110 專技高考高等考試 結構工程技師 結構學 考古題詳解

核心觀念

本題考查含內鉸與彈簧支承的梁之位移法分析。$c$ 點是內鉸，因此該處彎矩為零，梁兩側可各自轉動，但垂直位移相同；$b$ 點彈簧的力則依位移產生，大小為 $k\delta_b$，方向與位移相反。

採用以下正號：

• 垂直位移向上為正，轉角逆時針為正。
• 彎矩圖以正彎矩代表正彎矩（下緣受拉）。
• 梁的彎曲剛度 $EI=10000\ \mathrm{kN\cdot m^2}$，彈簧剛度 $k=15000\ \mathrm{kN/m}$。

解題方法

以梁元素剛度法分析，將節點設在 $a$、左側 $36\ \mathrm{kN}$ 集中力作用點、$b$、$c$、$d$。$c$ 點共用垂直位移自由度，左右兩側各設一個轉角自由度，以符合內鉸條件。

長度為 $L$ 的梁元素，其局部剛度矩陣為

組裝各梁元素後，在 $b$ 點垂直位移自由度加上彈簧剛度 $k$。支承條件為 $v_a=0$、$v_d=0$、$\theta_d=0$；兩個集中力均為向下 $36\ \mathrm{kN}$。

求得主要節點位移如下：

因此，$b$ 點彈簧壓縮量為 $0.00380\ \mathrm{m}$，彈簧向上作用力為

核心觀念

本題考剛架位移法與梁柱彎曲剛度。因題目指定不考慮桿件軸向變形，各桿件兩端沿桿軸方向的相對位移為零；配合支承條件，可將結構位移化簡為上梁共同水平位移及各節點轉角。

取逆時針轉角為正、向右水平位移為正，梁彎矩圖採撓曲（下凹）為正。各桿均無分布荷載，故梁各跨的彎矩沿跨長呈線性變化。

解題方法與計算

1. 建立位移條件

由 $a,d,f$ 點為滾支承、$c$ 點為鉸支承，並令桿件軸向變形為零：

• 上梁 $abef$ 的各節點水平位移相同，記為 $u$。
• 柱 $bc$、$ed$ 不伸長，且 $c,d$ 點的鉛直位移為零，因此 $b,e$ 點鉛直位移也為零。
• 下梁 $cd$ 不伸長，且 $c$ 點水平位移為零，因此 $d$ 點水平位移為零。

因此所需廣義位移可取為

2. 建立剛度方程並求位移

各桿採 Euler–Bernoulli 梁彎曲剛度，$EI=20000\ \mathrm{kN\cdot m^2}$。依圖中桿長組成整體剛度方程，水平外力 $24\ \mathrm{kN}$ 作用於 $f$ 點，解得

故 $b$ 點順時針轉角為 $0.00050\ \mathrm{rad}$，向右水平位移為 $0.0033\ \mathrm m$。

核心觀念

本題考查桁架移動載重影響線，以及超靜定桁架的變形相容條件。圖中兩端皆為鉸支承，桁架有一度超靜定；因此水平反力不能只靠整體平衡求得，須以桿件軸向變形相容求解。

以下規定：向右的 $a$ 點水平反力為正；桿件拉力為正、壓力為負。各桿 $EA$ 相同，桿長按圖示幾何計算。

解題方法與推導

先令向下單位載重作用於底弦節點 $k$，其中 $k=0,1,2,3,4$ 分別代表 $a,b,c,d,e$。載重在 $a$、$e$ 點時直接由支承承受，桁架內力及 $a$ 點水平反力皆為零。載重位於桁架內部時，豎向反力為

令 $a$ 點水平反力為 $H_a$，則 $e$ 點水平反力為 $-H_a$。由 $a$ 點與 $e$ 點節點平衡，可得

由 $b$、$d$ 點平衡，設 $P_b$、$P_d$ 分別為載重是否作用於 $b$、$d$ 點的單位載重值，則

用水平反力作為冗餘力，以支承間的水平相對位移為零建立相容條件。單位冗餘力在四根底弦桿 $ab,bc,cd,de$ 產生的軸力均為 $-1$，其他桿件不受此冗餘力影響。故

其中四根底弦桿長皆為 $3\,\text{m}$。代入上述桿力，並用 $A_y+E_y=1$，得

核心觀念

本題考查剛性樓板的平移與扭轉耦合。屋頂平面內只有 $x$ 向平移、$y$ 向平移及繞 $z$ 軸轉動三個自由度；各柱的水平剪力由柱的側向剛度與柱頂位移決定。

梁的斷面慣性矩視為無限大，因此梁端不產生彎曲轉角，柱頂在兩個側移方向的彎曲轉角皆為零。柱底固定，故柱可視為兩端轉角受拘束的側移構件，其側向剛度為

解題方法與計算

依圖取平面中心為原點，$x$ 向右、$y$ 向上。四柱位置及柱剛度如下：

其中 $L=3.6\ \mathrm{m}$，例如

令樓板平移為 $(u_x,u_y)$，繞 $z$ 軸轉角為 $\theta$。柱頂位移由剛性樓板運動關係給出：

四柱承受的外力合計為 $108\ \mathrm{kN}$，方向為 $+y$，外力對原點的合力矩為零。以柱側向剛度組成樓板平衡式：

解得