(0)=0、d˙(0)=ω/2\dot{d}(0)=\omega/2，相對座標的初始條件為

x(0)=0,x˙(0)=−ω2.x(0)=0,\qquad \dot{x}(0)=-\frac{\omega}{2}.

方程式的解為

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第 二 題25 分

請回答下列問題：

（1）有一單自由度結構系統，其自然振動頻率為 10 rad/sec10\ \mathrm{rad/sec}，並且受到簡諧載重

p(t)=p0sin⁡(ωt)p(t)=p_0\sin(\omega t)

已知當 ω=0.1 rad/sec\omega=0.1\ \mathrm{rad/sec} 時，其最大穩態（steady-state）位移為 2.4 cm2.4\ \mathrm{cm}；而當 ω=10 rad/sec\omega=10\ \mathrm{rad/sec} 時，其最大穩態位移為 20 cm20\ \mathrm{cm}。試求此單自由度系統的阻尼比。

（2）已知此單自由度結構系統的質量為 104 kg10^4\ \mathrm{kg}，其阻尼比可由（1）計算得知。此結構系統如受到下圖所示的載重作用，其最大位移為何？請說明計算原理。

（圖示：載重為半正弦波（half-sine），最大載重為 102 kN10^2\ \mathrm{kN}，作用時間為 $0.1\ \mathrm{sec}；原圖未隨文字層擷取，請參考原卷。）

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核心觀念

本題分別考查單自由度系統受簡諧力時的穩態振幅，以及受有限時間半正弦脈衝時的時程反應。

簡諧力 p(t)=p0sin⁡(ωt)p(t)=p_0\sin(\omega t) 作用下，穩態位移振幅為

X=p0/k(1−r2)2+(2ζr)2,r=ωωnX=\frac{p_0/k}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}, \qquad r=\frac{\omega}{\omega_n}

其中 ωn\omega_n 為自然振動頻率，ζ\zeta 為阻尼比。半正弦脈衝則可用分段運動方程或 Duhamel 積分求反應；載重結束後，系統以當時的位移與速度進入自由振動。

解題方法

（1）由題意 ωn=10 rad/sec\omega_n=10\ \mathrm{rad/sec}。在 ω=0.1 rad/sec\omega=0.1\ \mathrm{rad/sec} 時，r=0.01r=0.01；在 ω=10 rad/sec\omega=10\ \mathrm{rad/sec} 時，r=1r=1。兩振幅比可消去未知的 p0/kp_0/k：

202.4=(1−0.012)2+(2ζ⋅0.01)22ζ\frac{20}{2.4} = \frac{\sqrt{(1-0.01^2)^2+(2\zeta\cdot0.01)^2}}{2\zeta}

因此

ζ2=(1−0.012)24(20/2.4)2−4(0.01)2\zeta^2 = \frac{(1-0.01^2)^2} {4(20/2.4)^2-4(0.01)^2} ζ≈0.0600\boxed{\zeta \approx 0.0600}

（2）取 ωn=10 rad/sec\omega_n=10\ \mathrm{rad/sec}、ζ=0.06\zeta=0.06、m=104 kgm=10^4\ \mathrm{kg}，可得

k=mωn2=106 N/m,c=2ζmωn=1.2×104 N⋅s/mk=m\omega_n^2=10^6\ \mathrm{N/m}, \qquad c=2\zeta m\omega_n=1.2\times10^4\ \mathrm{N\cdot s/m}

半正弦載重的峰值為 102 kN=105 N10^2\ \mathrm{kN}=10^5\ \mathrm{N}，作用時間 T=0.1 secT=0.1\ \mathrm{sec}，故

p(t)=105sin⁡(10πt) N,0≤t≤0.1p(t)=10^5\sin(10\pi t)\ \mathrm{N}, \qquad 0\le t\le 0.1

以質量除運動方程：

x¨+1.2x˙+100x=10sin⁡(10πt)\ddot{x}+1.2\dot{x}+100x=10\sin(10\pi t)

阻尼自然頻率為

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第 三 題25 分

有一三層樓建築物進行自由振動實驗。此實驗係利用粗索在一樓向右拉位移 6 cm6\ \mathrm{cm}，隨後突然完全放開。樓地板假設為剛性，結構性質如圖所示，包括每層質量、每層勁度、振動頻率 ωi\omega_i 及振態 ϕi\phi_i，其中 i=1,2,3i=1,2,3。

（結構性質圖未隨文字層擷取，請參考原卷。）

試求頂層（三樓）的層間剪力。（採階段性計分）

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核心觀念

這題考三層剪力屋架的自由振動模態疊加。先用初始位移將各振態的參與係數求出，再由二、三樓的相對位移計算頂層層間剪力。

取各樓層向右位移為正。依圖示，質量矩陣、振態矩陣及初始條件為

M=[m000m000m/2],Φ=[11130−32−12],x(0)=[600] cm,x˙(0)=0.\mathbf M= \begin{bmatrix} m&0&0\\ 0&m&0\\ 0&0&m/2 \end{bmatrix},\qquad \mathbf\Phi= \begin{bmatrix} 1&1&1\\ \sqrt3&0&-\sqrt3\\ 2&-1&2 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf x(0)= \begin{bmatrix} 6\\0\\0 \end{bmatrix}\text{ cm},\quad \dot{\mathbf x}(0)=\mathbf0.

振態欄向量依序為 ϕ1,ϕ2,ϕ3\boldsymbol\phi_1,\boldsymbol\phi_2,\boldsymbol\phi_3；各樓層間的勁度均為 kk。

解題方法

無阻尼自由振動的位移可寫成

x(t)=∑i=13ϕiqi(t),qi(t)=aicos⁡(ωit),\mathbf x(t)=\sum_{i=1}^{3}\boldsymbol\phi_i q_i(t), \qquad q_i(t)=a_i\cos(\omega_i t),

因為突然釋放時初速度為零。利用質量正交性，初始模態係數為

ai=ϕiTMx(0)ϕiTMϕi.a_i= \frac{\boldsymbol\phi_i^{T}\mathbf M\mathbf x(0)} {\boldsymbol\phi_i^{T}\mathbf M\boldsymbol\phi_i}.

逐一計算：

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第 四 題25 分

有一棟建築物，其結構系統可簡單模擬成一單自由度系統，其動力特性估計如下：

  • 總質量：m=2×106 kgm=2\times10^6\ \mathrm{kg}
  • 振動週期：T=0.1∼0.3 secT=0.1\sim0.3\ \mathrm{sec}。由於基礎以及結構勁度的不確定性，因此預估結構振動週期介於 0.10.1 秒和 0.30.3 秒之間。
  • 黏滯性阻尼比：ξ=7.5%\xi=7.5\%
  • 降伏強度：Ry=2.5×104 kNR_y=2.5\times10^4\ \mathrm{kN}

假設此棟建築物受到下列地表加速度的作用，共 99 秒，此處僅繪出前 33 秒的示意圖。其中

1g=980 cm/sec21g=980\ \mathrm{cm/sec^2}

（地表加速度示意圖未隨文字層擷取，請參考原卷。）

試回答以下問題。請逐步說明取得此結果的原因。（採階段性計分，共 2525 分。）

（1）最大側向位移？

（2）抵抗此地表加速度所需的位移韌性強度（displacement ductility ratio）？

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核心觀念

本題是單自由度系統受簡諧地表加速度作用的相對位移反應。相對位移 uu 滿足

u¨+2ξωnu˙+ωn2u=−ag(t)\ddot u+2\xi\omega_n\dot u+\omega_n^2u=-a_g(t)

從圖讀得地表加速度振幅為 0.5g0.5g，每 0.30.3 秒重複一次，因此

ag(t)=0.5gsin⁡(Ωt),Ω=2π0.3=20.944 rad/sa_g(t)=0.5g\sin(\Omega t),\qquad \Omega=\frac{2\pi}{0.3}=20.944\ \mathrm{rad/s}

結構週期在 0.10.1 至 0.30.3 秒之間；地表加速度週期為 0.30.3 秒，因此最大反應出現在結構週期 Tn=0.3T_n=0.3 秒、與地表加速度共振時。九秒的作用時間包含三十個週期，足以建立穩態反應。

解題方法

穩態相對位移振幅為

umax⁡=a0(ωn2−Ω2)2+(2ξωnΩ)2u_{\max} =\frac{a_0} {\sqrt{(\omega_n^2-\Omega^2)^2+(2\xi\omega_n\Omega)^2}}

共振時 ωn=Ω\omega_n=\Omega，故

umax⁡=0.5g2ξωn2=0.5(980)2(0.075)(20.944)2=7.44 cmu_{\max} =\frac{0.5g}{2\xi\omega_n^2} =\frac{0.5(980)} {2(0.075)(20.944)^2} =7.44\ \mathrm{cm}

因此最大側向位移為約 7.44 cm7.44\ \mathrm{cm}。

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